函数地基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)

函数的基本性质其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。

函数表⽰每个输⼊值对应唯⼀输出值的⼀种对应关系。

函数f中对应输⼊值x的输出值的标准符号为f(x)。

性质有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于⼀切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上⽆界。

单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。

如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。

单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

奇偶性设为⼀个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。

⼏何上，⼀个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。

奇函数的例⼦有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。

设f（x）为⼀实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。

⼏何上，⼀个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。

偶函数的例⼦有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。

偶函数不可能是个双射映射。

连续性在数学中，连续是函数的⼀种属性。

直观上来说，连续的函数就是当输⼊值的变化⾜够⼩的时候，输出的变化也会随之⾜够⼩的函数。

如果输⼊值的某种微⼩的变化会产⽣输出值的⼀个突然的跳跃甚⾄⽆法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解 ． （1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函 ）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质， 数的整体性质. 数的整体性质 （2）函数奇偶性中对定义域内任意一个 ，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点 的实质是： ， － 的实质是 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件 函数的奇偶性是 其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称 关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称 关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称 关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（ 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是 （A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数 若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数 上的函数
值为正,则称 上为增函数； 值为正 则称y = f (x)在D上为增函数； 则称 在 上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义

函数的基本性质(函数的单调性、奇偶性、周期性)一、函数单调性 1、可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增；如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。

（3）定量刻画，即定义。

2、判断增函数、减函数的方法：①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

与之相等价的定义： ⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。

⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；如果函数()x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。

