7.3线性变换的矩阵

第七章 线性变换

学习单元3： 线性变换的矩阵

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 导学

学习目标：

理解线性变换在一个基下的矩阵的概念；会计算线性变换在一个基下的矩阵；理解线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；掌握矩阵等价与矩阵相似的区别与联系。

学习建议：

线性变换在一个基下的矩阵建立了线性变换与矩阵的对应关系，类似于平面上点与坐标的对应关系，有了这种对应关系，可以让线性变换问题与矩阵问题互相转化。建议大家多看书，认真理解概念与结论。

重点难点：

重点：深刻理解线性变换在一个基下的矩阵。

难点：理解线性变换在两个不同基下的矩阵的相似关系。

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 学习内容

一、线性变换的确定

设V为P上n维线性空间，1,,nL为V的一个基，对任何11,nnVxxL，()ALV，则11()()()nnAxAxAL。即只要知道了1(),()nAAL，则()A也就确定了。

命题1 设1,,nL为线性空间V的一个基，,()ABLV，则A = B当且仅当()(),1,2,,iiABinL。

命题2 设1,,nL为线性空间V的一个基，1,,nL为V中一个向量组，则存在()ALV，使 (),1,2,,iiAinL。

定理 设1,,nL 为V的一个基，1,,nL为V中任意n个向量，则存在唯一的()ALV，使

(),1,2,,iiAinL。

例 设V为P上n维线性空间，()ALV，A不可逆，证明存在V的非零线性变换B，使得BA = 0。

注：由定理可知P上n维线性空间V的线性变换的集合()LV与V上n元向量组之集合间有一一对应关系。

二、线性变换的矩阵

§7.3 线性变换的矩阵

教学目的 本节需掌握线性变换关于基的矩阵及可逆线性变换的逆变换的矩阵，向量与

()关于同一个基的坐标之间的关系，线性变换的同构即L(V)与Mn(F)的同构，同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系

教学难点 线性变换的同构

教学重点 变换关于基的矩阵，可逆线性变换的逆变换的矩阵，向量与 ()关于同一个基的坐标之间的关系，同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系

教 学 过 程 备 注

教学内容 1．线性变换关于基的矩阵

设V是F上n维向量空间，是V的一个线性变换，{1,2 , …,n}是V的一个基. V中的任一向量可表示为

＝a11＋a22＋…＋ann，

 ()＝a1 (1)＋a2 (2) ＋…＋an (n).

如果我们知道了 (1)， (2), …,  (n), 以及在基{1, 2,…, n}下的坐标，那么,向量在下的象 ()也就可以求出来了. 由于

 (1)， (2), …,  (n)也是V中的向量，它们都可以唯一地由基{1, 2,…,

n}线性表示，设为

 (1)＝a111＋a212＋…＋an1n ,

 (2)＝a121＋a222＋…＋an2n ,

……………………………… (1)

 (n)＝a1n 1＋a 2n2＋…＋annn .

令

A＝nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 ,

规定

 (1,2 ,…,n)＝( (1),  (2) ,…,  (n) )

则向量等式组(1)式可表示成

 (1,2 ,…,n)＝(1,2 ,…,n)A,

也可以表示成

( (1),  (2) ,…,  (n) )=(1,2 ,…,n)A .

第七章 线性变换

计划课时：24学时.( P 307—334)

§7.1 线性变换的定义及性质（2学时）

教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质

教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质

本节内容可分为下面的两个问题讲授.

一. 线性变换的定义（P307）

注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。

二. 线性变换的性质

定理7.1.1（P309）

定理7.1.2 （P309）

推论7.1.3 （P310）

注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。

2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。

作业：习题七 P330 1，2，3.

§7.2 线性变换的运算（4学时）

教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件

教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件

本节内容分为下面四个问题讲授：

一. 加法运算

定义1 （P310）

注意：＋ 是V的线性变换.

二. 数乘运算

定义2 （P311）

显然k 也是V的一个线性变换.

定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.

三. 乘法运算

(1). 乘法运算

定义3 （P311-312）

注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换.

(2). 线性变换 的方幂

四. 可逆线性变换

定义4 （P313）

线性变换可逆的充要条件

例2 （P314）

线性变换的多项式的概念 (阅读内容).

！！　Ｑ：型　Ｓｃｉｏｎｃｏ　ｅｎｄ　Ｔｅｔｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ　

相似矩阵与线性变换①　

周忠国　（河海大学理学院江苏南京２１　００９８）　研究报告　

摘要：研究向量空间的线性变换时，相似矩阵就会很自然地出现。在选定一担基后，线性变换就和矩阵建立了一一对应关系。相似矩阵是同一　线性变换在不同基下的矩阵。因此如果从线性变换的角度理解两个相似矩阵之间的关系，并由此可以容易的解释两个相似矩阵的特征值是相同　

的，但是它们的特征向量不一定相同。对于初学者来说，由于学时较少，很少会详细地讲解线性变换的内容，因此我们希望能够用比较简洁，初等　

的方式讲解线性变换以及它与相似矩阵的这些关系。从而应用线性变换的概念理解相似矩阵的特征值和特征向量。　

关键词：相似矩阵　特征向量　特征值　线性变换　中图分类号；Ｏ１５　文献标识码：Ａ　文章编号：ｌ６７４一ｏ９８ｘ（２０１５）０８（ｃ）一００２４—０２　

Ｓｉｍｉｌａｒ　Ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　

Ｚｈｏｕ　Ｚｈｏｎｇｇｕｏ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｈｅｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ。Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｊｉａｎｇｓｕ。２１００９８，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｍａｔｒｉｘ　ａｐｐｅａｒｓ　ｗｈｅｎ　ｗｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｎ　ｖｅｃｔｏｒ　ｓｐａｃｅ．　Ａｆｔｅｒ　ｆｉｘｉｎｇ　ａ　ｂａｓｉｓ　

ｏｆ　ｔｈｅ　ｖｅｃｔｏｒ　ｓｐａｃｅ．ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｐｕｔ　ｉｎｔｏ　Ｏｎｅ—ｔ０—０ｎｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ．Ｈｅｎｃｅ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　

ｐｏｉｎｔ　ｏｆ　ｖｉｅｗ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｉｔ　ｉｓ　ｔｏ　ｈｅｌｐｆｕｌ　ｔｏ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｍａｔｒｉｃｅ　ａｎｄ　ｅｘｐｌａｉｎ　ｔｈｅｉｒ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