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专题17 椭圆考纲解读明方向考纲解读分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II 】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）A. B. C. D.2．【2018年浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足=2，则当m =_____时，点B横坐标的绝对值最大．3．【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．4．【2018年理数天津卷】设椭圆(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为，点A 的坐标为，且.（I ）求椭圆的方程； （II ）设直线l ：与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若(O为原点) ，求k 的值.5．【2018年全国卷Ⅲ理】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．2017年高考全景展示1.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23D ．592.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．133.【2017天津，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △AP 的方程. 4.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.2016年高考全景展示1.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<12.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交 于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）343.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 .4.【2016高考天津理数】设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.5.【2016高考浙江理数】如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.6. 【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．。
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ)理科数学注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．2 2．已知集合2{|20}A x x x =-->,则A =RA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C {|1}{|2}x x x x <->D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后,种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a ，则5aA ．12-B ．10-C ．10D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+。
若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点,则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC +7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x ：的焦点为F ，过点(2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点，则FM FNA ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
专题01 集合考纲解读明方向分析解读1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.2.深刻理解、掌握集合的元素,子、交、并、补集的概念.熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质.能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言表示为表现形式,考查数学思想方法.4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年理北京卷】已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2．【2018年理新课标I卷】已知集合，则A. B.C. D.【答案】B程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3．【2018年全国卷Ⅲ理】已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】由集合A得,所以，故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。
4．【2018年理数全国卷II】已知集合，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4【答案】A【解析】.，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 5．【2018年理数天津卷】设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．【2018年江苏卷】已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2017年高考全景展示1.【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由可得，则，即，所以，，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.【2017课标II，理】设集合，.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】交集运算，元素与集合的关系【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.两个防范：一是不要忽视元素的互异性；二是保证运算的准确性.3．【2017课标3，理1】已知集合A=，B=，则A B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【考点】交集运算；集合中的表示方法.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4.【2017北京，理1】若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，则A B=（）（A）{x|–2<x<–1} （B）{x|–2<x<3}（C）{x|–1<x<1} （D）{x|1<x<3}【答案】A【解析】利用数轴可知，故选A.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.5.