如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。

专题09 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性等）【重温课标】1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．2．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．3．结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．【解读考情】1．函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位．2．函数的奇偶性常与函数的单调性、对称性、最值等结合考查，综合考查知识的灵活应用能力，是高考考查的热点．3．函数的奇偶性，以选择、填空题居多，且是高考考查的热点．【知识点归纳】一、增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1) f (x )在区间D 上是增函数⇔ f (x 1)＜f (x 2)；(2) f (x )在区间D 上是减函数⇔ f (x 1)＞f (x 2)．【温馨提示】(1) 单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．(2) 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．(3) 两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，g (x )f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． 二、单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．三、函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：条件 (1) 对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2) 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1) 对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2) 存在x 0∈I ，使得 f (x 0)＝M 结论 M 为最大值M 为最小值四、判断或证明函数单调性的方法(1) （图象法）根据图象判断：函数的单调性在几何上表现为在某区间上函数图象从左到右是一致上升还是一致下降，因此可以根据图象的特点来判断．如：根据右图，指出函数y ＝f (x )的单调增区间与减区间．从图上可以看出函数y ＝f (x )在区间(－∞，－5]和(12，＋∞)内递增，在区间(－5，12]内递减． (2) （定义法）根据定义来判断或证明：这是最基本的方法，其步骤如下：第一步：取值，即设x 1，x 2是该区间内的任意两点，且x 1＜x 2．第二步：变形，变形有两种途径．一般采用作差法，即f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形；如果是指数型一般采用作商比较法．第三步：定号，确定差f (x 1)－f (x 2)的符号，当符号不确定时，可以进行分区间讨论．如果是作商比较，则需比较变形结果与1的大小关系．第四步：判断，根据定义作出结论．(3) （导数法）用导函数方法去判断函数单调性．这种方法我们将在（高二）学习．(4) （结论法）判断函数单调性的常用结论① 在两个函数的公共定义域内，两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；② 奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；③ 互为反函数的两个函数有相同的单调性；④ 如果f (x )在区间D 上是增(减)函数，那么f (x )在D 的任一子区间上也是增(减)函数； ⑤ 如果y ＝f (u )和u ＝g (x )单调性相同，那么y ＝f [g (x )]是增函数；如果y ＝f (u )和u ＝g (x )单调性相反，那么y ＝f [g (x )]是减函数．简称为：同增异减．注：在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大简化我们的判断过程．五、函数单调性的应用单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有很重要的作用，具体体现在：(1) 利用单调性比较大小利用函数的增减性，可以把比较函数值的大小问题转化为自变量的大小比较问题． 如：已知函数y ＝0.8x 在R 上是减函数，因为－3.2＜－0.2，则0.8－3.2＞0.8－0.2．(2) 确定函数的值域或求函数的最值．如：函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增．则可以判定它的值域为[f (a )，f (b )]，若在[a ，b ]上递减，则函数值域为[f (b )，f (a )]且当f (x )在[a ，b ]上递增时，f (a )与f (b )分别为[a ，b ]上的最小值与最大值，当f (x )在[a ，b ]上递减时，f (a )与f (b )分别为[a ，b ]上的最大值与最小值．函数最值存在的两条定论：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．*常用结论：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么：(1)f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0 ⇔ f (x 1)－f (x 2)(x 1－x 2)＞0 ⇔ f (x )在[a ，b ]上是增函数； (2) f (x 1)－f (x 2)x 1－x 20 ⇔ f (x 1)－f (x 2)(x 1－x 2)＜0 ⇔ f (x )在[a ，b ]上是减函数． 【例题示范】例1．(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A .(－∞，－2)B .(－∞，1)C .(1，＋∞)D .(4，＋∞)【解析】由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间.因为函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，所以函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞).故选D .例2．(2020·海南卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2－4x －5)在(a ，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．[5，＋∞)【解析】令t ＝x 2－4x －5，由t ＞0，得x ＜－1或x ＞5，又f (x )＝log 2t 在定义域内单调递增，且t ＝x 2－4x －5在(5，＋∞)也单调递增，由复合函数的性质得a ≥5，故选D ．例3．已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b＞0成立． (1) 判断f (x )在[－1，1]上的单调性，并证明它；(2) 若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1) 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2，则－x 2∈[－1，1]，因为f (x )为奇函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)， 由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 所以f (x )在[－1，1]上单调递增．(2) 因为f (1)＝1，f (x )在[－1，1]上单调递增．所以在[－1，1]上，f (x )≤1．问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1，1]成立．下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2ma ＋m 2≥0．①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1，1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1) ≥0，所以m ≤－2，或m ≥2．所以m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2．【分段函数的单调性问题的解决策略】(1) 抓住对变量所在区间的讨论；(2) 保证各段上同增(减)时，要注意上、下段端点值间的大小关系；(3) 弄清最终结果取并集还是交集．例4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x ＞1）(4－a 2)x ＋2（x ≤1）是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4，8)C ．(4，8)D ．(1，8)【解析】函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞14－a 2＞0a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4，8)．选B ．例5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎦⎤－∞，138C ．(－∞，2]D ．⎣⎡⎭⎫138，2 【解析】由题意可知，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＜0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138．选B ． 六、奇(偶)函数的定义及图象特征奇偶性定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数 关于原点对称【温馨提示】(1) 所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．函数的定义域关于原点对称是函数成为奇(偶)函数的必要条件．例如，y ＝x 2当定义域为区间(－∞，＋∞)时是偶函数，但当定义域为区间[－1，2]时却不具有奇偶性．(2) f (0)＝0是f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝1xf (0)无意义；又如f (x )＝2x －1满足f (0)＝0，但不是奇函数．但奇函数f (x )在x ＝0处有意义，必有f (0)＝0．(3) 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(4) 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．例如：y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则g (x )＝()()2f x f x +-为偶函数，h (x )＝()()2f x f x --为奇函数，且f (x )＝g (x )＋h (x )． (5) 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6) 既奇又偶的函数有无穷多个(如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．(7) 奇函数在定义域内满足()()f x f x =--，该式常用来求函数解析；偶函数在定义域内满足()()f x f x =-，该式也常用来求函数解析．