初一数学第10讲：合并同类项
- 格式：docx
- 大小：222.35 KB
- 文档页数：8
文档推荐
-
人教版七年级数学第十章检测卷(有答案)页数:14
-
七年级数学下册第十章教案1页数:6
-
七年级数学下册第十章教案页数:8
-
初一数学第十章知识点总结页数:3
-
七年级数学-第十章页数:4
-
初一数学第十章的教学计划页数:4
下载文档原格式
合集下载
《合并同类项》 讲义
《合并同类项》讲义一、什么是合并同类项在数学中，合并同类项是整式运算中的一个重要概念。
那到底什么是合并同类项呢？我们先来看看什么是同类项。
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
比如，3x²y 和 5x²y 就是同类项，因为它们都含有字母 x 和 y，并且 x 的指数都是 2，y 的指数都是 1。
而合并同类项，就是把多项式中的同类项合并成一项。
为什么要合并同类项呢？这是为了简化式子，让我们更方便地进行计算和处理。
二、合并同类项的法则合并同类项有一定的法则，遵循这些法则可以保证计算的准确性。
首先，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
举个例子，5x ＋ 3x ＝（5 ＋ 3)x ＝ 8x 。
这里 5x 和 3x 是同类项，系数 5 和 3 相加得到 8，x 的指数不变，所以合并后的结果是 8x 。
再比如，7ab² 3ab²＝（7 3)ab²＝ 4ab²。
要特别注意的是，如果同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为 0 。
比如，2x² 2x²＝ 0 。
三、合并同类项的步骤那具体怎么进行合并同类项呢？一般可以按照以下步骤来操作：第一步，找出多项式中的同类项。
这需要我们对同类项的定义有清晰的理解，能够准确地判断哪些项是同类项。
第二步，将同类项的系数相加。
第三步，写出合并后的结果。
为了更清楚地说明这个过程，我们来看几个具体的例子。
例 1：3x ＋ 2x² 5x ＋ 7x²首先，找出同类项。
3x 和－5x 是同类项，2x²和 7x²是同类项。
然后，将同类项的系数相加。
3x 5x ＝－2x ，2x²＋ 7x²＝ 9x²。
最后，合并后的结果是 9x² 2x 。
例 2：4xy² 3x²y ＋ 2xy²＋ 5x²y同类项有：4xy²和 2xy²，－3x²y 和 5x²y 。
合并同类项课件人教版七年级数学上册
=-
1
2
a2b
2
（2）a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3.
解：原式=a3+(-a2b+a2b)+(ab2-ab2)+b3 =a3+b3
归纳：
1.把多项式中的同类项合并成一项，叫做 合__并__同__类__项_ 。 2.合并同类项后，所得系数是合并前各项系数的_和____， 且字母连同它的指数_不__变___。 3.合并同类项的步骤：①找：准确找出同类项； ②合：把同类项系数相加，字母和字母的指数不变； ③定：确定合并的结果。不是同类项的不能合并，不能 合并的项，在每一步运算中都要写上。
3y2﹣xy4+6x4y3+2x2y-5 按x的降幂排列为___________________________, 按y的升幂排列为___________________________.
答：降幂： 6x4y3+3x3y2+2x2y-xy4-5 升幂：-5+2x2y+3x3y2+6x4y3-xy4
合并同类项
学习目标：
同类项的概念，会辨别同类项.（重点） 合并同类项的法则，能熟练的合并同类项.（重点） 化简，求值，运算，解决实际问题.（难点）
自学指导：
阅读P62-P65的内容，思考以下问题
1.完成63页的探究，你能得到什么规律？
2.什么是同类项?常数项是同类项吗?如何合并同类项?
