量子力学第四章

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第四章

量子力学中的力学量

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第四章 目 录

§4.1表示力学量算符的性质 .......... 3

(1) 一般运算规则 ............................ 3

(2) 算符的对易性 ............................ 5

(3) 算符的厄密性（Hermiticity） ............. 7

§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 ... 10

(1) 厄密算符的本征值和本征函数 ........................ 10

(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 .................... 12

§4.3 连续谱本征函数“归一化” ............. 15

（1） 连续谱本征函数“归一化” ......................... 15

（2） δ函数 ........................................... 18

（3） 本征函数的封闭性 ................................. 22

§4.4 算符的共同本征函数 .................. 24 (1) 算符“涨落”之间的关系 ............................ 24

(2) 算符的共同本征函数组 .............................. 27

(3) 角动量的共同本征函数组―球谐函数 .................. 28

(4) 力学量的完全集 .................................... 34

§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒

量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） . 36

(1) 力学量的平均值，随时间变化；运动常数............... 36

(2) Vivial Theorem维里定理 ........................... 37

84 第四章 表象理论

4.1 态的表象变换和态的矩阵表示

1．态的表象变换

将F表象中的态函数对力学量算符ˆQ在F表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q表象中的态函数。这就是将F表象中的态函数变换到Q表象中的态函数的方法。为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。

以从r表象变换到Q表象为例。r表象中的态函数为(,)rt[或()r]。设ˆQ的本征值为分立谱Qn，对应的本征函数为()nr。当各Qn都无简并时，(,)rt对()nr的展开式为：

(,)()()nnnrtatr （4.1-1）

若Qn表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n应表示几个对应的量子数的集合。当Qn存在简并时，展开式为：

(,)()()iiinnnrtatr （4.1-2）

其中i为描写简并的角标。下面只讨论无简并的情况。在（4.1-1）式中，an(t)是Qn与t的函数，an(t)相当于a(Qn,t)的简写。当Qn在整个展开系数中变动。由于Qn为分立谱，所以函数关系an(t)-Qn不是连续的。an(t)就是(,)rt变换到Ｑ表象中的态函数。例如，将r表象中的某态函数(,,)r对2ˆL与ˆzL的共同本征函数组(,)lmY展开：

0(,,)()(,)llmlmlmlrCrY （4.1-3）

上式相当于（4.1-1）式中的n表示两个量子数lm的集合。上式中的()lmCr就是在2L与zL共同表象中的态函数。

2．本征态的排序

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第三章 量子力学导论

一、学习要点

1．德布罗意假设：

(1)内容： hE , nkkhp2,

(2)实验验证：戴维孙—革末试验

电子 =1.2262ekkhmEE（nm）

2．测不准关系：2xpx , 2Et；

3．波函数及其统计解释、标准条件、归一化条件

薛定谔方程、定态薛定谔方程、定态波函数、定态

4．量子力学对氢原子的处理

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第三章自测

1．选择题

（1）为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：

A.电子的波动性和粒子性 B.电子的波动性 C.电子的粒子性 D.所有粒子具有二相性

(2)德布罗意假设可归结为下列关系式：

A .E=h， p=h; B.E=，P=; C. E=h ，p=; D. E= ，p=

(4）基于德布罗意假设得出的公式1.226()EeVnm的适用条件是：

A.自由电子，非相对论近似； B.一切实物粒子，非相对论近似；

C.被电场束缚的电子，相对论结果； D带电的任何粒子，非相对论近似

(5）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为（以焦耳为单位）：

A．10-34； B.10-27； C.10-24； D.10-30

2．简答题

（1）波恩对波函数作出什么样的解释？（长春光机所1999）

（2）请回答测不准关系的主要内容和物理实质.（长春光机所1998）

量子力学习题(2009-11-6)

1. (1)A time-independent wave function has the form 22/2()xaxCe. Find C such

that

2()1xdx. (2)Calculate the expectation values 22,,,xxpp for this wave

function.

2. Suppose 1(,)xt and 2(,)xt are solutions of the time-dependent Schordinger

Eq.,

22(,)(,)()(,)2ixtxtVxxttm. Prove that *312(,)(,)xtxtdx is

independent of time t.

3.A particle with mass m is moving in a potential well with depth 0V and width a. (1) Work out

the condition when there is a bounded state with 00EV in the well. (2) Work out the

number of bounded states (N) and express your result with 0V and a.

4.A particle with mass m is moving in a delta shaped well, 0()VVx, where 0V is positive.

Please work out the bounded states, energy eigen-value and its wave function respectively.