【常用结论】①函数奇偶性满足下列性质：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②奇函数与奇函数复合还是奇函数，奇函数与偶函数复合是偶函数，偶函数与偶函数复合还是偶函数．【温馨提示】（这点非常注重要）f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x|)，该式把偶函数的负变量转化为正变量研究．【例题示范】例．y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0，＋∞)上递增，不等式f (x x ＋1)＜f (－12)的解集为________．【解析】因为y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0，＋∞)上递增，所以f (x x ＋1)＜f (－12)等价为f (|x x ＋1|)＜f (|－12|)＝f (12)，所以|x x ＋1|＜12，即2|x |＜|x ＋1|，平方得4x 2＜x 2＋2x ＋1，所以3x 2－2x －1＜0，解得－13＜x ＜1，即不等式的解集为(－13，1)． 七、函数奇偶性的判断与证明(1) 根据图象的对称性判断：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数图象关于y 轴成轴对称图形．反之，逆命题也都为真．(2) 根据定义判断或证明：其步骤为：第一步：考查定义域是否关于原点对称．若定义域不关于原点对称，则可断言函数y ＝f (x )不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，则进行下面步骤．第二步：判断f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立．既可采用定义直接推理，也可以利用转化的方法，先判断f (x )＋f (－x )＝0或f (x )－f (－x )＝0，究竟采用何种途径要具体问题具体分析．第三步：作出结论．若f (－x )＝f (x )则f (x )为偶函数，若f (－x )＝－f (x )则为奇函数，若f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数；若f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，则f (x )为非奇非偶函数．(3) 根据规律判断（详见前面的常用结论）：判断一个函数既不是奇函数也不是偶函数，取特殊值举反例即可！！．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4) 函数奇偶性的变形应用：对于高考中出现的要求证明函数奇偶性的试题，一般应该运用定义去证明，要注意灵活运用定义：当直接推证f (－x )＝f (x )，或f (－x )＝－f (x )遇到困难时，可以考虑证明等式f (－x )－f (x )＝0，或f (－x )＋f (x )＝0恒成立，或者证明f (－x )f (x )＝±1（f (x )≠0）恒成立，前一个技巧常用于含对数运算的函数，后一技巧常用于含指数运算的函数．【温馨提示】判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断．【常见的奇偶函数】(1) 奇函数：()ny x n =为奇数， y kx =，k y x =，tan y x =，sin y x =，x x y a a -=-，11x x a y a -=+，11x x a y a +=-， x xx x a a y a a ---=+，x xx x a a y a a --+=-，log )a y mx =，log )a y x =，log x nx n a y +-=，log x n x n a y -+=．(2) 偶函数：()y a a =为常数，n y ax =(n 为偶数)，||y k x =，cos y x =，+x x y a a -=，(||)y f x =；如果()y f x =为奇函数，那么()y f x =一定为偶函数．七、周期性与对称性1．周期函数：T 为函数f (x )的一个周期，则需满足的条件：(1) T ≠0；(2) f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意x 都成立．2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．【温馨提示(1) 定义应对定义域中的每一个x 值来说，若个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )不能说T 是f (x )的周期．(2) 在等式f (x ＋T )＝f (x )中，应强调加在自变量x 本身的常数才是周期，如f (x 2T )＝f (x 2，T 不是周期，而应写成f (x 2＋T )＝f [12(x ＋2T )]＝f (x 2)，2T 才是f (x )的周期． (3) 若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．【必记结论】周期性常用的结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1) 设a 为非零常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：则函数y＝f (x )是周期函数，T ＝2|a |是它的一个周期．①f (x ＋a )＝－f (x )；②f (x ＋a )＝1f (x )；③f (x ＋a )＝－1f (x )；④f (x ＋a )＝k f (x )（k ≠0）； ⑤f (x ＋a )＝f (x －a )；⑥(x ＋a )＝f (x )＋1f (x )－1，⑦f (x ＋a )＝1－f (x )1＋f (x )． (2) 若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝|a －b |．(3) 若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数；(4) f (x )的图象既关于直线x ＝a 对称（即函数f (x )满足f (2a －x )＝f (x )）又关于直线x ＝b 对称（即函数f (x )满足f (2b －x )＝f (x )），则函数f (x )的周期T ＝2|a －b |(a ≠b )．（规律：和定对称 ，差定周期）(5) 设a 为非零常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，① f (x )为奇函数且其图象关于直线x ＝a 对称，则T ＝4|a |；② f (x )为奇函数且其图象对称中心为（a ，0），则T ＝2|a |；③ f (x )为偶函数且关于直线x ＝a 对称，则T ＝2|a |；④ f (x )为偶函数其图象对称中心为（a ，0）则T ＝4|a |．【识记规律】① 奇偶函数如果另外具有中心对称性或者轴对称性，则一定具有周期性，且周期是相邻对称中心之间距离的2倍，是相邻对称轴之间距离的2倍，是相邻对称轴与对称中心之间距离的4倍．② 如果一个函数图象既有中心对称性，又有轴对称性，则该函数一定具有周期性，且周期是相邻对称轴与对称中心之间距离的4倍．③ 如果一个函数图象有多个中心对称或对称轴，则一定具有周期性，且周期是相邻对称中心（对称轴）之间距离的2倍．轴对称性常用的结论(6) 若f (a －x )＝f (b ＋x )，那么函数f (x )图象的对称轴为x ＝a+b 2； (7) y ＝f (x )符合f (2a －x )＝f (x )等价于其图象的对称轴为x ＝a ，等价于f (a －x )＝f (a ＋x )；中心对称性常用的结论(8) 设a ，b ，c 为常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，① 当f (a ＋x )+f (b －x )＝2c ，则y ＝f (x )的图象的对称中心为（a+b 2，c ）； ② 当f (2a －x )+f (x )＝2c ，则y ＝f (x )的图象的对称中心为（a ，c ）．其他结论若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称；若函数f (x )既是周期函数，则其导函数y ＝f ′(x )是周期函数；若函数f (x )是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )是偶函数；若函数f (x )是偶函数，则其导函数y ＝f ′(x )是奇函数；若函数g (x )是奇函数，f (x )＝g (x )+k ，则f (a )＋ f (－a )＝2k ﹒【例题示范】例1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．【解析】设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ．又y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x (x ＜0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0. 例2．已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a )，则实数a 的取值范围是_______．【解析】当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1所以函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x )在R 上是增函数．由f (3－a 2)＞f (2a )得3－a 2＞2a ．解得－3＜a ＜1．例3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50【解析】因为f (x ＋2)＝f [1＋(1＋x )]＝f [1－(1＋x )]＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．又f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，f (1)＝2，f (2)＝f (1＋1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，而50＝4×12＋2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2.例4．(多选)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－5)＝－1，则f (2019)＝－1【解析】根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )，即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C 正确；对于D ，若f (－5)＝－1，则f (2019)＝f (－5＋2024)＝f (－5)＝－1，D 正确．故选BCD ．例5．(多选)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－x )C ．y ＝xf (x )D ．y ＝f (x )＋x【解析】由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，对于A ，f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；对于B ，f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；对于C ，－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数；对于D ，f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知BD 正确，故选BD.例6．(2019·新课标Ⅱ卷)已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-．若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即 3a =-．。