2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第二章 2.5指数与指数函数

2021-2022年高考数学大一轮复习精品讲义第二章函数、导数及其应用（含解析）对应学生用书P12基础盘查一函数的有关概念(一)循纲忆知1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(二)小题查验1．判断正误(1)函数是建立在其定义域到值域的映射( )(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点( )(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数( )(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×2．(人教A版教材复习题改编)函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域是________________．答案：[4,5)∪(5，＋∞)3．已知函数y ＝f (n )，满足f (1)＝2，且f (n ＋1)＝3f (n )，n ∈N *，则f (4)＝________.答案：54基础盘查二 分段函数(一)循纲忆知了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(二)小题查验1．判断正误(1)函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1，x ≥0，－1，x <0，是分段函数( )(2)若f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x >1或x <－1，则f (－x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，－1≤x ≤1，－x ＋1，x >1或x <－1( )答案：(1)√ (2)√ 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________，其值域等于各段函数的值域的________．答案：并集 并集3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 4x ，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x ＝________.答案：12对应学生用书P12[必备知识]1．函数的定义设A 、B 为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )．2．函数的三要素[题组练透]1．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝x －12B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列所给图象是函数图象的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B ①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.[类题通法]两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t －1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．考点二函数的定义域问题(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)求抽象函数的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.角度一：求给定函数解析式的定义域1．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________． 解析：由⎩⎨⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0⇒⎩⎨⎧ 0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]2．(xx·安徽高考)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：要使函数有意义，需⎩⎨⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎨⎧ x ＋1x >0，x 2≤1，即⎩⎨⎧ x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1]．答案：(0,1] 角度二：求抽象函数的定义域3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 014]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A ．[0,2 013]B ．[0,1)∪(1,2 013]C ．(1,2 014]D ．[－1,1)∪(1,2 013]解析：选B 令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 014]，可知1≤t ≤2 014.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 014，解得0≤x ≤2 013，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 013]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎨⎧ 0≤x ≤2 013，x －1≠0，解得0≤x <1或1＜x ≤2013.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1，2 013]．故选B.4．若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[1,2]C ．[10,100]D ．[0，lg 2]解析：选C 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C.角度三：已知定义域确定参数问题5．(xx·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0][类题通法]简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f (g (x ))的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．考点三 求函数的解析式(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的条件转化为该形式．(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法求出的解析式，不注明定义域往往导致错误．[典题例析](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )；(4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，求f (x )． 解：(1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1， 又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x >1. (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12. 所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R . (4)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x－1， 将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x x －1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中， 可求得f (x )＝23x ＋13. [类题通法]求函数解析式常用的方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(4)消去法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．[演练冲关]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1，即f (x )＝x 2－1，x ≥1.2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c .又∵方程f (x )＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c ＝0，解得c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.考点四 分段函数(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[提醒] 分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[典题例析]1．已知f (x )＝⎩⎨⎧ log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2， 解得b ＝1.f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.2．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案：－34[类题通法]分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．[演练冲关](xx·榆林二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－x －12， x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]对应B 本课时跟踪检测四一、选择题1．(xx·大同调研)设全集为R ，函数f (x )＝ln 1＋x1－x 的定义域为M ，则∁R M ＝( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]解析：选C 由f (x )＝ln 1＋x 1－x ，得到1＋x1－x >0，即(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1，即M ＝(－1,1)， ∵全集为R ，∴∁R M ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x＋ax ，x ＞1，若f (f (1))＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.43 C ．2D ．4解析：选C ∵f (1)＝2，∴f (f (1))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.故选C.3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.4．函数f (x )＝10＋9x －x2lg x －1的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使函数f (x )有意义， 则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，lg x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤10，x ＞1，x ≠2，所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10]．故选D.5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x <A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.6.创新题具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.二、填空题7．(xx·太原月考)已知y ＝f (2x)的定义域为[－1,1]，则y ＝f (log 2x )的定义域是________．解析：∵函数f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴12≤2x≤2.∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.答案：[2，4]8．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________. 解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 答案：329．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 答案：[－1,2]10．(xx·岳阳模拟)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x＋a ，x ≥0，g x ，x <0，则f (－2)的值为________．解析：因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝30＋a ＝0，即a ＝－1.所以f (－2)＝g (－2)＝－f (2)＝－(32－1)＝－8.答案：－8 三、解答题11．(1)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式． 解：(1)令1x ＝t ，得x ＝1t(t ≠0且t ≠1)，∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．第二节函数的单调性与最值对应学生用书P15基础盘查一 函数的单调性 (一)循纲忆知1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． (二)小题查验 1．判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( ) (2)函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)( )(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( )(4)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________． 