2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-4 坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程第1课时 坐 标 系(对应学生用书(理)192～194页)1. (选修44P 17习题第7题改编)已知点M 的直角坐标是(－1，3)，求点M 的极坐标． 解：⎝⎛⎭⎫2，2k π＋2π3(k ∈Z )都是极坐标．2. (选修44P 32习题第4题改编)求直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程． 解：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0，取θ－α＝π2.3. (选修44P 32习题第5题改编)化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程． 解：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝x ＝1.∴ 直角坐标系方程为x 2＋y 2＝0或x ＝1.4. 求极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线．解：ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，则θ＝k π＋π2，或x 2＋y 2＝4y.∴ 表示的曲线为一条直线和一个圆．5. (选修44P 33习题第14题改编)求极坐标方程分别为ρ＝cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距．解：圆心分别为⎝⎛⎭⎫12，0和⎝⎛⎭⎫0，12，故圆心距为22.1. 极坐标系是由距离(极径)与方向(极角)确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对(ρ，θ)与点不一一对应．这点应与直角坐标系区别开来．2. 在极坐标系中，同一个点M 的坐标形式不尽相同，M (ρ，θ)可表示为(ρ，θ＋2n π)(n ∈Z )．3. 极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M(ρ，θ)可表示为(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(n ∈Z )．4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可为任意角．5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M(ρ，θ)，建立等式，化简即得．6. 常用曲线的极坐标方程(1) 经过点A(a ，0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a. (2) 经过点A(0，a)与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a. (3) 圆心在A(a ，0)，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.7. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．平面内任一点P 的直角坐标(x ，y)与极坐标(ρ，θ)可以互换，公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ和⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx . [备课札记]题型1 求极坐标方程例1 如图，AB 是半径为1的圆的一条直径，C 是此圆上任意一点，作射线AC ，在AC 上存在点P ，使得AP·AC ＝1，以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系．(1) 求以AB 为直径的圆的极坐标方程； (2) 求动点P 的轨迹的极坐标方程； (3) 求点P 的轨迹在圆内部分的长度．解：(1) 易得圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2) 设C(ρ0，θ)，P (ρ，θ)，则ρ0＝2cos θ，ρ0ρ＝1.∴ 动点P 的轨迹的极坐标方程为ρcos θ＝12.(3) 所求长度为 3. 备选变式（教师专享）求以点A(2，0)为圆心，且过点B ⎝⎛⎭⎫23，π6的圆的极坐标方程．解：由已知圆的半径为 AB ＝22＋（2 3）2－2×2×2 3cos π6＝2.又圆的圆心坐标为A(2，0)，所以圆过极点， 所以圆的极坐标方程是ρ＝4cosθ.题型2 极坐标方程与直角坐标方程的互化例2 在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d.求d 的最大值．解：将极坐标方程ρ＝3化为普通方程，得圆：x 2＋y 2＝9.极坐标方程ρ(cos θ＋3sin θ)＝2化为普通方程，得直线：x ＋3y ＝2. 在x 2＋y 2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)． 则点A 到直线的距离为d ＝|3cos α＋33sin α－2|2＝|6sin （α＋30°）－2|2，∴ 所求d 的最大值为4. 变式训练在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2 2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的方程为y ＝2x ＋1，判断直线l 和圆C 的位置关系．解：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和圆C 相交．题型3 极坐标的应用例3 若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，它们相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解：(解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，得交点坐标为A(1，0)，B ⎝⎛⎭⎫1，－2π3(注意坐标形式不唯一)．在△OAB 中，根据余弦定理，得AB 2＝1＋1－2×1×1×cos 2π3＝3，所以AB ＝ 3.(解法2)由ρ＝1，得x 2＋y 2＝1.∵ ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝cos θ－3sin θ，∴ ρ2＝ρcos θ－3·ρsin θ，∴ x 2＋y 2－x ＋3y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，得A(1，0)、B ⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝ 3.备选变式（教师专享）在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0) 的一个交点在极轴上，求a 的值．解：曲线C 1的直角坐标方程是2x ＋y ＝1，曲线C 2的普通方程是直角坐标方程x 2＋y 2＝a 2，因为曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，所以C 1与x 轴交点横坐标与a 值相等，由y ＝0，x ＝22，知a ＝22.1. (2013·安徽)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程． 解：在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r ＝1，所以左切线方程为θ＝π2，右切线满足cos θ＝2ρ，即ρcos θ＝2.2. (2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，求|CP|.解：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，所以(x －2)2＋y 2＝4，圆心C(2，0)．点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，即ρ＝4，θ＝π3，所以x ＝ρcos θ＝4cos π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin π3＝23，即P(2，23)，所以|CP|＝2 3.3. (2013·上海)在极坐标系中，求曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离．解：联立方程组得ρ(ρ－1)＝1＝1±52.又ρ≥0，故所求为1＋52.4. 在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：∵ 圆C 的圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，∴ 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1.∴ 圆C 的圆心坐标为(1，0)． ∵ 圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，∴ 圆C 的半径为PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1.∴ 圆C 经过极点．∴ 圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1. (2013·北京)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离．解：在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin θ＝2化为直角坐标方程为y ＝2.(3，1)到y ＝2的距离1，即为点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离1.2. (2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上．(1) 求a 的值及直线的直角坐标方程；(2) 圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝sin α，(α为参数)，试判断直线与圆的位置关系．解：(1) 由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2) 由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心为(1，0)，半径r ＝1， 因为圆心到直线的距离d ＝22<1，所以直线与圆相交． 3. 在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝12sin θ，曲线C 2：ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1) 求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；(2) 若P 、Q 分别是曲线C 1和C 2上的动点，求PQ 的最大值．解：(1) 因为ρ＝12sin θ，所以ρ2＝12ρsin θ，所以x 2＋y 2－12y ＝0，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －6)2＝36.又ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，所以ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，所以x 2＋y 2－63x －6y ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36.(2) PQ max ＝6＋6＋（33）2＋32＝18.4. 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1) 把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过圆O 1、圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点、极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1) x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x.即圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，同理圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2，即圆O 1、圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)，故过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)，都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝⎛⎭⎫π4，π4可以表示为⎝⎛⎭⎫π4，π4＋2π或⎝⎛⎭⎫π4，π4－2π或⎝⎛⎭⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝⎛⎭⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

