高考数学一轮复习 讲义三角函数图像与性质 学生

课题：三角函数图像与性质

知识点：

1．正弦、余弦、正切函数的图像

2．正弦、余弦、正切函数的性质

函数性质 sinxy cosxy tanxy

定义域 R R Zkkxx,2

图像

值域 1,1- 1,1- R

对称性 对称轴：Zkkx2

对称中心：Zkk0, 对称轴：zkkx

对称中心：(,0)2k 无对称轴

对称中心：Zkk0,2

周期 2 2 

奇偶性 奇 偶 奇

单调性 单调递增区间

Zkkk22,22

单调递减区间

Zkkk232,22 单调递增区间

Zkkk2,2

单调递减区间

Zkkk2,2 单调递增区间

Zkkk)2,2(

最值 当22kX时，y的最大值：1；22kX时，y的最小值：1，其中Zk 当kx2时，y的最大值：1；当kx2时，y的最小值：1，其中Zk 无最大值，无最小值

【注1】

用“五点法”作图应抓住四条：

①将原函数化为sinyAxh0,0A或cosyAxh0,0A的形式； ②求出周期2T；③求出振幅A；

④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．

【注2】

1．三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图像来求解．

2．三角函数值域的不同求法

（1）利用sin x和cos x的值域直接求；

（2）把所给的三角函数式变换成y＝A sin（ωx＋φ）的形式求值域；

（3）把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；

（4）利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域．

【注3】

1．求形如sinyAx或cosyAx （其中A≠0，0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x （0）”视为一个“整体”；②A>0（A<0）时，所列不等式的方向与sinyx （xR），cosyx （xR）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．

2．如何确定函数sin()(0)yAxA当0时函数的单调性

对于函数sin()yAx求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()yAx的形式，然后求其单调递增区间，应把x放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x放在正弦函数的递增区间之内．

3．求函数sin()yAx （或cos()yAx，或tan()yAx）的单调区间的步骤：

（1）将化为正．

（2）将x看成一个整体，由三角函数的单调性求解．

4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“kZ”． 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．

【注4】

先化成sin)yAxB（的形式再求解．其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．

【注5】 1． 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()fx；最后比较()fx和()fx的关系，如果有()fx=()fx，则函数是偶函数，如果有()fx=()fx，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数．

2．如何判断函数()fx的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()fx的奇偶性，常见的结论如下：

（1）若sin()yAx为偶函数，则有()2kkZ;若为奇函数则有()kkZ；

（2）若cos()yAx为偶函数，则有()kkZ;若为奇函数则有()2kkZ；

（3）若tan()yAx为奇函数则有()kkZ．

【注6】

1．求三角函数的周期的方法

（1）定义法：使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()fxTfx．利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；

（2）公式法：()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是2||T，()tan()fxAx的周期为T．要特别注意两个公式不要弄混；

（3）图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；

（4）绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定． 如xyxysin,sin2的周期都是, 但sinyxcosx的周期为2，

而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626yxyx，|tan|yx的周期不变．

2．使用周期公式，必须先将解析式化为sin()yAxh或cos()yAxh的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T，正切函数的最小正周期公式是T；注意一定要注意加绝对值． 3．对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．

典型例题

例1下列函数中最小正周期为的是（ ）

A．sinyx B．sinyx C．tan2xy D．cos4yx

例2函数π()sin(2)3fxx的最小正周期为（ ）

A．4π

B．2π C． π

D．π2

例3已知直线π6x是函数πsinω0ω86fxx（）图象的一条对称轴，则f（x）的最小正周期为（ ）

A．π4 B．π2 C．π D．2π

例4已知函数sin2fxx，则fx是（ ）

A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数

C．周期为2的奇函数

D．周期为2的偶函数

例5函数π26fxsinx的图象的一条对称轴是（

）

A．π3x B．π12x C．π4x D．π3x

例6已知函数π()3(2)6fxsinx，则下列说法正确的是（ ）

A．图象关于点π(0)6，对称

B．图象关于点π(0)3，对称

C．图象关于直线π6x对称 D．图象关于直线π3x对称

例7函数ππ448fxtanx的单调递增区间是（

）

A．534422kkkZ， B．354422kkkZ，

C．538822kkkZ， D．358822kkkZ， 例8设函数sin2fxx，xR，若0,，函数fx是偶函数，则的值为（ ）

A．12或1112 B．6或56 C．4或34 D．3或23

例9函数π3sincos3fxxx的单调递减区间为（ ）

A．π4π|π,π,33xkkkZ B．π2ππ,π,63kkkZ

C．π4π2π,2π33kkkZ， D．π2π2π,2π,63kkkZ

例10下列坐标所表示的点不是函数tan()26xy的图象的对称中心的是 （ ）

A．03， B．503， C．203， D．403，

例11函数π223fxsinx的一个单调递减区间是（ ）

A．5π11π66， B．π5π1212， C．5π11π1212， D．π5π66，

例12函数()sin,[,0]3fxxx的单调递增区间是（ ）

A．5,6 B．5,66 C．,03 D．,06

例13函数πtan23fxx的图象的一个对称中心为（ ）

A．π012， B．7π012， C．5π012， D．π012，

例14函数 sin23fxx 的图象的对称轴方程可以为（ ）

A．12x B．512x C．3x D．6x

例15若π2x是函数()ω(ω0)fxcosx图象的对称轴，则()fx的最小正周期的最大值是（ ）

A．π B．2π C．π2 D．π4

例16函数π3fxsinx的单调递增区间为（ ） A．π5π2π2π66kk，，Zk B．π5πππ66kk，，Zk

C．5π11π2π2π66kk，，Zk D．5π11πππ66kk，，Zk

例17已知()sin(2),,22fxx，且6fx为偶函数，则φ=________．

例18已知函数π2ω3fxsinx（ω0）的最小正周期为π．

（1）求π6f的值；

（2）求函数fx的单调递减区间．

例19已知函数π226fxsinx，Rx．

（1）若03fx，求0x的值；

（2）求fx的单调递增区间；

（3）当π5π612x，时，求fx的最大值和最小值．

举一反三

1．函数π3cos26fxx的一条对称轴是（ ）

A．π6x B．π12x C．π4x D．π3x

2．下列直线中，函数π76fxsinx的对称轴是（ ）

A．π3x B．2π3x C．π6x D．π2x

3．已知函数π2ω10ω56fxsinx的图像经过点8π315，，则fx的最小正周期为（ ）