3[1].1.1一元一次方程(11月1日)

一元一次方程的解法与应用一、一元一次方程的概念1.1 认识一元一次方程：形如ax + b = 0（a、b为常数，a≠0）的方程称为一元一次方程。

1.2 了解一元一次方程的组成：未知数（变量）、系数（a、b）、常数、等号。

1.3 掌握一元一次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。

二、一元一次方程的解法2.1 公式法：根据一元一次方程的定义，可得方程的解为x = -b/a。

2.2 移项法：将方程中的常数项移到等号另一边，未知数移到等号另一边，得到x = -b/a。

2.3 因式分解法：将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式，根据零因子定律求解。

三、一元一次方程的应用3.1 实际问题：将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。

3.2 线性方程组：由多个一元一次方程构成的方程组，可通过消元法、代入法等求解。

3.3 函数图像：一元一次方程对应的函数为直线，了解直线的斜率、截距等性质。

3.4 几何问题：利用一元一次方程描述几何图形的位置关系，如直线与坐标轴的交点、两点间的距离等。

四、一元一次方程的巩固练习4.1 编写练习题：设计具有实际意义的一元一次方程，让学生运用解法求解。

4.2 判断题：判断给定的一元一次方程是否正确，解释原因。

4.3 改写方程：将给定的一元一次方程改写为不同形式，如移项、合并同类项等。

五、一元一次方程的拓展知识5.1 方程的解与不等式的关系：一元一次方程的解集可表示为对应不等式的解集。

5.2 一元一次方程的推广：含有未知数的乘积、商的一元一次方程，以及分式方程等。

5.3 方程的解与函数的关系：一元一次方程的解为对应函数的零点。

总结：通过本知识点的学习，学生应掌握一元一次方程的概念、解法、应用以及拓展知识，能够运用一元一次方程解决实际问题，并为后续学习更复杂的方程打下基础。

习题及方法：1.习题：解方程 2x - 5 = 3。

答案：x = 4解题思路：将常数项移到等号右边，未知数项移到等号左边，得到2x = 8，再将方程两边同时除以2得到x = 4。

一元一次方程50道练习题(带答案)-50道方程题1、基础题：解方程1) 2x + 1 = 72) 5x - 2 = 83) 3x + 3 = 2x + 74) x + 5 = 3x - 75) 11x - 2 = 14x - 96) x - 9 = 4x + 277) -x = -x + 18) 2x - 1 = -1 + 21.1、基础题：解方程1) 2x + 6 = 12) 10x - 3 = 93) 5x - 2 = 7x + 84) 1 - x = 3x + 22、基础题：解方程1) 4(x - 1) = 12) -2(x - 1) = 43) 5(x + 0.5) + x = 74) 2 - (1 - 5(2x + 1)) = 4x - 1 - x5) 11x + (320 - x) = 123x + 200 - 15x6) 6 - (4x - 1 - x) = -27) (32x + 1) = 128) (2200 - 15x) = 70 + 25x3、综合I：解方程1) (3x + 2)/(3 - x) = (2x - 3)/(2 + x)2) (x + 1)/(3/4) = (2x - 3)/(5/4)3) (x + 3)/(2x + 1) = (2x - 1)/(x - 1)4) (x + 1)/(2x - 3) = -15) x - (3 - 2x) = 16) -2x + 3 = 17) (2x + 14) = 4 - 2x8) (200 + x) - (300 - x) = 300/5x参考答案】1、(1) x = 3.(2) x = 2.(3) x = 4.(4) x = 6;1.答案：(1) x=-3.(2) x=0.(3) x=-5.(4) x=-2解释：第一题中，x=0和x=3的答案都是正确的，因此可以删除x=；第二题中，x=0的答案是正确的，可以删除x=－12；第三题中，x=4的答案是正确的，可以删除x=；第四题中，x=-32的答案是正确的，可以删除x=－32.2.答案：(1) x=1.(2) x=-1.(3) x=0.(4) x=-3.(5) x=4.(6) x=9解释：每个答案都已经正确，不需要改写。

1、认识了解方程及方程命名2、移项、系数、解方程、方程的解等名词的意思一定要让学生了解3、运用等式性质解方程4、会解简单的方程一、方程的起源方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。

《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。

在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。

例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。

古代解方程的方法是利用算筹。

我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。

二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。

一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。

《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。

同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！二、方程的重要性方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。

渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。

三、相关名词解释1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式2、等式：表示相等关系的式子3、方程：含有未知数的等式4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程； 如：37x +=，71539q +=，222468m ⨯+=（），一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值； 如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解，5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。

所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。

一元一次方程的分式方程概述说明以及解释1. 引言1.1 概述一元一次方程是数学中常见的基础概念，它描述了未知数与已知数之间的线性关系。

而当一元一次方程中存在分式时，我们就称之为一元一次方程的分式方程。

本文将对一元一次分式方程进行全面的概述、说明和解释。

1.2 一元一次方程的基本概念在数学中，一元一次方程是指一个未知数的最高指数为1、系数为实常数或者有理数的代数方程。

这种类型的方程可以通过等式左右两边进行运算变换来求得未知数的值。

例如，形如ax + b = c 的表达式即为一元一次方程。

1.3 分式方程的含义与特点分式（也叫有理式）通常表示为两个整式（多项式）相除得到的商。

当一个分式成为一个等式，并且其中至少有一个未知数时，我们将其称之为分式方程。

在分式方程中，未知量可能出现在分子或者分母中，并且会带来许多特殊情况和解法。

2. 一元一次方程的分式方程2.1 什么是一元一次方程的分式方程一元一次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次幂为1的方程。

而分式方程则是在方程中含有分式（即带有分子和分母）的形式。

因此，一元一次方程的分式方程就是在一个未知数上出现了带有分子和分母的表达式。

2.2 分式方程的解法步骤解决一元一次分式方程可以遵循以下步骤：步骤1：将所有含有未知数的项移至等号左边，将常数项移到等号右边，以便将所有项集中到一个侧。

步骤2：利用乘法逆元素原理消去分母。

将整个等式两边都乘以除了含有未知数所在项之外的那个不含未知数的因子，从而消除掉等号两侧中带有分母的表达式。

步骤3：合并同类项并简化表达式。

整理等号两边得到一个简化后的方程。

步骤4：通过移项、合并同类项或者代入已知值，求解未知数。

步骤5：将求得的未知数代入原分式方程中，验证所得解是否符合原方程，同时检查是否存在约束条件。

2.3 解答实例和应用为了更好地理解和掌握一元一次分式方程的解法步骤，以下是一个实际问题的例子：例题：某商店原价200元的商品打8折出售后价格为160元，请问该商品的折扣率是多少？解答过程：步骤1：设折扣率为x，则根据折扣计算公式可得200 * (1 - x) = 160。

