用函数的对称性与周期性PPT课件

函数的对称性、周期性及其应用（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）; （2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称; （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦;② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）; （2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称; （3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 中心对称。

① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相反，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是奇函数，则()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦：()f x 是奇函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦;② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是奇函数，则()f x a +关于()0,0中心对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于(),0a 对称。

一、对称性：1、函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x).f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x).若写成：f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=(a+b)/2对称。

2、函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b.f(a+x)+f(a-x)=2b也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b.若写成：f(a+x)+f(b-x)=c，则函数f(x)关于点（2ba+，2c）对称。

3、函数y=f(x)关于y=b对称：假设函数关于y=b对称，即关于任意一个x值，都有两个y值与其对应，这显然不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y=b对称。

但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于y=b对称，比如圆。

4、两个函数的图像对称性（1）、y=f(x)与y=f(-x)关于x轴对称。

（2）、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。

（3）、y=f(x)与y=f(2a-x)关于x=a对称。

（4）、y=f(x)与y=2a-f(x)关于y=a对称。

（5）、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）对称。

（6）、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线2ba x +=对称。

二、函数的周期性1、（定义）若f(x+T)=f(x) (T不等于0)⇔f(x)是周期函数，T是它的一个周期。

说明：nT也是f(x)的周期。

2、（1）f(x+T)=f(x) ⇔y=f(x)的周期为T。

（2）f(x+a)=f(b+x) (a<b) ⇔y=f(x)的周期为T=b-a。

（3）f(x+a)=f(x-a) ⇔y=f(x)的周期分为：偶函数T=2a；奇函数T=4a。

（4）f(a+x)=-f(x) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。

（5）f(a+x)=c/f(x) (c为常数) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。

第七讲函数之周期性与对称性函数的周期性与对称性一．定义：假定T 为非零常数，关于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立那么f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论1、()()f x f x a =+，那么()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、 假定函数()()f x a f x a +=-，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、假定函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，那么()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),那么f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

9、 假定函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,那么f(x)为周期函数且2〔b-a 〕是它的一个周期。

10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，那么函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，那么函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、假定偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

函数的对称性与周期性一 函数的对称性 （一）函数图象的自对称所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身. 关于函数图象的自对称,有下列性质:1、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然。

2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象关于直线 对称。

3、三角函数xy sin =的图象关于直线 对称，它也有对称中心是 ；xy c o s =的图象的对称轴是 ，对称中心是 。

4、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()x b f x a f -=+，则其图象关于直线对称。

5、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()b x a f x a f=-++，则其图象关于点对称。

6、曲线()x f y =关于直线a x =与bx =（a ＜b ）对称，则()x f y =是周期函数且周期为()a b -2（二）函数图象的互对称所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。

关于函数图象的互对称,有下列性质:1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称；反之， 。

2、函数()x f y =与函数()x f b y -=2的图象关于直线 对称。

3、函数()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线 对称。

4、函数()x f y=与函数()x h f k y --=22的图象关于点 对称。

二 函数的周期性如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性的结论： 1、已知函数()x f y=对任意实数x,都有()()x f a x f-=+,则()x f y=是以 为周期的函数；2、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有()x a f+=f(x)1,则()x f y =是以 为周期的函数； 3、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()x a f+=-f(x)1-,则()x f y =是以 为周期的函数. 4、已知函数()x f y =对任意实数x,都有()()b x f x a f=++，则()x f y =是以 为周期的函数5、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则 是()x f y=的一个周期.6、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,则 是f(x)的一个周期.7、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.1． 证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m])(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1x f x fx f x f x fm x f m x f -=+--+-+-=+++--= 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x) 所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x), 求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b)证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x)＝f(b －(x －b)) ＝f(b ＋(x －b))＝f(x) ∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得 所以，2|a －b|是f(x)的周期 例题应用 1、已知()1+x f 是偶函数，则函数()x f y 2=的图象的对称轴是（ ）A.1-=x B. 1=x C . 21-=x D. 21=x2、函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .3≥aB. 3-≤aC. 5≤aD. 3-=a3、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=252sin πx y的图象的一条对称轴方程是（ ）A.2π-=x B.4π-=x C.8π=x D.45π=x4、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)5、函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 2-C. 2D. 1-6、如果直线3-=x与2=x 均为曲线()x f y =的对称轴且()01=f 则()11f 的值为 。