选修4－4 坐标系与参数方程1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．题型二 参数方程与普通方程的互化例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos 2θ，y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．题型三 极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分]根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22)， 倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以AB ＝102.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法． 失误与防范1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点． 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A 组 专项基础训练1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．5．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．B 组 专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案要点梳理1．(1)极点 极轴 极径(2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y x3．参数方程 参数4．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θy ＝b sin θ (4)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2y ＝2pt 夯基释疑1．43 2.x 2＋y 2－2x －y ＝0 3.4 4.50° 5.M 1 题型分类·深度剖析例1 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1 得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)． (2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)． 所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 跟踪训练1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.例2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝⎛⎭⎫1，255. 跟踪训练2 解 (1)∵x ＝2t 21＋t2， ∴y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x . 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2∈[0,2)． ∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．(2)∵4cos 2θ＝2－x,4sin 2θ＝4(y ＋1)．∴4cos 2θ＋4sin 2θ＝2－x ＋4y ＋4.∴4y －x ＋2＝0.∵0≤4cos 2θ≤4，∴0≤2－x ≤4，∴－2≤x ≤2.∴所求的普通方程为x －4y －2＝0(x ∈[－2,2])．例3 解 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0， 所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎨⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|1＋3＝52，此时，直线与圆相离，所以MN 的最小值为52－2＝12. 跟踪训练3 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1， 所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.练出高分A 组 1．解 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)， 由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ， 解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.2．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132∉[－1,1]， 故曲线C 与曲线D 无公共点．3．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．4．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.5．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．6．解 圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1. ∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)． B 组1．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．2．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22. 3．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5cos t ＝x －45sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25， 即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25， 化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋(y －5)2＝25x 2＋y 2＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 4．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 方法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ， －π3 ≤θ≤π3.。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． [试一试]1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x －y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －y ＝01．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．解析：极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin(θ＋π4)＝ρ22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22， 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：22平面直角坐标系中的伸缩变换1.(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.① 将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y ′＝sin(2·12x ′＋π4)，即y ′＝12sin(x ′＋π4)．答案：y ′＝12sin(x ′＋π4)3．双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．答案：(－5,0)或(5,0) [类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．极坐标与直角坐标的互化[典例] 中，以坐标原点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．[解] (1)曲线C 1的方程可化为3(x 2＋y 2)＝12x －10， 即(x －2)2＋y 2＝23.(2)依题意可设Q (4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C 1的圆心坐标为C 1(2,0)． 故|QC 1|＝(4cos θ－2)2＋4sin 2θ ＝12cos 2θ－16cos θ＋8＝23⎝⎛⎭⎫cos θ－232＋23， |QC 1|min ＝263，所以|PQ |min ＝63. [类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2013·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．答案：相交极坐标方程及应用[典例]xOy 中，曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] (1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y ＝4，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2 2.解：由曲线C ，C 1极坐标方程联立 ∴cos 2θ＝34，cos θ＝±32，又ρ≥0，θ∈[0，π2)．∴cos θ＝32，θ＝π6，ρ＝23，故交点极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练](2013·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.答案：ρcos θ＝3第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [练一练]1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．A.23 B ．－23C.32D ．－32解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆弧”或“射线”)．解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段． 答案：线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. [练一练]1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．解析：由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t ＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.答案：|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．解析：∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2－4×1＝14. 答案：14参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．解析：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.答案：2 62．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m的值是________．解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m＝10.答案：0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.解析：由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1， 画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.答案： 3 [类题通法]参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．参数方程的应用[典例] (2013·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcosα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．a ×3＝－1，故a ＝33. [类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [针对训练](2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α), 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．极坐标、参数方程的综合应用[以坐标原点为极点，x 轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． [解] (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[针对训练](2013·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)． (2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t (t 为参数)．。

. . .选修4—4 坐标系与参数方程第1课坐标系[过双基]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).4．常见曲线的极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆的极坐标方程 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程 ρsin θ＝a (0<θ<π)[小题速通]1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________．解析：把圆ρ＝2cos θ的方程化为(x －1)2＋y 2＝1知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，从而得这两条切线的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.答案：θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝23．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心为(1,2)，半径r ＝1.因为点P (1,0)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(0－2)2＝2>1，所以点P 在圆外，所以|AP |的最小值为d －r ＝2－1＝1.答案：14．(2017·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ 的公共点的个数为________．解析：依题意，得4ρ⎝⎛⎭⎫32cos θ＋12sin θ＋1＝0，即23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，所以直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0.由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋(y －1)2＝1，其圆心(0,1)到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离 d ＝|2×1＋1|(23)2＋22＝34<1，则直线与圆相交，故直线与圆的公共点的个数是2. 答案：25．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎫1，－π2引圆ρ＝8sin θ的一条切线，则切线长为________． 