2024-2025人教版数学七年级上册-- 一元一次方程的十一模块1. 方程及方程的解（1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）； （2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”. 2. 一元一次方程（1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是已知数，且a≠0）.【【【1 【【【【【【【【1.1【下列各式中属于方程的是（ ） A ．3x −4=1B ．3+2=9−4C ．3x+1−x2D ．y −2≠1【【1.2【下列叙述中，正确的是（ ） A ．方程是含有未知数的式子 B ．方程是等式C ．只有含有字母x ，y 的等式才叫方程D ．带等号和字母的式子叫方程【【【1.1【下列各式中，是方程的个数为（ ）①x =0；②3x −5=2x +1；③2x +6；④x −y =0；⑤y2=5y +3；⑥a 2+a −6=0． A ．2个B ．3个C ．5个D ．4个【【【2 【【【【【【【【【【【【2.1【下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A ．x −2y =0B ．1x +3=1C ．4x −3=9D ．x 2−2x =1【【2.2【[2023 湖南长沙期中] 若 (a −1)x |a |=6 是关于 x 的一元一次方程,则 a 的值为 ( )模块一一元一次方程A. ±1B. -1C. 1D. 2【【【2.1【已知下列方程:【y−12=y3+1；【x+y=3；【x=0；【x2+4x=3；【−3=5x；【x(1−2x)=3x−1.其中是一元一次方程的是（）A．【【【B．【【C．【【【D．【【【【【2.2【如果方程2x2m−1−7=0是一元一次方程，则m=__________．【变式2.3】下列各式中：2x−1=0，3x=−2；10x2−7x+2；5+(−3)=2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为m，一元一次方程个数记为n，则m−n=________．【【【3 【【【【【【例3.1】若x=3是方程3x+a=10的解，则a=_______．【【3.2【请写一个“未知数的系数是−3且方程的解是1”的一元一次方程______．【变式3.2】若x=2是方程a−bx=4的解，则−6b+3a+2022值为___________．【【【4 【【【【【例4.1】列等式表示：比a的3倍大4的数等于a的5倍，得___________【【4.2【学校体育组有学生43人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（）A．1.5x+x=43B．1.5x+x+8=43C．1.5(x−8)+x+8=43D．1.5(x−8)+x=43【【4.3【《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（）．A．2x3=x+3B．2x3=x−3C．2x3=2x+3D．2x3=2x−3【【【4.1【学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（）A．2(23+x)=17+20−x B．23+x=2(17+20−x)C．23+x=2(17+x)D．23+20−x=2(17+x)【【【4.2【据市公园管理中心统计数据显示，10月1日至3日，市属12个景点接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了5.7%，求去年同期这12个景点接待市民游客人数．设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，则可列方程为______．等式及其性质（1）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式； （2）等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.【【【1 【【【【【【【例1.1】已知a =b ，则下列等式不一定成立的是（ ） A．ac=bcB ．ac =bcC ．−a +12=0.5−b D ．2a −5=−5+2b【例1.2】由 x −5=3x +1，得 x −3x =1+5，是等式两边同时加上了（ ） A ．3x +5B ．3x −5C ．−3x +5D ．−3x −5【【1.3【（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“■”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x ，y ，则下列关系式正确的是（ ）A ．x y =B ．2x y =C ．4x y =D ．5x y =【变式1.1】如果3x =2x +7，那么3x −________=7． 【【【1.2【下列等式变形错误的是( ) A ．若a =b ，则a +2=b +2 B ．若a =b ，则a −3=b −3 C ．若a =b ，则a x 2=b x 2D ．若a =b ，则−4a =−4b【变式1.3】若a =b ，则下列等式：【−a =−b ；【2−a =2−b ；【am =bm ；【a 2=b 2；【ab =1．其中正确的有_____．（填序号）【【【2 【【【【【【【【【【【【【【【【【2.1【把方程12x =1变形为x =2，其依据是（ ）模块二 等式的性质A．等式的性质1B．等式的性质2C．分数的基本性质D．合并同类项法则【【2.2【写出一个．．一元一次方程，要求．．：所写的方程必须直接利用等式性质2求出解．这样的方程可以为____________________．【例2.3】利用等式的性质求一元一次方程−3x+5=8的解是________．【【【2.1【将方程−12x+y=1中x的系数变为5，则以下变形正确的是（）A．5x +y=1B．5x+10y=10C．5x−10y=10D．5x−10y=−10【【【2.2【利用等式的性质解方程并检验：2−14x=3．【【【2.3【利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程：(1)−12x=−32x+2；(2)2x+1=7．【【【1 【【【【1【【例1.1】方程2x=7的系数化为1，正确的是（）A．x=7+2B．x=72C．x=27D．x=7−2【例1.2】把x的系数化为1，正确的是（）A．15x=3得x=35B．3x=1得x=3C．0.2x=3得x=32D．43x=4得x=3【【1.3【解方程：﹣5x＝4，得（）A．x＝54B．x＝45C．x＝﹣45D．x＝﹣54【【【1.1【方程12x=−4的解是（）A．x=−8B．x=−18C．x=−12D．x=−2【【【1.2【解方程：73x=149【【【2 【【【【【【【【2.1【对于方程－x＋6x－2x＝10，下列合并同类项正确的是() A．5x＝10模块三化系数为1B ．4x ＝10C ．3x ＝10D ．2x ＝10【【【2.1【下列各方程合并同类项中，不正确的是( ) A ．由4x −2x =4，得2x =4 B ．由2x −3x =3，得−x =3 C ．由5x −2x +3x =12，得x =12 D ．由−7x +2x =5，得−5x =5【【【3 【【【【【【【——【【【【【【 【【3.1【解方程： (1)x −7x =−6(2)4x −1.5x =−0.5x −9． 【【3.2【请欣赏一首诗：太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼； 一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中； 剩下十五围着我，鸭有多少请算清．根据诗的内容，设共有x 只鸭子，可列方程：________________，得合并同类项，得________，两边乘________，得x =________．【【3.3【三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数是（ ） A ．5B ．7C ．9D ．11【【【3.1【解方程：3x －x ＝8【【【3.2【一件服装以120元的价格销售，亏损20%，则这件服装的进价是________元．移项:把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.【【【1 【【【【例1.1】方程x −3=32x +1移项，可以得到（ ） A ．x +32x =1−3B ．x −32x =1+3C ．x +32x =1+3D ．2x −6=3x +2模块四 解一元一次方程——移项【【1.2【在下面的移项中，正确的是（）A．若x−4=8，则x=8−4B．若3s=2s+5，则−3s−2s=5C．若5w−2=4w+1，则5w−4w=1+2D．若8+x=2x，则8−2x=2x−x【【【1.1【下列方程移项、系数化为1正确的是（）A．由3+x＝5，得x＝5+3B．由2x+3＝x+7，得2x+x＝7+3C．由7x＝﹣4，得x＝﹣74y＝2，得y＝4D．由12【【【1.2【如图表示解方程3x＋3＝x－5的流程，其中“移项”这一步骤的依据是_______________．【【【1.3【解方程2x－1＝x＋3，移项，得2x________＝3________.【【【2 【【【【【【【——【【【【例2.1】若代数式2m与3−m的值相同，则m等于（）A．3B．2C．1D．0【例2.2】当x=2时，ax+3的值是5，当x=−2时，代数式ax+3的值是（）A．−5B．1C．−1D．2【【2.3【解方程：(1)3x+10=4x+15(2)3x−4=4x+1【变式2.1】已知方程3x+1=2x−1和方程2x+a=3a+2的解互为倒数，那么a的值是_________．【变式2.2】方程7x=4x−3的解是x=________．【【【2.3【解方程： (1)3x =x −2 (2)8−x =3x +2． 【【【3 【【【【【【【【【【【【3.1【（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x 亩，可列方程为（ ）A ．1345x x x ++=B ．100345x x x++=C ．3451x x x ++=D ．345100x x x ++=【【3.2【（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x 亿元，则符合题意的方程是（ ） A ．()1 4.7%120327x += B ．()1 4.7%120327x -= C ．1203271 4.7%x=+D ．1203271 4.7%x=-【【3.3【（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x 辆，根据题意，可列方程为（ ）A ．1.2110035060x +=B ．1.2110035060x -=C ．1.2(1100)35060x +=D ．110035060 1.2x -=⨯【【【3.1【（2023·四川成都·统考中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，则可列方程为（ ） A ．1( 4.5)12x x +=-B ．1( 4.5)12x x +=+C ．1(1) 4.52x x +=-D ．1(1) 4.52x x -=+【【【3.2【某商场将一种商品以每件60元的价格售出，盈利20%，那么该商品的进货价是多少？【【【1 【【【【【【1.1【解下列方程时，去括号正确的是（ ） A ．由2(x −1)=x +3，得2x −1=x +3 B ．由−5(1−x )=4，得−5−5x =4 C ．