3.一个多项式如何进行降幂的排列吗？
2.多项式x2-3kxy-3y2+ 1xy-8合并同类项后不含xy项，则k
3
的值是（ C ）。
A. 1
B. 1
C. 1
《合并同类项》 讲义
《合并同类项》讲义一、什么是合并同类项在数学中，合并同类项是代数式运算中的一个重要概念。
简单来说，就是把多项式中具有相同字母且相同字母的指数也相同的项，合并成一项。
为了更好地理解这个概念，我们先来看几个例子。
比如，式子 3x＋ 5x 中，3x 和 5x 都含有字母 x，并且 x 的指数都是 1，像这样的项就叫做同类项。
我们可以将它们合并起来，得到 8x 。
再比如，2y² 3y²，它们也是同类项，合并后为 y²。
那么，为什么要合并同类项呢？这是因为通过合并同类项，可以将复杂的多项式简化，使计算更加简便和清晰。
二、合并同类项的法则合并同类项有一定的法则需要遵循，主要包括以下几点：1、同类项的系数相加同类项的系数，就是字母前面的数字。
在合并时，将这些系数相加，作为合并后同类项的系数。
例如，4a ＋ 2a ，4 和 2 就是系数，相加得到 6，所以合并后为 6a 。
2、字母和字母的指数不变合并同类项时，字母以及字母的指数保持不变。
比如 7x²y 3x²y ，合并后为 4x²y ，x²y 这部分始终不变。
3、不是同类项不能合并这点很重要，如果两个项不是同类项，就不能强行合并。
例如 3x和 5y ，由于字母不同，不是同类项，不能合并。
三、合并同类项的步骤下面我们来详细了解一下合并同类项的具体步骤：1、找出同类项首先，需要仔细观察多项式中的每一项，找出具有相同字母和相同字母指数的项，确定哪些是同类项。
2、移动同类项将同类项通过加法交换律移动到一起，方便后续的合并。
3、合并同类项按照合并同类项的法则，将同类项的系数相加，得到合并后的结果。
4、检查结果合并完成后，要再次检查结果是否正确，确保没有遗漏或错误。
为了让大家更清楚地理解这些步骤，我们通过几个实例来实际操作一下。
例 1：合并 3x ＋ 4x首先找出同类项，3x 和 4x 是同类项。
然后移动同类项，将它们写在一起：3x ＋ 4x 。
七年级数学上册《同类项、合并同类项》PPT
项,叫做同类项.
两同
①所含字母相同 ②相同字母指数相同
两无关
★与字母顺序无关； ★与系数无关；
★注意：常数项也是同类项。
引入 探究1 练习1 探究2 练习2 小结 作业
开始 结束
消除“STAR”
引入
生活
例题
法则
探究1 练习1
如图，大长方形由两个小长方形组成，求这个大长
方形的面积。
8
5
探究2
n
练习2
下列各题计算正确的是（ D ）
A. a+a=2a2， B. 3a+2b=5ab， C. 5y2-3y2=2， D. 4x2y-5x2y= -x2y.
开始 结束
引入
我能行 我最行 就我行 比一比
探究1
练习1 学
学
业 探究2 水
业 水
练习2
平 测
平 测
小结 试
试
作业
开始 结束
引入 探究1 练习1 探究2 练习2 小结 作业
开始 结束
引入 探究1 练习1 探究2 练习2 小结 作业
开始 结束
讨论
定义
找一找：以下几组单项式有什么相同点.
