7.3线性变换的矩阵

§3 线性变换的矩阵

设V是数域P上n维线性空间，12,,,n是V的一组基，现在我们来建立线性变换与矩阵的关系。

空间V中任一向量可以被基12,,,n表示出，即有关系式

1122nnxxx， （1）

其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标。由于线性变换保持线性关系不变，因而在的象A与基的象12,,,nAAA之间也必然有相同的关系：

)(2211nnxxxAA

)()()(2211nnAxAxAx （2）

上式表明，如果我们知道了基12,,,n的象，那么线性空间中任意一个向量的象也就知道了，或者说

1．设12,,,n是线性空间V的一组基。如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即

niBAii,,2,1,，

那么A=B。

证明 A与B相等的意义是它们对每个向量的作用相同。因此，我们就是要证明对任一向量，等式AB成立。而由（2）及假设，即得

BBxBxBxAxAxAxAnnnn22112211 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。下面我们进一步指出，基向量的象完全可以是任意的，也就是说，

2．设12,,,n是线性空间V的一组基。对于任意一组向量12,,,n一定有一个线性变换A使

,1,2,,iiAin （3）

证明 我们来作出所要的线性变换。设

niiix1 是线性空间V的任意一个向量，我们定义V的变换A为

1niiiAx （4）

下面来证明变换A是线性的。

在V中任取两个向量，

niiiniiicb11,。

于是

niiiicb1)(，

Pkkbkniii,1。

按所定义的A的表达式（4），有 AAcbcbAniiiniiiniiii111)()(

kAbkkbkAniiiniii11)( 因此，A是线性变换。再来证明A满足（3）式。因为

,00100111niiini,,2,1

iniiiiA00100111， ni,,2,1

综合以上两点，得

定理1 设12,,,n是线性空间V的一组基，12,,,n是V中任意n个向量。存在唯一的线性变换A使

niAii,,2,1, 有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系。

定义2 设12,,,n是数域P上n维线性空间V的一组基，A是V中的一个线性变换，基向量的象可以被基线性表出：

.,,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaAaaaAaaaA 用矩阵来表示就是

nnAAAA,,,,,,2121

An,,,21，

其中

nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211

矩阵A称为A在基12,,,n下的矩阵。

例 设12,,,n是()nnm维线性空间V的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组基12,,,n。指定线性变换A如下：

,0,iiiAA 当 .,,1,,,2,1nmimi

如此确定的线性变换A称为对子空间W的一个投影。不难证明

2AA。

投影A在基12,,,n下的矩阵是

00111m行

这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到数域P上的nn矩阵的一个映射。前面的结论1说明这个映射是1-1的，结论2说明这个映射是映上的。换句话说，我们在这二者之间建立了一个1-1对应。这个对应的重要性表现在它保持运算，即有

定理2 设12,,,n是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线形变换公式（5）对应一个nn矩阵。这个对应具有以下的性质：

1） 线性变换的和对应矩阵的和；

2） 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；

3） 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；

4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。

证明 设A，B是两个线性变换，它们在基12,,,n下的矩阵分别是A，B，即

A（12,,,n）=（12,,,n）A，

B（12,,,n）=（12,,,n）B。

1）由（A+B）（12,,,n）=A（12,,,n）+B（12,,,n）

1212(,,,)(,,,)nnAB

=（12,,,n）（A+B）。

可知，在基12,,,n下，线性变换A+B的矩阵是A+B。

2） 相仿地，

（AB）（12,,,n）=A（B（12,,,n））

=A（（12,,,n）B）=（A（12,,,n））B

=（12,,,n）AB。

因此，在基12,,,n下，线性变换AB的矩阵AB。

3） 因为1212(,,,)(,,,)nnkkkE。

所以数乘变换k在任何一组基下都对应于数量矩阵kE。由此可知，数量乘积kA对应于矩阵的数量乘积kA。

4） 单位变换E对应于单位矩阵，因之等于

AB=BA=E

与等式

AB=BA=E

相对应，从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且逆变换与逆矩阵对应。

利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的象。

定理3 设线性变换A在基12,,,n下的矩阵A，向量在基12,,,n下的坐标是（12,,,n），则A在基12,,,n下的坐标（12,,,nyyy）可以按公式 nnxxxAyyy2121 计算。

证明 由假设

nnxxx2121,,, 于是

nnxxxAAAA2121,,,

1212n()nxxAx，，，。

另一方面，由假设

nnyyyA2121,,,。

由于12,,,n线性无关，所以

nnxxxAyyy2121。

线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的。一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵。为了利用矩阵来研究线性变换，我们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的。

定理4 设线性空间V中线性变换A在两组基

12,,,n， （6）

12,,,n （7）

下的矩阵分别为A和B，从基（6）到（7）中的过渡矩阵是X，于是1BXAX。

证明 已知

AAAAnn),,,(),,,(2121，

BAAAnn),,,(),,,(2121， Xnn),,,(),,,(2121。

于是

),,,(),,,(2121nnAAAA

.),,,(),,,(),,,()],,,([]),,,[(12121212121AXXXXAAAXAXAnnnnn 由此即得

1BXAX。

定理4告诉我们，同一个线性变换在不同基下面的矩阵是相似的，这个基本关系在以后的讨论中是重要的。

定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

证明 前一部分已经为定理4证明。现在证明后一部分。设n级矩阵A和B相似，A可以看做是n维线性空间V的一个线性变换A在基12,,,n先的矩阵。因为1BXAX令

Xn),,,(),,,(2121。

显然，12,,,n也是一组基，A在这组基的矩阵就是B。

如果 111122,BXAXBXAX，那么

11212(),BBXAAX

11212BBXAAX

由此可知，如果1BXAX，且f(x)是数域P上一多项式，那么

1()()fBXfAX。

以上事实的证明留给读者。利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算。

例1 设B是数域P上一个二维线性空间12,是一组基，线性变换A在12,下的矩阵是

2110。

现在来计算A在V的另一组基12,下的矩阵，这里