由3(2−4x )=3，得6−12x =3 D ．由3=4(1−x )，得−3=4−4x【【【1.1【解方程2−3(2−3x )=2，去括号正确的是（ ） A ．2−6−9x =2B ．2−6−3x =2C ．2−6+9x =2D ．2−6+3x =2【【【1.2【将方程7(2x −1)−3(4x −1)=10去括号正确的是（ ） A ．14x −7−12x +1=10 B ．14x −7−12x +3=10 C ．14x −1−12x −3=10 D ．14x −1−12x −3=10【【【2 【【【【【【【——【【【【【例2.1】如果5（x −2）与2（x−3）互为相反数，那么x 的值是（ ） A ．167B ．716C ．34D ．43【例2.2】方程−3(★−9)=5x −1，【处被盖住了一个数字，已知方程的解是x =2，那么【处的数字是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3【【2.3【解方程2(x +2)=1−(x +3) 【【【2.1【解方程：−2(x +3)=2+3x【变式2.2】解方程4(x −1)−x =2(x +0.5)步骤如下：【去括号，得：4x −4−x =2x +1；【移项，得：4x −x +2x =1+4；【合并同类项，得：5x =5；【系数化为1，得：x =1．其中错误的是（ ） A ．【B ．【C ．【D ．【【变式2.3】解方程：30%x +70%(20−x )=20×54%模块五 解一元一次方程——去括号模块六解一元一次方程——去分母【【【1 【【【【【【1.1【解方程1+x+36=x2，去分母正确的是（）A．1+x−3=3x B．1+x+3=3x C．6+x+3=3x D．6+x−3=3x 【【1.2【下列去分母正确的是（）A．由x3−2=1−x2，得2x−2=3(1−x)B．由x−22−3x−24=−1，得2x−4−3x−2=−4C．由x+12=x3−3x−16，得3x+3=2x−3x+1D．由4x5−x+43=1，得12x−5x−4=15【【1.3【将方程x0.3=1+1.2−0.3x0.2中分母化为整数，正确的是（）A．10x3=1+12−3x2B．x3=10+1.2−0.3x0.2C．x3=10+12−3x2D．x3=1+1.2−0.3x0.2【【【1.1【解方程x2−2x+16=1时，去分母得__________．【【【1.2【解方程x12−2x−120=3x+48－1，去分母时，方程两边应都乘____，得______________________，这一变形的依据是________________．【【【2 【【【【【【【——【【【【【例2.1】若方程2x−1=5和1−3a−x3=0有相同的解，则a=（）A．0B．13C．1D．2【【2.2【小明同学在完成课后作业解方程：3x+12−2x−56=1时，写出了如下的过程：解：去分母，得3(3x+1)−(2x−5)=6【去括号，得9x+3−2x−5=6【移项，得9x−2x=6−3+5【合并同类项，得7x=8【系数化为1，得x=87【以上过程中开始出现错误的步骤是()A．【B．【C．【D．【【【2.3【某书有一道一元一次方程：2+∗x3+1=x，*处的数印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为x=−2.5，那么*处被墨盖住的数应该是（）．A．1011B．3C．115D．5【变式2.1】解方程：x−x−12=2−x+1850.1−0.2x0.3−1=0.7−x0.4．【【【2.2【解方程x+2k2−1=2x−32去分母不小心，变为x+2k−1=2x−3，得到解为x=3．原方程正确的解应为（）A．x=−3B．x=−2C．x=2D．x=−1【【【2.3【定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“兄弟方程”．若关于x的方程2x+3m−2=0和3x−5m+4=0是“兄弟方程”，求m的值是__________．【【1【2022年北京冬奥会以及冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融，受到了国内外网友的热烈欢迎，某加工厂接到紧急加工冰墩墩的任务，原计划每天完成1200只，实际每天比原计划多加工600只，结果提前3天完成任务，设原计划x天完成任务，则可列方程为（）A．1200x=(1200+600)(x−3)B．1200(x−3)=(1200+600)xC．1200x=(1200−600)(x+3)D．1200(x+3)=(1200−600)x【【2【某车间有44名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或2000个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．根据题意可列方程（）A．1200x=2000(44−x)B．2×1200x=2000(44−x)C．2×2000=1200(44−x)D．2000x=1200(44−x)【【【1【从一个蓄水池中抽水，甲抽水机单独抽要12h抽完，乙抽水机单独抽要15h抽完，丙抽水机单独抽要20h抽完，若甲､丙先合抽3h后乙再加入，则还需几小时可以抽完?（）A．3B．4C．5D．7模块七产品配套与工程问题【【【2【某车间有58名工人，每人每天可以生产8个甲种部件或5个乙种部件，1个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的甲种部件和乙种部件刚好配套，应安排生产甲种部件和乙种部件的工人各多少名？【【1【某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%，卖这两件衣服总的是（ ） A ．不盈不亏B ．盈利 8 元C ．亏损 8 元D ．亏损 15 元【例2】(2023山西阳泉期末)某电器商场购进一批冰箱,每台进价为2 000元,为了促销,商场决定所有商品按标价的八折再减80元销售,若按这种方式销售,每台冰箱仍能获利10%,则该冰箱每台的标价是(M7103003)( )A.2 280元B.2 850元C.2 880元D.3 000元【【【1【某水果店第一次购进西瓜400千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进800千克西瓜，进货价比第一次每千克少0.5元，两次进货共花费4400元． (1)这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元?(2)在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有5%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利3036元，每千克西瓜的售价为多少元?【【【2【(2023新疆乌鲁木齐天山期末)某件商品标价1 200元,为了促销,按7折销售,结果仍可获利5%,求这件商品的进价.【【1【（2024·贵州·中考真题）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 ．【变1【[2023 北京朝阳区校级期末] 轮船在静水中速度为每小时 20 km ,水流速度为每小时 4 km ,从甲码头顺流航行到乙码头, 再返回甲码头, 共用 5 小时 (不计停留时间), 则甲、乙两码头的距离为___. 【【2【一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过长600米的桥洞，从列车进入桥洞口算起，这列火车模块八商品销售问题与利息问题模块九 行程问题完全通过桥洞所需时间是（）A．40秒B．60秒C．50秒D．34秒【变2【[2023 山东淄博质检] 小张骑自行车以15 km/h的速度去上学, 12 min后,小张的妈妈发现小张忘了带书,就以45 km/h的速度追小张. 已知小张家和学校相距5 km. 问: 小张的妈妈能否在小张到校前追上小张? 如果追上, 此时离学校多远? 如果追不上, 小张到校多长时间后, 小张的妈妈才能到学校?模块十积分问题【例1【学校组织学生参加知识问答，问答活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了A、B、C三名学生的得分情况，按此规则，参赛学生D的得分可能是（）．参赛学生答对题数答错题数得分A200100B19193C15565A．75B．63C．56D．44【变式1】(2022广东深圳宝安期末)某次数学竞赛共有20道题,已知做对一道得4分,做错或者不做一道扣1分,某同学最后的得分是50分,则他做对的题目道数是(M7103003) ()A.14B.15C.16D.17【例2】(2022山东临沂兰陵期末)某校七年级组织了一场知识竞赛,共设20道选择题,各题分值相同,每题必答,下表记录了3个参赛者的得分情况.参赛者答对题数答错题数得分A20 0 100B19 1 94C10 10 40(1)由表中数据可知答对一题得分,答错一题得分;(2)甲同学得了82分,他答对了几道题?(3)乙同学说他得了50分,你认为可能吗?为什么?【变式2】(2022辽宁盘锦大洼期末)某赛季篮球联赛部分球队积分榜如下表:球队比赛场次胜场负场总积分甲22 18 4 40乙22 14 8 36丙22 7 15 29丁22 0 22 22(1)负一场得分;(2)总积分与胜、负场积分之间的数量关系:;(3)列方程求出胜一场的得分;(4)某队的胜场积分能等于其负场积分吗?请说明理由.模块十一方案决策问题【例1【为了鼓励居民节约用电，我省实行居民生活用电分季节按阶梯标准收费，其中冬夏季具体标准如下表：每月用电量（度）单价（元/度）不超过200度的部分0.5超过200度不超过450度的部分0.6超过450度的部分0.9(1)若小强家6月份的用电量为180度，求小强家6月份的电费是多少？(2)若小强家2月份的用电量为365度，求小强家2月份的电费是多少？(3)若小强家8月份的电费为340元，求小强家8月份的用电量是多少？【【【1【我们学校七年级同学参加“研学”活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座位车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金200元，60座客车租金300元，问：(1)七年级同学多少人？原计划租车45座的客车多少辆？(2)若你是七年级组长，要使每个同学都有座位，应如何租车最划算？花钱多少元？【例2】.(2022陕西宝鸡陇县期末)小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买,已知两商店的标价都是每本2元,甲商店的优惠条件是购买10本以上,从第11本开始按标价的70%出售;乙商店的优惠条件是从第一本起按标价的80%出售.小明要购买x(x>10)本练习本.(1)当小明到甲商店购买时,需付款元,当到乙商店购买时,需付款元;(2)买多少本练习本时,到两家商店花费相同?(3)小明准备买50本练习本,为了节约开支,选择哪家更划算?【【【2【[2023 四川眉山期中] A、B 果园分别有苹果 30 吨和 40 吨, C、D 两地分别需要苹果 20 吨和 50 吨. 已知从 A 果园、B 果园到 C 地、D 地的运费如下表:到C地到 D 地从 A 果园运出每吨 15 元每吨 12 元从 B 果园运出每吨 10 元每吨 9 元设从A果园运到C地的苹果为x吨.(1) 从 A 果园运到 D 地的苹果为___吨, 从 B 果园运到 C 地的苹果为___吨, 从 B 果园运到 D 地的苹果为___吨.(2) A、 B两果园分别将苹果运往C、D两地的总运输费用为多少元?(3) 若总运输费用为 750 元, 请你求出具体的运输方案.。

