线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。分别为：
对换变换，即i⾏与j⾏进⾏交换，记作ri <->rj;
数乘变换，⾮零常数k乘以矩阵的第i⾏，记作kri;
倍加交换，矩阵第i⾏的k倍加到第j⾏上，记作rj + kri
对应关系换成列，即为三种初等列变换。矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
12345
02456
00007
00000
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−1
02456
00007
00000
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−1
0125/23
00007
00000
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换
10−1−10
0125/20
00007
00000
1/7 r3 变换
10−1−10
0125/20
00001
00000
对于矩阵Amxn，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
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石家庄经济学院本科生毕业论文
I 摘 要
在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。
本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。
关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组
ABSTRACT
Matrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in
mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in
linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the
matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix,
the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a
variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more
湖北工程学院线性代数练习册 学号 姓名
1 习题3.1矩阵的初等变换
一、用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵
(1)
021123211 ;
(2)
34732038234202173132.
二、试利用矩阵的初等变换，求方阵321315323的逆矩阵.
湖北工程学院线性代数练习册 学号 姓名
2 三、 设113122214A,
132231B，试用初等变换的方法求X使BAX.
四、设111222333abcAabcabc，若111222333acbAPacbacb，求矩阵P.
线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。
* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？
* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？
* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？
* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？
* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？
* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？
* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？
