高考数学二轮复习 滚动训练2 文

滚动训练二(2.3.1～2.3.4)一、选择题1．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()答案 A2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③答案 D解析①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误．3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β；其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.4．如图所示，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，P A⊥平面ABC，则四面体P－ABC的四个面中，直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案 A解析∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．又∵P A⊥平面ABC，∴△P AC，△P AB是直角三角形．又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，又P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形．从而△P AB，△P AC，△ABC，△PBC都是直角三角形，故选A. 5．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB 的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB1；③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析由侧棱AA1⊥平面A1B1C1，可得AA1⊥C1M.由A1C1＝B1C1及M为A1B1的中点可得C1M⊥A1B1，∵AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴C 1M ⊥平面A 1ABB 1，∴①正确；由C 1M ⊥平面A 1ABB 1可得C 1M ⊥A 1B ，又已知AC 1⊥A 1B ，C 1M ∩AC 1＝C 1， ∴A 1B ⊥平面AMC 1，从而可得A 1B ⊥AM ， 又易证得AM ∥NB 1， ∴A 1B ⊥NB 1，∴②正确；易证得AM ∥NB 1，MC 1∥CN ，从而根据面面平行的判定定理可证得平面AMC 1∥平面CNB 1， ∴③正确，故选D.6．如图，正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，现在沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3重合，重合后的点记为G .给出下列关系：①SG ⊥平面EFG ；②SE ⊥平面EFG ；③GF ⊥SE ；④EF ⊥平面SEG .其中成立的有( )A ．①与②B ．①与③C ．②与③D ．③与④答案 B解析 由SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，得SG ⊥平面EFG ，同理GF ⊥SEG ；若SE ⊥平面EFG ，则SG ∥SE ，这与SG ∩SE ＝S 矛盾，排除A 、C ，同理排除D ，故选B.7．如图所示，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13答案 B解析因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因为CD∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以∠BA′C ＝90°.8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是()A．4 B．2＋ 2C．3＋ 5 D．2＋ 5答案 D解析如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，则MG∥BC.设BN交AM于点E.∵BC⊥平面ABB1A1，NB⊂平面ABB1A1，∴NB⊥MG.∵正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，∴在△BEM中，∠MBE＝30°，∠BME＝60°，∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，又MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)．∵正方体的棱长为1，∴矩形ADGM的周长等于2＋ 5.故选D.二、填空题9．下列四个命题中，真命题的个数为________．①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若点M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．答案 1解析只有③正确．10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝2，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．答案60°解析因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝1，BC＝2，BA1＝AA21＋AB2＝2，则CA1＝AA21＋AC2＝2，所以△BCA1是正三角形，故异面直线所成角为60°.11.如图，已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________．答案2 3解析在平面BC1内延长FE，CB，相交于点G，连接AG，过点B作BH垂直AG于点H，连接EH.∵BE⊥平面ABCD，AG⊂平面ABCD，∴BE⊥AG.∵BH⊥AG，BH∩EB＝B，∴AG ⊥平面BEH ，∴AG ⊥EH .故∠BHE 是平面AEF 与平面ABC 所成二面角的平面角． 设正方体的棱长为a ， 则BE ＝a 3，CF ＝23a ，∴GB ∶GC ＝BE ∶CF ＝1∶2， ∴BG ＝a ，∴BH ＝22a ， 故tan ∠BHE ＝BE BH ＝a 322a ＝23.三、解答题12．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF .证明 (1)在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ， ∴AD DB ＝AE EC， 在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立，∴DE ∥BC . ∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥BC ，折叠后，AF ⊥CF . ∵在△BFC 中，BC ＝22，BF ＝CF ＝12，∴BC2＝BF2＋CF2，因此CF⊥BF.又AF∩BF＝F，AF，BF⊂平面ABF，∴CF⊥平面ABF.13．如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.四、探究与拓展14．已知二面角α－l－β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P，Q两点之间距离的最小值为()A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 答案 C解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．故选C.15．在如图所示的四棱锥P －ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 为PD 的中点． (1)求证：CE ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AC ⊥平面PDC ；(3)求直线EC 与平面P AC 所成角的正切值．(1)证明 取P A 的中点M ，连接BM ，ME ，则ME ∥AD 且ME ＝12AD ，又因为BC ∥AD 且BC ＝12AD ，所以ME ∥BC 且ME ＝BC ， 所以四边形MECB 为平行四边形，所以BM ∥CE ，又CE ⊄平面P AB ，BM ⊂平面P AB ， 所以CE ∥平面P AB .(2)证明 因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥DC ，又因为AC 2＋CD 2＝2＋2＝AD 2， 所以DC ⊥AC ，因为AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ， 所以DC ⊥平面P AC . 又因为DC ⊂平面PDC ， 所以平面P AC ⊥平面PDC .(3)解 取PC 的中点F ，连接EF ，则EF ∥DC ， 由(2)知DC ⊥平面P AC ，则EF ⊥平面P AC ， 所以∠ECF 为直线EC 与平面P AC 所成的角． 因为CF ＝12PC ＝32，EF ＝12CD ＝22，所以tan ∠ECF ＝EF FC ＝63，即直线EC 与平面P AC 所成角的正切值为63.。

专题一、二 滚动训练(一)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·辽宁师大附中测试)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，若集合A ，B 满足A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩B ＝{4}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5}，则下列结论正确的是( )A ．3∉A 且3∉B B ．3∈A 且3∉BC ．3∉A 且3∈BD ．3∈A 且3∈B解析：选B.画出韦恩图，可知B 正确．2．(2016·河南洛阳期中)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是“若x 2≥1，则x ≤－1或x ≥1”B ．命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，e x ≤0”C ．“a ＞0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(－∞，0)上单调递减”的充要条件D ．若“p ∨q ”为真命题，是p ，q 中至少有一个为真命题解析：选D.对于A ，若“x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是“若x ≤－1或x ≥1，则x 2≥1”；对于B ，“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0≤0”；a ＝0时函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，所以选项C 错误；D 正确．3．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝( ) A ．1＋i B ．2－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A.2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，故选A. 4．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为( )A ．a 1＋x 0[a 3＋x 0(a 0＋a 2x 0)]的值B ．a 3＋x 0[a 2＋x 0(a 1＋a 0x 0)]的值C ．a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]的值D ．a 2＋x 0[a 0＋x 0(a 3＋a 1x 0)]的值解析：选C.由程序框图知，输出的S ＝a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]，故选C.5．已知命题p ：|x ＋1|＞2，命题q ：5x －6＞x 2，则綈q 是綈p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：基本法：选B.由|x ＋1|＞2得x ＜－3或x ＞1，所以綈p ：－3≤x ≤1；由5x －6＞x 2得2＜x ＜3，所以綈q ：x ≤2或x ≥3，所以綈q 是綈p 的必要不充分条件．速解法：由|x ＋1|＞2得x ＜－3或x ＞1，由5x －6＞x 2得2＜x ＜3，所以p 是q 的必要不充分条件，所以綈q 是綈p 的必要不充分条件．6．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：选C.∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．7．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＜f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 12 B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 C ．f (sin 1)＜f (cos 1)。

