第四章从经典物理学到量子力学

第四章 从经典物理学到量子力学

§4 - 1 从经典物理学到前期量子论

到19世纪末，经典物理学已经建立了比较完整的理论体系。

力学

分析力学，存在海王星的预言及其被证实

电磁学 麦克氢原子光谱斯韦方程组，预言了电磁波的存在

热力学+统计物理学

量子力学的研究对象：微观粒子。

量子理论的发展轨迹：

能量子：黑体辐射

光量子：光电效应

固体比热

614 氢原子光谱

一 黑体辐射 普朗克的能量子假说

( 1 ) 热辐射的基本概念

热辐射：一切物体的分子热运动将导致物体向外不断地发射电磁波。这种辐射与温度有关。温度越高，发射的能量越大，发射的电磁波的波长越短。

平衡热辐射或平衡辐射:如果物体辐射出去的能量恰好等于在同一时间内所吸收的能量，则辐射过程达到了平衡。

单色辐射出射度(简称单色辐出度，用)(TM表示)：在单位时间内从物体表面单位面积上所辐射出来的，单位波长范围内的电磁波能量，即

d)(d)(TMTM， (4.

615 1)

where dM ( T ):在单位时间内从物体表面单位面积上所辐射出来的，波长在 到+d 范围内的电磁波能量。

辐射出射度(简称辐出度，在单位时间内从物体表面单位面积上辐射出来的各种波长电磁波能量的总和)

0d)()(d)(TMTMTM. (4.

2)

单色吸收比),(T和单色反射比),(T：在温度为T时，物体吸收和反射波长在 到 +

d 范围内的电磁波能量，与相应波长的入射电磁波能量之比，分别称为该物体的单色吸收比),(T和单色反射比),(T。对于不透

616 明的物体，有

1),(),(TT. (4. 3)

( 2 ) 基尔霍夫定律和黑体

基尔霍夫辐射定律: 对每一个物体来说，单色辐出度与单色吸收比的比值),(/)(TTM，是一个与物体性质无关(而只与温度和辐射波长有关)的普适函数。即

),(),()(),()(2211TITTMTTM, (4.

4)

(,)?IT 引出黑体的概念

推论：如果一个物体是良好的吸收体，必定也是一个良好的辐射体。

绝对黑体（简称黑体）：如果物体在任何

617 温度下，对于任何波长的入射辐射能的吸收比都等于1，即),(0T= 1。黑体既是最好的吸收体，又是最好的辐射体。

对黑体，基尔霍夫辐射定律（用)(0TM是黑体的单色辐出度）

)(),()(TMTTM. (4.

5)

与 ),(),()(),()(2211TITTMTTM

比较可见

),()(0TITM,

黑体单色辐出度)(0TM是研究热辐射的一个中心问题。

618 自然界中的物体都不是绝对黑体。即使物体表面熏了煤烟，最多也只能吸收98 %左右的入射电磁波能量。

绝对黑体的模型：用不透明材料(例如金属)制成一个空心容器，器壁上开一个很小的孔O.如果小孔O的面积远小于容器内表面的面积，那么反射次数N就会很大，这意味着射入空腔小孔O的电磁波能量几乎全部被吸收，吸收比近似为1.空腔中的电磁辐射常称为黑体辐射。

在常温下所有物体的辐射都很弱，由于黑色物体或空腔小孔的反射又极少，故看起来它们很暗；然而在高温下，由于黑体的辐射最强，故看起来它们最明亮。

( 3 ) 黑体辐射的基本规律

斯特藩玻耳兹曼定律：黑体的辐射出射度与黑体绝对温度的四次方成正比（来自实验和理论）

40)(TTM,

(4. 6)

斯特藩常量

图4 - 1 带有小孔的空腔

619  = 5. 670 51  108 W  m2  K4.

维恩位移律（从热力学理论导出，黑体辐射光谱中辐射最强的波长m与黑体温度T之间满足关系）

bTm,

(4. 7)

常量为

b = 2. 897 756  103 m  K .