答案：[2,4]3．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则k 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 基础盘查二 函数的最值 (一)循纲忆知1．理解函数最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的最值． (二)小题查验 1．判断正误(1)所有的单调函数都有最值( ) (2)函数y ＝1x 在[1,3]上的最小值为13( )答案：(1)× (2)√2．(人教A 版教材例题改编)已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为________．答案：2对应学生用书P15考点一 函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．定义法设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则有： (1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．导数法在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在这个区间上单调递增；如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间上单调递减．[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 2．判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2x 1－x 2x 1－1x 2－1，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．[类题通法]对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．[典题例析]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log (x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[类题通法]求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[演练冲关]1．若将典例(1)中的函数变为“y ＝|－x 2＋2x ＋1|”，则结论如何？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．2．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤k ，k ，fx ＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，求函数f k (x )的单调递增区间．解：由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)．考点三 函数单调性的应用(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]函数的最值(1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．(2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y ＝f (x )，x ∈[a ，c ]在x ＝b 处有最大值f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )，x ∈[a ，c ]在x ＝b 处有最小值f (b )．[多角探明]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值. 角度一：求函数的值域或最值 1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. 答案：2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小 2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三：解函数不等式3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)解析：选 B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x x －8≤9，解得8＜x ≤9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2解析：选B 由题意可知，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －2×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138 . [类题通法]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.对应A 本课时跟踪检测五一、选择题1．(xx·北京高考)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：选B 因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e －x ，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ex ，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B.2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(xx·黑龙江牡丹江月考)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选B 由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又13<12<23<1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.4.创新题定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．故选A.6．(xx·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负解析：选C 由x 1x 2<0不妨设x 1<0，x 2>0. ∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0.由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数．又由f (x )在(－∞，0)上单调递增得，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C.二、填空题7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)，则实数x 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)； 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0. 答案：(－1,0)∪(0,1)8．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．解析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)10．使函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________________．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋k x －2＝2x －2＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2，使其在(3，＋∞)上是增函数， 故4＋k <0，得k <－4. 答案：(－∞，－4) 三、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]．12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0， 故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第三节函数的奇偶性及周期性对应学生用书P17基础盘查一 函数的奇偶性(一)循纲忆知1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． (二)小题查验 1．判断正误(1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(人教A 版教材习题改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________.答案：x (1－x )3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 答案：13基础盘查二 函数的周期性 (一)循纲忆知了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． (二)小题查验 1．判断正误(1)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期( )(2)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数( )答案：(1)√ (2)√2．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________.答案：－1对应学生用书P18考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]函数的奇偶性的定义如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )[或f (－x )＝－f (x )]，那么函数f (x )就叫做偶函数(奇函数)．[提醒] 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．[题组练透]判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x－3x ＝－(3x －3－x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[类题通法]判定函数奇偶性的常用方法及思路1．定义法：2．图象法：3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二函数的周期性(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[一题多变][典型母题]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015).[解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又∵f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.[题点发散1] 本例条件若改为：设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2.试计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值．解：因为f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2.又f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 014)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 015)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝1 008.[题点发散2] 若本例中条件变为“f(x＋2)＝－1f x”，求函数f(x)的最小正周期．解：∵对任意x∈R，都有f(x＋2)＝－1f x，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－1f x＋2＝－1－1f x＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．[题点发散3] 在本例条件下，求f(x)(x∈[2,4])的解析式．解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.[类题通法] 1．判断函数周期性的两个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a.(a>0)[提醒] 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．考点三函数性质的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.归纳起来常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.角度一：单调性与奇偶性结合1．(xx·洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A．y＝x2B．y＝2|x|C．y＝log21|x|D．y＝sin x解：选C 函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log21|x|＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数．综上所述，选C.2．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1， 解得－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1. 即实数m 的取值范围是[－1,1)． 角度二：周期性与奇偶性结合3．(xx·石家庄一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0)D ．(－1,2)解：选A ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4，故选A.角度三：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11)解：选D ∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数，∴f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．[类题通法]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．对应B 本课时跟踪检测六一、选择题1．(xx·河南信阳二模)函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选 C 易知函数的定义域为{}x |x ≠k π，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝lg |sin(－x )|＝lg |－sin x |＝lg |sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg|sin x |是最小正周期为π的偶函数．2．(xx·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．(xx·唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )．则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析：选C 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )．4．(xx·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )。