目录穿插滚动练(一) ...................................................................................................... 1 穿插滚动练(二) .................................................................................................... 10 穿插滚动练(三) .................................................................................................... 22 穿插滚动练(四) .................................................................................................. 31 穿插滚动练(五) . (40)穿插滚动练(一)1．(2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 答案 C解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.2．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)答案 B解析 方法一 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.应选B. 方法二 因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)} ＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)， 取c ＝1，则B ＝(0,1)，所以A ⊆B 成立，故可排除C 、D ； 取c ＝2，则B ＝(0,2)，所以A ⊆B 成立， 故可排除A ，选B.3．命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3答案 C解析 命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”．4．(2013·湖南改编)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋4，则方程f (x )－g (x )＝0的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，由图知f (x )，g (x )的图象有两个交点． 因此方程f (x )－g (x )＝0有两个不相等的实根． 5．已知a ＝5log 23.4.log 5342，b ＝.log 5362，c ＝(15)log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案 C 解析 a ＝.log 5342，b ＝.log 5362，c ＝(15).log 5033＝5log 3103，又log 23.4>1，log 43.6<1，log 3103>1，故b <a ，b <c ，又log 23.4>log 3103，因此b <c <a .6．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴ab >a ·a ＝a ，ab <b ·b ＝b ，b ＝b ＋b 2>a ＋b2，又ab <a ＋b 2，所以a <ab <a ＋b2<b ，故选B.7．函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 将函数零点转化为两函数图象的交点问题来求解．在同一平面直角坐标系内作出y 1＝12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点． 因此函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x 只有1个零点． 8．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，12 答案 D解析 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]．因为当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，所以f (x ＋1)＝x ＋1. 因为函数f (x )＋1＝1f (x ＋1)，所以f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1＝－x x ＋1.函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1,1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1,1]内有两个根．令y ＝m (x ＋1)，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象，可知当m ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点．9．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 B解析 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3， 则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|， 所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．10．设函数y ＝f (x )在R 上有意义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤MM ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2 B ．1 C. 2 D ．－ 2答案 B解析 由题意，当f (x )＝2－x 2≤1，即x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2.当－1<x <1时，f M (x )＝1. ∴f M (0)＝1.11．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，x 13， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时， 13x ≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．12．(2013·湖南)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 答案 12解析 ∵(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤3(x 2＋y 2＋z 2)， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥13(a ＋2b ＋3c )2＝363＝12.∴a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.13．设函数f (x )＝1＋(－1)x2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x2＝1，③正确．14．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.15．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数， ∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0.∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3. ∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.16．已知点P (x ，y )在曲线y ＝1x 上运动，作PM 垂直于x 轴于M ，则△OPM (O 为坐标原点)的周长的最小值为________． 答案 2＋ 2解析 三角形OPM 的周长为|x |＋1|x |＋x 2＋1x2≥2·|x |·1|x |＋2·x 2·1x2＝2＋ 2(当且仅当|x |＝1|x |时，即|x |＝1时取等号)．17．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________． 答案 (34，2)解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是周期为4的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的草图如图中实线所示，而函数g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<3，g (6)>3.所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 4<3，log a 8>3.解得34<a <2.18．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a .当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈qD ⇒/綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．19．某企业生产一种产品时，固定成本为5 000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2 500元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入的函数为R (x )＝5x －12x 2(万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)． (1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量为多少时，企业所得的利润最大？解 (1)利润y 是指生产数量为x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x )之差，由题意得，当0≤x ≤5时，产品能全部售出．当x >5时，只能销售500台，所以y ＝⎩⎨⎧5x －12x 2－(0.5＋0.25x )(0≤x ≤5)，(5×5－12×52)－(0.5＋0.25x )(x >5)，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －12x 2－0.5(0≤x ≤5)，12－0.25x (x >5).∴把利润表示为年产量的函数关系是 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －12x 2－0.5(0≤x ≤5)，12－0.25x (x >5). (2)当0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5.当x ＝4.75时，y max ＝10.781 25. 当x >5时，y <12－0.25×5＝10.75.∴年产量为475台时，企业所得的利润最大． 20．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．21．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台(x 为正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费． (1)求该月需用去的费用和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由． 解 (1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 台， 则共需分36x 批，每批价值为20x 元．由题意得f (x )＝36x ·4＋k ·20x ，由x ＝4时，y ＝52得k ＝1680＝15，∴f (x )＝144x ＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)．(2)由(1)知f (x )＝144x ＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)，∴f (x )≥2144x×4x ＝48(元)． 当且仅当144x ＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．22．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米．则总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x )＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．x(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴1018≤x ≤16，设g (x )＝x ＋100x (1018≤x ≤16)，g (x )在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数， ∴当x ＝1018时⎝⎛⎭⎫此时162x ＝16， g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882元． ∴当长为16米，宽为1018米时总造价最低，总造价最低为38 882元．穿插滚动练(二)1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点， 则cos θ＝t 5|t |. 当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.2．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( ) A ．－8 B ．8 C ．－8或8 D ．6答案 B解析 由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6， 可得2×5cos θ＝－6⇒cos θ＝－35.又θ∈[0，π]，所以sin θ＝45.从而|a ×b |＝2×5×45＝8.3．(2014·天津)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 C解析 当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b >0时，a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |. 综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124 B.112 C.16D.13答案 A解析 因为2＋log 23＜4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23＞4， 所以f (2＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124.5．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称， ∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数． 6．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足P A →＋xPB →＋yPC →＝0.设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S ＝λ1，S 2S ＝λ2，S 3S ＝λ3，则λ2·λ3取最大值时，2x ＋y 的值为( )A ．－1B ．1C ．－32D.32答案 D解析 由题意知S 1S ＝λ1＝12，即S 1＝12S .所以S 2＋S 3＝S －S 1＝12S ，两边同除以S ，得S 2＋S 3S ＝12，即λ2＋λ3＝12，所以12＝λ2＋λ3≥2λ2λ3，所以λ2·λ3≤116，当且仅当λ2＝λ3＝14，此时点P 位于EF 的中点，延长AP 交BC 于D ，则D 为BC 的中点，由P A →＋xPB →＋yPC →＝0， 得xPB →＋yPC →＝－P A →＝AP →， AP →＝PD →＝12(PB →＋PC →)＝12PB →＋12PC →， 所以x ＝12，y ＝12，所以2x ＋y ＝32，选D.7．设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( ) A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0 B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0 C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0 D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 答案 B解析 由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2， 因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)， ∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0， 当a >0时，x 2>0， ∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0， ∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.8.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,0) 答案 D解析 依题意，由点D 是圆O 外一点， 可设BD →＝λBA →(λ>1)， 则OD →＝OB →＋λBA → ＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)， 则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ.故m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．故选D.9．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2答案 B解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25， a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 方法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值， 所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方， 故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小， 所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B.10．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称．显然不符合．故选B.11．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)，若AC →·BC →＝－1，则1＋tan α2sin 2α＋sin 2α的值为________．答案 －95解析 由AC →＝(cos α－3，sin α)， BC →＝(cos α，sin α－3)，得AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23，∴2sin αcos α＝－59，1＋tan α2sin 2α＋sin 2α＝1＋sin αcos α2sin 2α＋2sin αcos α ＝12sin αcos α＝－95.12．(2014·安徽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0， 得A (8，－2)．由x ＋y －2＝0得B (0,2)．又|CD |＝2，故S 阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4.13．(2014·辽宁)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c 的最小值为________． 答案 －1解析 由题意知，c ＝4a 2－2ab ＋b 2＝(2a ＋b )2－6ab ， ∴(2a ＋b )2＝c ＋6ab . 若|2a ＋b |最大，则ab >0. 当a >0，b >0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3×2a ·b ≤c ＋3(2a ＋b 2)2，∴(2a ＋b )2≤c ＋34(2a ＋b )2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c 2，b ＝c 时取等号． 此时1a ＋2b ＋4c ＝2c ＋2c ＋4c >0.当a <0，b <0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3(－2a )·(－b ) ≤c ＋3(－2a －b 2)2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ， 即－2a －b ≤2c .当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－c 2，b ＝－c时取等号．此时1a ＋2b ＋4c ＝－2c －2c ＋4c ＝4c －4c ＝4(1c －12)2－1≥－1，当1c ＝12，即c ＝4时等号成立．综上可知，当c ＝4，a ＝－1，b ＝－2时，(1a ＋2b ＋4c)min ＝－1.14．设函数f (x )＝x 2＋2x (x ≠0)．当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________．答案 3解析 令g (x )＝f (x )－f (a )，即g (x )＝x 2＋2x －a 2－2a ，整理得：g (x )＝1ax (x －a )(ax 2＋a 2x －2)．