2016宁德师范学院高职招考数学模拟试题(附答案解析)

2016年福建高职招考数学模拟试题:古典概型【试题内容来自于相关网站和学校提供】1：某游戏中，一个珠子从如右图所示的通道（图中的斜线）由上至下滑下，从最大面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜。

如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（）A、B、C、D、以上都不对2：设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为A、B、C、D、3：掷一枚骰子，出现“点数是质数”的概率是( )A、B、C、D、4：一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A、B、C、D、5：在数1，2，3，4，5的排列，，，，中，满足，，，的排列出现的概率为（）A、B、C、D、6：用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为的个小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 .7：若将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是。

8：某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 .9：一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）有4种花色（梅花、方块、红心、黑桃），每种花色有13张牌，从一副扑克牌中随机选取1张，这张牌是梅花的概率为____________10：同时掷四枚均匀硬币，至少有两枚正面向上的概率是_______11：为预防X病毒爆发,某生物技术公司研制出一种X病毒疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过),公司选定2000个样本分成三组,测试结果如下表:已知在全体样本中随机抽取1个，抽到组疫苗有效的概率是0。

福建省高考高职单招数学模拟试题（十）一、选择题：(每题5分，共70分)1.已知集合{1,2,3,4}M =，集合{1,3,5}N =，则M N 等于（ ）.{2}A .{2,3}B .{1,3}C .{1,2,3,4,5}D2．复数 1ii +在复平面内对应的点在（ ）A 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知命题2:,210,p x R x ∀∈+>则 （ ） A ．2:,210p x R x ⌝∃∈+≤B ．2:,210p x R x ⌝∀∈+≤C ．2:,210p x R x ⌝∃∈+<D ．2:,210p x R x ⌝∀∈+< 4. 一个空间几何体的三视图如右图所示，这个几何体的体积是（ ） A. 2 B.4 C.6 D.85. 要得到函数2sin()6y x π=+的图象，只要将函数2sin y x =的图象（ ）（A ）向左平移6π个单位 （B ）向右平移6π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位6.已知一个算法，其流程图如右图所示，则输出的结果是（ ）.3A .9B .27C .81D7. 在空间中，下列命题正确的是（ ） A ． 平行于同一平面的两条直线平行 B ． 垂直于同一平面的两条直线平行 C ． 平行于同一直线的两个平面平行 D ． 垂直于同一平面的两个平面平行正（主）视侧（左）俯视图8.若AD 为ABC ∆的中线，现有质地均匀的粒子散落在ABC ∆内，则粒子在ABD ∆内的概率等于（ ）4.5A 3.4B 1.2C 2.3D9. 计算sin 240︒的值为（）.A 1.2B - 1.2CD⒑"tan 1"α=是""4πα=的 （ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 11. 下列函数中，在),0(+∞上是减函数的是（ ）.Ax y 1=.B 12+=x y .C xy 2= .D x y 3l o g =⒓已知直线的点斜式方程是21)y x -=-，那么此直线的倾斜角为（ ）.6A π.3B π2.3C π 5.6D π13.已知实数x 、y 满足04x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥0≥4，则z x y =+的最小值等于（ ）.0A .1B .4C .5D14、设椭圆的两焦点为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A 、22B 、212-C 、22-D 、12-二、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2016年高职高考数学答案篇一：2016年高职数学模拟试卷高职高考班《数学》模拟试题班别学号姓名一、选择题：（本大题共15小题，每小题5分，共75分。

