《高等代数》电子教案
- 1 - 第七章 线性变换
一．综述
在高中数学和数学分析课中曾学习过函数的概念,那是把函数的定义域定义在某数集（特别是实数
域）上.我们同样可以将函数定义在向量空间上来研究.
在第五章矩阵代数,第六章向量空间以及第一章映射的基础上,进一步讨论向量空间上的一些特殊
的简单的函数——数量函数和向量函数,它们都是线性代数的主要研究对象,并是其他科学中常用的函数.
本章只研究一种简单的向量函数——线性变换.
教材内容大致可分为四部分：第一部分主要讨论向量空间的线性变换的概念、性质,以及一个变换
是否为线性变换的判别；第二部分主要讨论线性变换的运算和运算法则；第三部分主要讨论n
维向量空
间的线性变换的确定、在某基下的矩阵,由此建立线性变换集合与数域F
上所有n
阶方阵集合的一一对
应且为同构对应；向量与像的坐标变换公式,线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；第四部分主要讨
论线性变换的本征值、本征向量的概念与求法,进一步推导得出矩阵相似对角形的条件.
这四部分是紧密联系的,前部分内容都为后部分内容的理论基础,而后部分内容又是前部分内容的
巩固与发展,由此逐部分的发展和推
广得到完整的线性变换概念、性质和有关计算技能,为下面讨论（若当型）欧氏空间奠定了基础.
二．教材重点
线性变换的定义、性质,线性变换的运算和算律,n
维向量空间的线性变换在某基下的矩阵,两者之间
的内在联系,矩阵相似对角形的判定及有关对象的求法,向量空间分解为线形变换的根子空间直和的定理
的证明.其中线性变换的运算,它和矩阵之间的联系,矩阵的特征根与特征向量的求法,是学好本章的基础.
三．难点
抽象的线性变换的概念、加法、乘法的定义,线性变换集合与矩阵集合之间的对应关系使得抽象的
线性变换的讨论具体为矩阵的讨论,因而在教学中要从熟知的解析几何实例引入,运用具体模型进行分析,
由已知引到未知,指导学生正确地抽象出线性变换概念；在讲特征根、特征向量时,要注意演示具体例子,
第 7 章
线性变换
7.1 知识点归纳与要点解析
一．线性变换的概念与判别
1. 线性变换的定义
数域
P 上的线性空间
V
的一个变换
称为线性变换， 如果对
V
中任意的元素
,
和数
域 P 中的任意数
k ，都有：
， k
k
。
注： V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2. 线性变换的判别
设 为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么：
为 V 的线性变换 k l k l , , V , k,l P
3. 线性变换的性质
设 V 是数域 P 上的线性空间， 为 V 的线性变换， 1 , 2 , , s , V 。
性质 1. 0 0, ;
性质 2. 若 1 , 2 , , s 线性相关，那么 1 ,2 , , s 也线性相关。
性质 3. 设线性变换 为单射，如果 1 , 2 , , s 线性无关， 那么 1 , 2 ,,s
也线性无关。
注： 设 V 是数域 P 上的线性空间， 1, 2 , , m ， 1, 2, , s 是 V 中的两个向量组，
如果：
1 c11 1 c12 2 c1s s
2 c21 1 c22 2 c2s s
m cm1 1cm2 2 cms s
记：
c11 c21 cm1
1, 2 , , m 1, 2 , c12 c22 cm2
, s
c1s c2s cms
于是，若 dim V n ， 1, 2 , , n 是 V 的一组基， 是 V 的线性变换， 1 , 2 , , m 是
V 中任意一组向量，如果：
1 b11 1 b12 2 b1n n
第七章 线性变换
计划课时：24学时.( P 307—334)
§7.1 线性变换的定义及性质（2学时）
教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质
教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质
本节内容可分为下面的两个问题讲授.
一. 线性变换的定义（P307）
注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。
二. 线性变换的性质
定理7.1.1（P309）
定理7.1.2 （P309）
推论7.1.3 （P310）
注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。
2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。
作业：习题七 P330 1，2，3.
§7.2 线性变换的运算（4学时）
教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件
教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件
本节内容分为下面四个问题讲授：
一. 加法运算
定义1 （P310）
注意：＋ 是V的线性变换.
二. 数乘运算
定义2 （P311）
显然k 也是V的一个线性变换.
定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.
三. 乘法运算
(1). 乘法运算
定义3 （P311-312）
注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换.
(2). 线性变换 的方幂
四. 可逆线性变换
定义4 （P313）
线性变换可逆的充要条件
例2 （P314）
线性变换的多项式的概念 (阅读内容).
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第七章线性变换与相似矩阵
习题7.1
习题7.1.1判别下列变换是否线性变换?
（1 ）设「是线性空间「中的一个固定向量，
解：当 ■时， ■-. - 显然是’的线性变换;
当小时，有 ■ ，则
□ l闵+觀h 6逐）+e（碣） ，即此时■不是"的线性变换。
T\a}
解：当 「时， 显然是「的线性变换;
T （闵+觀縊讥坷）+丁（％ 「，即此时L不是「的线性变换。
（2）在匚中，
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=（心勾+
解：「不是：的线性变换。因对于
叩），所以贰加）黑如©）。 J
-f
（□）
解：是二的线性变换。设 ■-
T （硏丁（E = （2xj -鬲圖+画尼啊 /V — vG — （10,0） € 护 有 1!:"'二!
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（3）在•［；中，
（［） 」- ,
解：0是H用的线性变换：设 貳⑴居（Q它月旳.，贝U
直（/a）+欢））=/（兀+i）+gd+i）=
（u）处『姦訂芻》,其中•是；中的固定数;
解：「-是；一的线性变换：设釁鑰廉8.詰圜，则
⑺（7U）+g⑴）=/W+gfe）=次/⑴）卡以gO）），
◎（射妙-妙厲）-如y（幼伏訂。
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（4）把复数域 ’看作复数域上的线性空间， 步②匕加，其中「是一的
共轭复数;
解：「不是线性变换。因为取 兴习，「-7时，有 *鸞日關
上（7（仕）=滋二i 即0（k&）主去曲空）
（5）在：，■ 中，设■与:-是其中的两个固定的矩阵, - U Z&1