（1）2x和-3x;
(2) 5st和7ts;
－0.5x3y2和 2x3y2
想一想： 其它2组单项式是否也有这一特点？
引入 探究1 练习1 探究2 练习2 小结 作业
开始 结束
讨论
定义
定义：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的
（1）
（2）
小结
大长方形的面积是：S＝S1＋S2
作业 8n＋5n ＝（8 ＋ 5）n பைடு நூலகம்13 n
七年级合并同类项知识点讲解
七年级合并同类项知识点讲解在初中数学中，有许多重要的概念和方法需要掌握，其中合并同类项是必须掌握的重要知识之一。
那么，什么是合并同类项呢？它有什么应用呢？下面我们就来详细探讨一下。
一、什么是合并同类项？合并同类项指的是将两个或多个含有相同的字母，并且这些字母的次数相同的项合并成一个新的项。
比如：$3a+4a$，就可以合并成$7a$。
合并同类项要注意系数的加减运算。
二、合并同类项的规则在合并同类项的时候，我们需要牢记以下几条规则：1.合并同类项是将相同的字母次数相同的项合并成一个。
2.合并同类项要注意系数的正负，并且不能合并不同字母的项。
3.在合并同类项的时候，我们只需要合并同类项，而不需要改变其他的项。
例如，将$3a+4b-2a$合并同类项，可以得到：$3a - 2a + 4b$。
在这个过程中，我们将$3a$和$-2a$合并成了一个项$(3a-2a)$，而其他项不受影响。
三、合并同类项的应用合并同类项的应用非常广泛，它可以简化我们的计算，还可以帮助我们将复杂的式子化简，便于问题的求解。
下面我们举几个例子来说明。
例1：$2x+3y-5x+7y$首先，将相同字母次数相同的项合并得到：$-3x+10y$例2：$15a^2+5ab-4a^2+2ab$合并同类项后可得：$11a^2+7ab$例3：$4a^2b+2ab^2-3a^2b+9ab^2$合并同类项后可得：$ab(4a - 3) + ab^2(2 + 9)$通过这些例子，我们可以看到，合并同类项可以帮助我们简化计算，让我们更快地得到准确答案。
同时，合并同类项也是化简复杂式子的重要手段之一。
综上所述，掌握合并同类项的规则和应用，对于初中阶段数学的学习和应用都非常有帮助。
我们要认真学习，多做练习，才能够掌握这一重要的知识点。
七年级合并同类项知识点
七年级合并同类项知识点七年级数学：合并同类项知识点在七年级数学学习中，合并同类项是一个非常重要的知识点。
对于合并同类项的掌握，不仅有助于学生对数学的理解，还可以在日常生活中应用。
本文将针对七年级数学中的合并同类项知识点进行详细讲解。
一、同类项的概念同类项指的是在一个式子中具有相同的字母和字母的指数的项。
例如，表达式2x+3x就是同类项，因为它们的字母都是x，它们的指数都是1。
另外，-2xy和3xy也是同类项，因为它们的字母都是xy，指数都是1。
二、合并同类项的方法合并同类项指的是将一个式子中的同类项相加或相减。
如何合并同类项呢？下面是一些合并同类项的方法，供大家参考：1. 通项公因式法如果一个式子中的每一项都有相同的公因式，我们可以先将公因式提取出来。
例如，2x+3x可以写成x(2+3)，再按照加减法则进行合并。
2. 消元法对于两个同类项，如果一个是正数，另一个是它的相反数，那么它们在求和时就可以相互抵消。
例如，5x-3x可以写成5x+(-3x)，再按照加减法则进行合并。
3. 位值扩展法对于多项式中的高次项，我们可以将其分解成低次项相加的形式。
例如，2x^2+3x+4x^2可以写成(2+4)x^2+3x，再按照加减法则进行合并。
三、合并同类项的注意事项在合并同类项时，需要注意以下几点：1. 只有同类项才能相加或相减。
如果不是同类项，无法合并。
2. 合并同类项时应注意符号。
同类项的符号相同时相加，符号不同时相减。
3. 在多项式中，合并同类项时要保持项的顺序不变。
如果顺序改变，将无法得到正确的结果。
总之，在进行合并同类项的时候，需要认真阅读题目，并掌握好合并同类项的方法，注意每个步骤的细节。
四、合并同类项的练习下面是一些针对合并同类项的练习题，供大家练习：1. 合并同类项2x+3y+4x-5y的结果是什么？2. 合并同类项3x^2+5x+6x^2的结果是什么？3. 合并同类项2a+3a-4b-b的结果是什么？4. 合并同类项5x^2-3x+7-2x^2的结果是什么？练习题的答案：1. 合并同类项2x+3y+4x-5y的结果是6x-2y。