解析：点A ⎝⎛⎭⎫1，－π2的极坐标化为直角坐标为A (0，－1)， 圆ρ＝8sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－8y ＝0， 圆的标准方程为x 2＋(y －4)2＝16， 点A 与圆心C (0,4)的距离为|AC |＝5， 所以切线长为|AC |2－r 2＝3. 答案：3[清易错]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一点的坐标． 1．若圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy ，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是________．解析：因为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ－1＝0，即x 2＋y 2－2x －23y －1＝0，因此圆心坐标为(1，3)．答案：(1，3)2．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________． 解析：将方程 ρ＝5cos θ－53sin θ两边都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0. 圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫52，－532，化成极坐标为⎝⎛⎭⎫5，5π3.答案：⎝⎛⎭⎫5，5π3(答案不唯一)平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．[解] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． [方法技巧]伸缩变换的解题方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下得到的方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程． [即时演练]1．求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.2．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线 y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.极坐标与直角坐标的互化[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝22，直线与曲线C ：ρsin 2θ＝8cos θ相交于不同的两点A ，B ，求|AB |的值．[解] l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝22⇒22ρcos θ－22ρsin θ＝22⇒x －y －1＝0，C 的直角坐标方程是y 2＝8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x －y －1＝0， 可得x 2－10x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10，x 1x 2＝1， 所以AB 的长为1＋1·102－4＝8 3.[方法技巧]1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的非负半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标的注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．[即时演练]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1(0≤θ<2π)，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．极坐标方程的应用[典例] 已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)C 1：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)， ∴P⎝⎛⎭⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝⎛⎭⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝⎛⎭⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1. [方法技巧]曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．[即时演练]在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3. 设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝33，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝3，θ2＝π3. 由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2，即线段PQ 的长为2.1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.2．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2016·北京高考改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.解：∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0. ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2(sin 2θ＋cos 2θ)＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x .∴圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. ∵圆心(1,0)在直线x －3y －1＝0上， ∴AB 为圆的直径，∴|AB |＝2.4．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值．解：圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16， 直线 θ＝π3即tan θ＝3，化为直角坐标方程为3x －y ＝0， 圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.5．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离． 解：点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为()1，3， 直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0. 所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|12＋(3)2＝22＝1.1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5， 所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5， 所以圆心C 到直线的距离为 |1＋2＋a |2＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 故实数a 的值为－5或－1.2．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2， 即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ， 得4x 2－83x ＋12＝0， 即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)， 化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 3．(2018·长春模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 相交于异于原点的两点 A ，B ，求△AOB 的面积．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)在极坐标系中，C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6，ρ＝4cos θ＋2sin θ，得|OA |＝23＋1，同理：|OB |＝2＋ 3. 又∵∠AOB ＝π6，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝8＋534，即△AOB 的面积为8＋534.5．在坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：ρcos θ－π3＝32，C 与l 有且只有一个公共点．(1)求a 的值；(2)若原点O 为极点，A ，B 为曲线C 上两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．解：(1)由已知在直角坐标系中，C ：x 2＋y 2－2ax ＝0⇒(x －a )2＋y 2＝a 2(a >0)； l ：x ＋3y －3＝0.因为C 与l 只有一个公共点，所以l 与C 相切， 即|a －3|2＝a ，则a ＝1.(2)设A (ρ1，θ)，则B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π3， ∴|OA |＋|OB |＝ρ1＋ρ2＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. 所以，当θ＝－π6时，(|OA |＋|OB |)max ＝2 3.6．在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：3x ＋y －4＝0，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ>0，0<α<π2，且曲线C 3分别交C 1，C 2于点A ，B ，求|OB ||OA |的最大值．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C 1：3ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，C 2：ρ＝2sin θ. (2)曲线C 3为θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ>0，0<α<π2， 设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，ρ1＝43cos α＋sin α，ρ2＝2sin α，则|OB ||OA |＝ρ2ρ1＝14×2sin α(3cos α＋sin α) ＝142sin2α－π6＋1， ∴当α＝π3时，⎝⎛⎭⎫|OB | |OA |max ＝34. 7．平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 23＋y 2＝1，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，射线OM 的极坐标方程为θ＝α0(ρ≥0)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线OM 平分曲线C 2，且与曲线C 1交于点A ，曲线C 1上的点满足∠AOB ＝π2，求|AB |.解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，曲线C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4. (2)曲线C 2是圆心为(3，1)，半径为2的圆， ∴射线OM 的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，代入ρ2＝31＋2sin 2θ，可得ρ2A ＝2. 又∠AOB ＝π2，∴ρ2B ＝65， ∴|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝ρ2A ＋ρ2B ＝455. 8．已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)作出图形如图所示，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得， 4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)， 设M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点， 得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.第2课参数方程[过双基]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[小题速通]1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝－1－2t (t 为参数)与极坐标方程ρ＝sin θ所表示的图形分别是________．解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝－1－2t 消去参数t ，得2x －y －5＝0，对应图形为直线．由ρ＝sin θ，得ρ2＝ρsin θ，即x 2＋y 2＝y ， 即x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝14，对应图形为圆． 答案：直线、圆2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)与直线y ＝x ＋2的交点坐标为________．解析：曲线的直角坐标方程为y ＝x 2.将其与直线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ＋2，∴x 2－x －2＝0，∴x＝－1或x ＝2.由x ＝sin θ知，x ＝2不合题意．∴x ＝－1，y ＝1，∴交点坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)3．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为________．解析：∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9， ∴圆心(2，－1)到直线l 的距离 d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010<3，141010>3，∴有2个点． 