请把每题唯一的正确答案填入表格内）1、设集合M?{xx?1?1}，集合N?{1,2,3,4}，则集合M?N?（）A. {1,2} B. {2,3} C. {3,4} D. {2,3,4}2、x?2是x?4的（）A. 充分条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分条件又非必要条件3、函数y?x?1在区间(?1,??)上是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 减函数4、不等式1?x0的解集为（）1?xA. (??,?1)?[1,??)B. [?1,1]C. (??,?1]?[1,??)D. [?1,1) 5、已知tan?cos??0，且tan?sin??0，则角?是（）A.第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角6、函数f(x)?2x?8?x?2x?152的定义域是（）A. (?3,5)B. (??,?3)?(5,??)C. [?3,5]D. (?3,4)?(4,5)2x1,x17、设函数f(x)??2，则f[f（?3）]?（）?x?2,x?1A. ?5 B. 15 C. ?11 D. 7 8、已知向量?(1,2)与向量?(4,y)垂直，则y?（）A. ?8 B. 8C. 2 D. ?2 9、已知两条直线y?ax?2和y?(a?2)x?1互相垂直，则a?（）A. 1 B.2 C. 0D. ?110、函数f(x)??x2?4x?7在区间[?3,4]上的最大值是（）A. ?25B. 19C. 11D. 10111、等比数列{an}中，a1?,a4?3，则该数列的前5项之积为（）9A. ?1B. 3C. 1D. ?312、已知数列{an}中，a1?3，an?an?1?3则a10?（）A. 30B. 27C. 33D. 36x?13、函数f(x)?3sin(?)（x?R）的最小正周期是（）46A. 2?B. 4?C. 8?D. ? 14、中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，的椭圆标准方程为（）2x2y2x2x2y2y222y1 C. ?1 ??1 B. ??1 D. x?A.44622615、在10件产品中有4件次品，现从中任取3件产品，至少有一件次品的概率是（） A.2531 B.C.D.5656二、填空题：（每小题5分，共5×5=25分。

过椭圆的焦点作直线交椭圆于、两点，是椭圆另一焦x y F A B F 221236251+=福建省春季高考高职单招数学模拟试题班级： 姓名： 座号：一、选择题（本大题共14个小题。

每小题5分，共70分） 1, 下列各函数中，与x y =表示同一函数的是（ ）（Ａ）xx y 2= （Ｂ）2x y = （Ｃ）2)(x y = （Ｄ）33x y =2，抛物线241x y -=的焦点坐标是（ ） （Ａ） ()1,0- （Ｂ）()1,0 （Ｃ）()0,1 （ Ｄ）()0,1-3，设函数216x y -=的定义域为Ａ，关于Ｘ的不等式a x<+12log 2的解集为Ｂ，且A B A = ，则a 的取值范围是（ ）（Ａ）()3,∞- （Ｂ）(]3,0 （Ｃ）()+∞,5 （Ｄ）[)+∞,54，已知x x ,1312sin =是第二象限角，则=x tan （ ） （Ａ）125 （Ｂ） 125- （Ｃ） 512 （Ｄ）512-5，等比数列{}n a 中，30321=++a a a ，120654=++a a a ，则=++987a a a （ ） （Ａ）240 （Ｂ）240± （Ｃ） 480 （Ｄ）480±6， tan330︒= （ ）（A（B（C） （D）7，设b ＞a ＞0，且a ＋b ＝1，则此四个数21，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( ) （A ）b （B ）a 2＋b 2（Ｃ）2ab （D ）218，数列１，n +++++++ 3211,,3211,211的前１００项和是：（ ） （Ａ）201200 （Ｂ）201100 （Ｃ）101200 （Ｄ1011009，点，则△ABF 2的周长是 （ ）（A ）．12 （B ）．24 （C ）．22 （D ）．1010， 函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是（ ）（A ）(,0)12π-（B ）(,0)6π-（C ）(,0)6π （D ）(,0)3π11．已知0a >且1a ≠，且23a a >，那么函数()x f x a =的图像可能是 （ ）12．已知()1f x x x=+，那么下列各式中，对任意不为零的实数x 都成立的是 （ ） （A ）()()f x f x =- （B ）()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C ）()f x x > （D ）()2f x >13．如图，D 是△ABC 的边AB 的三等分点，则向量CD 等于 （ ）（A ）23CA AB + （B ）13CA AB + （C ）23CB AB + （D ）13CB AB + 14．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 等于（）（A ）45 （B ）55 （C ）90 （D ）110二，填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 15. 函数()ln 21y x =-的定义域是 . 16. 把函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，得到的函数解析式为________________.17. 某公司生产A 、B、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，那么n = . 18. 已知函数1(0xy aa -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线 上, 则12m n+的最小值为 . 三，解答题（共六个大题，共60分）19．（10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12111n n T S S S =+++，求证：34n T <.20． （本小题满分10分）（A ） （B ） （C ） （D ）CADB ()100mx ny mn +-=>编号分别为12312,,,,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:（1） 完成如下的频率分布表:（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.21．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，该椭圆的离心率为55ABO ∆5 （Ⅰ）求椭圆C 的方程和焦点坐标；（Ⅱ）作与AB 平行的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，95PQ =l 的方程.运员编号 1A 2A 3A 4A5A 6A 7A 8A 9A 10A 11A得分510 12 16 8 21 27 15 6 22 18得分区间 频数 频率[)0,103 14[)10,20 [)20,30合计 12 1.0022．（10分）已知函数.cos sin sin )(2x x x x f += （１） 求其最小正周期； （２） 当20π≤≤x 时，求其最值及相应的x 值。