(完整版)初一上册数学合并同类项知识点整理
初一上册数学《合并同类项》知识点整理初一上册数学《合并同类项》知识点整理要点一、同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．要点诠释：(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．要点二、合并同类项1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并(或合并同类项)。
同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
为什么合并同类项时，要把各项的系数相加而字母和字母的指数都不改变，这有什么理论依据吗?其实，合并同类项法则是有其理论依据的。
它所依据的就是大家早已熟知了的乘法分配律，a(b+c)=ab+ac。
合并同类项实际上就是乘法分配律的逆向运用。
即将同类项中的每一项都看成两个因数的积，由于各项中都含有相同的字母并且它们的指数也分别相同，故同类项中的每项都含有相同的因数。
合并时将分配律逆向运用，用相同的那个因数去乘以各项中另一个因数的代数和。
合并同类项时注意：（1）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0。
（2）不要漏掉不能合并的项。
（3）只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。
（4）不是同类项千万不能进行合并。
选择题(^为平方号）1.计算a^2+3a^2的结果是( )A.3a^2B.4a^2C.3a^4D.4a^42.下面运算正确的是( ).A.3a+2b=5abB.a^2b-3ba^2=0C.3x^2+2x^3=5x^5D.3y^2-2y^2=13.下列计算中,正确的是( )A、2a+3b=5abB、a3-a2=aC、a2+2a2=3a2D、(a-1)0=1.4.已知一个多项式与3x^2+9x的和等于3x^2+4x-1,则这个多项式是( )A.-5x-1B.5x+1C.-13x-1D.13x+15.下列合并同类项正确的是A.2x+4x=8x^2B.3x+2y=5xyC.7x^2-3x^2=4D.9a^2b-9ba^2=06.加上-2a-7等于3a^2+a的多项式是（）A.3a^2+3a-7B.3a^2+3a+7.C.3a^2-a-7D.-4a^2-3a-77.当a=1时,a-2a+3a-4a+......+99a-100a的值为（）A.5050B.100C.50D.-50化简1、2(2a^2+9b)+3(-5a^2-4b)2、3x^2+2xy-4y^2-3xy+4y^2-3x^2参考答案选择题 1.B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.B 7.D化简1、解：原式=4a^2+18b-15a^2-12b=-11a^2+6b2、解：原式=（3x^2-3x^2）+(2xy-3xy)+(4y^2-4y^2)=-xy。
初中数学同步 7年级上册 第10讲 解一元一次方程(一)-合并同类项和移项(教师版含解析)
第10讲小节 3.2 解一元一次方程(一)-合并同类项和移项1.掌握移项的定义及熟知移项的依据；2.掌握用移项、合并同类项解一元一次方程.知识点01 移项1.移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程得一边移到另一边，这种变形叫做移项，移项的依据是等式的基本性质一。