答案：24．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)化为普通方程为________．解析：∵x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x .又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2∈[0,2)，∴x ∈[0,2)，∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))． 答案：3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))[清易错]1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.1．直线y ＝x －1上的点到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ上的点的最近距离是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋2，sin θ＝y －1，∴(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴圆心坐标为(－2,1)， 故圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝42＝22， ∴直线上的点到圆上的点的最近距离是d －r ＝22－1. 答案：22－12．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有 3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝b a ，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3.答案：π3或2π3参数方程与普通方程的互化[典例] 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t ，(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．[解] (1)椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l ：x －3y ＋9＝0.(2)设P (2cos θ，3sin θ)， 则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，点P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝⎛⎭⎫－85，335.[方法技巧]将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解． [即时演练]将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)． 解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k 2，得x ＝3·y 2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 故所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．参数方程[典例] 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋2t ，y ＝－4＋2t(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．[解] 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)，将直线l 的参数方程化为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝－4＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线C 的方程得：12t ′2－(42＋2a )t ′＋16＋4a ＝0， 则Δ>0，即a >0或a <－4.设交点M ，N 对应的参数分别为t 1′，t 2′， 则t 1′＋t 2′＝2(42＋2a )，t 1′t 2′＝2(16＋4a )， 若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， 则|t 1′－t 2′|2＝|t 1′t 2′|， 解得a ＝1或a ＝－4(舍去)， 所以满足条件的a ＝1. [方法技巧](1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [即时演练]已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－2， 由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.极坐标、参数方程的综合应用[典例] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[即时演练]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos θ1－cos 2θ，直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α.(α为参数，0≤α<π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线与曲线C 交于两点A ，B ，且线段AB 的中点为M (2，2)，求α. 解：(1)曲线C ：ρ＝4cos θ1－cos 2θ，即ρsin 2θ＝4cos θ，于是有ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝4x .(2)法一： 把x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α代入y 2＝4x ， 得(2＋t sin α)2＝4(2＋t cos α)， 即t 2sin 2α＋(4sin α－4cos α)t －4＝0.由AB 的中点为M (2,2)得t 1＋t 2＝0，有4sin α－4cos α＝0，所以k ＝tan α＝1. 由0≤α<π，得α＝π4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2⇒(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝4，∴k 1＝tan α＝y 1－y 2x 1－x 2＝1， 由0≤α<π，得α＝π4.1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2， 将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 法二：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为kx －y ＝0. 由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知， 圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k 2＝25－⎝⎛⎭⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即直线l 的斜率为±153. 3．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆． 因为G 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)的距离的最小值．解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M －2＋4cos θ，2＋32sin θ.曲线C 3为直线x －2y －7＝0， M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855. 3．在平面直角坐标系xOy 中，C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.(1)说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为普通方程；(2)C 1与C 2有两个公共点A ，B ，点P 的极坐标⎝⎛⎭⎫2，π4，求线段AB 的长及定点P 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)C 2是圆，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0， 化为普通方程为x 2＋y 2－2x －3＝0，即(x －1)2＋y 2＝4. (2)点P 的直角坐标为(1,1)，且在直线C 1上，将C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)代入x 2＋y 2－2x －3＝0，得⎝⎛⎭⎫1－22t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋22t 2－2⎝⎛⎭⎫1－22t －3＝0，化简得t 2＋2t －3＝0. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－3， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝2＋12＝14，定点P 到A ，B 两点的距离之积|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝3.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－2t ，y ＝3－t (t 为参数)，定点P (1,1)．(1)以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA |－|PB ||的值． 解：(1)依题意得圆C 的一般方程为(x －1)2＋y 2＝4， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式得ρ2－2ρcos θ－3＝0， 所以圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－3＝0.(2)因为定点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1－55t (t 为参数)．代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2－255t －3＝0. 设点A ，B 分别对应的参数为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝255，t 1t 2＝－3. 所以t 1，t 2异号，不妨设t 1>0，t 2<0， 所以|PA |＝t 1，|PB |＝－t 2， 所以||PA |－|PB ||＝|t 1＋t 2|＝255.5．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．解：(1)由已知得l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1解得l 与C 1的交点为A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)由题意，得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ， 从而点P 到直线l 的距离是d ＝⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝342sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋2， 当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为23－64. 6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3. (2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3， 即x 2＋y 23＝1， ∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)， ∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＋32＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22，d 的最大值为52＝522.∴22≤d ≤522，即d 的取值范围为⎣⎡⎦⎤22，522. 7．平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m,0)，且倾斜角为π6，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，即ρ2＝2ρcos θ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0， 所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，解得m ＝1或m ＝1＋2或m ＝1－ 2.8．已知直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 解：(1)∵ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22cos θ－22sin θ， ∴ρ2＝22ρcos θ－22ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＋22y ＝0， 即(x －2)2＋(y ＋2)2＝4， ∴圆心的直角坐标为(2，－2)． (2)直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为⎝⎛⎭⎫22t －22＋⎝⎛⎭⎫22t ＋42＋22－4＝t 2＋8t ＋48＝(t ＋4)2＋32≥42，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值为4 2.。

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义广东高考考试大纲说明的具体要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程： ① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（一）基础知识梳理：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

4．极坐标与直角坐标的互化：5。

圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =；6.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0a )(0,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a cos =θρ. 7．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐标系[基础梳理] 1．坐标系 (1)坐标变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下,点P (x ,y )对应到点(λx ,μy ),称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ,叫作极点；自极点O 引一条射线Ox ,叫作极轴；再选一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内任意一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角,记为θ,有序数对(ρ,θ)叫作点M 的极坐标,记为M (ρ,θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ),则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.3．常用简单曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆ρ＝r圆心为(r ,0),半径为r 的圆ρ＝2r cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ≤π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2,半径为r 的圆ρ＝2r sin θ (0≤θ<π)1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0），点(x ,y )在原曲线上,点(x ′,y ′)在变换后的曲线上,因此点(x ,y )的坐标满足原来的曲线方程,点(x ′,y ′)的坐标满足变换后的曲线方程． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入:直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简．(2)整体代换:极坐标方程化为直角坐标方程,变形构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换． [四基自测]1．点P 的直角坐标为(1,－3),则点P 的极坐标为______． 答案:(2,－π3)2．在极坐标系中,圆心在()2，π且过极点的圆的方程为________． 答案:ρ＝－2 2 cos θ3．在极坐标系中,直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ,B 两点,则|AB |＝________． 答案:24．在极坐标系中,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________． 答案:65．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0,则圆C 的半径为________．答案: 6考点一 伸缩变换◄考基础——练透[例1] (1)在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后,曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1,求曲线C 的方程．解析:把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 代入曲线2x ′2＋8y ′2＝1,可得2(5x )2＋8(3y )2＝1,化为50x 2＋72y 2＝1,即为曲线C 的方程．(2)在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解析:法一:设变换为φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1,得λ2x 2＋μ2y 2＝1.将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1,比较系数得λ＝13,μ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的12,可得到圆x ′2＋y ′2＝1.法二:利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1,与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y 2.故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的12,可得到圆x ′2＋y ′2＝1.1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x ),得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ,整理之后得到y ′＝h (x ′),即为所求变换之后的方程．2．应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x ,y )与变换后的坐标(x ′,y ′)．1．(2019·池州模拟)求曲线x 2＋y 2＝1经过φ:⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝4y变换后得到的新曲线的方程．解析:曲线x 2＋y 2＝1经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝4y 变换后,即将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝y ′4代入圆的方程,可得x ′29＋y ′216＝1,即所求新曲线方程为:x 29＋y 216＝1.2．求正弦曲线y ＝sin x 按:φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的函数解析式．解析:设点P (x ,y )为正弦曲线y ＝sin x 上的任意一点, 在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′)．即φ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′，代入y ＝sin x 得2y ′＝sin 3x ′,所以y ′＝12sin3x ′,即y ＝12sin 3x 为所求．考点二 极坐标与直角坐标的互化◄考能力——知法[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.①M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |＝16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；②设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值．解析:①设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． ②设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2,ρB ＝4cos α,于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3|＝2|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32|≤2＋ 3.当α＝－π12时,S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数,a >0)．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ＝4cos θ.①说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足tan α0＝2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .解析:①消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.②曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2 θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0, 由已知tan θ＝2,可得16cos 2 θ－8sin θcos θ＝0, 从而1－a 2＝0,解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. a ＝1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上． 所以a ＝1.将本例(2)曲线C 1变为ρ＝cos θ＋sin θ,曲线C 2变为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求C 1和C 2的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π)时,求C 1与C 2公共点的一个极坐标． 解析:(1)曲线C 1:ρ＝cos θ＋sin θ,即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ,曲线C 1的直角坐标方程为:x 2＋y 2＝x ＋y ,即x 2＋y 2－x －y ＝0,曲线C 2:ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22,即ρsin θ－ρcos θ＝1,则曲线C 2的直角坐标方程为:y －x ＝1,即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，C 1与C 2公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.1．极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)将极坐标方程两边同乘ρ或同时平方,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ,将y 换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程． 2．涉及圆的极坐标方程的解决方法方法一:先把涉及的直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程,再根据直角坐标系中的相关知识进行求解；方法二:直接利用极坐标的相关知识进行求解,其关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系．这一过程需要用到解三角形的知识,并需要掌握直线和圆的极坐标方程．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程．解析:(1)由x＝ρcos θ,y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0),半径为2的圆．由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1,y 轴左边的射线为l2.由于点B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时,点A 到l 1所在直线的距离为2,所以|－k ＋2|k 2＋1＝2,故k＝－43或k ＝0.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点． 当l 2与C 2只有一个公共点时,点A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k ＋2|k 2＋1＝2,故k＝0或k ＝43.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时,l 2与C 2没有公共点． 综上,所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.考点三 极坐标方程的应用◄考基础——练透[例3] (2019·山西太原模拟)点P 是曲线C 1:(x －2)2＋y 2＝4上的动点,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O 为中心,将点P 逆时针旋转90°得到点Q ,设点Q 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝π3(ρ＞0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,定点M (2,0),求△MAB 的面积．解析:(1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ,θ),则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2,则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)M到射线θ＝π3(ρ＞0)的距离d＝2sinπ3＝3,|AB|＝ρB－ρA＝4⎝⎛⎭⎪⎫sinπ3－cos π3＝2(3－1),则S△MAB＝12|AB|×d＝12×2(3－1)×3＝3－ 3.判断位置关系和求最值问题的方法(1)已知极坐标方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程,化陌生为熟悉再进行解答．(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,比直角坐标系中求最值的运算量小．提醒:在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性．在极坐标系中,判断直线4ρcos(θ－π6)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数． 解析:直线方程可化为2ρsin θ＋23ρcos θ＋1＝0,即23x ＋2y ＋1＝0,圆为x 2＋(y －1)2＝1,因为圆心到直线的距离d ＝34＜1,所以有两个交点．课时规范练 A 组 基础对点练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2,ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解析:(1)ρ＝2⇒ρ2＝4,所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2,所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2,所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1, 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程．