显然g (a )＝0，令h (x )＝ax 2＋a 2x －2. ∵h (0)＝－2<0，h (a )＝2(a 3－1)>0，∴h (x )在区间(－∞，0)和(0，a )各有一个零点．因此，g (x )有三个零点，即方程f (x )＝f (a )有三个实数解．15．已知函数f (x )＝cos x ＋|cos x |，x ∈(－π2，3π2)，若集合A ＝{x |f (x )＝k }中至少有两个元素，则实数k 的取值范围是________． 答案 [0,2)解析 函数化为f (x )＝⎩⎨⎧2cos x ，x ∈(－π2，π2]，0，x ∈(π2，3π2)，画出f (x )的图象可以看出，要使方程f (x )＝k 至少有两个根，k 应满足0≤k <2.16．曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________. 答案 π解析 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π2＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x ， |P 2P 4|恰为一个周期的长度π.17．如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin (w x ＋φ)(ω>0)图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 面积最大时PM →·PN →＝0，则ω等于________．答案 π4解析 点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 面积最大时PM →·PN →＝0，此时PM ⊥PN ，如图，△PMN 是等腰直角三角形，由题意可知PQ ＝2，故MQ ＝QN ＝PQ ＝2， 由T ＝2MN ＝4PQ ＝8，故ω＝2πT ＝π4，18．(2014·山东)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2)．(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间． 解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .19．已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6. (1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC ＝3，求a 的值． 解 (1)f (x )＝a ·b －12＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx －12＝1＋cos 2ωx 2＋32sin 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6＝±1， 即ωπ3＋π6＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<ω<2，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .(2)f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1， 在△ABC 中，0<A <π，π6<A ＋π6<76π，∴A ＋π6＝π2，A ＝π3.由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝1，得c ＝4.由余弦定理得a 2＝42＋12－2×4×1×cos π3＝13，故a ＝13.20．云南鲁甸抗震指挥部决定建造一批简易房(房型为长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32 000元以内．(1)设房前后墙的长均为x ，两侧墙的长均为y ，所用材料费为p ，试用x ，y 表示p ； (2)简易房面积S 的最大值是多少？并求当S 最大时，前面墙的长度应设计为多少米？ 解 (1)p ＝2x ·450＋2y ·200＋xy ·200 ＝900x ＋400y ＋200xy . (2)S ＝x ·y ，且p ≤32 000，由题意，可得p ＝200S ＋900x ＋400y ≥200S ＋2900×400S ⇒200S ＋1 200S ≤p ≤32 000 ⇒(S )2＋6S －160≤0 ⇒0<S ≤10⇒S ≤100，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧900x ＝400y xy ＝100⇒x ＝203时取最大值．故简易房面积S 的最大值为100平方米，此时前面墙的长度设计为203米．21．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )， 所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a 有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①当a ＝1时，则t ＝－34，不合题意；②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3.若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1<0，解得a >1.综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．22．某厂生产某产品的年固定成本为250 万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80 千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80 千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)，每件商品售价为0.05 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)由题意可得L (x )＝⎩⎨⎧0.05×1 000x －(13x 2＋10x ＋250)，0<x <80，0.05×1 000x －(51x ＋10 000x－1 450＋250)，x ≥80，即L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－(x ＋10 000x)，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且L (60)＝950. 当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，且L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．穿插滚动练(三)1．已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x |0<x <c ，其中c >0}．若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案 D解析 A ＝{x |0<x <2}，由A ∪B ＝B ，得A ⊆B . 所以c ≥2，故选D.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1(x ≥0)，1x (x <0)，若f (a )＝a ，则实数a 的值为( )A ．±1B ．－1C ．－2或－1D ．±1或－2答案 B解析 当a ≥0时，f (a )＝12×a －1＝a ，a ＝－2，不合题意，舍去；当a <0时，f (a )＝1a ＝a ，a＝－1(a ＝1舍去)，故选B.3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售200 台，第三个月销售400 台，第四个月销售790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( ) A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100答案 C解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 4．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b .则函数f (x )＝(1x )·x －(2x )(x ∈[－2,2])的最大值等于(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．12答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ∈[－2，1])，x 2－2(x ∈(1，2])，x ＝2时有最大值，所以函数最大值是2.5．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3D. 3答案 C解析 依题意可知角α的终边在第三象限， 点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34， 得－4a a 2＋16＝34，即3a 2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－433，故选C.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.7．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 D解析 函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x ，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，其底数0<a <1， 所以函数递减；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x (x <0)的图象关于x 轴对称，函数递增，所以应选D. 8．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是()答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，所以A 、C 错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B.9．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2)B ．[－1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 A解析 直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，即方程x 2＋4x ＋2＝x (x ≤m )与x ＝2(x >m )共有三个根． ∵x 2＋4x ＋2＝x 的解为x 1＝－2，x 2＝－1， ∴－1≤m <2时满足条件，故选A. 10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43答案 D解析 先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图． 此时可行域为△AOB 及其内部， 交点B 为(23，23)，故当x ＋y ＝a 过点B 时，a ＝43，所以a ≥43时可行域仍为△AOB ，当x ＋y ＝a 恰过A 点时，a ＝1＋0＝1， 且当0<a ≤1时可行域也为三角形． 故0<a ≤1或a ≥43.11．已知集合A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.12．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…的前100项的和等于________．答案19114解析 S 100＝1×1＋2×12＋3×13＋4×14＋…＋13×113＋9×114＝19114.13．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－22，2 2 ]解析 “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题， 则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题． 因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0， 故－22≤a ≤2 2.14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________________. 答案 sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }________(填“是”或“不是”)“和等比数列”． 答案 是解析 由题意2b n ＝22n －1，即b n ＝2n －1，从而S 2n ＝4n 2，S n ＝n 2，S 2nS n＝4(常数)．16．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1.S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，②①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014，∴S ＝2 0142＝1 007.17．已知数列{a n}满足：a 1＝1，a n＝⎩⎨⎧1＋2a n2， n 为偶数，12＋2a n －12， n 为奇数，n ＝2,3,4，…，设b n ＝a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，则数列{b n }的通项公式是________． 答案 b n ＝2n解析 由题意，得对于任意的正整数n ，b n ＝a 2n －1＋1，∴b n ＋1＝a 2n ＋1，又a 2n ＋1＝(2a 2n2＋1)＋1＝2(a 2n －1＋1)＝2b n ，∴b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝a 1＋1＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2n .18．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB →＝p m ，AC →＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0，∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝(34，32)，n ＝(1，－32)．∴|AB →|＝214p ，|AC →|＝72q .∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0，∴p ·q ≤p ＋q2.∴p ·q ≤3，∴0<p ·q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.19．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，点(n ，S n )在以F (0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线上，数列{b n }满足b n ＝2a n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为以F (0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线方程为x 2＝y ，又点(n ，S n )在抛物线上，所以S n ＝n 2. 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2，两式相减，得S n －S n －1＝a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． 故b n ＝2a n ＝22n －1(n ∈N *)．(2)由(1)，知c n ＝(2n －1)·22n －1，所以T n ＝1·21＋3·23＋5·25＋…＋(2n －1)·22n －1，①则4T n ＝1·23＋3·25＋5·27＋…＋(2n －1)·22n ＋1，②①－②，得－3T n ＝21＋2·23＋2·25＋…＋2·22n －1－(2n －1)·22n ＋1＝4n ＋1－103－(2n －1)·22n ＋1＝4·4n －103－(4n －2)·4n＝(10－12n )4n －103，所以T n ＝10＋(12n －10)4n9(n ∈N *)．20．(2013·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1)解 2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解 当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74， 所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.21．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2)．(1)设b n ＝a n ＋1＋λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列？且公比小于0.若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)在(1)的条件下，求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列， 设b nb n －1＝q (n ≥2)， 即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)， 得a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1.与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎩⎪⎨⎪⎧q －λ＝1，qλ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1q ＝2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，q ＝－1. 所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列． (2)由(1)知当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1， 则数列{b n }是首项为1，公比为－1的等比数列． ∴b n ＝(－1)n ＋1.∴a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1(n ≥1)，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝(－1)n ＋12n ＋1＝(－12)n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋(a 222－a 121)＋(a 323－a 222)＋…＋(a n 2n －a n －12n －1)＝12＋(－12)2＋(－12)3＋…＋(－12)n ＝12＋(－12)2[1－(－12)n －1]1－(－12)＝12＋16[1－(－12)n －1]． 因为a 121＝12也适合上式，所以a n 2n ＝12＋16[1－(－12)n －1](n ≥1)．所以a n ＝13[2n ＋1＋(－1)n ]．则S n ＝13[(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n ]＝13[4(1－2n )1－2＋(－1)(1－(－1)n)1－(－1)] ＝13[(2n ＋2－4)＋(－1)n －12]． 22．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )(x >0)，－f (x )(x <0).若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0， ∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2≤0， ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1(x >0)，－x 2－2x －1(x <0).(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2，或k －22≥2，解得k ≤－2，或k ≥6.所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．穿插滚动练(四)1．设全集U ＝{x |x <3}，A ＝{x |x <1}，则∁U A 等于( )A ．{x |1≤x <3}B ．{x |1<x ≤3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |x ≥1}答案 A解析 因为U ＝{x |x <3}，A ＝{x |x <1}，则∁U A ＝{x |1≤x <3}，选A.2．“θ≠π3”是“cos θ≠12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为“cos θ＝12”是“θ＝π3”的必要不充分条件，所以“θ≠π3”是“cos θ≠12”的必要不充分条件，选B.3．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（ⅰ）1*1=1,(ⅱ)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于( )A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2 答案 A解析 由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1*1+(n-1).又∵1*1=1，∴n*1=n.4．已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 013项a 2 013满足( )A ．0<a 2 013<110B.110≤a 2 013<1 C ．1≤a 2 013≤10D ．a 2 013>10 答案 A解析 数列中项的规律：分母每一组中从小到大排列：(1)，(1,2)，(1,2,3)，(1,2,3,4)，…；分子每一组中从大到小排列(1)，(2,1)，(3,2,1)，(4,3,2,1)，…，由以上规律知a 2 013＝460＝115.。