2024年人教版PEP七年级数学上册阶段测试试卷547考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知下列方程，①3x-2=6；②x-1=y；③+1.5x=8；④3x2-4x=10；⑤x=0；⑥=3．其中一元一次方程的个数有（）A. 3B. 4C. 5D. 62、-12004和（-1）2005的值分别是（）A. -1和-1B. 1和-1C. -1和1D. 1和13、化简：=（）A. 2B. 4C. 8aD. 2a2+24、有下列长度（cm）的三条小木棒，如果首尾顺次连接，能钉成三角形的是（）A. 10、14、24B. 12、16、32C. 16、6、4D. 8、10、125、如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB交AB边于E，且∠BAC=130°，∠ABC=20°，则∠DCE的大小是（）A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°6、下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）A. 了解我市中学生视力情况B. 了解一沓钞票中有没有假钞C. 了解一批西瓜是否甜D. 调查普宁《商城聚焦》栏目的收视率7、某种奖券的中奖率是1%，小花买了100张奖券，下列说法正确的是（）A. 小花一定会中奖B. 小花一定不中奖C. 小花中奖的可能性较大D. 小花中奖的可能性很小8、【题文】第六次人口普查的标准时间是2010年11月1日零时．普查登记的大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1 339 724 852人．这个数用科学记数法表示为（保留三个有效数字）A.B.C.D.9、下列运算中；正确的是（）A. x3•x2=x6B. 2x3÷x2=2xC. x+x2=x3D. （）3=评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、把一个学生使用的三角板以一条直角边为轴旋转成的形状是____体形状，其侧面展开图是____．11、将点P（-1，5）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′，则点P′的坐标是____．12、如果a+6和2a鈭�15是一个数的平方根，则这个数为 ______ ．13、有一个数值转换器；原理如下：当输入x为64时，输出的y的值是 ______ ．14、把-4m写成分式的形式，若分母是-2mn2，那么分子是____．15、列方程：5减x的差的2倍等于1：____．16、【题文】国家投资建设的泰州长江大桥开工，据泰州日报报道，大桥预算总造价是9370000000元人民币，用科学计数法表示为____元.评卷人得分三、判断题(共7题，共14分)17、判断题（判断对错）（1）的系数是7；____（2）与没有系数；____（3）的次数是0+3+2；____（4）的系数是-1；____（5）的次数是7；____（6）的系数是．____．18、在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则这个三角形是直角三角形．____（判断对错）19、52x3y3的次数是8．____．20、全等三角形面积相等.（）21、如图，两个三角形全等，则∠A=∠E.（）22、因为“三内角对应相等的两个三角形全等”是假命题，所以它的逆命题也是假命题.23、﹣x2（2y2﹣xy）=﹣2xy2﹣x3y．________．（判断对错）评卷人得分四、计算题(共3题，共24分)24、【题文】(8分）计算25、分解因式：（1）3x2-6x（2）4x2-16（3）（x2+4）2-16x2（4）x3+2x2y+xy2（5）3x（a-b）-6y（b-a）（6）（x2+y2）2-4x2y2．26、计算。