620 图19 – 2表示在一定的温度下，黑体的单色辐出度)(0TM按波长分布的实验曲线：

黑体的辐出度M0( T )表示每一条曲线下的总面积；

随着温度的升高，曲线下面积则以T 的四次方在增大；

随着温度的升高，每条曲线的峰值波长m随T1成比例地减小，即温度越高，单色辐出度的最大值越向短波方向移动。

图4- 2 黑体单色辐出度)(0TM的实验曲线

621

( 4 ) 经典物理学所遇到的困难

如何从理论上导出黑体单色辐出度0()MT的可与实验曲线相符的数学表达式？

1 ) 维恩公式：

维恩从热力学普遍理论的考虑以及实验数据的分析，由经典统计物理学导出的半经验公式：

TccTM2e)(51. (4.

8)

其中c1和c2是两个需要用实验来确定的经验

622 参量。

在长波波段维恩公式与实验曲线有明显的偏离（如图4- 3所示）。

图4 - 3 黑体辐射公式与实验曲线

623 2 ) 瑞利金斯公式：

瑞利和金斯根据经典电动力学和统计物理学理论，得出了一个黑体辐射公式

402)(TkcTM,

(4. 9)

其中常量k = 1.380 6581023 J/K称为玻耳兹曼常量。瑞利金斯公式（4. 9)只适用于长波波段；而在紫外区与实验曲线明显不符，其短波极限M0( T )  ，这就是物理学历史上所谓的“紫外灾难”。

( 5 ) 普朗克的能量子假说

普朗克把代表短波方向的维恩公式和代表长波方向的实验结果综合在一起,得到了一个经验公式

1e1)(/5102TccTM, (4.

10)

称为普朗克黑体辐射公式。

624 一方面由于普朗克公式与实验的惊人符合，另一方面由于公式十分简单，人们相信这里必定蕴藏着一个非常重要但尚未被人们揭示出来的科学原理。

普朗克假定：对于一定频率的电磁辐射，物体只能以h为单位发射或吸收它，其中h是一个普适常量。换言之，物体发射或吸收电磁辐射只能以“量子”方式进行，每个能量子的能量为

h, (4.

11)

其中h称为普朗克常量，1986年推荐值

346.626075510Jsh

普朗克公式(4. 10)中的第一辐射常量c1和第二辐射常量c2为：

21621mW109774741.32chc, (4.

12)

Km69387014.0/2kchc. (4.

625 13)

经典物理学完全不容许这种能量不连续的概念。

二 光电效应 爱因斯坦的光量子论

( 1 )

光电效应的实验规律

金属及其化合物在电磁辐射照射下发射电子的现象

研究光电效应的一种实验装臵：。在光电管的阳极A和阴极K之间加上直流电压U，当用单色光照射阴极K时，阴极上就会有光电子逸出，它们将在加速电场的作用下飞向阳极A而形成电流I，称为光电流。（图中A、K应调换）

图4 - 4 光电效应的实验装臵

626

实验规律：

1 ) 饱和光电流Is与入射光强成正比。

图4 - 5 ( a )所示的伏安特性曲线表明，光电流I随正向电压U的增大而增大，并逐渐趋于其饱和值Is；而且，饱和电流Is值的大小与入射光强成正比。

即：单位时间内从金属表面逸出的光电子数目与入射光强成正比。

627

2 ) 光电子的最大初动能随入射光频率的增加而增加，与入射光强无关。

光电子的最大初动能随入射光频率的增加而线性地增加。

图4 - 5 光电效应的实验结果( 1 )

628 3 ) 对于每一种金属，只有当入射光频率大于一定的红限频率0时，才会产生光电效应。

表4 - 1 金属的逸出功和红限

金属 逸出功

A / eV 截止频率和波长

0/ (1014 Hz) 0 / nm 波段

铯 Cs 1. 94 4. 69 639 红

铷 Rb 2. 13 5. 15 582 黄

钾 K 2. 25 5. 44 551 绿

钠 Na 2. 29 5. 53 541 绿

钙 Ca 3. 20 7. 73 387 近紫外

铍 Be 3. 90 9. 40 319 近紫外

汞 Hg 4. 53 10. 95 273 远紫外

金 Au 4. 80 11. 60 258 远紫外

图4 - 6 光电效应的实验结果( 2 )