1．将方程3x+20＝4x﹣25通过移项得3x﹣4x＝﹣25﹣20的根据是()A．加法交换律B．乘法分配律C．等式性质1D．等式性质2【解答】解：将方程3x+20＝4x﹣25通过移项得3x﹣4x＝﹣25﹣20的根据是等式性质1．故选：C．2．把2x+5＝7﹣3x移项，下列选项中正确的是()A．2x﹣3x＝7﹣5B．2x+3x＝7﹣5C．2x﹣3x＝5﹣7D．2x+3x＝5﹣7【解答】解：2x+5＝7﹣3x，移项得：2x+3x＝7﹣5，故选：B．3．下列方程的移项正确的是()A．从2x＝3﹣x得2x﹣x＝3B．从10+x＝6得x＝6+10C．从3x+4＝5x﹣1得4+1＝5x﹣3xD．从﹣x＝x﹣1得﹣1＝x﹣x【解答】解：A.2x＝3﹣x移项，得2x+x＝3，故本选项不合题意；B.10+x＝6移项，得x＝6﹣10，故本选项不合题意；C.3x+4＝5x﹣1移项，得4+1＝5x﹣3x，故本选项符合题意；D．从﹣x＝x﹣1移项，得，所以，4x﹣3x＝2，故本选项不合题意．故选：C．4．下列变形符合移项要求的是()A．由2x＝4，得x＝4﹣2B．由6x+4＝2x﹣1，得4+6x＝2x﹣1C．由9﹣x＝x﹣3，得﹣x﹣x＝﹣9﹣3D．由x+8＝2x﹣5，得2x﹣5＝x+8【解答】解：移项是指把方程中的某些项从等号一边移到另一边，∴由9﹣x＝x﹣3，得﹣x﹣x＝﹣9﹣3，此变形属于移项，故选：C．5．方程5x+2＝1﹣3x移项，得5x+3x＝1﹣2，也可以理解为方程两边都()A．减去(﹣3x+2)B．加上(﹣3x+2)C．减去(3x+2)D．加上(3x+2)【解答】解：根据等式的基本性质1，方程5x+2＝1﹣3x的两边同时减去(﹣3x+2)，可得：5x+2﹣(﹣3x+2)＝1﹣3x﹣(﹣3x+2)，即5x+3x＝1﹣2．故选：A．6．解方程x+3＝﹣2，移项得x＝﹣2﹣3，依据是等式性质1．【解答】解：依据是等式性质1，故答案为：等式性质1．7．由8x＝3x﹣15移项，得8x﹣3x＝﹣15．在此变形中，方程两边同时加上的式子是﹣3x．【解答】解：由8x＝3x﹣15移项，得8x﹣3x＝﹣15，在此变形中，方程两边同时加上的式子是﹣3x．故答案为：﹣3x．8．解方程3m﹣5＝2m时，移项将其变形为3m﹣2m＝5的依据是等式的基本性质1．【解答】解：依据等式的基本性质1，等号的两边同时减2m加5得3m﹣2m＝5．故答案为：等式的基本性质1．知识点02 解一元一次方程的一般步骤1.解一元一次方程的一般步骤：①移项；②合并同类项；③未知数系数化为1.注意事项：1、解方程时，常常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。
《合并同类项》 讲义
《合并同类项》讲义一、什么是合并同类项在数学的世界里，我们经常会遇到各种各样的式子和运算。
而合并同类项，就是其中一种非常重要的运算方法。
那到底什么是同类项呢？简单来说，同类项就是具有相同特征的项。
这些特征包括所含字母相同，并且相同字母的指数也相同。
比如说，3x 和 5x 就是同类项，因为它们都只含有字母 x，并且 x的指数都是 1。
再比如，2y²和－7y²也是同类项，它们都含有字母 y，且 y 的指数都是 2。
而合并同类项，就是把这些同类项合并成一项。
二、为什么要合并同类项合并同类项在数学运算中有着非常重要的作用。
首先，它可以简化式子，让我们更清晰地看到式子的结构和特点。
想象一下，如果一个式子中有很多同类项没有合并，会显得非常复杂和混乱，不利于我们进行计算和分析。
其次，合并同类项可以帮助我们更方便地解决问题。
在解方程、化简代数式等数学运算中，经常需要先合并同类项，然后再进行后续的操作。
例如，当我们解一个方程 3x ＋ 5x ＝ 16 时，如果先把 3x 和 5x 合并成 8x，那么方程就变成了 8x ＝ 16，这样就很容易求出 x 的值。
三、如何合并同类项合并同类项其实并不难，只要掌握了方法，就能够轻松应对。
第一步，找出式子中的同类项。
这需要我们仔细观察式子中各项的字母和指数，确定哪些是同类项。
第二步，将同类项的系数相加。
同类项的系数就是前面的数字，把它们相加就可以了。
第三步，将相加后的系数和字母以及字母的指数写在一起。
举个例子，对于式子4x ＋2x 3x，首先我们找出同类项，这里4x、2x 和－3x 都是同类项。
然后，将它们的系数 4、2 和－3 相加，得到4 ＋ 2 3 ＝ 3。
最后，把系数 3 和字母 x 写在一起，就得到合并后的结果 3x。
再比如，对于式子 3xy² 5xy²＋ 7xy²，同类项是 3xy²、－5xy²和7xy²，它们的系数分别是 3、－5 和 7，相加得到 3 5 ＋ 7 ＝ 5，所以合并后的结果是 5xy²。
七年级上学期《合并同类项》教学PPT课件【初中数学】公开课
下课了! 六、结束寄语
谢谢指导! 祝大家生活愉快, 同学们学习进步!