宁德师专《高等数学》（下）期末考试试卷
姓名 班级 座号 成绩
（请考生将答案全部答在答题纸上，否则不得分）
一、填空题（30%，每个空格3分）
1、1
1x dx -=⎰ 2、2
0sin x tdt =⎰ 3、幂级数13n
n n x n ∞
=∑则它的收敛半径R = ，收敛域D ＝ 4、若120,1r r ==-是某个二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的根，则该方程的通解是
5、微分方程369x y y y e '''-+=的特解可设为
6、已知向量{3,1,2},{1,2,1}a b =--=-则
（1）a b =
（2）a b ⨯=
7、已知函数2arctg()z x y =-，则
z x ∂∂ ，z y ∂=∂ . 二、求下列定积分（14%）
1
、8
3⎰ 2、20cos x xdx π⎰ 三、判别下列级数的敛散性（14%）
1
、1n ∞= 2、1
3!n n n ∞=∑ 四、求下列方程的解（14%）
1、求方程(1)x x e yy e '+=的通解.
2、求方程sin y x x ''=+的通解.
五、求函数22(1)u x y =+-的极值. （10% ）
六、求下列二重积分（8%）
求2D
xy d σ⎰⎰，其中D 是由直线2,y x y x ==所围成的区域. 七、设函数222222,0(,)0,,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，讨论函数(,)f x y 在(0,0)是否连续，在(0,0)两个偏导数是否存在. （10%）。