(6)若求出2x －的范围，再求函数的最值，同样得分．1．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解：(1)f(x)＝4cos ωxsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2＝2sin ＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin ＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．类型二 学会审题[例2] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ＝，求cos 的值．审题路线图(1)条件：f x 图象上相邻两个最高点距离为π(2)条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝343．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b,1)，n ＝(2a －c ，cos C)，且m∥n.(1)若b2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－的值域．解：(1)由已知，m∥n，则2bcos C ＝2a －c ，由正弦定理，得2sin Bcos C ＝2sin(B ＋C)－sin C ，即2sin Bcos C ＝2sin Bcos C ＋2cos Bsin C －sin C ， 在△ABC 中，sin C≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝.又b2＝ac ，b2＝a2＋c2－2accos B ，因而ac ＝a2＋c2－2accos ，即(a －c)2＝0，所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A＝1－2cos2A －sin2A1＋sin A cos A＝1－2cos A(cos A －sin A)＝sin 2A －cos 2A＝sin ，由已知条件B ＝知A∈.所以，2A －∈.因而所求函数的值域为(－1，]．4．已知函数f(x)＝2sinsin ，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，若A ＝，c ＝2，且锐角C 满足f ＝，求△ABC 的面积S.解：(1)由题意得，。

本资源的初衷 ,是希望通过网络分享 ,能够为广阔读者提供更好的效劳 ,为您水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创 ,立意新 ,图片精 ,是非常强的一手资料 .压轴提升卷(二)解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(此题总分值12分)抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)及点D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 －p 2 ,动直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线C 交于A ,B 两点 ,假设直线AD 与BD 的倾斜角分别为α ,β ,且α＋β＝π.(1)求抛物线C 的方程；(2)假设H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点 ,点N 是线段OH 上与点O ,H 不重合的任意一点 ,过点N 作x 轴的垂线依次交抛物线C 和x 轴于点P ,M ,求证：|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.解：(1)把y ＝kx ＋1代入x 2＝2py 得x 2－2pkx －2p ＝0 , 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1 x 212p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2 x 222p ,那么x 1＋x 2＝2pk ,x 1x 2＝－2p . 由α＋β＝π可知 , 直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为零 ,所以x 212p ＋p 2x 1＋x 222p ＋p 2x 2＝0 ,去分母整理得(x 1＋x 2)(x 1x 2＋p 2)＝0 , 即2pk (p 2－2p )＝0 ,由该式对任意实数k 恒成立 ,可得p ＝2 ,所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)证明：设过点N 的垂线方程为x ＝t (t ≠0) ,由⎩⎨⎧x ＝t x 2＝4y 得⎩⎨⎧x ＝t y ＝t 24 即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t t 24. 令|MN ||MP |＝λ ,那么N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t λt 24 ,所以直线ON 的方程为y ＝λt 4x ,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝λt 4x x 2＝4y 且x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λt y ＝λ2t 24 即点H ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λt λ2t 24 , 所以|OH ||ON |＝x H x N ＝λt t ＝λ ,所以|MN ||MP |＝|OH ||ON |, 即|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.2．(此题总分值12分)函数f (x )＝(x －k )e x＋k ,k ∈Z ,e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)当k ＝0时 ,求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈(0 ,＋∞)时 ,不等式f (x )＋5＞0恒成立 ,求k 的最|大值．解：(1)当k ＝0时 ,f (x )＝x e x ,∴f ′(x )＝(x ＋1)e x .由f ′(x )＝0 ,得x ＝－1 ,∴当x ＞－1时 ,f ′(x )＞0 ,此时函数f (x )单调递增；当x ＜－1时 ,f ′(x )＜0 ,此时函数f (x )单调递减．∴函数f (x )的单调递增区间是(－1 ,＋∞) ,单调递减区间是(－∞ ,－1)．(2)由题意知 ,5＋(x －k )e x ＋k ＞0对x ∈(0 ,＋∞)恒成立．∵当x ∈(0 ,＋∞)时 ,e x －1＞0 , ∴不等式x ＋x ＋5e x －1＞k 对x ∈(0 ,＋∞)恒成立． 设h (x )＝x ＋x ＋5e x －1 ,那么h ′(x )＝e x (e x －x －6 ) (e x －1 )2. 令F (x )＝e x －x －6 ,那么F ′(x )＝e x －1.当x ∈(0 ,＋∞)时 ,F ′(x )＞0 ,∴函数F (x )＝e x－x －6在(0 ,＋∞)上单调递增．又F (2)＝e 2－8＜0 ,F (3)＝e 3－9＞0 ,∴F (2)·F (3)＜0.∴存在唯一的x 0∈(2 ,3) ,使得F (x 0)＝0 ,即e x 0＝x 0＋6.∴当x ∈(0 ,x 0)时 ,F (x )＜0 ,h ′(x )＜0 ,此时函数h (x )单调递减；当x ∈(x 0 ,＋∞)时 ,F (x )＞0 ,h ′(x )＞0 ,此时函数h (x )单调递增．∴当x ＝x 0时 ,函数h (x )有极小值(即最|小值)h (x 0)． ∵h (x 0)＝x 0＋x 0＋5e x 0－1＝x 0＋1∈(3 ,4)． 又k ＜h (x 0) ,k ∈Z ,∴k 的最|大值是3.。