第六节 指数与指数函数[最新考纲] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)n 次方根的概念①若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②a的n次方根的表示x n＝a⇒(2)根式的性质①(na)n＝a(n∈N*，n＞1)．②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，n为奇数，|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a＜0，n为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a xa＞10＜a＜11．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . 2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．函数f(x)＝21－x的大致图象为()A B C DA [f (x )＝21－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1，又f (0)＝2，f (1)＝1，故排除B ，C ，D ，故选A.] 2．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)＝________.2 [由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.]3．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)＝________. [答案] －2x 2y4．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34，则a ，b ，c 的大小关系是________．c ＜b ＜a [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫350， 则a ＞b ＞1，又c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＜⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，∴c＜b＜a.]考点1指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．考点2指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．(1)D(2)(0,1)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.(2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．][母题探究]1．(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m 的取值范围是________．(0，＋∞)[作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m 的取值范围是(0，＋∞)．]2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．(－∞，－1][作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．由图象知m ≤－1，即m ∈(－∞，－1]．]应用指数函数图象的技巧(1)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．1.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()A BC DA [f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，∴f (x )≤0，符合条件的图象只有A.]2．函数y ＝a x －b (a ＞0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围是________．(0,1) [因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＞1，故a b ∈(0,1)．]3．已知实数a ，b 满足等式2 019a ＝2 020b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________(填序号)．③④ [作出y ＝2 019x 及y ＝2 020x 的图象如图所示，由图可知a ＞b ＞0，a ＝b ＝0或a ＜b ＜0时，有2 019a ＝2 020b ，故③④不可能成立．]考点3指数函数的性质及应用指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．比较指数式的大小(1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a(2)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M ＜ND ．M ＞N(1)A (2)D [(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .(2)因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a ＞2，所以M ＝(a －1)0.2＞1，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1＜1，所以M ＞N .故选D.]指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是(0,1)还是(1，＋∞)，若不能化为同底，则可化为同指数，或利用中间变量比较，如本例(1)．解简单的指数方程或不等式(1)已知函数f (x )＝a ＋14x ＋1的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－310，若－16≤f (x )≤0，则实数x 的取值范围是________．(2)方程4x ＋|1－2x |＝11的解为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 (2)x ＝log 23 [(1)∵f (x )＝a ＋14x ＋1的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－310， ∴a ＋15＝－310，即a ＝－12. ∴f (x )＝－12＋14x ＋1.∵－16≤f (x )≤0， ∴－16≤14x ＋1－12≤0，∴13≤14x ＋1≤12，∴2≤4x ＋1≤3，即1≤4x ≤2， ∴0≤x ≤12.(2)当x ≥0时，原方程化为4x ＋2x －12＝0， 即(2x )2＋2x －12＝0. ∴(2x －3)(2x ＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝log23.当x＜0时，原方程化为4x－2x－10＝0.令t＝2x，则t2－t－10＝0(0＜t＜1)．由求根公式得t＝1±1＋402均不符合题意，故x＜0时，方程无解．](1)a f(x)＝a g(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)a f(x)＞a g(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x)．(3)有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题．与指数函数有关的复合函数的单调性(1)函数f (x )＝的单调减区间为________．(2)函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是________．(1)(－∞，1] (2)[0，＋∞) [(1)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上为减函数，所以函数f (x )＝的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， 所以f (x )的减区间为(－∞，1]．(2)设t ＝2x (t ＞0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x 在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．][逆向问题] 已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．(－∞，4] [令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，m 2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x－m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．]求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．指数函数性质的综合应用(1)函数f (x )＝a ＋b e x ＋1(a ，b ∈R )是奇函数，且图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 3，12，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)(2)若不等式1＋2x ＋4x ·a ＞0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．(1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞ [(1)函数f (x )为奇函数，定义域是R ，则f (0)＝a ＋b 2＝0①，函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 3，12，则f (ln 3)＝a ＋b 4＝12②.结合①②可得a ＝1，b ＝－2，则f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＞0，所以e x ＋1＞1，所以0＜2e x ＋1＜2，所以－1＜1－2e x ＋1＜1，即函数f (x )的值域为(－1,1)． (2)从已知不等式中分离出实数a ，得a ＞－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上都是减函数，所以当x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≥14，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤－34.故实数a 的取值范围为a ＞－34.]指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化．1.函数y ＝的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)C [设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t . 因为0＜12＜1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 为关于t 的减函数．因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，所以0＜y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12-2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．]2．已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧ 4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．12 [当a ＜1时，41－a ＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入可知不成立，所以a 的值为12.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．(－3,1) [当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12-3， ∴a ＞－3.又a ＜0，∴－3＜a ＜0.当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1.∴0≤a ＜1，综上，a 的取值范围为(－3,1)．]。