2016年福建省高等职业教育入学考试模拟试卷（数学）（面向普通高中考生）V =Sh其中S为底面面积，h为高锥体体积公式1V Sh3其中S为底面面积，h为高球的表面积、体积公式2 4 3S=4「:R , V R33其中R为球的半径第I卷（选择题共70 分）一•单项选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分•在每小题给出的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将答题卡上对应题目的答案标号涂黑）1.设集合A」1,3,5?, B=H,2?，则A「B 等于（）2.函数f （xH 3X的图象大致为（）D.3.已知向量a =（1,k）,b =（2,-3）,且a_b，则实数k等于3B. 32A •C. D2234.已知f (X)二3cos(2x、）的最小正周期是（)42 二A.：35.下列平面图形绕直线JTB. -C. 3 二3l旋转一周，得到的几何体为圆台的是参考公式：样本数据X i,X2，…，X n的标准差S = j n〔（X l _X）2 +（X2 _X）2 + …+（X n _X）2其中X为样本平均数柱体体积公式A. 「1,2,3,5 /B. {1,3,5}C. {2,3,5}D. {讣2A. B. C. D.y 2 -2y =0的圆心坐标为(B.( 2,0 )C. 6. 圆 x 2 A.( 0 , 1 )7. “ (a -1)(a 1) =0”是“ a =1 ” A.必要不充分条件 B. C.充分必要条件D. 2x 2-y(1 , 0 ) D.( 0,2 ))充分不必要条件既不充分也不必要条件8.双曲线 2 二1的离心率为( A.9.函数 2 2 f(x) =2X B. <5C. D.(-1,0) 22x -3的零点所在区间是( (1,2)10.设x, y 满足束条件B . (0,1) x 乞yx • y 乞2,，贝U -2x y 的最小值等于(x _0A. -2B. 1C.0 11.已知在△ ABC 中， AB =1 , AC =2, A. ,3 B. 2 C.1 12.如图，正方形 ABCD 中，E 、 F 、G 、HD.CD 、DA 的中点，在正方形 它落到阴影部分的概率是 -1(2,3)内角A ，则BC 等于()3D.21A . 一4分别是边AB 、BC 、 ABCD 内随机撒一粒黄豆，则 ) 3 C . 一 8 13.函数 f (x) A.21 B.-2 1 =x (x 1)的最小值是(x -1 B.3 C.4 D.5 14.设奇函数f(x)是定义在R 上的减函数，且不等式 成立，则实数a 的取值范围是( ) A. ( -1)B.-1] C. (1,：：)2f(a 2x) f (x ) ：： 0 对一切 x R 恒D. [1,：：)第II 卷(非选择题 共80分) 二.填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分. 15. i(2-i)-1 ； 16. 某团队有男成员24 人.女成员18人，为了解团队成员的工作情况，用分层抽样的方法从 全体成员中抽出一个容量为 7的样木，则抽取男成员的人数为 ______ x(x -2), x 兰1 I ________________________ “ ,则 f[f(3)]= Jog 3 x,x=1把答案填在答题卡的相应位置上) 17 .已知函数f (X )=彳 18. 一个有上、下底面的圆柱体的表面积为96二cm 的易拉罐，则其高为时易拉罐的体积最大.三.解答题(本大题共6小题，共60分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19. (本小题满分8分)已知函数f(x)二sin2x _3(1「2sin2x).亠兀、(I)求f(—)的值；6(n)求函数f (x)的最小值.20. (本小题满分8分)已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，公差d =1,且S3 - S = 5.(I)求数列｛a n｝的通项公式;(n)若数列仇｝满足b n=2%，求b1 b2 b s的值.21. (本小题满分10分)右下图是某公司5个销售店某月销售某机器的数量(单位：台)的茎叶图(I)求该公司5个销售店当月销售这种机器的平均台数；(n)该公司若从这5个销售店中随机抽取2个进行分析，求抽到的2个销售店该月的销售量中有且仅有一个高于平均数的概率•2 3 73 6 1322. (本小题满分10 分) 设直线I 过抛物线丨：1 其中点B( —,-1).4(I)求抛物线-的方程; (n)求线段AB 的长•23. (本小题满分12分)某铁制零件是如图所示的几何体，其底面是边长为 4cm 的正方形，高为3cm ，内孔圆柱的半径为Icm.(注：二取3.14 ，质量=密度X 体积). (1) 求该零件的体积；(2) 已知铁的密度为7.8g/cm ，问制造1000个这样的零件，需要铁多少千克 ？24. (本小题满分12分)已知函数 f (x) =2x 3-3ax 2 ((x ，R).