阶段滚动练2(对应1～5练)(建议时间：90分钟)一、选择题1.(2017·天津)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，6}D.{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1，2，4，6}.又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}， 故选B.2.设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由“x ≥2且y ≥2”可得“x 2＋y 2≥4”，但“x 2＋y 2≥4”不一定能够得到“x ≥2且y ≥2”，比如“x ＝1，y ＝3”，故选A.3.若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( ) A.||a >||b B.1a －b >1a C.1a >1b D.a 2>b 2 答案 B解析 两个负数中，最小的其绝对值最大，所以选项A 正确； 函数f (x )＝1x 在(－∞，0)上单调递减，因为a ＜b ＜0，所以f (a )＞f (b )，即1a ＞1b，所以选项C 正确；两个负数，越小的其平方越大，所以选项D 正确；因此选B.4.设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( ) A.32 B.22 C.52 D.72答案 A解析 设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去). 5.在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则AC →在AB →方向上的投影为( ) A.14 B.12 C.1 D.2 答案 C解析 由平面几何知识，得|AC →|＝2，∠BAC ＝60°， 则AC →在AB →方向上的投影为|AC →|cos 60°＝2×12＝1，故选C.6.复数i (－6＋i )|3－4i|的实部与虚部之差为( )A.－1B.1C.－75D.75答案 B解析 ∵i (－6＋i )|3－4i|＝－15－65i ，∴－15－⎝⎛⎭⎫－65＝1， 即复数i (－6＋i )|3－4i|的实部与虚部之差为1.7.已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，则1(1＋i )x ＋y －3i 的虚部为( ) A.－325i B.－325 C.325i D.325答案 D解析 ∵(x －2)i －y ＝－1＋i ， ∴x ＝3，y ＝1， ∴1(1＋i )x ＋y －3i ＝1(1＋i )4－3i ＝1[](1＋i )22－3i ＝1－4－3i ＝－4－3i (4＋3i )(4－3i )＝－425＋325i ，故选D.8.非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的一个充分不必要条件是( ) A.a ∥b B.a ＋b ＝0 C.a ||a ＝b||b D.a ＝b答案 B解析 非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的充要条件为a ，b 反向，由选项，得非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的一个充分不必要条件是a ＋b ＝0，故选B.9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( ) A.－1B.－2C.1D.2答案 A解析 由题意，得BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， 因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AB →＝tBD →，即2a ＋p b ＝2t a －t b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝2，p ＝－t ，解得p ＝－1，故选A. 10.若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B解析 由题意得lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )， 即ab ＝a ＋b ⇒1a ＋1b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，故选B. 11.已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A.[－2，－1] B.[－2，1] C.[1，2] D.[－1，2]答案 D解析 由题意画出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，平移直线0＝x －y 过点A (0，1)时，z 有最小值－1；平移直线0＝x －y 过点B (2，0)时，z 有最大值2，所以z ＝x －y 的取值范围是[－1，2].12.设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积.若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( ) A.8 B.9 C.16 D.18 答案 D解析 由AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°可得|AB →|·|AC →|＝4， 所以S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝1，所以x ＋y ＝12，则1x ＋4y ＝2(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫1＋4x y ＋y x ＋4≥2⎝⎛⎭⎫5＋24x y ·y x ＝18， 当且仅当4x y ＝yx 时等号成立，故选D.二、填空题13.已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2＜x ＜π2，B ＝{x |1＋tan x ＞0}，则A ∩B ＝________________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＜x ＜π2 解析 由于tan x ＞－1，所以B ＝⎝⎛⎭⎫－π4＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＜x ＜π2. 14.(2017·北京)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析 方法一 由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 又x ≥0，y ≥0，所以0≤x ≤1，x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12. 由0≤x ≤1，得0≤⎝⎛⎭⎫x －122≤14， 即12≤x 2＋y 2≤1.所以x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1. 方法二 x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ，已知x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，所以x 2＋y 2＝1－2xy . 因为1＝x ＋y ≥2xy ， 所以0≤xy ≤14，所以12≤1－2xy ≤1，即x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1.方法三 依题意，x 2＋y 2可视为原点到线段x ＋y －1＝0(x ≥0，y ≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－1|22＝12，(x 2＋y 2)max＝|OA |2＝|OB |2＝1，故x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1.15.(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3 解析 方法一|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.16.在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________.(填“重心”“垂心”“内心”“外心”) 答案 垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线. 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心. 三、解答题17.若当a ∈[1，3]时，不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0恒成立，求实数x 的取值范围. 解 设f (a )＝a (x 2＋x )－2x －2，则当a ∈[1，3]时f (a )＞0恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－x －2＞0，f (3)＝3x 2＋x －2＞0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，x ＞23或x ＜－1，得x ＞2或x ＜－1.∴实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.已知集合A ＝{}x ∈R | 0＜ax ＋1≤5且a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪－12＜x ≤2.(1)若A ＝B ，求实数a 的值；(2)若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B 且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a＜x ≤4a ， ∴⎩⎨⎧－1a ＝－12，4a ＝2⇒a ＝2；当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪4a≤x ＜－1a ，显然A ≠B ， 故A ＝B 时，a ＝2.(2)p 是q 的充分不必要条件⇒A B ， 0＜ax ＋1≤5⇒－1＜ax ≤4，当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a＜x ≤4a ，则 ⎩⎨⎧－1a ＞－12，4a ≤2或⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a ＜2，解得a ＞2；当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪4a≤x ＜－1a ，则 ⎩⎨⎧4a ＞－12－1a ≤2⇒a ＜－8.综上，实数a 的取值范围是a >2或a ＜－8.19.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，求在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值.解 设生产产品A 、产品B 分别为x ，y 件，利润之和为z 元，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，①故z ＝2 100x ＋900y . 二元一次不等式组①等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图)，即可行域.将z ＝2 100x ＋900y 变形，得y ＝－73x ＋z 900，平移直线y ＝－73x ，当直线y ＝－73x ＋z900经过点M 时，z 取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，所以当x ＝60，y ＝100时， 得点M 的坐标为(60，100).z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元.20.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100].(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即当x ＝1810时，上述不等式中等号成立.故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元.。