【2017浙江，1】已知，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用数轴，取所有元素，得．【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．6.【2017天津，理1】设集合，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】 ,选B【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.7.【2017江苏，1】已知集合，，若则实数的值为 .【答案】1【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.2016年高考全景展示1.【2016课标1,理1】设集合 ,,则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.2.【2016新课标3理数】设集合，则（）(A) [2，3] (B)（-，2] [3,+） (C) [3,+） (D)（0，2] [3,+）【答案】D【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．3.【2016新课标2理数】已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：集合，而，所以，故选C.考点：集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.4. 【2016山东理数】设集合则=（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.5.【2016浙江理数】已知集合则（）A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．【答案】B【解析】试题分析：根据补集的运算得．故选B．考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，的系数一定要保证为正数，若的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．6.【2016年北京理数】已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，故选C.考点：集合交集.【名师点睛】1．首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．7.【2016年四川理数】设集合，Z为整数集，则中元素的个数是（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.8．【2016天津理数】已知集合则=（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】试题分析：选D.考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.9.【2016江苏卷】已知集合则____________. 【答案】【解析】试题分析：考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解。
专题17 椭圆考纲解读明方向 考纲解读分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.全景展示高考年82011．【2018年理数全国卷II 】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，，所以PF 2=F 1F 2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.3．【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．【答案】 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 4．【2018年理数天津卷】设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k的值为或点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【2018年全国卷Ⅲ理】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。
专题16 直线与圆考纲解读明方向分析解读 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌握求直线方程的三种方法:直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直.4.熟记两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三种距离.5.理解方程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合应用,分值约为5分,属中档题.分析解读 1.了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.3.高考对本节内容的考查以圆的方程为主,分值约为5分,中等难度,备考时应掌握“几何法”和“代数法”,求圆的方程的方法及与圆有关的最值问题.分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等有关知识解决有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为5分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年理北京卷】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．2．【2018年全国卷Ⅲ理】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点，,则，点P在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线距离，故点P到直线的距离的范围为，则，故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
2018年高考压轴分析——浙江卷第17题解法赏析
直线与椭圆相关，常规思路，联立消元
解法一：常规联立
既然是联立，要求m的范围，为何不直接把K也消去，直接求出x2和m的关系？
解法二：常规联立
方法一、二本质都一样，通过联立消元，求m的范围。
既然点在椭圆上，尝试椭圆参数方程。
解法三：椭圆参数方程
椭圆参数方程都可以了，要不也试试直线参数方程？
解法四：直线参数方程
解法五：二级定理椭圆垂径定理
解法六：向量坐标法
向量坐标法，一气呵成，方法最佳
解法七：定比点差法
这种方法其实点差法的拓展，常用于AB=mBC题型
解法八：几何角度更精彩
该方法来自浙江嘉兴李问老师。