(1) 若f (x)在x=2处取得极值，求实数 a 的值; (2) 当a 0时,求f (x)的单调递增区间； (3) 求函数f (x)在闭区间［0,2］内的最小值.2y =2px ( p 0)的焦点 F ，且与抛物线丨相交于A , B 两点,2016年福建省高等职业教育入学考试 数学试卷答案及评分参考（面向普通高中考生）三、解答题（本大题共 6小题，共60分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.解：（［）因为 f （x ）二 sin 2x . 3cos2x .......................................................... 2 分EX亍）JI JI= 2si n(2 )6 32n=2si n -3r . . JE(n)因为 f(x) =2sin(2x -) 3所以当 X=k_：-^,k ・Z 时，f(X )min =—21220.解：(I)因为 d =1,且 &=5.3況2所以(3a 1 d)-a 1 =52 2a 1 *3 = 5解得 a^1 .......................... 2分贝U a n =c 1n -1 d = n............................... 4 分(n)由(I)知 a^ n,,得 b^ 2n .............................................................. 6 分所以 b 12 22 23 = 64................................. 8 分1. D2. B3. C4. D5. B6. A7. A8. C9. B10. D 11. A 12. C 13. B14. C、填空题 （本大题共 4小题, 每小题5: 分，共20分）、单项选择题（本大题共 14小题，每小题5分，共70 分）15. 2i16. 4 17. -1 18. 8cm 所以fQ21.解：(I)该公司5个销售店当月销售这种机器的平均台数为1(23 27 36 31 33)-30 台5...................................... ..4 分(n)设5个销售店中低于平均数的数量为印、a2，高于平均数的数量分别为Dbs，则从5个销售店中随机抽取2个进行分析的可能情况为：(a i , a2卜、3i, b、a i J、Q 卜03 耳2 卜b ia2, b2、a? , 03、D , b2、D , b3、b2, b3 共10 种情况，................................................. ..6 分记“从5个销售店中随机抽取2个进行分析，则抽到的2个销售店该月的销售量中有且仅有一个高于平均数”为事件A，则可能的情况为：(a^bj、@1,6)、(a1, b3)、色，^)、©山?)、⑧心)共6 种，........................ 8 分G Q所以P(A) = —二―. ......................... ..10 分10 51 222.解：(I)把点B( —,-1)坐标代入抛物线-:y =2px 得421(-1)2=2p； .............4解得p =2..2分y2 =4x(n)抛物线丨的焦点为F (-1, 0), 直线AB的方程为乂=口，化简得-1-044x -3y -4 =0与抛物线方程y2 =4x联立可得24x -17x 4=0 .8分设点A点的坐标为(x A, y A)，则x A=1所以AB F X BP=4 1 24..4分..6分4=25425.10分则线段AB的长为—23.解:(I)由三视图可得该几何体是一个底面是边长为4cm 的正方形，高为3cm 的长方体,挖去一个半径为lcm 的圆柱孔. 所以该零件的体积为：2V = 4 4 3 -感沁 1 3 =48-3二 :38.58( cm 3)(n) 1000个这种零件需要铁为：P “000汉38.58汉7.8 (克) = 300.924 (千克) 答：制造1000个这样的零件，约需要铁 300.924千克.……..12分224.解：(I) f (x) =6x 「6ax ,因为f (x)在x = 2处取得极值， 所以f (2) = 0，解得a = 2 ........... .…分(n) f (x) =6x(x -a),当 a 0时，由 f (x) 6x(x-a)0 得 x - a 或 x ：：：0.即f (x)的单调增区间为 -：：,0和a,=........... .…分(川)(1)当a^O 时，由(n)可知， f (x)在1.0,2 1上单调递增，所以f(x)的最小值为f (0) =1；....... …分(2) 当0 ：：：a 2时，可知，f (x)在l.0,a 上单调递减，在 a,2 1上单调递增， 所以f (x)的最小值为f(a)=1-a ‘ ；....... .…0分(3) 当a_2时，可知，f (x)在1.0,2 1上单调递减，所以f(x)的最小值为f(2) =17-12a . 则 当a 乞0时，f (x)的最小值为f(0) =1 ；3当0 ：： a ：： 2时，f (x)的最小值为f(a)=1—a ； 当 a_2时，f (x)的最小值为 f(2)=17-12a................. ..12 分..3分..6分..9分..10 分IT。