一元一次方程及其解法教案第一章：一元一次方程的概念与认识1.1 教学目标了解一元一次方程的定义及特点能够识别一元一次方程理解一元一次方程在实际生活中的应用1.2 教学内容引入一元一次方程的概念举例说明一元一次方程的形式分析一元一次方程的特点1.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来理解一元一次方程的概念1.4 教学步骤1.4.1 引入新课通过生活中的实际问题引入一元一次方程的概念1.4.2 讲解与示例讲解一元一次方程的定义及特点示例说明一元一次方程的形式1.4.3 练习与讨论让学生练习识别一元一次方程引导学生思考一元一次方程在实际生活中的应用总结一元一次方程的概念与特点布置作业：练习识别一元一次方程，思考一元一次方程在实际生活中的应用第二章：一元一次方程的解法2.1 教学目标掌握一元一次方程的解法能够运用解法求解一元一次方程2.2 教学内容介绍一元一次方程的解法讲解解法步骤及注意事项2.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来理解解法步骤2.4 教学步骤2.4.1 引入新课通过实际问题引入一元一次方程的解法2.4.2 讲解与示例讲解一元一次方程的解法步骤示例演示解法过程2.4.3 练习与讨论让学生练习运用解法求解一元一次方程引导学生思考解法步骤的规律与技巧总结一元一次方程的解法步骤及注意事项布置作业：练习运用解法求解一元一次方程第三章：一元一次方程的应用3.1 教学目标能够应用一元一次方程解决实际问题理解一元一次方程在实际生活中的重要性3.2 教学内容举例说明一元一次方程在实际生活中的应用引导学生运用一元一次方程解决问题3.3 教学方法采用案例分析、小组讨论、练习的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来理解一元一次方程的应用3.4 教学步骤3.4.1 引入新课通过生活中的实际问题引入一元一次方程的应用3.4.2 案例分析分析实际问题，引导学生将其转化为一元一次方程示例演示解题过程3.4.3 小组讨论与练习让学生分组讨论，尝试解决实际问题引导学生运用一元一次方程进行解答总结一元一次方程在实际生活中的应用布置作业：练习解决实际问题，运用一元一次方程进行解答第四章：一元一次方程的检测与评估4.1 教学目标学会检验一元一次方程的解能够对解的合理性进行评估4.2 教学内容介绍一元一次方程解的检验方法讲解解的评估标准和技巧4.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来理解解的检验与评估4.4 教学步骤4.4.1 引入新课通过实际问题引入一元一次方程解的检验与评估4.4.2 讲解与示例讲解一元一次方程解的检验方法示例演示解的检验与评估过程4.4.3 练习与讨论让学生练习运用解的检验方法引导学生思考解的评估标准和技巧总结一元一次方程解的检验与评估方法布置作业：练习运用解的检验方法，对解的合理性进行评估第五章：一元一次方程的综合训练5.1 教学目标巩固一元一次方程的知识与解法提高解决实际问题的能力5.2 教学内容设计综合练习题，涵盖一元一次方程的知识点引导学生运用所学知识解决综合问题5.3 教学方法采用综合练习、小组讨论、讲解的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来提高解题能力5.4 教学步骤5.4.1 引入新课通过实际问题引入一元一次方程的综合训练5.4.2 综合练习设计练习题，让学生运用所学知识解决问题引导学生分组讨论，共同解题5.4.3 讲解与讨论对学生的解题过程进行点评和指导讲解解题思路和技巧总结一元一次方程的综合训练要点布置作业：练习解决综合问题，提高解题能力第六章：一元一次方程的拓展与提高6.1 教学目标了解一元一次方程的拓展知识提高解决更复杂一元一次方程的能力6.2 教学内容介绍一元一次方程的拓展知识，如方程的根的判别式讲解更复杂的一元一次方程的解法6.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学引导学生通过观察、思考、交流来掌握拓展知识6.4 教学步骤6.4.1 引入新课通过实际问题引入一元一次方程的拓展与提高6.4.2 讲解与示例讲解一元一次方程的拓展知识示例演示解更复杂的一元一次方程的过程6.4.3 练习与讨论让学生练习解更复杂的一元一次方程引导学生思考解题思路和技巧总结一元一次方程的拓展与提高知识点布置作业：练习解更复杂的一元一次方程，提高解题能力第七章：一元一次方程在实际生活中的应用案例分析7重点解析重点：1. 一元一次方程的概念与认识：理解一元一次方程的定义、形式及特点。

