三角函数的图象与性质课件高三数学一轮复习

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2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题三第一讲三角函数的图象与性质

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第一讲 三角函数的图象与性质

高考考点 考点解读

三角函数的定义域、值域、最值 1.求三角函数的值域或最值

2．根据值域或最值求参数

三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性 1.根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性

2．根据单调性、奇偶性、周期性求参数

三角函数的图象及应用 1.考查三角函数的图象变换

2．根据图象求解析式或参数

备考策略

3 / 28 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：

(1)加强对三角概念的理解.会求三角函数的值域或最值．

(2)掌握三角函数的图象与性质.能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等．

(3)掌握三角函数图象变换.已知图象求参数.“五点法”作图．

预测20xx年命题热点为：

(1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题．

(2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间．

(3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式．

Z知识整合hi shi zheng he

1．三角函数的图象与性质

函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx

图象

定义域 R R {x|x≠π2＋kπ.k∈Z}

值域 [－1,1] [－1,1] R

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

最小

正周期 2π 2π π

单调性 在 [－π2＋2kπ.π2＋2kπ](k∈Z)上递增． 在

[－π＋2kπ.2kπ](k∈Z)上递增．在！！！！ [2kπ.π＋2kπ](k∈Z)上递减 在 (－π2＋kπ.π2＋kπ)(k∈Z)上递增

4 / 28 在 [π2＋2kπ.3π2＋2kπ](k∈Z)上递减

最值 当x＝π2＋2kπ.k∈Z时.y取得最大值1.

三角函数的图像与性质

教学目标 1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；

2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；

3．结合具体实例，了解y=Asin（wx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响。

命题走向 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

预测2017年高考对本讲内容的考察为：

1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；

2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+φ）的图象及其变换；

教学准备 多媒体课件

教学过程

一．知识梳理：

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx y=tanx322-32--2oyxy=cotx3222--2oyx

2．三角函数的单调区间：

xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，

递减区间是23222kk，)(Zk；

三角函数的图象和性质·典型例题

解：在单位圆中，作出锐角α在正弦线MP，如图2-9所示

在△MPO中，MP+OM＞OP=1即MP+OM＞1

∴sinα+cosα＞1

于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分

k∈Z}

【说明】 学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式定出角的范围；③在[0，2π]中找出角的代表；④求交集，找单位圆中重叠的部分；⑤写出角的范围的表达式，注意加周期．

【例3】 求下列函数的定义域：

解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-1≥0

由单位圆，如图2-12所示

k∈Z}

【说明】 求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．

(4)为使函数有意义，需满足：

取k=0和-1时，得交集为-4＜x≤-π或0≤x≤π ∴函数的定义域为(-4，-π]∪[0，π]

【说明】 求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．

【例4】 求下列函数的值域：

∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}

∵1+sinx+cosx≠0 ∴t≠-1

【说明】 求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要注意函数的概念的指导作用，注意利用正、余弦函数的有界性．

【例5】 判断下列函数的奇偶性：

【分析】 先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性．

∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)

1 第三章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象与性质练习 理

[A组·基础达标练]

1．[2015·唐山期末]函数f(x)＝1－2sin2x2的最小正周期为( )

A．2π B．π

C.π2 D．4π

答案 A

解析 ∵f(x)＝1－2sin2x2＝cosx，∴f(x)的最小正周期T＝2π1＝2π，故选A.

2．[2016·西安八校联考]若函数y＝cosωx＋π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为( )

A．1 B．2

C．4 D．8

答案 B

解析 由题知πω6＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)⇒ωmin＝2，故选B.

3．[2015·景德镇一模]使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数的φ值可以是( )

A.π4 B.π2

C．π D.3π2

答案 C

解析 要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z，故选C.

4．[2015·漳州一模]若函数y＝2cosωx在区间0，2π3上单调递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )

A．2 B.12

C．3 D.13

答案 B

解析 由y＝2cosωx在0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f2π3＝1，即2cos2π3ω＝1，即cos2π3ω＝12.经验证，得出选项B符合．

5．[2015·哈尔滨二模]若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有fπ8＋t＝ 2 fπ8－t，且fπ8＝－3，则实数m的值等于( )

A．－1 B．±5

C．－5或－1 D．5或1

答案 C

解析 由fπ8＋t＝fπ8－t得函数的对称轴为x＝π8.故当x＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m＝－3或2＋m＝－3，即m＝－1或－5，故选C.