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小题专项滚动练二函数与导数小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点！一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

（滚动考查）复数z=1—i，则+z2对应的点所在象限为（）A.第一象限B。

第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为z=1-i，所以+z2=+(1—i）2=—i，故其对应点在第四象限。

2。

(滚动考查)设A，B是两个非空集合，定义A×B=｛x｜x∈A∪B 且x∉A∩B}，已知A={x|y=｝，B={y|y=2x，x>0｝,则A×B=（)A。

［0,1］∪(2，+∞） B.[0，1）∪（2，+∞）C。

［0，1］ D.[0，2］【解题提示】根据根式有意义的条件，分别求出A和B，然后根据新定义A×B=｛x｜x∈A∪B且x∉A∩B｝，进行求解。

【解析】选A。

因为集合A，B是非空集合，定义A×B=｛x｜x∈A ∪B且x∉A∩B｝，A=｛x｜y=｝={x｜0≤x≤2｝，B=｛y|y=2x,x>0｝=｛y|y〉1｝,所以A∪B=［0,+∞），A∩B=(1,2］,因此A×B=［0，1］∪(2,+∞）。

3.下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（—∞，0）上单调性也相同的是( ）A.y=—B.y=x2+2C。

y=x3—3 D。

y=-ln |x｜【解析】选B。

由已知y=为偶函数，排除A,C,又其在(—∞,0）上为减函数，故选B。

4.(滚动考查）执行如图所示的程序框图,则输出的所有的点(x,y）( )A.都在函数y=x+1的图象上B。

都在函数y=2x的图象上C。

都在函数y=2x-1的图象上 D.都在函数y=2x的图象上【解析】选D.x=1时，y=2排除C，x=2时，y=4,排除A，x=3时，y=8，排除B,故选D.5。

湖北省大冶华中学校2014届高三数学（文）滚动训练（二）一、选择题（每小题5分，共50分. 下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合}12|{},1|{>=<=xx N x x M ,则M N =（ ）A ．φB ．}0|{<x xC ．}1|{<x xD ．}10|{<<x x2．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足422=-+c b a )(,且C =60°,则 ab 的值为（ ）A ．348-B ．1C ．34D ．323．函数1()322x f x x =+-的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)4．要得到函数sin (π-2)y x =的图象,可以将函数πsin (2)3y x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位5．函数f(x)=4x 2－mx+5在区间[－2,+∞)上是增函数,则f(1)的取值范围是( )A f(1)≥25B f(1)=25C f(1)≤25D f(1)>256．下列四个命题，其中为真命题的是( )A ．命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的逆否命题是“若x ≠2或x ≠－2，则x 2≠4”B ．若命题p ：所有幂函数的图像不过第四象限，命题q ：所有抛物线的离心率为1，则命题“p 且q”为真C ．若命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋3>0，则p ⌝：∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋3<0D ．若a >b ，则a n>b n(n ∈N *)7．关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．0<a <1D ．a <08．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点横坐标为x n ，则2014120142201432l o g l o g l o g l o g x x x x +++ 的值为( ) A ．2014log 2013- B ．－1C ．20141log 2013-+D ．19．若函数f(x)=ka x -a -x (a ＞0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)=log a (x+k)的图象是( )10．若直角坐标平面内不同的两点p 、Q 满足条件：①p 、Q 都在函数y=f （x ）的图像上；②p 、Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q]是函数y=f （x ）的一对“友好点对”（注：点对[P ，Q]与[Q ，P]看作同一对“友好点对”）．若函数221(0)()4(0)og x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（ ）对．A ． 0B ． 1C ．2D ． 3二．填空题（每题5分，共35分。