2016年福建省高等职业教育入学考试数学模拟试卷面向普通高中考生及评分参考一、选择题1. 请将下列数从小到大排列：A. 1/4, 3/8, 2/5, 5/12B. 3/5, 5/8, 7/12, 2/3C. 9/10, 4/7, 4/5, 7/8D. 2/9, 3/7, 5/18, 4/112. 某人从A地乘公交车到达B地，全程共计40公里，上午乘车时间为1小时15分钟，下午乘车时间为50分钟，白天从A到B的平均速度为多少？A. 32 km/hB. 36 km/hC. 40 km/hD. 45 km/h3. 已知函数f(x) = ax + b，当x = 2时，f(x) = 5；当x = -1时，f(x) = -2。

则a和b的值分别为：A. a = 7, b = -4B. a = 9, b = -7C. a = 3, b = -1D. a = -4, b = 74. 若正方形的边长为x，则其对角线的长度为：A. x^(1/2)B. xC. 2xD. x^(1/2) / 2二、填空题1. 已知函数f(x) = 3x - 2，g(x) = 2x + 1，则f(g(3)) = _______。

2. 解方程2x + 5 = 3x - 4，得到x = _______。

3. 在△ABC中，∠B = 90°，BC = 6 cm，AC = 8 cm，则AB = _______。

4. 若集合A = {1, 3, 5, 7}，则A的幂集共有 _______ 个子集。

三、解答题1. 计算下列各组数的最大公约数和最小公倍数：a) 24和36b) 18和422. 已知等差数列的首项为3，公差为4，请计算前8项的和。

3. 解方程：2x + 5 > 3x - 14. 函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3，请计算当x = 1时，函数f的值。