2.6 指数与指数函数一、填空题1．函数y ＝8－4x的定义域是________． 解析 由8－4x ≥0，得22x ≤23，所以2x ≤3，x ≤32.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，322．函数y ＝4－2－x的值域是________．解析 由4－2－x≥0，且2－x＞0，得0≤4－2x＜4，所以y ∈[0,2)． 答案 [0,2)3．已知p ：关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|＜m 有解，q ：f (x )＝(7－3m )x为减函数，则p 成立是q 成立的________条件．解析 p 成立，得m ＞|x －1＋3－x |＝2；q 成立，得0＜7－3m ＜1，即2＜m ＜73.设A ＝{m |m ＞2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |2＜m ＜73，则BA ，所以p 是q 的必要不充分的条件．答案 必要不充分4.与函数()3xf x =的图象关于直线y =x 对称的曲线C 对应的函数为g(x ),则1()3g 的值为______.解析 依题意得g(x )=log 3x , 所以1()3g =log 3113=-.答案 -15．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≤0，f x －－f x －，x ＞0，则f (2 010)＝________.解析 当x ＞0时，f (2 010)＝f (2 009)－f (2 008)＝f (2 008)－f (2 007)－f (2 008)＝－f (2 007)＝f (2 005)－f (2 006)＝f (2 005)－f (2 005)＋f (2 004)＝f (2 004)，所以f (x )是以T ＝6的周期函数，所以f (2 010)＝f (335×6)＝f (0)＝3－1＝13.答案 136．已知函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则g (0)，g (2)，g (3)的大小关系是________．解析 因为f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，所以由f (－x )－g (－x )＝e －x，得－f (x )－g (x )＝e －x ，与f (x )－g (x )＝e x 联立，求得f (x )＝12(e x －e －x )，g (x )＝－12(e x ＋e －x)，所以g (3)＜g (2)＜g (0)． 答案 g (3)＜g (2)＜g (0)7．已知1＋2x＋4x·a ＞0对一切x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意，得a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 对x ≤1恒成立，因为f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是(－∞，1]上的增函数，所以当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－34，所以a ＞－34.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0g x ，x ＞0，若f (x )是奇函数，则g (2)的值是________．解析 因为f (x )是奇函数，所以g (2)＝f (2)＝－f (－2)＝－2－2＝－14.答案 －149．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________．解析 若x ＞0，则由log 3x ≥1，得x ≥3.若x ≤0，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1，得x ≤0.综上，得x ≤0或x ≥3.答案 (－∞，0]∪[3，＋∞) 10．若2|x ＋1|－|x －1|≥22，则x 取值范围是________． 解析 由2|x ＋1|－|x －1|≥22＝232，得|x ＋1|－|x －1|≥32，于是由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－x －1＋x －1≥32或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜1，x ＋1＋x －1≥32或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋1－x ＋1≥32，解得x ≥34.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 11．已知函数f (x )＝9x－m ·3x＋m ＋1对x ∈(0，＋∞)的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是________．解析 设t ＝3x＞1问题转化为m ＜t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)，即m 比函数y ＝t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)的最小值还小，又y ＝t 2＋1t －1＝t －1＋2t －1＋2≥2t －2t －1＋2＝2＋22，所以m ＜2＋2 2.答案 (－∞，2＋22)12．对于函数f (x )＝e x－e －x(x ∈R )，有下列结论：①f (x )的值域是R ；②f (x )是R 上的增函数；③对任意x ∈R ，有f (－x )＋f (x )＝0成立；④若方程|f (x )|＝a 有两个相异实根，则a ≥0，其中所有正确的命题序号是________． 解析 因为e ＞1，x ∈R ，所以f (x )是奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，所以①②③均正确．设y ＝|f (x )|＝|e x－e －x|，y ＝a ，画出其图象可知，当a ＞0时，它们有两个相异交点，所以④不正确． 答案 ①②③13．设函数f (x )在其定义域(－∞，＋∞)上的取值恒不为0，且对任意实数x ，y 满足f (xy )＝[f (x )]y，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞1.若a ＞b ＞c 且a ，b ，c 成等差数列，则f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系是________．解析 因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 是增函数⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞1，于是由f (a )＋f (c )≥2[f (a )·f (c )]12＝2[f (a )]12[f (c )]12＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋c＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫122b＝2f (b )，及a ＞b ＞c 得f (a )＋f (c )＞2f (b )． 答案 f (a )＋f (c )＞2f (b ) 二、解答题14.已知函数()2xf x a =⋅+3xb ⋅,其中常数a ,b 满足0ab ≠.(1)若a b>0,判断函数f (x )的单调性;(2)若a b<0,求f (x +1)>f (x )时的x 的取值范围.解析 (1)当a >0,b>0时,因为2xa ⋅、3xb ⋅都随x 的增大而增大,所以函数f (x )单调递增; 当a <0,b<0时,因为2xa ⋅、3xb ⋅都随x 的增大而减小,所以函数f (x )单调递减. (2)f (x 1)()2230x x f x a b +-=⋅+⋅>.(ⅰ)当a <0,b>0时3()22xa b,>-,解得x >log 32()2a b-;(ⅱ)当a >0,b<0时3()22xa b,<-,解得x <log 32()2a b-.15. 若方程2a ＝|a x－1|(a >0，且a ≠1)有两解，求a 的取值范围．解析 原方程有两解，即直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，数形结合．当a >1时，如图①，只有一个公共点，不符合题意． 当0<a <1时，如图②，由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.16．定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解析 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.所以a ＝2，b ＝1.(2)法一 由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二 由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2.又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0，即(22t 2－k ＋1＋2)·(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)·(－22t 2－k ＋1)<0， 整理得23t 2－2t －k >1.因底数2>1，故3t 2－2t －k >0，即上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.17．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 解析 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝aa －1(a －x －a x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数． (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数． 当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， 所以在区间[－1,1]上为增函数． 所以f (－1)≤f (x )≤f (1)， 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a ) ＝aa 2－1·1－a2a＝－1，所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1， 故b 的取值范围是(－∞，－1]．18．如果函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a ＞0，a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解析 法一 设a x＝t ，g (t )＝t 2－(3a 2＋1)t ，对称轴t ＝3a 2＋12当a ＞1时，t ＝a x是增函数，且当x ≥0时，t ≥1，要使原函数在[0，＋∞)上递增，只要g (t )＝t 2－(3a 2＋1)t 在[1，＋∞)上递增，所以t ＝3a 2＋12≤1，解得0≤a ≤33(舍去)． 当0＜a ＜1时，t ＝a x是减函数，且x ≥0时，0＜t ≤1，要使原函数在[0，＋∞)上递增，只要g (x )＝t 2－(3a 2＋1)t 在(0,1]上递减，所以t ＝3a 2＋12≥1，解得33≤a ＜1.综上，得33≤a＜1.法二 设x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则由f (x )＝a x (a x －3a 2－1)在[0，＋∞)上递增，得a 2x 1－(3a 2＋1)ax 1＜a 2x 2－(3a 2＋1)ax 2，即(ax 1－ax 2)[ax 1＋ax 2－(3a 2＋1)]＜0. 若0＜a ＜1，则由0＜ax 2＜ax 1＜1，得ax 1＋ax 2－(3a 2＋1)＜0,3a 2＋1＞ax 1＋ax 2恒成立，所以3a 2＋1≥2，解得33≤a ＜1. 若a ＞1，则由ax 2＞ax 1＞1，得3a 2＋1＜ax 1＋ax 2恒成立． 所以3a 2＋1≤2，解得a ＜33(不合，舍去)． 综上，得33≤a ＜1.。

§2.5 指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没成心义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质1．判定下面结论是不是正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)(4－4)4＝－4. ( × )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( × ) (3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)． ( × ) (5)函数y ＝2x －1是指数函数．( × )(6)函数y ＝(14)1－x 的值域是(0，＋∞)．( √ )2．假设a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，那么(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是 ( )A ．1B.14C.22D.23答案 D 解析 a ＝(2＋3)－1＝2－3，b ＝(2－3)－1＝2＋3，∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝112－63＋112＋63＝23. 3．设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，那么 ( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)答案 A 解析∵f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)． 4．假设函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，那么实数a 的取值范围是__________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.5．已知0≤x ≤2，那么y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．答案 52解析 令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， 又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.题型一 指数幂的运算例1 化简：(2)(－278)32-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0.思维启发 运算中可先将根式化成份数指数幂，再依照指数幂的运算性质进行运算．