解一元一次方程1、方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

2、移项移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。

移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。

注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。

3、解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。

注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。

分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。

热点一：合并同类项与移项1．（2023秋·湖南长沙·八年级统考开学考试）下列方程，与242x x -=+的解相同的为（ ）A ．34x x+=B ．23x -=C ．360x +=D ．125x x +=-2．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）若代数式21x +的值为5，则x 等于（ ）A ．3B ．2C ．－2D ．－33．（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）已知223a x y +与4223a x y -是同类项，则a 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．2-4．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考开学考试）若2x =-是关于x 的方程240x m +-=的解，则m 的值为 5．（2023秋·七年级课时练习）解方程8912113x x x +-=+，合并同类项后可得 ，将未知数的系数化为1可得．6．（2023秋·云南昆明·七年级云大附中校考开学考试）若在□内填上一个数，使方程220x x ´+=□与2210x +=有相同的解，则□内应填的数是 ．7．（2023秋·河南信阳·七年级校联考开学考试）求未知数x ．7325%168x x -= 166::275x =46165x x --= 1115612x ¸=¸ 30.90.64x -=´ 314 2.55x ¸=¸8．（2023秋·全国·七年级课堂例题）补全解方程5832x x -=--的过程：解：移项，得5x +___2=-______．合并同类项，得________________=____________．系数化为1，得x =________________．9．（2023春·海南·九年级校联考期中）若代数式2x -的值为5，则x 等于（ ）A ．3B ．3-C ．7D ．7-10．（2023春·河南鹤壁·七年级统考期中）定义新运算：()101f a a =+（a 是有理数），例如()3310131f =´+=，则当()21f x =时，x =（ ）A ．2B ．4-C ．5-D ．6-11．（2023秋·七年级课时练习）解决问题：定义新运算：x y x y xy *=+-，例如：()()()2323235*-=+--´-=，那么当()()222x x -*-*=⎡⎤⎣⎦时，x =．12．（2023秋·河南驻马店·七年级校考期末）小马虎在做作业，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是()231x x --=+■，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方程的解是9x =( )A ．1B ．2C ．3D ．413．（2023秋·全国·七年级课堂例题）规定两数,a b 通过“V ”运算得3ab ，例如2432424=´´=△．(1)求()45-△的值；(2)已知336a =△，求a 的值．14．（2023秋·浙江宁波·七年级校考开学考试）解方程(1)13 1.42 1.1x -´=(2)54.8332.9x -=(3)2( 4.5)73x -=(4)21352x x -=15．（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图，且a b =，则关于x 的方程 ()220235aa b x b+-=的解为x = .16．（2023秋·七年级课时练习）（1）x 取何值时，代数式45x -与36x -的值互为相反数？（2）k 取何值时，关于x 的方程2312x x -=-和81k x -=+的解相同？17．（2023秋·全国·七年级专题练习）我们定义：对于数对(),a b ，若a b ab +=，则(),a b 称为“和积等数对”．如：因为2222+=´，333344-+=-´，所以()2,2，33,4æö-ç÷èø都是“和积等数对”．(1)下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号）①()3,1.5；②3,14æöç÷èø；③1123æö-ç÷èø，．(2)若()5,x -是“和积等数对”，求x 的值；(3)若(),m n 是“和积等数对”，求代数式()()224232326mn m mn m n m +----+⎡⎤⎣⎦的值．18．（2023秋·全国·七年级课堂例题）先看例题，再解答后面的问题．【例】解方程：13x +=．解法一：当0x ³时，原方程化为13x +=，解得2x =；当0x <时，原方程化为13x -+=，解得2x =-，所以原方程的解为2x =或2x =-．解法二：移项，得31x =-．合并同类项，得2x =．由绝对值的意义知2x =±，所以原方程的解为2x =或2x =-．问题：用两种方法解方程253x -=．热点二：去括号19．（2023秋·七年级课时练习）解方程()()322211x x +--=，去括号的结果正确的是（ ）A ．32211x x +-+=B ．32411x x +-+=C ．32421x x +--=D ．32421x x +-+=20．（2023秋·江苏·七年级专题练习）已知a ，b ，c ，d 为有理数，现规定一种新的运算a cad bc b d=-，那么当()341825x x=-时，x 的值是 ．21．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）若2x =是关于方程()2140m x -+=的一个解，则m 的值是 ．22．（2023秋·全国·七年级课堂例题）去括号解一元一次方程：()()22351x x x x --=+-．()()22351x x x x --=+-．解：去括号，得______________=______________，去括号（依据：去括号法则）移项，得______________=______________，移项（依据：等式的性质1）合并同类项，得______________=______________，合并同类项系数化为1，得x =______________．系数化为1（依据：等式的性质2）23．（2023秋·安徽六安·七年级校考期中）解方程：()5822x x +=-+．24．（2023秋·全国·七年级课堂例题）当x 取什么值时，式子()52x +的值比()213x -的值小3？25．（2023秋·七年级课时练习）解方程：(1)5(1)2(31)41---=-x x x ；(2)23(1)12(10.5)-+=-+x x ．26．（2023秋·全国·七年级课堂例题）马小虎同学在解关于x 的方程()122x x a -=--时，误将等号右边的“2a -”看作“2a +”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为5x =-，则原方程正确的解为（ ）A ．2x =B ．3x =C ．4x =D ．5x =27．（2023秋·七年级课时练习）若方程()()43143x x x =-+-的解比关于x 的方程53mx m -=的解小1，则m 的值为（ ）A ．53B ．35C ．5D ．328．（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列是解一元一次方程2(3)5x x +=的步骤：()235265256362x x x x x x x x +=+=-=-=-=-r r r r ①②③④其中说法错误的是( )A ．①步的依据是乘法分配律B ．②步的依据是等式的性质1C ．③步的依据是加法结合律D ．④步的依据是等式的性质229．（2023春·河南周口·七年级校考期中）若代数式()21x -的值与7x -的值互为相反数，则x 的值为 ．30．（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）现定义一种新运算，对于任意有理数a ，b ，c ，d 满足a b ad bc c d ⎡⎤=-êú⎣⎦，若对于含未知数x 的式子满足3211121x x ⎡⎤=-êú--+⎣⎦，则x = ．31．（2023秋·江苏·七年级专题练习）定义一种新运算“Å”：2a b a ab Å=-，如()()1321135Å-=´-´-=(1)求()23-Å的值；(2)若()()315x x -Å=+Å，求x 的值；32．（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）阅读解题过程，解答后续问题解方程()()321234x x x -+=-- 解：原方程的两边分别去括号，得361234x x x -+=-- ①即354x x -=-- ②移项，得354x x -=- ③即21x = ④两边都除以2，得12x =⑤(1)指出以上解答过程哪一步出错，并给出正确解答；(2)结合平时自身实际，请给出一些解一元一次方程的注意事项．33．（2023春·吉林长春·七年级统考期中）花花同学完成了一道解一元一次方程的作业题，解答过程如下：解方程：51132x +-=．解：()6253x x -+=．⋯①6253x x -+=．⋯②2356x x --=--．⋯③511x -=-．⋯④115x =．⋯⑤(1)上面的解题过程从第 步开始出现错误（填入编号），错误的原因是 ．(2)请完整地写出正确的解答过程．34．（2023秋·七年级课时练习）x 取何值时，23x -与54x -+的值满足下列条件：(1)23x -与54x -+的两倍相等；(2)23x -比54x -+多7．35．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）已知方程23(1)0-+=x 的解与关于x 的方程1262x k -=的解互为倒数，求k 的值．36．（2023秋·七年级课时练习）解方程：(1)()()43208720x x x x +-=--；(2)()()()3325761x x x -=-+-.37．（2023秋·江苏·七年级专题练习）定义一种新运算：5a b a b =-e ．(1)计算：(6)(8)--=e ；(2)若(21)(1)=12x x -+e ，求x 的值；(3)化简：(323)(51)xy x xy ---+e ，若化简后代数式的值与x 的取值无关，求y 的值．38．（2023·全国·七年级专题练习）如上表，方程①、方程②、方程③、方程④．．．．