评分参考：选择题每题4分，填空题每题5分，解答题每题10分。

希望考生能够在规定时间内完成试卷，并且准确地解答每个问题。

2016年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+i，则的值等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．设全集U={0，1，2}，A={x|x2+ax+b=0}，若∁U A={0，1}，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣43．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的n=3，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．94．S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2，S4，S3成等差数列，则数列{a n}的公比q等于（）A．B．2 C．﹣2 D．5．已知双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．=16．设x，y满足条件且z=x+y+a（a为常数）的最小值为4，则实数a的值为（）A．B．2 C．4 D．57．现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球．若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A箱中的红球个数应为（）A．2 B．3 C．4 D．58．已知命题p：y=sin（x﹣）在（0，π）上是减函数；命题q：“a=”是“直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴”的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，0，0），（2，1，1），（0，1，1）．若画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是（）A．B．C．D．10．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为（）A．8 B．8C．12 D．1611．已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且所有顶点都在表面积为20π的球面上，则a的值等于（）A．3 B．2C．3D．312．已知点A（1，1），点P在曲线f（x）=x3﹣3x2+3x（0≤x≤2）上，点Q在直线y=3x ﹣14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，=3，则=______．14．（1+2x）（x+）5展开式中x的系数为______．15．已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是______．16．若数列{a n}满足++…+=﹣，且对任意的n∈N*，存在m∈N*，使得不等式a n≤a m恒成立，则m的值是______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18．某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：（Ⅰ）试估计该校学生在校月消费的平均数；（Ⅱ）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（ⅰ）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ⅱ）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=3，AD=4，AC=2，∠ADC=60°，E为线段PC上一点，且=λ．（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）若平面PAB⊥平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求λ的值．20．已知点F（1，0），点P在圆E：（x+1）2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q（m，0）（m＞2）的直线l交曲线Γ于A，B两点．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|•|OQ|=4．21．已知函数f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx．（Ⅰ）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞1，求证：（2a﹣1）f（x）＜3e a﹣3．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．（Ⅰ）求弦CD的长；（Ⅱ）⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若点A，B为曲线C上的两点，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤x的解集；（Ⅱ）当x≤﹣时，不等式f（x）+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，求实数a的取值范围．2016年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+i，则的值等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=1+i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵数z=1+i，∴=，故选：A．2．设全集U={0，1，2}，A={x|x2+ax+b=0}，若∁U A={0，1}，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】补集及其运算．【分析】根据补集关系确定方程有两个相等的实根2，进行求解即可．【解答】解：∵∁U A={0，1}，∴A={2}，即方程x2+ax+b=0有两个相等的实根2，则﹣=2，即a=﹣4，故选：D．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的n=3，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量n的值，满足条件时退出循环，输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，可得答案；【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=0不满足条件n是偶数，n=10，i=1不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=5，i=2不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是偶数，n=16，i=3不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=8，i=4不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=4，i=5不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=2，i=6不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=1，i=7满足条件n=1，退出循环，输出i的值为7．故选：B，4．S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2，S4，S3成等差数列，则数列{a n}的公比q等于（）A．B．2 C．﹣2 D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式即可得出．【解答】解：∵S2，S4，S3成等差数列，∴2S4=S3+S2，∴2a1（1+q+q2+q3）=a1（2+2q+q2），化为：1+2q=0，解得q=﹣．故选：D．5．已知双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据一个焦点到一条渐近线的距离为2，离心率的值，建立方程关系求出a，b的值即可得到结论．【解答】解：设双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=，取bx﹣ay=0，所以焦点到渐近线的距离d==2，∵离心率e==，∴c=，则c2=a2+b2，即3a2=a2+4，即2a2=4，则a2=2，则该双曲线的方程可以是=1，故选：C．6．设x，y满足条件且z=x+y+a（a为常数）的最小值为4，则实数a的值为（）A．B．2 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y+a为y=﹣x+z﹣a，由图可知，当直线y=﹣x+z﹣a过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2+0+a=4，即a=2．故选：B．7．现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球．若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A箱中的红球个数应为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】概率的意义．