思维升华 (1)指数幂的运算第一将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法那么计算，但应注意：①必需同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的前后顺序． (2)当底数是负数时，先确信符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)化简416x 8y 4(x <0，y <0)得 ( )A ．2x 2yB ．2xyC ．4x 2yD ．－2x 2y答案 (1)D (2)85题型二 指数函数的图象、性质 例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，那么以下结论正确的选项是 ( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)假设函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，那么m ＋μ＝________. 思维启发 关于和指数函数的图象、性质有关的问题，能够通过探求已知函数和指数函数的关系入手． 答案 (1)D (2)1解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象能够观看出函数f (x )＝a x －b 在概念域上单调递减，因此0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移取得的，因此b <0.(2)由于f (x )是偶函数，因此f (－x )＝f (x )，即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2，∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0， ∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0， ∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ，∴m ＋μ＝1.思维升华 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换取得其图象．(2)对复合函数的性质进行讨论时，要弄清复合而成的两个函数，然后对两层函数别离进行研究．(1)函数y ＝e x ＋e －xe x －e －x的图象大致为( )(2)假设函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的概念域和值域都是[0,2]，那么实数a ＝________. 答案 (1)A (2)3解析 (1)y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确． (2)当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]，∴a 2－1＝2，即a ＝3.当0<a <1时，x ∈[0,2]，y ∈[a 2－1,0]，现在概念域与值域不一致，无解． 综上，a ＝3.题型三 指数函数的应用例3 (1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？ (2)已知概念在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.①假设f (x )＝32，求x 的值；②假设2t f (2t )＋mf (t )≥0关于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．思维启发 方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立能够通过度离参数求最值或值域来解决． 解 (1) 函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴 下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方取得的，函数图象如下图．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，因此方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同的交点，因此方程有两解． (2)①当x <0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1. ②当t ∈[1,2]时，2t⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．思维升华 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f (x )＝g (x )解的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；有关复合函数问题的关键是通过换元取得两个新的函数，弄清复合函数的结构．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是概念域为R 的奇函数．(1)假设f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)假设f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解 因为f (x )是概念域为R 的奇函数， 因此f (0)＝0，因此k －1＝0，即k ＝1.(1)因为f (1)>0，因此a －1a>0，又a >0且a ≠1，因此a >1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，因此f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， 因此x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， 因此x >1或x <－4.因此不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，因此a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，因此a ＝2或a ＝－12(舍去)．因此g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2. 令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，那么t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)， 即t (x )≥t (1)＝32，因此原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， 因此当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，现在x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.换元法解决与指数函数有关的值域问题典例：(10分)(1)函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)(2)函数y ＝(14)x －(12)x ＋1在x ∈[－3,2]上的值域是________． 解析 (1)设t ＝x 2＋2x －1，那么y ＝(12)t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t 为关于t 的减函数，因此0<y ＝(12)t ≤(12)－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．(2)因为x ∈[－3,2]，假设令t ＝(12)x ，那么t ∈[14，8]． 则y ＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.因此所求函数值域为[34，57]．答案 (1)C (2)[34，57]温馨提示 和指数函数有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转化为两个大体初等函数的单调性或值域问题，注意换元进程中“元”的取值范围的转变. 方式与技术1．判定指数函数图象上底数大小的问题，能够先通过令x ＝1取得底数的值再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，必然要分清a >1与0<a <1. 3．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些大体初等函数复合而成． 失误与防范1．恒成立问题一样与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，必然要注意函数的概念域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围. A 组 专项基础训练 一、选择题1．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 C解析 当x ＝1时，y ＝0，故函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象必过点(1,0)，显然只有C 符合． 2．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，假设实数m 、n 知足f (m )>f (n )，那么m 、n 的关系为( ) A ．m ＋n <0 B ．m ＋n >0 C ．m >nD ．m <n答案 D 解析 ∵0<5－12<1，∴f (x )＝a x ＝(5－12)x ， 且f (x )在R 上单调递减， 又∵f (m )>f (n )，∴m <n ，应选D. 3．假设函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，知足f (1)＝19，那么f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B解析 由f (1)＝19得a 2＝19， ∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 因此f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．应选B.4．假设存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，那么实数a 的取值范围是 ( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)答案 C解析 在同一坐标系内别离作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象知，当a ∈(0,2)时符合要求．5．已知实数a ，b 知足等式2 014a ＝2 015b ，以下五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 设2 014a ＝2 015b ＝t ，如下图，由函数图象，可得 (1)假设t >1，那么有a >b >0； (2)假设t ＝1，那么有a ＝b ＝0； (3)假设0<t <1，那么有a <b <0. 故①②⑤可能成立，而③④不可能成立． 二、填空题7．假设指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，那么底数a ＝________. 答案5±12解析 假设0<a <1，那么a －1－a ＝1， 即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)．若a >1，那么a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0， 解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)．综上所述a ＝5±12.8．假设函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，那么实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，假设0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；假设a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如下图有两个公共点． 三、解答题9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象通过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确信f (x )；(2)假设不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝(12)x ＋(13)x ， 则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是(－∞，56]．10．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解 令t ＝a x (a >0且a ≠1)，那么原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0)． ①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，现在f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．因此f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，因此a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，因此a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ， 现在f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上为增函数．因此f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.B 组 专项能力提升1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1xx >0，e x x ≤0，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，那么F (x )的值域为( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案 C解析 当x >0时，F (x )＝1x＋x ≥2；当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，依照指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，因此F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．