是按照一定规律排列的一列方程：序号方程方程的解①()()22311x x ---=2x =-②()()22322x x ---=0x =③()()22333x x ---=x =______④()()22344x x ---=x =_____………(1)将上表补充完整，(2)按上述方程所包含的某种规律写出方程⑤及其解；(3)写出表内这列方程中的第n （n 为正整数）个方程和它的解．39．（2023·河北石家庄·校考二模）计算：()()32623æö-´---ç÷èø■．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．(1)如果被污染的数字是2，请求出()()32623æö-´---ç÷èø■的值；(2)如果计算结果是如图所示集中的最大整数解，请问这个最大整数解是几？并求出被污染的数字．40．（2023秋·广东茂名·七年级统考期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：2213373477x x x x æö+-+-=-+-ç÷èø．(1)求所捂的多项式；(2)若x 是一元一次方程2183x x -=-+的解，求所捂多项式的值；(3)若所捂多项式的值与多项式112x -+的值互为相反数，请求x 的值．41．（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）对于任意四个有理数a 、b 、c 、d ，可以组成两个有理数对(),a b 与(),c d ．规定：()(),,*a b c d ad bc =-．如：()()1,23,414232*=´-´=-．根据上述规定解决下列问题：(1)求有理数对()()5,4*3,2-的值；(2)若有理数对()13,1*2,21152x x æö+-=ç÷èø，求x ；(3)若有理数对()(),1*3,21k x x +-的值与x 的取值无关，求k 的值．42．（2023秋·湖北黄石·七年级统考期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1-，我们就称这两个方程为“阳新方程”．例如：方程213x -=和30x +=为“阳新方程”．(1)方程()351x x -+=与方程212y y --=是“阳新方程”吗？请说明理由；(2)若关于x 的方程02xm +=与方程346x x -=+是“阳新方程”，求m 的值；(3)若关于x 方程230x n -+=与510x n +-=是“阳新方程”，求n 的值．热点三：去分母43．（2023春·河南南阳·七年级统考期中）解方程21101136x x ++-=“去分母”后变形正确的是（ ）A ．421016x x +--=B ．411016x x +-+=C ．2()1101x x +-+=D ．2()()21101011x x +-+=44．（2023春·四川宜宾·七年级校考阶段练习）解方程123123x x -+-=，去分母正确的是（ ）A ．()()312231x x --+=B ．()()312236x x --+=C ．31431x x --+=D ．31436x x --+=45．（2023秋·全国·七年级课堂例题）小勤解方程102135510x x--=的过程如下：解：去分母（方程两边乘10），得()5210213x x --=． ①去括号，得520423x x --=． ②移项、合并同类项，得2337x -=． ③系数化为1，得3723x =-． ④小勤解答过程中错误步骤的序号为．46．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）老师让同学们解方程121123x x -+-=，某同学给出了如下的解答过程：解：去分母得：()311221()x x -=+-①，去括号得：31141x x --=+②，移项得：34111x x +=--③，合并得：71x =-④，两边都除以7，得17x =-⑤， 根据该同学的解答过程，你发现：(1)从第_______步开始出现错误，该步错误的原因是______________________；(2)请你给出正确的解答过程．47．（2023秋·重庆开州·七年级校联考开学考试）解方程(1)3352544x x +=+(2)210.20.5x x -+=48．（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）解方程：(1)()216x +=(2)211136x x -+=-49．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）解方程：2130.50.2--+=x x ．50．（2023秋·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）解方程：(1)320425x x +=-(2)211163x x +-+=51．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）列方程求解：当k 取何值时，代数式425k -的值比62k +的值少2．52．（2023秋·七年级课时练习）要使代数式163t +与123t æö--ç÷èø的值相等，则t 的值为（ ）A ．124B ．124-C ．24D ．24-53．（2023秋·全国·七年级课堂例题）若123a +的值与273a -的值互为相反数，则a 的值为．54．（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）若方程215x -=与203a x--=的解相同，则a 的值为 ．55．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程1215m x -=+的解与3243x x-=的解相同，则m 的值为 ．56．（2023秋·七年级课时练习）小明解一元一次方程0.10.2130.020.5x x -+-=的过程如下：第一步：将原方程化为10201010325x x -+-=．第二步：将原方程化为2132510x x -+-=．第三步：去分母．．．(1)第一步方程变形的依据是_____；第二步方程变形的依据是_____；第三步去分母的依据是____；(2)请把以上解方程的过程补充完整．57．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：(1)()()23273523x x x +-=-；(2)0.170.210.20.03x x--=．58．（2023春·四川宜宾·七年级校考阶段练习）已知关于x 的方程22136x a x ax ---=-与方程()3245x x +=+的解相同，求a 的值．59．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）规定的一种新运算“*”：22a b a ab *=+，例如：232323221*=+´´=．(1)试求()()32-*-的值；(2)若()33x x -*=，求x 的值；(3)若()3522xx -*=+，求x 的值．60．（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知整数a 使关于x 的方程22142-+-=-ax x x 有整数解，则符合条件的所有a 值的和为（ ）A ．﹣8B ．﹣4C ．﹣7D ．﹣161．（2023春·山西长治·七年级统考阶段练习）小明同学在解方程43153x x k-+=-去分母时，由于方程的右边的1-忘记了乘以15，因而他求得的解为=1x -，该方程的正确的解为（ ）A ．3x =-B ．4x =-C ．5x =-D ．6x =-62．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）若关于x 的方程23124kx x ---=的解是整数，且k 是正整数，则k的值是（ ）A ．1或3B ．3或5C ．2或3D ．1或663．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）嘉嘉在解关于x 的一元一次方程3152x -+=■时，发现常数“■”被污染了．（1）若嘉嘉猜“■”是2-，则原方程的解为；（2）老师说：“此方程的解是正整数且常数■为正整数”，则被污染的常数“■”是 ．64．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知关于x 的方程23x m mx -=+与方程1322-=-x x 的解互为倒数，求m 的值．65．（2023秋·七年级课时练习）小明在解关于x 的方程11146ax x ++=-，去分母乘12时常数1漏乘了，从而解出1x =，请你试着求出a 的值，并求出方程正确的解．66．（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程48x =和10x +=为“和谐方程”．(1)若关于x 的方程30x m +=与方程4210x x -=+是“和谐方程”，则m =______；(2)若两个“和谐方程”的解相差2，其中较小的一个解为n ，则n =______．(3)若关于x 的两个方程03xm +=与3252x x m -+=是“和谐方程”，求m 的值．67．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）新定义：若任意两数a b 、，按规定6V a b =-得到一个新数“V ”，则称所得新数V 是数a b 、的“快乐返校学习数”．(1)若1,2a b ==-，求a b 、的“快乐返校学习数”V ；(2)若2223,48a m m b m m =--=-，且2210m m --=，求a b 、的“快乐返校学习数”V ；(3)当()221206a b æö++-=ç÷èø时，请直接写出关于x 的方程()322Vx V x +-=的解．热点四：解一元一次方程拓展68．（2023春·山西临汾·七年级校联考期中）关于x 的整式mx n -+的值随x 的取值的不同而不同，下表是当x 取不同值时对应的整式的值，则关于x 的方程40mx n --=的解是（ ）x3-1-13mx n-+521-4-A ．3x =-B ．=1x -C ．1x =D ．3x =69．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）若关于x 的方程155ax +=-的解为5x =，则a 的值为（ ）A ．4B ．-2C ．-4D ．270．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若关于x 的方程30ax -=有正整数解，则整数a 的值为（ ）A ．1或1-或3或3-B ．1或3C ．1D ．371．（2023春·四川内江·七年级统考期末）阅读解方程的途径：按照图1所示的途径，已知关于x 的方程123a xb xc ++=的解是1x =或2x =（a 、b 、c 均为常数），则关于x 的方程2a kx m c ++k 、m 为常数，0k ¹）的解为（ ）A ．121,2x x ==B ．1212,m mx x k k --==C ．1212,m mx x k k++==D ．121,2.x k m x k m =++=++72．（2023春·山西长治·七年级统考阶段练习）若方程211x +=-和关于x 的方程102y x--=的解相同，求y 的值．73．（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）定义一种新的运算“Ä”：32m n m n Ä=- 例如：()()52352215419Ä-=´-´-=+=．