椭圆的定义及其标准方程高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆典例在线已知F 1，F 2是椭圆22143x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上． （1）若点P 到焦点F 1的距离等于1，则点P 到焦点F 2的距离为____________；（2）过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为____________；（3）若12120PF F =︒∠，则点P 到焦点F 1的距离为____________．【参考答案】（1）3；（2）8；（3）65．【解题必备】在椭圆中，由三条线段1||PF ，2||PF ，12||F F 围成的三角形称为椭圆的焦点三角形，涉及椭圆的焦点三角形的问题，可结合椭圆的定义：12||||2PF PF a +=求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．同时应注意勾股定理、正弦定理、余弦定理等的灵活应用． 学霸推荐1．如果222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是A ．()0,1B ．()0,2C ．()1,+∞D ．()0,+∞2．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点1F ,2F 在x 轴上,离心率为12,点P 为椭圆上一点,且12PF F △的周长为12,那么C 的方程为 A ．22125x y += B ．221164x y += C ．2212524x y +=D ．2211612x y +=1．【答案】A【解析】方程222x ky +=化成标准方程为22122x y k +=，若其表示焦点在y 轴上的椭圆，则()22,0,1k k>∴∈,故选A.2．【答案】D 【解析】由题设可得122c a c a =⇒=，又由椭圆的定义可得22126a c a c +=⇒+=，即362,4c c a =⇒==，所以216412b =-=，则椭圆方程为2211612x y +=，应选D. 【名师点睛】（1）在求椭圆方程时，若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设椭圆方程为221(0,0)Ax By A B +=>>，可避免分类讨论和繁琐的计算.（2）若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.（3）求椭圆标准方程常用待定系数法，其步骤一般分三步完成：①定性，确定它是椭圆；②定位，判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；a b c e的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.③定量，建立关于基本量,,,。
专题17 椭圆考纲解读明方向 考纲解读考点内容解读要求常考题型 预测热度1.椭圆的定义及其标准方程 掌握 选择题 解答题★★★2.椭圆的几何性质掌握填空题 解答题★★★3.直线与椭圆的位置关系 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握 解答题 ★★★分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II 】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为为等腰三角形，，所以PF 2=F 1F 2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.3．【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．【答案】 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4．【2018年理数天津卷】设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k的值为或点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【2018年全国卷Ⅲ理】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m 得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。
专题17 椭圆考纲解读明方向考纲解读考点内容解读要求常考题型预测热度1.椭圆的定义及其标准方程掌握选择题解答题★★★掌握椭圆的定义、几何图形、2.椭圆的几何性质掌握标准方程及简单性质填空题解答题★★★3.直线与椭圆的位置关系掌握解答题★★★分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，，所以PF 2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2 ，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个) 变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.3．【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．【答案】 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4．【2018年理数天津卷】设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB= ，故．由，可得5y1=9y2．由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）= ，两边平方，整理得，解得，或．所以，k的值为或点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【2018年全国卷Ⅲ理】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而 ， .于是 .同理.所以.故 ，即 成等差数列.设该数列的公差为 d ，则 .②将代入①得.所以 l 的方程为，代入 C 的方程，并整理得.故，代入②解得 .所以该数列的公差为 或 .点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求 可减小计算量，第二问由已知得到,求出 m 得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。
2017年高考全景展示1.【2017浙江，2】椭圆x y的离心率是2219 4 A ． 133B ． 53C ． 23 D ． 59【答案】B 【解析】 试题分析：e 9 4 5，选B ．33【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a ,b ,c 的 方程或不等式，再根据 a ,b ,c 的关系消掉b 得到 a ,c 的关系式，建立关于 a ,b ,c 的方程或不等 式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 2.【2017课标 3，理 10】已知椭圆 C ：xy2 2 221且以线段A1A25为直径的圆与直线bx ay 2ab0相切，则 C 的离心率为A ．63B ． 33C ． 23D ． 13【答案】A 【解析】【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)， 常见有两种方法：①求出 a ，c ，代入公式 e ＝c a；②只需要根据一个条件得到关于 a ，b ，c 的齐次式，结合 b 2＝a 2－c 2转化为 a ，c 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a 2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可 得 e (e 的取值范围).3.【2017天津，理 19】设椭圆 xy22 221( 0)a b 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，离心率a b为1 2.