阶段滚动月考卷(二)三角函数、解三角形、平面向量、复数(时间:120分钟 分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.i 是虚数单位,则复数z=(1+i 1−i)2+i 的共轭复数为( ) A.2+i B.2-iC.-1+iD.-1-i2.(滚动单独考查)已知集合A={1,3,x},B={1,√x },若A ∩B=B,则x= ( ) A.0或3 B.0或9 C.1或9D.3或93.(滚动单独考查)(2016·杭州模拟)函数y=√x 2−2x −3+log 3(x+2)的定义域为 ( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-∞,-1]∪[3,+∞) C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)4.已知向量a,b 满足|a|=2,|b|=1,且5()2a b ⊥(a+b),则a 与b 的夹角θ为( )A.π6B.π3C.23πD.56π5.(2016·济宁模拟)如图所示,非零向量OA →=a,OB →=b,且BC ⊥OA,点C 为垂足,若OC →=λa(λ≠0),则λ= ( )6.(2016·石家庄模拟)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上两条相邻的对称轴,则φ= ( ) A.π4B.π3C.π2D.3π47.已知a=(cos θ2,sin θ2),b=(cos θ,sin θ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,√2)D.(0,√2]8.(2016·洛阳模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c, cosC=14,AC →·CB →=-2且a+b=5,则c 等于 ( )A.√B.√C.4D.√9.(滚动交汇考查)(2016·泰安模拟)已知f(x)=sin 2(x +π4),若a=f(lg5), b=f (lg 15),则 ( ) A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1D.a-b=110.(滚动单独考查)已知x 0是函数f(x)=2x+11−x的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则 ( )A.f(x 1)<0,f(x 2)<0B.f(x 1)<0,f(x 2)>0C.f(x 1)>0,f(x 2)<0D.f(x 1)>0,f(x 2)>0二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动交汇考查)计算:log 2sin π12+log 2cos π12= .12.(2016·枣庄模拟)已知|a|=2,|b|=4,a 和b 的夹角为π3,以a,b 为邻边作平行四边形,则该四边形的面积为 .13.在△ABC 中,若sin 2B=sinAsinC,则角B 的最大值为 . 14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos2A−B2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-35,若a=4√2,b=5,则BA →在BC →方向上的投影为 . 15.已知函数f(x)=-x 2-2x,g(x)={x +14x ,x >0,x +1,x ≤0.若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,则实数a 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·杭州模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b=3.已知向量m=(cos 2B2,sinB),n=(√3,2),且m ∥n.(1)若A=5π12,求c 的值.(2)求AC 边上的高的最大值.17.(12分)(2016·临沂模拟)已知函数f(x)=√3sinxcosx-cos 2x-12,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期.(2)已知△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=0,若向量m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线,求a,b 的值.18.(12分)(2016·黄山模拟)已知向量a=(sin(ωx+φ),2),b=(1,cos(ωx+φ))(ω>0,0<φ<π4),函数f(x)=(a+b)·(a-b),y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点M (1,72).(1)求函数f(x)的解析式.(2)当-1≤x ≤1时,求函数f(x)的单调区间.19.(12分)(2016·郑州模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别是A,B,C 的对边.若向量m=(2,0)与n=(sinB,1-cosB)所成的角为π3.(1)求角B 的大小.(2)若b=√3,求a+c 的最大值.20.(13分)(滚动单独考查)根据统计资料,某工厂的日产量不超过20万件,每日次品率p 与日产量x(万件)之间近似地满足关系式p={x 2+60540,0<x ≤12,12,12<x ≤20.已知每生产1件正品可盈利2元,而生产1件次品亏损1元.(该工厂的日利润y=日正品盈利额-日次品亏损额)(1)将该工厂日利润y(万元)表示为日产量x(万件)的函数.(2)当该工厂日产量为多少万件时日利润最大?最大日利润是多少万元? 21.(14分)(滚动单独考查)(2016·太原模拟)已知函数f(x)=2lnx-ax. (1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线过点(2,0),求a 的值. (2)求f(x)的单调区间.(3)如果x 1,x 2(x 1<x 2)是函数f(x)的两个零点,f ′(x)为f(x)的导数,证明: f ′(x 1+2x 23)<0.答案解析1.D z=(1+i)2(1−i)+i=2i−2i+i=-1+i,所以其共轭复数为-1-i. 2.B 因为A ∩B=B,所以B A,验证易知x=0满足,x=9满足.3.D 由{x 2−2x −3≥0,x +2>0得-2<x ≤-1或x ≥3. 4.B 由题意,得·(a+b)=a 2-32a ·b-52b 2=4-32a ·b-52=0.所以a ·b=1, 所以cos θ==12,因为θ∈[0,π],所以θ=π3. 5.A BC →⊥OA →,即BC →⊥OC →, 所以(OC →-OB →)·OC →=0,所以|OC →|2-OB →·OC →=0,即λ2|a|2-λa ·b=0,又λ≠0,解得λ=6.A2πω=2(5π4−π4),得ω=1,所以f(x)=sin(x+φ),故f (π4)=sin (π4+φ)=±1.因为0<φ<π,所以π4<φ+π4<5π4,所以φ+π4=π2,即φ=π4. 7.C 因为a-b=(cos θ2−cosθ,sin θ2−sinθ),所以|a-b|=√(cos θ2−cosθ)+(sin θ2−sinθ)=√2−2(cos θ2cosθ+sin θ2sinθ)=√2−2cos (θ2−θ)=√2−2cos θ2,因为θ∈(0,π),所以θ2∈(0,π2),cos θ2∈(0,1).故|a-b|∈(0,√2).8.【解题提示】由已知cosC=14,AC →·CB →=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC 可求c. A 由已知cosC=14,AC →·CB →=-2,得b ·a ·cos(π-C)=-2⇒b ·a ·cosC=2, 所以ab=8,利用余弦定理可得,c 2=a 2+b 2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5. 所以c=√5.【加固训练】在△ABC 中,内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m ∥n,m ⊥p,则△ABC 的形状是 .【解析】由m ∥n 可得,b=2ccosA. 由正弦定理可得sinB=2sinCcosA, 即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA, 故sinAcosC-cosAsinC=0. 即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π, 所以A-C=0,即A=C. 由m ⊥p 可得c-2bcosA=0, 从而sinC-2sinBcosA=0, 故sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B. 所以A=B=C.故三角形为等边三角形. 答案:等边三角形9.C a=f(lg5)=sin 2(lg5+π4)=1−cos(2lg5+π2)2=1+sin(2lg5)2,b=f (lg 15)=sin 2(lg 15+π4)=1−cos(2lg 15+π2)2=1−sin(2lg5)2,则可得a+b=1.10.B 设g(x)=11−x,由于函数g(x)=11−x=-1x−1在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有唯一的零点x 0,且在(1,x 0)上f(x 1)<0,在(x 0,+∞)上f(x 2)>0. 11.【解析】原式=log 2(sin π12cosπ12)=log 2(12sin π6)=log 214=-2.答案:-212.【解析】S=2×12|a||b|sin π3=2×4×√32=4√.答案:4√13.【解题提示】化角为边,利用基本不等式求解. 【解析】由正弦定理,得b 2=ac, 由余弦定理,得cosB=a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥2ac−ac 2ac=12.因为B ∈(0,π),y=cosx 在(0,π)上单调递减, 所以B 的最大值为π3.答案:π314.【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解. 【解析】由2cos2A−B2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-35,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-35,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35.则cos(A-B+B)=-35,即cosA=-35.由0<A<π,得sinA=45,由正弦定理,有asinA =bsinB,所以,sinB=bsinA a=√22.由题知a>b,则A>B,故B=π4,根据余弦定理,有(4√2)2=52+c 2-2×5c ×(−35),解得c=1或c=-7(舍去).故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB=√22.答案:√2215.【解题提示】利用数形结合法求解.【解析】令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t 在t ∈(-∞,1)内有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a 的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象,如图所示,由图象可知,当1≤a<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a 有2个不同的交点, 即所求a 的取值范围是[1,54).答案:[1,54)16.【解析】(1)方法一:由m ∥n,得2cos 2B2=√3sinB,即1+cosB=√得sin (B −π6)=12.又0<B<π,所以-π6<B-π6<5π6,故B-π6=π6,即B=π3.结合A=5π12,可得C=π4.由正弦定理bsinB =csinC,得c=√方法二:由m ∥n,得2cos 2B2=√3sinB,则2cos 2B 2=2√3sin B 2cos B 2,又cos B 2≠0,故cos B 2=√3sin B2,即tan B 2=√33,又0<B<π,所以0<B 2<π2,故B 2=π6,即B=π3.结合A=5π12,可得C=π4.由正弦定理bsinB =csinC,得c=√(2)设AC 边上的高为h,则S △ABC =12bh=32h=12acsinB=√34ac,即h=2√3ac.而b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+c 2-ac ≥ac(当且仅当a=c 时,等号成立),所以ac ≤9,因此h=2√3ac ≤3√32.所以AC 边上的高的最大值为3√32.17.【解析】(1)f(x)=√3sinxcosx-cos 2x-12=√32sin2x-12cos2x-1=sin (2x −π6)-1.所以f(x)的最小值为-2,最小正周期为π. (2)因为f(C)=sin (2C −π6)-1=0,即sin (2C −π6)=1,又因为0<C<π,-π6<2C-π6<11π6,所以2C-π6=π2,故C=π3.因为m 与n 共线,所以sinB-2sinA=0. 由正弦定理a sinA =bsinB,得b=2a.①因为c=3,由余弦定理,得9=a 2+b 2-2abcos π3,即a 2+b 2-ab=9,② 联立①②,解得{a =√3.b =2√3.【加固训练】(2015·洛阳模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, cos2C+2√cosC+2=0.(1)求角C 的大小.(2)若b=√2a,△ABC 的面积为√22sinAsinB,求sinA 及c 的值. 【解析】(1)因为cos2C+2√2cosC+2=0,所以2cos 2C+2√2cosC+1=0,即(√2cosC+1)2=0,所以cosC=-√22. 又C ∈(0,π),所以C=3π4. (2)因为c 2=a 2+b 2-2abcosC=3a 2+2a 2=5a 2,所以c=√5a,即sinC=√5sinA,sinA =√5sinC=√1010, 因为S △ABC =12absinC,且S △ABC =√22sinAsinB, 所以12absinC=√22sinAsinB, 即ab sinAsinB sinC=√2, 由正弦定理得:(csinC )2sinC=√, 解得c=1. 18.【解析】(1)f(x)=(a+b)·(a-b)=a 2-b 2=|a|2-|b|2=sin 2(ωx+φ)+3-cos 2(ωx+φ)=-cos(2ωx+2φ)+3,由题意得周期T=2π2ω=4, 故ω=π4,又图象过点M (1,72),所以72=3-cos (π2+2φ), 即sin2φ=12,而0<φ<π4,故2φ=π6, 则f(x)=3-cos (π2x +π6). (2)当-1≤x ≤1时,-π3≤π2x+π6≤2π3. 所以当-π3≤π2x+π6≤0时, 即x ∈[−1,−13]时,f(x)是减函数. 当0≤π2x+π6≤2π3时, 即x ∈[−13,1]时,f(x)是增函数. 则函数f(x)的单调递减区间是[−1,−13],单调递增区间是[−13,1]. 19.【解析】(1)由题意得cos π3= =2√sin 2B+(1−cosB)2=12, 即√2−2cosB =12, 所以2sin 2B=1-cosB,2cos 2B-cosB-1=0,所以cosB=-12或cosB=1(舍去), 因为0<B<π,所以B=2π3. (2)由(1)知A+C=π3, 而a sinA =c sinC =b sinB =√3sin 2π3=2, 所以a+c=2sinA+2sinC=2[sinA +sin (π3−A)]=2(sinA +√32cosA −12sinA) =2sin (A +π3), 因为0<A<π3,所以π3<A+π3<2π3. 所以√32<sin (A +π3)≤1, 所以a+c=2sin (A +π3)∈(√3,2], 故a+c 的最大值为2.20.【解析】(1)由题意知,当0<x ≤12时,y=2x(1-p)-px,所以y=2x (1−x 2+60540)-x 3+60x 540=53x-x 3180,当12<x ≤20时,y=2x(1-p)-px=2x (1−12)-12x=12x, 即y={53x −x 3180,x ∈(0,12],12x,x ∈(12,20]. (2)当x ∈(0,12]时,y ′=53-x 260=100−x 260,令y ′=0,得x=10, 当0<x<10时,y ′>0;当10<x ≤12时,y ′<0,所以,当x=10时,y max =1009, 当x ∈(12,20]时,y=12x 在(12,20]上单调递增,当x=20时,y max =10,由于1009>10,所以当该工厂的日产量为10万件时,日利润最大,最大日利润为1009万元.21.【解题提示】(1)由导数的几何意义求解.(2)分类讨论.(3)构造函数证明不等式.【解析】(1)因为f′(x)=2x-a(x>0),所以f′(1)=2-a,又f(1)=-a,所以切线方程为y+a=(2-a)(x-1).又切线过点(2,0),所以0+a=(2-a)(2-1),解得a=1.(2)由(1)知f′(x)=2x-a(x>0),①当a≤0时,f′(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,令f′(x)>0,有x∈(0,2a),f(x)在(0,2a )上单调递增;令f′(x)<0,有x∈(2a,+∞),f(x)在(2a,+∞)上单调递减.故当a≤0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,2a ),单调减区间为(2a,+∞).(3)由题意知f(x1)=0,f(x2)=0. 即2lnx1-ax1=0,2lnx2-ax2=0,则2lnx2-2lnx1=a(x2-x1),a=2ln x2x1 x2−x1.因为f′(x)=2x-a,所以f′(x1+2x23)=6x1+2x2-a=6x1+2x2-2ln x2x1x2−x1,要证f′(x1+2x23)<0,只需证6x1+2x2-2ln x2x1x2−x1<0,①因为x2>x1>0,所以x2-x1>0,x1+2x2>0,故①式可化为3(x 2−x 1)x 1+2x 2-ln x 2x 1<0,即3(x 2x 1−1)2·x 2x 1+1-ln x 2x 1<0, 令t=x 2x 1,则t>1,构造函数h(t)=3(t−1)2t+1-lnt,则h ′(t)=9(2t+1)2-1t =-(4t−1)(t−1)t(2t+1)2.显然t>1时,h ′(t)<0,即h(t)在[1,+∞)上单调递减,所以h(t)<h(1)=0. 即证得f ′(x 1+2x 23)<0.关闭Word 文档返回原板块。