(2)直线OP :θ＝π6(ρ∈R )与圆C 交于点M ,N ,求线段MN 的长． 解析:(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0, 故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0,得 ρ2－2ρ－5＝0,所以ρ1＋ρ2＝2,ρ1ρ2＝－5, 所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.3．在极坐标系中,已知圆C 经过点P (2,π4),圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程．解析:因为点P (2,π4),所以x ＝2cos π4＝1,y ＝2sin π4＝1,所以点P (1,1)．因为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32,展开为12ρsin θ－32ρcos θ＝－32,所以y －3x ＝－3,令y ＝0,则x ＝1,所以直线与x 轴的交点为C (1,0)．所以圆C 的半径r ＝|PC |＝（1－1）2＋（1－0）2＝1,所以圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1,展开为x 2－2x ＋1＋y 2＝1,化为极坐标方程ρ2－2ρcos θ＝0,即ρ＝2 cos θ,所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.4．在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB |＝10,求l 的斜率．解析:(1)由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α,ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38,tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.B 组 能力提升练5．已知在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t(t 为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数),曲线C 1上点P 的极角为π4,Q为曲线C 2上的动点,求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值． 解析:(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ, 即ρ2＝4ρcos θ,可得直角坐标方程:C 1:x 2＋y 2－4x ＝0.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t (t 为参数),消去参数t 可得普通方程:x ＋2y －3＝0.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4,直角坐标为(2,2),Q (2cos α,sin α),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos α，1＋12sin α,∴M 到l 的距离为d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤105, 从而最大值为105. 6．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数,t ≠0), 其中0≤α≤π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ＝2sin θ,C 3:ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值．解析:(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0,曲线C 3的直角坐标方程x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α≤π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3 cos α,α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时,|AB |取得最大值,最大值为4.第二节 参数方程[基础梳理] 1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F (x ,y )＝0叫普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程:利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程:如果x ＝f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t ),则得曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）.3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程1．参数方程化普通方程(1)常用技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等． (2)常用公式:cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ. 2．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1,M 2是l 上的两点,其对应参数分别为t 1,t 2,则 (1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t ＝t 1＋t 22,中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22. (3)若M 0为线段M 1M 2的中点, 则t 1＋t 2＝0. [四基自测]1．直线y ＝x 与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案:C2．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数),则直线的斜率为________．答案:－33．曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ－1(θ为参数),则曲线C 的普通方程为________．答案:y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)4．椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数),过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ,B 两点,则|AB |min ＝________． 答案:1855．椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．答案:215考点一 直线的参数方程◄考基础——练透[例1] (2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数),直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径．解析:(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1:y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2:y ＝1k (x ＋2)．设P (x ,y ),由题设得⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2），消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π,θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13,从而cos 2θ＝910,sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5,所以交点M 的极径为 5.1．直线的参数方程有两种常见形式: (1)点角式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角)．(2)点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt(参数都是t )2．使用方法:消参数(三角公式法、相除法)化为普通方程或者利用参数法 (1)若M 1,M 2是直线l 上的两个点,对应的参数分别为t 1,t 2,则|M 0M 1→||M 0M 2→|＝|t 1t 2|,|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3,点M 1,M 2,M 3对应的参数分别为t 1,t 2,t 3,则t 3＝t 1＋t 22. (3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0,y 0),则t 1＋t 2＝0,t 1t 2<0.(2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ,B ,若点P 的坐标为(3,5),求|P A |＋|PB |. 解析:(1)由ρ＝25sin θ,得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ,即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5,即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4. 又直线l 过点P (3,5),故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 考点二 圆的参数方程◄考能力——知法[例2] 在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ,θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l :y ＝3x ＋2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标．解析:(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数,0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ,sin t ),由(1)知C 是以G (1,0)为圆心,1为半径的半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan t ＝3,t ＝π3. 故D 的直角坐标为(1＋cos π3,sin π3),即(32,32)．1．圆的参数方程可利用三角公式消参数后再应用．2．解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题,通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．3．求距离的问题,通过设圆的参数方程,就转化为求三角函数的值域问题．(2019·河北保定一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数),在以 原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为22ρcos(θ＋π4)＝－1.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,点P 是圆C 上任一点,求A ,B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解析:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋ 2 sin t 消去参数t ,得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2,所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由22ρcos(θ＋π4)＝－1,得ρcos θ－ρsin θ＝－2, 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为A (－2,0),B (0,2),则点A ,B 的极坐标分别为(2,π＋2k π)(k ∈Z ),(2,π2＋2k π)(k ∈Z )．设点P 的坐标为(－5＋2cos α,3＋ 2 sin α),则点P 到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|2＝|－6＋2cos （α＋π4）|2,所以d min ＝42＝22,又|AB |＝22,所以△P AB 面积的最小值S ＝12×d min ×|AB |＝12×22×22＝4. 考点三 椭圆的参数方程◄考基础——练透[例3] (2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)． (1)若a ＝－1,求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a . 解析:(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 当a ＝－1时,直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0,由⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时,d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17,所以a ＝8；当a <－4时,d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17,所以a ＝－16.综上,a ＝8或a ＝－16.1．区分椭圆的参数方程的参数的几何意义是离心角,与圆的参数方程的参数不同．2．椭圆的参数方程消参数时,先变为xa＝cos θ,yb＝sin θ,再利用cos2θ＋sin2θ＝1求解．已知曲线C :x 24＋y 29＝1,直线l :⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|P A |的最大值与最小值．