已知 A 是抛物线 y 22px ( p 0) 的焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为 12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点 P ，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （ B 异于点 A ），直 线 BQ 与 x 轴相交于点 D .若△APD 的面积为62，求直线 AP 的方程.36【解析】1 1试题分析：由于A为抛物线焦点，F到抛物线的准线l的距离为a c ，又椭圆的，则2 21离心率为，求出c,a,b，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则A(1, 0) ，设直线AP方程2为设x my 1(m 0) ，解出P、Q两点的坐标，把直线AP方程和椭圆方程联立解出B点坐标，写出BQ所在直线方程，求出点D的坐标，最后根据△APD的面积为62解方程求出m，得出直线AP的方程.试题解析：（Ⅰ）解：设F的坐标为(c,0).依题意， 1c，a 2p2， 1a a c ，解得2a ，c 1 ，p 2 ，于是 2 2 2 31 b a c .所以，椭圆的方程为2 42 4y2x 1，抛物线的3方程为y 2 4x.（Ⅱ）解：设直线AP的方程为x my 1(m 0) ，与直线l的方程x1联立，可得点2P( 1, ) .将x my1与，故Q( 1, 2 )m m2 4y2x 1联立，消去x，整理得3(3m 4)y 6my 0，解得y0，或2 2y6m3m42.由点B异于点A，可得点3m 46m2B( , )3m 4 3m 42 2.由2Q (1, )，可得直线BQ的方程为m6m 2 3m 4 22( )(x1) ( 1)(y) 03m 4 m3m 4 m2 2，令y 0，解得x23m23m 22，故22 21 6m2 622 3m 2 | m| 22 ，整理得3m 2 2 6 | m | 2 0 ，解得| m | 6 ，所以6m.3 3所以，直线AP的方程为3x 6y 3 0 ，或3x 6y 3 0.【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解7决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 4.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆xy22E :1(a b 0) 的左、右焦 ab22点分别为 F , 1F ,离心率为21 2,两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过 点 F 作 直线 PF 的垂线l ,过点 F 作直线 1112PF 的垂线l .22（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 E 的交点Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标.【答案】（1）xy（2） (4 7 , 3 7 )2214 3 7 7【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为 c .因为椭圆 E 的离心率为 1 2 ，两准线之间的距离为 8，所以 c a 1 ， 2 2a 2 c8 ，解得 a 2,c 1，于是b a 2c 2 3 ，因此椭圆 E 的标准方程是xy .2214 3（2）由（1）知， F 1(1, 0) ，F 2 (1, 0) .设 P (x 0 , y 0 )，因为点 P 为第一象限的点，故 x 0 0, y 0 0.当 x 01时，l 与l 相交于 F ，与题设不符.211当 x 0 1时，直线yPF 的斜率为1x 0，直线 PF 2 的斜率为 y 0.x11因为l1⊥P F1 ，l2⊥PF2 ，所以直线l1 的斜率为x 1 x1，，直线l2 的斜率为y y0 08从而直线l 1 的方程：x1yx ， ①(1)y直线l 2 的方程：x1 y(x 1) .②y由①②，解得12 2x1x xx , y，所以Q ( x ,).yy1x 2 0 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得 y，即 x 2 y 2 或 x 2 y 2. y0 10 01又 P 在椭圆 E 上，故xy .2 2 014 322xy10 0由，解得xy2214 32 2 x y 1 0 04 7 3 7, 2 2xy；xy ，无解.771434 7 3 7 ( , ) 7 7 .因此点 P 的坐标为【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组， 利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的 坐标满足曲线方程.2016年高考全景展示1.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2：x2n2–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1 【答案】A9考点：1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆C 的焦点时，要注意c 2 a 2 b2 ；计算双曲线C 的焦点时，要注意1 2c a b．否则很容易出现错误．2 2 22.【2016高考新课标3理数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：x y2 22 2 1(a b0) 的a b左焦点，A, B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A 【解析】试题分析：由题意设直线l的方程为y k(x a) ，分别令xc与x0 得点| FM |k(a c) ，| OE |ka，由OBE: CBM，得12| OE| | OB |，即| FM| | BC|ka a 2k(a c) a c ，整理，得ca，所以椭圆离心率为 11e ，故选A．3 3考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得a,c的值，进而求得e的值；（2）建立a,b,c的齐次等式，求得ba或转化为关于e的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e．3.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x y2 22 2 1( )a＞b＞0a b的右焦点，直线by与椭圆交于B,C两点，且BFC90,则该椭圆的离心率210是 .【答案】63【 解析】由题意得3 b 3 bB ( a , ),C( a , ),， 因此2 222232b 22 26c( a ) () 0 3c 2ae.2 23考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出a ,c ，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 a ,c 的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于 a ,c 的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值. 4.【2016高考天津理数】（本小题满分 14分）x22y设椭圆1（ a 3 ）的右焦点为 F ，右顶点为 A ，已知a32| 1 OF | 13e ，| OA | | FA |其中O 为原点， e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点 A 的直线l 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点 M ， 与 y 轴交于点 H ，若 BFHF ，且 MOAMAO ，求直线的l 斜率的取值范围. 