(1)求23-Ä的值；(2)若()()3216x x -Ä+=，求x 的值．74．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）我们把有相同的解的两个方程称为同解方程．例如：方程36x =与方程48x =的解都为2x =，所以它们为同解方程．若关于x 的方程2(3)5x x --=和5233x m x +-=是同解方程，求m 的值．75．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）若“※”表示一种新运算，规定22a b a ab =+※．例如：()()23233223=+´´--=-※．(1)计算：23※(2)若()22x x -=--※，求x 的值76．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）对于任意的有理数a 、b ，定义一种新的运算，规定：a b a b Ä=+，a b a b Å=-，等式右边是通常的加法、减法运算，如2a =，1b =时，213a b Ä=+=，211a b Å=-=．(1)求())2342(-Ä+Å-的值；(2)若()2124x x Ä=--Å，求x 的值．77．（2023春·山东德州·七年级统考期中）对于有理数a ，b ，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：22a b a ab =+※，a b a b a b =+--◎，例如，22(1)222(1)0-=+´´-=※，()3|23||23|24=-+----=-◎．(1)计算()32-※的值；(2)若a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简a b ◎；(3)若()()2243x x -=-+※◎，求x 的值：(4)对于任意有理数m ，n ，请你定义一种新运算“★”，使得()3-★54=，直接写出你定义的运算m ★n =______（用含m ，n 的式子表示）．78．（2023秋·七年级课时练习）和解方程阅读材料：若关于x 的一元一次方程()0ax b a =¹的解满足x a b =+，则称该方程为“和解方程”．例如：方程24x =-的解为2x =-，而()224-=+-，则方程24x =-为“和解方程”．解决问题：(1)方程34x =-________（回答“是”或“不是”）“和解方程”；(2)在()0ax b a =¹中，若1a =-，有符合要求的“和解方程”吗？若有，求b 的值；若没有，请说明理由．79．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）若关于x 的一元一次方程：123362kx x a ---=-的解是x m =，其中a ，m ，k 为常数．(1)当2a m ==时，则k =______；(2)当2a =时，且m 是整数，求正整数k 的值；80．（2023春·七年级课时练习）我们规定，若关于x 的一元一次方程ax b =的解为b a -，则称该方程为“差解方程”．例如：24=x 的解为2，且242=-，则方程24=x 是差解方程．请根据上述规定解答下列问题：(1)判断3 4.5x =是否为差解方程，并说明理由．(2)若关于x 的一元一次方程51x m =+是差解方程，求m 的值．81．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）已知关于x 的方程521m x x +=+．(1)若该方程与方程721x x -=+同解，试求m 的值；(2)当m 为何值时，该方程的解比关于x 的方程51322x m x +=+的解大2？82．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）如图，某数学活动小组编制了一个有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可计算出结果． （其中“”表示一个有理数）(1)若这个题无法进行计算，请推测“”表示的有理数，并说明理由．(2)若“”表示的数为3．①若输入的数为2-，求出运算结果；②若运算结果是13，则输入的数是多少．83．（2023春·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：22x =的解为1x =；21x +=的解为=1x -，所以这两个方程为“友好方程”．(1)若关于x 的一元一次方程20x m +=与32x x -=-是“友好方程”，则m = ．(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为x k =，求k 的值．(3)若关于x 的一元一次方程1102023x -=和1522023x x a -=+是“友好方程”，则关于y 的一元一次方程()115222023y y a --=+-的解为 ．84．（2023·全国·七年级专题练习）我们规定：对于数对()a b ，，如果满足a b ab +=，那么就称数对()a b ，是“和积等数对”；如果满足a b ab -=，那么就称数对()a b ，是“差积等数对”，例如：333322+=´，222233-=´．所以数对3,32æöç÷èø为“和积等数对”，数对22,3æöç÷èø为“差积等数对”．(1)下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ．（填序号）①2,23æö--ç÷èø②2,23æö-ç÷èø③2,23æö-ç÷èø(2)若数对1,22x +æö-ç÷èø是“差积等数对”，求x 的值．(3)是否存在非零的有理数m ，n ，使数对()4m n ，是“和积等数对”，同时数对()4n m ，也是“差积等数对”，若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．（提示：例如212(0),21,2x x x x x =¹\==）一、单选题（每题3分）1．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）若代数式38x +的值与4互为相反数，则x 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．42．（2023秋·七年级课时练习）下列变形式中的移项正确的是（ ）A ．从512x +=得125x =+B ．从584x x +=得548x x -=C ．从10242x x -=-得10242x x +=+D ．从235x x =-得235x x -=3．（2023春·四川内江·七年级统考阶段练习）关于x 的方程3110.20.5x xx +--=+变形正确的是（ ）A ．31125x xx +--=+B ．10301010101025x xx +--=+C ．()()53211x x x +-=-+D ．31101025x x x +--=+限时过关4．（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）下面是小明解方程1118420482x æö+-=ç÷èø的过程，但顺序被打乱，其中正确的顺序是（ ）①移项、合并同类项，得13212048x æö-=ç÷èø；②方程两边同乘4，得113222048x æö+-=ç÷èø；③移项、合并同类项，得652048x =；④方程两边同除以32，得11204832x -=．A ．①②③④B ．④③②①C ．②①④③D ．③④②①5．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）整式mx n +的值随x 取值不同而不同，下表是当x 取不同值时对应的整式的值，则关于x 的方程2224mx n --=的解为（ ）.x2-1-012mx n+44-8-12-A ．2x =B ．=1x -C ．0x =D ．1x =6．（2023秋·六年级课前预习）已知关于x 的方程434155ax x x -+-=-的解是整数，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）A ．8-B ．5-C ．0D ．2二、填空题（每题3分）7．（2023秋·七年级课时练习）利用合并同类项解一元一次方程步骤依据合并同类项，将方程转化为ax b =（0a ¹，b 为常数）的形式合并同类项法则系数化为1，得bx a=8．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考期中）在实数范围内定义运算“♥”：()a b a a b b =-+♥，若()()319x --=♥，则x 的值是．9．（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知关于x 的方程231m x -=-的解与方程2138x x-=+的解相同，则m 的值 ．10．（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）已知12247y x y x +==-，，若120y y -=，则x 的值为 ．11．（2023春·河南南阳·七年级统考阶段练习）把19-这9个数填入33´的方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），洛书是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则关于x 的一元一次方程0ax b +=的解为 ．12．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）对于两个数a ，b ，我们规定用{},M a b 表示这两个数的平均数，用{}min ,a b 表示这两个数中最小的数，例如：{}1211,222M -+-==，{}min 2,02-=-，如果{}{}3,23min 2,3M x +=--，那么x = ．三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）13．（2023春·福建福州·七年级校考开学考试）解下列方程：(1)3(21)15x -=；(2)2531162x x -+-=．14．（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(||4)(4)230a x a x b ---++=是一元一次方程．(1)求a 的值；(2)若已知方程与方程3642x x -=-的解互为相反数，求b 的值；(3)若已知方程与关于x 的方程4792x x b -=-+的解相同，求b 的值．15．（2023·全国·七年级专题练习）定义：关于x 的方程0ax b -=与方程0bx a -=（a ，b 均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程210x -=与方程20x -=互为“相反方程”．(1)若关于x 的方程①：520x p -+=的解是2x =，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______；(2)若关于x 的方程210x b -+=与其“相反方程”的解都是整数，求整数b 的值；(3)若关于x 的方程0kx k +=与()24127m x nx -+=-互为“相反方程”，直接写出代数式()123132m n m n ---+⎡⎤⎣⎦的值．。