解析:(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|,其中α为锐角,且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时,|P A |取得最大值,最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时,|P A |取得最小值,最小值为255.课时规范练 A 组 基础对点练1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝mt (t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．(1)若直线l 与圆C 的相交弦长不小于2,求实数m 的取值范围．(2)若点A 的坐标为(2,0),动点P 在圆C 上,试求线段P A 的中点Q 的轨迹方程． 解析:(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝mt(t 为参数),普通方程为y ＝mx ,圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数),普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋1,相交弦长＝21－1m 2＋1, 所以21－1m 2＋1≥2,所以m ≤－1或m ≥1. (2)设P (cos α,1＋sin α),Q (x ,y ),则 x ＝12(cos α＋2),y ＝12(1＋sin α),消去α,整理可得线段P A 的中点Q 的轨迹方程(x －1)2＋(y －12)2＝14.2．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|AB |＝14,求直线l 的倾斜角α的值． 解析:(1)因为ρcos θ＝x ,ρsin θ＝y ,ρ2＝x 2＋y 2,所以曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ,所以x 2＋y 2＝4x , 所以(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得:(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4,化简得t 2－2t cos α－3＝0. 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12,因为|AB |＝14, 所以4cos 2α＋12＝14.所以cos α＝±22. 因为α∈[0,π), 所以α＝π4或α＝34π.所以直线的倾斜角α＝π4或α＝34π.3．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数,α∈R ),在以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ,B 两点,求|AB |的值．解析:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －1＝sin α⇒x 2＋(y －1)2＝1,由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2⇒22ρsin θ－22ρcos θ＝2⇒y －x ＝2,即C 2:x －y ＋2＝0.(2)∵直线x －y ＋2＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于A ,B 两点, 又x 2＋(y －1)2＝1的圆心(0,1),半径为1, 故圆心到直线的距离d ＝|0－1＋2|12＋（－1）2＝22,∴|AB |＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 2.B 组 能力提升练4．(2019·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程为ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ,曲线C 2上有一动点N ,求|MN |的最小值． 解析:(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0, 由ρ2＝x 2＋y 2,ρcos θ＝x ,得x 2＋y 2－2x ＝0, 即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知,圆C 2的圆心为C 2(1,0),半径为1.设曲线C 1上的动点M (3cos α,2sin α),易知点M 在圆C 2外, 由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. 因为|MC 2|＝（3cos α－1）2＋4sin 2α＝5cos 2α－6cos α＋5＝5（cos α－35）2＋165,所以当cos α＝35时,|MC 2|min ＝455,所以|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1,即|MN |的最小值为455－1.5．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m .(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若曲线C 1与曲线C 2有公共点,求实数m 的取值范围． 解析:(1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α，消去参数,可得y ＝x 2(－2≤x ≤2),由ρsin(θ－π4)＝22m ,得22ρsin θ－22ρcos θ＝22m ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x －y ＋m ＝0，可得x 2－x －m ＝0,∵曲线C 1与曲线C 2有公共点, ∴m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.∵－2≤x ≤2,∴－14≤m ≤6.。

第1讲坐标系[最新考纲]1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.知识梳理1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos θ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y x.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；(3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ.诊 断 自 测1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________． 解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π42．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ， 即x 2＋y 2－2y －4x ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝03．(2014·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π44．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为________．解析 ∵直线l 的极坐标方程可化为y ＝3，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为2. 答案 25．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________． 解析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0.∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为 |0－3×2|3＋9＝ 3.答案3考点一 极坐标与直角坐标的互化【例1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解 (1)∵x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52， ∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52.(2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33.∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6.因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6.规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性． 【训练1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 解 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43， 因此，点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－26＝－33， 又因为点在第四象限，得θ＝11π6. 因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6.考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化【例2】 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1. 又⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1. 即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境． 【训练2】 ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解 以极点的原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 得⊙O 1，⊙O 2的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0. (2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x ＝0， ①x 2＋y 2＋4y ＝0. ②①－②得－4x －4y ＝0，即x ＋y ＝0为所求直线方程．考点三 曲线极坐标方程的应用【例3】 (2014·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝4 3.故所求弦长为4 3.规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．【训练3】 (2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误【典例】 (10分)在极坐标系下，若点P (ρ，θ)的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3，求以⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2为坐标的不同的点的极坐标．[错解展示]甲：解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3化为直角坐标为(－2,23)，故该点与原点的中点坐标为(－1，3)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.乙：解 ∵ρ＝4，θ＝2π3，故ρ2＝2，θ2＝π3，因此所求极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. [规范解答] ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3为点P (ρ，θ)的一个极坐标．∴ρ＝4或ρ＝－4. (2分)当ρ＝4时，θ＝2k π＋2π3(k ∈Z )， ∴ρ2＝2，θ2＝k π＋π3(k ∈Z )． (4分)当ρ＝－4时，θ＝2k π＋5π3(k ∈Z )， ∴ρ2＝－2，θ2＝k π＋5π6(k ∈Z )． (6分)∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2有四个不同的点： P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋4π3(k ∈Z )， P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2k π＋5π6，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2k π＋11π6(k ∈Z ) (10分) [反思感悟] 甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点，事实上(ρ，θ)与⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2的关系并不是点(ρ，θ)与极点的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2，从几何意义上讲点⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2应满足该点的极角为θ的12，极径为ρ的12.乙生解法中满足⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2的几何意义，但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性，还应就点(ρ，θ)的其他形式的极坐标进行讨论． 【自主体验】下列各点中与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6不表示同一个点的极坐标是________．①⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6 ②⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－7π6 ③⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13π6 解析 因为与⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6表示同一点的坐标有⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6＋2k π或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6＋(2k ＋1)π，其中k ∈Z ，所以易得只有②不同． 