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（江苏专用)2018版高考数学专题复习阶段滚动检测二文1．集合A＝{x∈N|x≤6}，B＝{x∈R｜x2－3x＞0｝，则A∩B＝________________。

2．（2016·盐城三模)若函数f(x）＝2x－（k2－3)·2－x，则“k＝2”是“函数f（x）为奇函数”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要")3．(2017·常苏盐锡联考）已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f:x→y＝|x|错误!。

若对实数k∈B，在集合A中不存在元素x使得f：x→k，则实数k的取值范围是____________．4．已知函数f（x)＝错误!则f(f（错误!））＝________。

5．(2016·皖南模拟)已知函数f(x）＝x2＋2x＋1，如果使f（x)≤kx对任意实数x∈（1，m］都成立的m的最大值是5,则实数k＝________.6．（2016·宿迁模拟)已知定义在R上的偶函数f（x)在［0，＋∞)上是增函数,且f（2）＝1，若f（x＋a)≤1对x∈[－1,1］恒成立，则实数a的取值范围是____________．7．函数f（x）＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是________．8．若函数f（x）＝1＋错误!＋tan x在区间[－1,1］上的值域为［m，n］，则m＋n＝________. 9．已知定义在R上的偶函数f(x）满足f(x－4)＝f（x），且在区间［0,2]上,f(x)＝x,若关于x的方程f(x)＝log a x有三个不同的根，则a的取值范围为______________．10．若曲线C1：y＝ax2（x＞0)与曲线C2:y＝e x存在公共点，则实数a的取值范围为______________．11．设全集为R，集合M＝{x|x2≤4}，N＝｛x|log2x≥1},则(∁R M）∩N＝________。