2．假设关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12答案 D解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12. ②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．图(1) 图(2)综上，0<a <12. 3．关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＝2＋3a 5－a有负数根，那么实数a 的取值范围为__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，34 解析 由题意，得x <0，因此0<⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <1， 从而0<2＋3a 5－a <1，解得－23<a <34. 4．已知f (x )＝(1a x －1＋12)x 3(a >0且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在概念域上恒成立．解 (1)由于a x －1≠0，那么a x ≠1，得x ≠0，因此函数f (x )的概念域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．关于概念域内的任意x ，有f (－x )＝(1a －x －1＋12)(－x )3 ＝(a x1－a x ＋12)(－x )3 ＝(－1－1a x －1＋12)(－x )3 ＝(1a x －1＋12)x 3＝f (x )．∴f (x )是偶函数．(2)方式一 当a >1时，对x >0，由指数函数的性质知a x >1，∴a x －1>0，1a x －1＋12>0. 又x >0时，x 3>0，∴x 3(1a x －1＋12)>0，即当x >0时，f (x )>0. 又由(1)知，f (x )为偶函数，故f (－x )＝f (x )，当x <0时，－x >0，有f (x )＝f (－x )>0.综上知当a >1时，f (x )>0在概念域内恒成立．当0<a <1时，f (x )＝a x ＋1x 32a x －1.当x >0时，1>a x >0，a x ＋1>0，a x －1<0，x 3>0，现在f (x )<0，不知足题意；又f (x )为偶函数，因此当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )<0，也不知足题意．综上可知，a 的取值范围是a >1.方式二 由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情形．当x >0时，要使f (x )>0，即(1a x －1＋12)x 3>0， 即1a x －1＋12>0，即a x ＋12a x －1>0， 即a x －1>0，a x >1，a x >a 0.又∵x >0，∴a >1.∴当a >1时，f (x )>0.故a 的取值范围是a >1.5．已知概念在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式；(2)判定f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？ 解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ∈(－1,0)，那么－x ∈(0,1)，f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )＝－2x 4x ＋1， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 4x ＋1， x ∈－1，0，0， x ＝0，2x4x ＋1， x ∈0，1.(2)设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－2x 2＋2x 1＋2x 2－2x 2＋2x 14x 1＋14x 2＋1 ＝2x 1－2x 21－2x 1＋x 24x 1＋14x 2＋1， ∵0<x 1<x 2<1，∴2x 1<2x 2, 2x 1＋x 2>20＝1， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(0,1)上为减函数．(3)∵f (x )在(0,1)上为减函数，∴2141＋1<f (x )<2040＋1，即f (x )∈(25，12)． 同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈(－12，－25)． 又f (0)＝0，当λ∈(－12，－25)∪(25，12)， 或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解．。

2.5 指数与指数函数
[知识梳理]
1．根式
2．分数指数幂
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4．指数函数的概念、图象与性质
特别提示：1.n
a n与(
n
a)n的区别
(1)n
a n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n
的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．
(2)(n
a)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n
的奇偶决定．
2．a对y＝a x(a>0且a≠1)的影响
(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当
a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)n
a n与(
n
a)n都等于a(n∈N*)．()
(2)函数y＝a x与y＝－a x(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．()
(3)若a m<a n(a>0且a≠1)，则m<n.()
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()。

§2.5指数与指数函数1．分数指数幂(1)mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；mna ＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质概念方法微思考1.如图所示是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为．提示c>d>1>a>b>02．结合指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质说明a x>1(a>0，a≠1)的解集是否与a的取值有关．提示当a>1时，a x>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，a x>1的解集为{x|x<0}．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a (n ∈N *)．( × )(2)分数指数幂mna 可以理解为mn 个a 相乘．( × )(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × )题组二 教材改编2．化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝ . 答案 －2x 2y3．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝ . 答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2. 4．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 ．答案 c <b <a解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是R 上的减函数，∴1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭>1435-⎛⎫⎪⎝⎭>⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1， 又c ＝3432-⎛⎫ ⎪⎝⎭<⎝⎛⎭⎫320＝1，∴c <b <a .题组三 易错自纠5．计算：3(1＋2)3＋4(1－2)4＝ . 答案 2 26．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．答案 12或32解析 当0<a <1时，a －a 2＝a2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a >1时，a 2－a ＝a2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32.指数幂的运算1．(2019·四川绵阳诊断)计算23×31.5×612＝ . 答案 6解析 原式＝136121312322⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1113621133223323-⨯⨯⨯⨯⨯＝ 1112361133226.3-+++⨯⨯=＝2.113322(0.1)(1)4a b ---⎛⎫⎪⋅⎭⋅⎝(a >0，b >0)＝ . 答案 85解析 原式＝33322233222485.10a b a b--⋅=3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，则11221122x y x y-+ ＝ .答案 －33解析 ∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴211112222111122222()122961.1832()1229x y x y xyx y x y xy⎛⎫-+--⨯⎪==== ⎪⎪++++⨯⎝⎭由题意知0<x<y，∴112211220,0,xy yx<+> -∴112211223 x yx y-=-+思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．指数函数的图象及应用例1(1)函数y＝x|x|ax(0<a<1)的图象的大致形状是()答案 D解析 因为y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x，x <0，且0<a <1，所以根据指数函数的图象和性质，当x ∈(0，＋∞)时函数是减函数；当x ∈(－∞，0)时函数是增函数，所以函数在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故选D.(2)若曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则实数b 的取值范围为________． 答案 (0,1)解析 曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1(1)函数y＝a|x|(a>1)的图象是()答案 B解析函数y＝a|x|(a>1)是偶函数，当x≥0时，y＝a x，又已知a>1，故选B.(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．答案 1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．指数函数的性质及应用命题点1 比较指数式的大小例2 (1)已知a ＝2312⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝432-，c ＝1312⎛⎫⎪⎝⎭，则下列关系中正确的是( ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <b D ．a <b <c答案 B解析 因为b ＝4312⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，43>23>13，所以4312⎛⎫ ⎪⎝⎭<2312⎛⎫ ⎪⎝⎭<1312⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即b <a <c .(2)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a答案 C解析 ∵函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5， ∴1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.∵函数y ＝1.5x 在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0， ∴1.50.6>1.50＝1，即c >1.综上，b <a <c . 命题点2 解简单的指数方程或不等式例3 (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为 ．答案 12解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3， 因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，即0≤a <1. 故a 的取值范围是(－3,1)，故选C. 命题点3 指数函数性质的综合应用 例4 (1)函数f (x )＝22112x x ⎛⎫⎪⎝⎭－＋＋的单调减区间为 ．答案 (－∞，1]解析 设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数， ∴函数f (x )＝22112x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＋的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． (2)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是 ． 答案 (－∞，4]解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f (x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．函数f (x)＝4x－2x＋1的值域是．