n
法二： S大＝（8+5）n
＝13n 依据是乘法分配律（逆用）
8n+5n = (8+5)n=13n
2、什么叫做合并同类项？它的依据是什么？
8 n＋ 5 n ＝（8 ＋ 5） n ＝13 n 7a2b 2a2b (7 2)a2b 5a2b 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做
(1)含字母相同
(2)相同字母的指数(次数)也相同
观察、探讨:下列各组式子有什么共同点?
A组: -3a 2a
5a
各组共同点：
B组: 1 n2
4
3 4
n2
C组： 1 a2b 2a2b
4
D组:-1 5 -3/4
4n2
0.5a2b
0.25
(1)含字母相同
(2)相同字母的 指数也相同
1、同类项的定义：
（2）7a+3a2+2a-a2+3
解: 原式=（7a+2a)+(3a2-a2)+3 =(7+2)a+(3-1)a2+3 =9a+2a2+3
解决这类问题的步骤： 1、找：找出同类项 2、移：把同类项放在 一起 3、合并：系数相加 （利用分配律）
注意： 1）合并同类项只是系数相加，字母与字母的指数不变。
2. 合并同类项：巩固练习
13a 2b 5a b 2 4ab 8 2b2 9ab 8 解：1 3a 2b 5a b
(3a 5a) (2b b) (3 5)a (2 1)b 2a b
2 4ab 8 2b2 9ab 8
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。
2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。
【解题思路】1．把向量用OA ，OB ，OC 表示出来。
2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O ，由AB AC →→=得，22()()OB OA OC OA -=-，因为1OA OB OC ===，所以有，OB OA OC OA ⋅=⋅则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-2OB OC OB OA OA OC OA =⋅-⋅-⋅+ 21OB OC OB OA =⋅-⋅+设OB 与OA 的夹角为α，则OB 与OC 的夹角为2α所以，cos 22cos 1AB AC αα⋅=-+2112(cos )22α=--即，AB AC ⋅的最小值为12-，故选B 。
【举一反三】【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 .【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==， AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. 2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的焦点()1,0F ，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB →→⋅=，求BDK ∆内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。
【易错点】1．设直线l 的方程为(1)y m x =+，致使解法不严密。
2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。
【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。
2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。
3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】（Ⅰ）由题可知()1,0K -，抛物线的方程为24y x =则可设直线l 的方程为1x my =-，()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -，故214x my y x =-⎧⎨=⎩整理得2440y my -+=，故121244y y m y y +=⎧⎨=⎩则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y yx ==，所以()1,0F 在直线BD 上.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，所以()()212121142x x my my m +=-+-=-，()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-，()221,FB x y →=-故()()()21212121211584FA FB x x y y x x x x m →→⋅=--+=-++=-，则28484,93m m -=∴=±，故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=213y y -===±，故直线BD 的方程330x -=或330x -=，又KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心()(),011M t t -<<，(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131,54t t +--------------10分 由313154t t +-=得19t =或9t =（舍去）.故圆M 的半径为31253t r +== 所以圆M 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【举一反三】【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝54|PQ|.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y 2＝4x. （2）x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 【解析】（1）设Q(x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x.（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D(2m 2＋1，2m)， |AB|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ，|MN|＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即 4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1， 故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.三、考卷比较本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。
题型分值完全一样。
选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。
3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。
四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）。