【答案】（Ⅰ）x 2y 2（Ⅱ） 66 , )1 (][ ,434 4 【解析】1 1 3c试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得| OF| | OA| | FA|1 1 3cc a a(a c)2 2 2 3c 2 1， 2 4再利用a cb ，可解得a （Ⅱ）先化简条件：，11| MA || MO | MOAMAO，即 M 再 OA 中垂线上， x1再利用直线与椭圆位置 M，关系，联立方程组求 B ；利用两直线方程组求 H ，最后根据 BF HF ，列等量关系解出直线斜率.取值范围试题解析：（1）解：设 F (c , 0) ，由11 3c ，即 1 13 c| OF | | OA | | FA | c a a (ac )，可得a 2 c 2 3c 2 ， 又 a 2 c 2b 2 3， 所 以c 2 1， 因 此 a 2 4， 所 以 椭 圆 的 方 程 为xy. 2214 3（2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为 k （ k0 ），则直线l 的方程为 yk (x 2).设 ( , )B x B y ，B22x y1由方程组4 3y k (x 2)，消去 y ，整理得 (4k 23)x 2 16k 2 x 16k 212 0 .解得 x 2 ，或8k 62x，由题意得4k328k62xB，从而4k3212k yB.4k 239 24k12k 由（Ⅰ）知， F (1, 0) ，设 (0, y),H，有 FH (1, y ) ， BF ().由 HH4k223 4k 39 k12ky4 2BF HF，得BF HF 0，所以0H ，解得4 3 4k 3k 229 4k 2y .因此直线MH H12k的方程为y1 9 4 2k x.k12ky设M(x M, y) ，由方程组My1 94k 2xk12kk(x 2)消去y，解得20k92xM .在MAO中，12( 2k 1)MOA，即( 2)2 2 2 2MAO| MA| | MO| x My x y，化简得x 1，即M M M M20k2 12(k2 91)6 6k 或k.1，解得4 46 6所以，直线l的斜率的取值范围为(],)., [4 4考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程12【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等 量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 5.【2016高考浙江理数】（本题满分 15分）如图，设椭圆 x221y （a ＞1）.2a（I ）求直线 y =kx +1 被椭圆截得的线段长（用 a 、k 表示）；（II ）若任意以点 A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取 值 范围.2a k2【答案】（I ）1a k2 21k2；（II ）2 e ．2【解析】试题分析：（I ）先联立 y kx 1和x2 21y ，可得2ax ， 1x ，再利用弦长公式可得直线2y kx 1被椭圆截得的线段长；（II ）先假设圆与椭圆的公共点有 4 个，再利用对称性及已知条件可得任意以点 A0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时， a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．y kx 1试题解析：（I）设直线y kx1被椭圆截得的线段为，由 2x得2y 1a21a2k2 x2 2a2kx0 ，13故x 10 ，2a k2x2 2 21a k．因此2a k21 212k x x k1 2 2 21 a k．（II）假设圆与椭圆的公共点有4 个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点，Q，满足AQ ．记直线，AQ 的斜率分别为k ，k k．k， 2 0k，且k，1 2 1 1 2由（I）知，2a k 1k2 21 11a k2 21，AQ2a k 1k2 22 21 a k2 22，故2a k 1k2a k1k2 2 2 21 12 21 a k 1 a k2 2 2 21 2，所以k kk k aa k k．1 2 1 1 2 2 1 2 02 2 2 2 2 2 2 2k k，k，k 得1 2 12 0由于1k k a 2 a k k 0 ，2 2 2 2 22 1 2 12因此1 11 1 1a a22 2k k2 21 2，①因为①式关于k，k的方程有解的充要条件是121a2 a 2 2 1，所以a 2 ．因此，任意以点A 0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a 2，14由e c a 2 1得，所求离心率的取值范围为0 aa2 e ．2考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率． 【思路点睛】（I ）先联立 y kx 1和x2 21，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得y 2a直线 ykx 1被椭圆截得的线段长；（II ）利用对称性及已知条件可得任意以点 A 0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时， a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．6. 【2016高考新课标 2理数】已知椭圆 E :xy221的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点，t3斜率为 k (k 0) 的直线交 E 于 A ,M 两点，点 N 在 E 上， MA NA ． （Ⅰ）当t4,| AM || AN | 时，求 AMN 的面积；（Ⅱ）当 2 AMAN 时，求 k 的取值范围．144 49【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）32,2 .试题解析：（I ）设M x y ，则由题意知 1, 1y，当 t 4时， E 的方程为1xy ，22143A. 2, 0由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4 .因此直线AM的方程为y x 2 .将x y 2代入x y 得2 217y 2 12y 0.解得y0或4 312y ，所以712y .171 12 12 144因此AMN的面积2.2 7 7 4915（II）由题意t 3 ，k 0 ，A t ,0.将直线AM的方程y k(x t) 代入x y2 2得1 2 2 2 2 23tk x 2 ttk x t k 3t0 .2 2 2 2 2t 3t k2 2由x t1 32tk得t 3tk2x1 23tk，故6 t 2 k2AM x t 1k21 23tk.1由题设，直线AN的方程为y x t，故同理可得kAN6k t 1k23k t2，由2 AM AN得2 k3tk3kt2 2，即k 3 2 t 3k2k1 .当k 3 2 时上式不成立，因此t3k2k1k 23.t 3 等价于k 2 k12k3k k 23 2k 2 k 23 30，即k2k 23k 2.由此得k 2 03k 2，或k 2 03，解得3 2 k2 .3 2,2 .因此k 的取值范围是考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．16。