答案[－1，＋∞)解析设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t＝(t－1)2－1(t>0)．当t＝1时，y min＝－1，无最大值．∴函数f (x)＝4x－2x＋1的值域为[－1，＋∞)．若函数f (x)＝24313ax x⎛⎫⎪⎝⎭－＋有最大值3，则a＝.答案 1解析 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )， 由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练2 (1)(2020·贵阳市、安顺市联考)已知1113522,3,5,a b c ===则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．b <c <a答案 C解析 ∵1113522,3,5,a b c === 很明显，a ，b ，c 都是正实数， ∵b 6－a 6＝9－8＝1>0，∴b 6>a 6，∴b >a . ∵a 10－c 10＝32－25>0，∴a 10>c 10，∴a >c . 综上可得，b >a >c .(2)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞ )D ．(－∞ ，－2]答案 B解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫13x在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.(3)若不等式1＋2x ＋4x ·a ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ 解析 从已知不等式中分离出实数a ，得a ≥－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x . ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数，∴当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－34，＋∞.1．若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．414a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a答案 D解析 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2a3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，414a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a，故D 正确．2．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝3|x |答案 B3．已知a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 D解析 ∵函数y ＝0.86x 在R 上是减函数， ∴0<0.860.85<0.860.75<1， 又1.30.86>1，∴c >a >b .4．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <a D ．1<a <b答案 C解析 ∵当x >0时，1<b x ，∴b >1. ∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x>1. ∴ab>1，∴a >b ，∴1<b <a ，故选C. 5．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 方法一 当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1a 大于1，故选D.方法二 函数f (x )的图象恒过点(－1,0)，只有选项D 中的图象符合．6．(2020·四川南充一中模拟)若函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则m ＋n ＝ . 答案 7解析 ∵函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点， 令x －m ＝0，可得x ＝m ，y ＝n －2，可得函数的图象经过定点(m ，n －2)．∴m ＝3，n －2＝2，解得m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎦⎤23，34解析 若函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R上的减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2－3a <0，a ≤2－3a ＋1，解得a ∈⎝⎛⎦⎤23，34.8．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根⇔函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 的图象有两个交点．①当0<a <1时，如图①， 所以0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图②， 而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.9．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝ . 答案 －32解析 ①当0<a <1时，函数 f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝0，f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32. ②当a >1时，函数 f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－1，f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解． 所以a ＋b ＝－32.10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－1,2)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 11．求函数f (x )＝－4x －2x ＋1＋3的定义域、值域． 解 ∵－4x －2x ＋1＋3≥0， 即(2x )2＋2·2x －3≤0.令t ＝2x >0，∴t 2＋2t －3≤0， ∴(t －1)(t ＋3)≤0，∴0<t ≤1.∴2x ≤1.∴x ≤0.∴函数f (x )的定义域为(－∞，0]． 令y ＝－t 2－2t ＋3＝－(t ＋1)2＋4(0<t ≤1)．对称轴t ＝－1.∴函数y 在(0,1]上单调递减． ∴0≤y <3.∴函数f (x )的值域为[0，3)．12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．[－3，－1]D ．{－3}答案 B解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[－3，0)． 14．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是 ．答案 ⎣⎡⎦⎤34，57解析 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34， ∵x ∈[－3,2]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，∴当t ＝12时，y min ＝34， 当t ＝8时，y max ＝57.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57.15．设f (x )＝|2x －1－1|，a <c 且f (a )>f (c )，则2a ＋2c ______4.(选填“>”“<”“＝”) 答案 <解析 f (x )在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a <1. 若c ≤1，则2a <2,2c ≤2，故2a ＋2c <4；若c >1，则由f (a )>f (c )，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，即2a ＋2c <4.综上，总有2a ＋2c <4.16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋4(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4 ＝⎝⎛⎭⎫122x －2λ·⎝⎛⎭⎫12x ＋4(－1≤x ≤2)． 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋4 ＝⎝⎛⎭⎫t －322＋74⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫14＝5316，g (t )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝74. 所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74， 故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤74，5316.(2)方程f (x )＝0有解可转化为λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)． 设φ(x )＝2·2x ＋12·2x ⎝⎛⎭⎫12≤2x ≤4， 当2x ＝12，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2； 当2x ＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝658. 所以函数φ(x )的值域为⎣⎡⎦⎤2，658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，658.。

§2.5 指数与指数函数考试如何考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．复习备考要这样做 1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构．1． 根式的性质(1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时n a n＝a .当n 为偶数时na n＝{ a a ≥0 －a a <02． 有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)． ⑤负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r 、s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r 、s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )．3．指数函数的图象与性质数a[重难点]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2．指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0<a<1和a>1进行分类讨论．3．比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值．1．化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________．2．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．3．若函数f(x)＝a x－1 (a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.4．函数y＝a x－1a(a>0，且a≠1)的图象可能是 ( )5．设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4， ( ) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)题型一 指数幂的运算例1 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1；(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．思维启迪：(1)本题是求指数幂的值，按指数幂的运算律运算即可； (2)注意x 2＋x －2、x 32＋x －32与x 12＋x －12之间的关系．探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)15＋2－(3－1)0－9－45； (3)a 3b 23ab 2a 14b 12 4a －13b 13 (a >0，b >0)．题型二 指数函数的图象、性质的应用 例2 (1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 ( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)求函数f(x )＝3x 2－5x ＋4的定义域、值域及其单调区间．思维启迪：对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手． 探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论．(1)函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为 ( )题型三 指数函数的综合应用例3 (1)k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.①若f (x )＝32，求x 的值；②若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决．探究提高 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f (x )＝g (x )解的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x) (a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．3.利用方程思想和转化思想求参数范围 典例：(14分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．