答案 ②一、填空题1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________(填序号)． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2；③(1,0)；④(1，π) 解析 圆的方程可化为ρ2＝－2ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心为(0，－1)， 化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.答案 ②2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是______(填序号)． ①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线． 解析 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线． 答案 ③3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故圆心为(1,0)，则点(1，3)到圆心(1,0)的距离为 3. 答案34．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．解析 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π25．(2014·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心C 的距离是________．解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为(0－23)2＋(2－2)2＝2 3. 答案 2 36．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－22sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析 由ρ＝6cos θ－22sin θ⇒ρ2＝6ρcos θ－22ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋22y ＝0，将其化为标准形式为(x －3)2＋(y ＋2)2＝11，故圆心的坐标为(3，－2)，所以过圆心且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3. 答案 ρcos θ＝37．(2014·华南师大模拟)在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋(3)2＝2.答案 28．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析 曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎨⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4，得⎩⎨⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2. 答案29．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．解析 θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB ，S ＝3－34.答案3－34二、解答题10．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，它表示圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．11．(2012·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y ，(－3≤y ≤3) 法二 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

极坐标方程【学习目标】1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置．2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程． 【要点梳理】要点一、极坐标系和点的极坐标 1. 极坐标系定义（1）在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线Ox 叫做极轴．要点诠释：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.2. 点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度和从Ox 轴旋转到OP 的角度来确定，（，）叫做点P 的极坐标，叫做点P 的极径，叫做点P 的极角．极点的极坐标为（0，），其中可以取任何值． 要点诠释：（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的数量；点M 的极径表示点M 与极点O 的距离|OM|，因此≥0；但必要时，允许＜0．（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（，）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（，）（≠0），那么这一点也可以表示为（，）或（，）（其中n 为整数）． 一般情况下，我们取极径≥0，极角为0≤＜2（或－π＜0≤π）． 如果我们规定＞0，0≤＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．相关点的极坐标ρθρθρθθθθθθθρρρρθρθρρ2n θπ+ρ-(21)n θπ++ρθθπρθρθ（1）同一个点：如极坐标系中点，，，，，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，（k ∈Z ）都表示点．于是我们有，一般地，极坐标（，）与（，）（k ∈Z ）表示平面内的同一个点．特别地，极点O 的坐标为（0，）（∈R ），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示．这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． （2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、、、，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（，）{这里为定值，}点的轨迹就是以极点为圆心，以为半径的圆．（3）对称点：（，）关于极轴的对称点为（，），关于极点的对称点为（，），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（，）．（4）共线的点：如果极坐标为（，），其中为常数，＞0，则表示与极轴成角的射线．4．极坐标系内两点间的距离公式设极坐标系内两点，，则．特例：当，． 要点二、极坐标与直角坐标的互化1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的轴正半轴重合； ③两种坐标系中长度单位相同2、互化公式如图，符合上述三条件的点的极坐标为，直角坐标为，4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭4,26ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4,46ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4,66ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4,26k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4,6π⎛⎫⎪⎝⎭ρθρ2k θπ+θθ4,6π⎛⎫⎪⎝⎭4,3π⎛⎫⎪⎝⎭4,2π⎛⎫⎪⎝⎭ρθρ[0,2)θπ∈ρρθρ2πθ-ρπθ+ρπθ-ρθθρθ111(,)P ρθ222(,)P ρθ12||PP =12θθ=1212||||P P ρρ-=-x P (,)ρθ(,)x y这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 要点诠释：由求时，不取负值；由确定时，根据点（x ，y ）所在的象限取正角．当x ≠0时，角才能由按上述方法确定．当x=0时，tan 没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，可取任何值；（2）当x=0，y ＞0时，可取；（3）当x=0，y ＜0时，可取． 要点三、曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程的概念（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C 上，那么方程称为曲线C 的极坐标方程．在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x 、y 的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有、这两个变量的方程来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程．要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线，设点P 的一极坐标为，那么点P 适合方程，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标就不适合方程了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．222x y ρ=+ρρtan (0)yx xθ=≠θθtan yxθ=θθ2πθ=32πθ=(,)0f ρθ=(,)0f ρθ=(,)0f ρθ=ρθ(,)0f ρθ=ρθ=,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ρθ=9,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ρθ=2. 求曲线极坐标方程的步骤．①建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点．②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．要点诠释：（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径和极角之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立、之间的关系． （2）今后我们遇到的极坐标方程多是的形式，即是的一个函数． （3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程的图形的对称性：若，则相应图形关于极轴对称；若，则图形关于射线所在的直线对称；若，则图形关于极点O 对称． 3．圆的极坐标方程（1）圆心在极轴上且过极点的圆圆心在极轴上的点（a ，0）处，且圆过极点O （如图所示）．P 为圆与极轴的另一交点，为圆上的动点，连接OM 和MP ，由平面几何知识知OM ⊥MP ．在直角三角形OMP 中，由三角知识可得．坐标满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为．也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程．如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a ，0），半径为a ，故圆的直角坐标方程为 (x －a)2+y 2=a 2， 即 x 2+y 2=2ax ．由坐标变换公式得 ， 即 ．(,)P ρθρθρθρθ()ρρθ=ρθ()ρρθ=()()ρθρθ=-()()ρθρπθ=-2πθ=()()ρθρπθ=+(,)M ρθ2cos a ρθ=(,)ρθ2cos a ρθ=22cos a ρρθ=2cos a ρθ=这样就得到前面推导出的极坐标方程．所以，方程就是圆上任意一点极坐标所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程的点都在这个圆上． （2）圆心在极点的圆如果已知⊙O 的半径为r ，我们可以以圆心为极点，以从圆心O 发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r ，这时圆的极坐标方程为（∈R ）．4．直线的极坐标方程（1）过极点的直线的极坐标方程．如图所示，直线AA ＇过极点且与极轴成的角为，即直线AA ＇的极坐标方程为 （≥0）和（≥0）．特别地，我们规定为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为（∈R ），或（∈R ）．（2）过点A （a ，0）（a ＞0）且垂直于极轴的直线的极坐标方程．如图所示，设为直线上的除A 外的任意一点．连接OM ，则有△AOM 为直角三角形并且∠AOM=，|OA|=a ，|OM|=，所以有． 即，化为直角坐标方程为x=a ．（3）过点且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程． 如图所示，设M 为直线上任意一点，其极坐标为，连接OM ，则有|OA|=a ，|OM|=，，在直角三角形AOM 中，我们有． ∴，即，化为直角坐标方程为y=a ． 2cos a ρθ=(,)ρθ2cos a ρθ=r ρ=ραθα=ρθπα=+ρρθα=ρθαπ=+ρl (,)M ρθl θρ||cos ||OM OA θ=cos a ρθ=,2A a π⎛⎫⎪⎝⎭(,)M ρθρ2AOM πθ∠=-||cos ||2OM OA πθ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭cos 2a πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭sin a ρθ=【典型例题】类型一、极坐标系中的点的表示例1． 写出右图中各点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）．【思路点拨】 根据极坐标定义：若M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角． 【解析】 由图可知： A （5，0），，，，E （2，π），，． 【总结升华】 本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围，如[0，2π）．当ρ＞0时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标． 举一反三：【变式1】下列各点中与不表示极坐标中同一个点的是（ ）． A ． B ． C ． D ． 【答案】C 。