审题视角 (1)f (x )是定义在R 上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f (0)＝0，f (1)＝－f (－1)．(2)可考虑将t 2－2t,2t 2－k 直接代入解析式化简，转化成关于t 的一元二次不等式．也可考虑先判断f (x )的单调性，由单调性直接转化为关于t 的一元二次不等式．规范解答方法与技巧1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 2．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<a <1. 3．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． 失误与防范1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解 决，但应注意换元后“新元”的范围.(时间：60分钟) A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． 设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于 ( )A.10 B ．10 C ．20 D ．1002． 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x 的值域是 ( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞3． 函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是 ( )4． 若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．6． 函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为__________．7. 已知函数f (x )＝a x＋b (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．三、解答题(共25分) 8． (12分)设函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|，求使f (x )≥22的x 的取值范围．9． (13分)设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 设函数f (x )＝⎩⎨⎧1xx >0 ， e xx ≤0 ，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)2． 设函数f (x )＝1x，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>03．设函数f (x )＝2x1＋2x－12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是 ( ) A ．{0,1} B ．{0，－1} C ．{－1,1} D ．{1,1}二、填空题(每小题4分，共12分)4． 函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝______.5． 若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是_______6． 关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＝2＋3a 5－a有负数根，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题(13分)7． 设f (x )＝e －xa ＋ae是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)上的单调性．。

强化训练 函数的性质1．下列函数中，既是奇函数，又在(0，＋∞)上是增函数的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝e x ＋e －x C ．f (x )＝x 3＋xD ．f (x )＝1x 2 答案 C解析 对于A ，函数为奇函数，但在(0，＋∞)上无单调性，所以A 不符合题意． 对于B ，由于f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以B 不符合题意． 对于C ，函数f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上单调递增，所以C 符合题意． 对于D ，函数f (x )为偶函数，不符合题意．2．函数f (x )＝x ＋9x(x ≠0)是( ) A ．奇函数，且在(0,3)上是增函数B ．奇函数，且在(0,3)上是减函数C ．偶函数，且在(0,3)上是增函数D ．偶函数，且在(0,3)上是减函数答案 B解析 因为f (－x )＝－x ＋9－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋9x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x ＋9x 为奇函数． 又f ′(x )＝1－9x 2，在(0,3)上f ′(x )<0恒成立，∴f (x)在(0,3)上是减函数．3．若函数f (x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案 A解析由f (x)是偶函数可得b＝0，∴g(x)＝2ax3＋9x，∴g(x)是奇函数．4．(2020·四川攀枝花诊断)已知偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x－1)≥－1，则x的取值范围为()A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[0,1]D．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意，得f (x)在(－∞，0]上单调递增，且 f (1)＝－1，所以 f (2x－1)≥f (1)，则|2x －1|≤1，解得0≤x≤1.故选C.5．若定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，且f (1)＝8，则f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是()A．f (2 019)<f (2 020)<f (2 021)B．f (2 019)>f (2 020)>f (2 021)C．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021)D．f (2 020)<f (2 021)<f (2 019)答案 A解析因为定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，所以f (x ＋4)＝f (x)，即函数f (x)的周期为4，且f (0)＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－8，所以f (2 019)＝f (4×504＋3)＝f (3)＝－8，f (2 020)＝f (4×505)＝f (0)＝0，f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝8，即f (2 019)<f (2 020)<f (2 021)．6．(2020·四川泸州诊断性考试)已知函数f (x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则下列结论正确的是()A．f (x)的值域是(0,1) B．f (x)是奇函数C．f (x)是周期函数D．f (x)是增函数答案 C解析 由[x ]表示不超过x 的最大整数，对于A ，函数f (x )＝x －[x ]∈[0,1)，A 错误；对于B ，函数f (x )＝x －[x ]为非奇非偶的函数，B 错误；对于C ，函数f (x )＝x －[x ]是周期为1的周期函数，C 正确；对于D ，函数f (x )＝x －[x ]在区间[0,1)上为增函数，但在整个定义域内不具备单调性，D 错误．7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (3)＝3，则f (2 022)＝________. 答案 3解析 ∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 022)＝f (673×3＋3)＝f (3)＝3.8．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案 9解析 由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.9．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1)． 又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝________.答案 0解析 因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝505[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.11．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，求：(1)f (0)，f (2)，f (3)的值；(2)f (2 021)＋f (－2 022)的值．解 (1)f (0)＝log 21＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1.(2)依题意得，当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即当x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数．因此，f (2 021)＋f (－2 022)＝f (2 021)＋f (2 022)＝f (1)＋f (2)．而f (2)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2 021)＋f (－2 022)＝1.12．已知f (x )＝3x ＋b ax 2＋2是奇函数，且f (2)＝35. (1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明；(3)求f (x )的最大值．解 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－3x ＋b ax 2＋2＝－3x ＋b ax 2＋2， ∴b ＝－b ，∴b ＝0.又f (2)＝35，∴64a ＋2＝35， ∴a ＝2.(2)f (x )在(－∞，－1]上为减函数．证明如下：由(1)知f (x )＝3x 2x 2＋2＝32x ＋2x， 令g (x )＝x ＋1x， 则g (x )的单调性和f (x )的单调性相反．设x 1<x 2≤－1，则g (x 1)－g (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2.∵x 1<x 2≤－1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1,1－1x 1x 2>0， ∴g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)，∴g (x )在(－∞，－1]上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数．(3)由(1)(2)结合计算可知f (x )在(－∞，－1]上单调递减，在(－1,0]上单调递增，在(0,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．又∵当x <0时，f (x )<0，且f (1)＝34>0， ∴f (x )max ＝f (1)＝34.13．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )等于( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x .所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的图象都关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1m x i ＝0，∑i ＝1my i ＝m 2×2＝m ，故选B. 14．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a＋1＝b＋2 2，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.15．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________. 答案－8解析因为定义在R上的奇函数满足f (x－4)＝－f (x)，所以f (x－4)＝f (－x)．由f (x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称，且f (0)＝0.由f (x－4)＝－f (x)知f (x－8)＝f (x)，所以函数的周期为8.又因为f (x)在区间[0,2]上是增函数，所以函数在区间[－2,0]上也是增函数，作出函数f (x)的大致图象如图所示，那么方程f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4，由对称性可知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.16．函数f (x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x－1)<2，且f (x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，所以令x1＝x2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f (－x)＝f (－1)＋f (x)，所以f (－x)＝f (x)，又f (x)的定义域关于原点对称，所以f (x)为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x)是偶函数，所以f (x－1)<2，等价于f (|x －1|)<f (16)．又f (x)在(0，＋∞)上是增函数．所以0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．。