【分析】取出的3个球中有两个颜色相同包括：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球；从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球；从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，这个事件的概率是．【解答】解：设A箱中有x个红球，则有（6﹣x）个白球，从6个球任取2个共有C62=15种，取出的3个球中有两个颜色相同包括：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球，其概率为××2，从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球，其概率为×（+），从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，期概率为×（+），故××2+×（+）+×（+）=，解得x=5，故答案为：5．8．已知命题p：y=sin（x﹣）在（0，π）上是减函数；命题q：“a=”是“直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴”的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：∵0＜x＜π，∴﹣＜x﹣＜，∴y=sin（x﹣）在（0，π）上是增函数，命题p是假命题；若a=，则f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），对称轴x+=kπ+，∴x=kπ+，是充分条件，若直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴，则f（﹣x）=f（+x）当x=即f（0）=f（）∴f（0）=a=f（）=+，解得a=，故命题q是真命题；则命题￢p∧q是真命题，故选：C．9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，0，0），（2，1，1），（0，1，1）．若画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意，利用空间直角坐标系，借助于正方体在坐标系中画出几何体，再画出它的侧视图．【解答】解：由题意，画出直角坐标系，在坐标系中各点对应位置如图①所示；以平面zOy为投影面，得到的侧视图如图②所示：故选：C．10．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为（）A．8 B．8C．12 D．16【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，根据以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F为（，0），设直线AB的方程为y﹣0=x﹣，即为y=x﹣，代入抛物线的方程，可得x2﹣3px+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，x1x2=，∴y1+y2=2p由抛物线的定义可得，|AB|=x1+x2+p=4p．∵以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，∴4p2=（8）2+p2，∴p=8故选：A．11．已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且所有顶点都在表面积为20π的球面上，则a的值等于（）A．3 B．2C．3D．3【考点】球内接多面体．【分析】由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，利用球的半径建立方程，即可求出a的值．【解答】解：表面积为20π的球的半径为．画出几何体的图形，BC=a，BC的中点为O，连接AO，DO，则AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，取AD的中点E，则OE⊥AD，球的球心在AD的中点E与O的连线上，设球心为G，∵OA=OD=，AD=2，∴OE=设球的半径为R，GE=x，则R2=5=3+x2=+（﹣x）2，∴x=，a=3故选：C．．12．已知点A（1，1），点P在曲线f（x）=x3﹣3x2+3x（0≤x≤2）上，点Q在直线y=3x ﹣14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，令导数为3，求得切线的方程，以及中点M所在直线的方程，运用点到直线的距离公式求出A到它们的距离，即可得到最小值．【解答】解：f（x）=x3﹣3x2+3x的导数为f′（x）=3x2﹣6x+3，令f′（x）=3，解得x=0或2，可得与直线y=3x﹣14平行，且与y=f（x）图象相切的直线为y=3x或y=3x﹣4，可得中点M所在直线的方程为y=3x﹣7或y=3x﹣9，由图象可得A到直线y=3x﹣7的距离为=，A到直线y=3x﹣9的距离为=．即有|AM|的最小值为，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，=3，则=4．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先由，在方向上的投影为2，求出三角形的边长为4，再根据=（）即可求出答案．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，∴||=2，∴AB=AC=BC=4，∴=（）=（﹣）•=||2﹣•=×42﹣4×4×=4，故答案为：414．（1+2x）（x+）5展开式中x的系数为40．【考点】二项式系数的性质．【分析】展开式的x项来源于第一个括号的1和m=（x+）5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=（x+）5展开式的常数项的乘积，分别由m的展开式可得．【解答】解：展开式的x项来源于第一个括号的1和m=（x+）5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=（x+）5展开式的常数项的乘积，又m=（x+）5的通项为T k+1=x5﹣k（）k=2k•x5﹣2k，令5﹣2k=1可得k=2，故m展开式中含x的项为40x，令5﹣2k=0可得k=∉Z，故m展开式中无常数项，∴原式展开式中x的系数为40，故答案为：40．15．已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是．【考点】函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】画出函数f（x）=的图象，若函数g（x）=f（x）﹣x恰有两个零点，则函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有两个交点，数形结合可得答案．【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，即函数g（x）=f（x）﹣x恰有一个零点，故x≤0时，函数g（x）=f（x）﹣x也恰有一个零点，即x≤0时，函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，故a＞0，y=x与y=﹣x2+a相切，解得：a=﹣，故实数a的取值范围是：，故答案为：16．若数列{a n}满足++…+=﹣，且对任意的n∈N*，存在m∈N*，使得不等式a n≤a m恒成立，则m的值是5．【考点】数列与不等式的综合．【分析】通过作差可知数列{a n}的通项公式，计算出数列的前几项即可判断出数列的变化规律，进而即得结论．【解答】解：∵++…+=﹣，∴当n≥2时， ++…+=﹣，两式相减得：=﹣=，∴a n=（2n﹣1）•（n≥2），又∵=﹣=﹣不满足上式，∴a n=，∵a2=，a3=，a4=，a5=，a6=，且易知从第六项开始数列递减，∴m=5，故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），∴sinA=sinB（sinC+cosC），…∴sin（π﹣B﹣C）=sinB（sinC+cosC），∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），…∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…∴cosBsinC=sinBsinC，又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…∴cosB=sinB，即tanB=1．…又∵B∈（0，π），∴．…（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．…又，由（Ⅰ）可知，∴△ABC为等腰直角三角形，…∴，…又∵，…∴．…∴当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为．…18．某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：（Ⅰ）试估计该校学生在校月消费的平均数；（Ⅱ）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（ⅰ）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ⅱ）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出学生月消费的平均数．（Ⅱ）（ⅰ）月消费值落入区间[200，400）、[400，800）、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（ii）先求出服务部的月利润，再求出受助学生人数，由此能求出每个受助学生每月可获得多少元．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得学生月消费的平均数：…=680…（Ⅱ）（ⅰ）月消费值落入区间[200，400）、[400，800）、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，∴P（ξ=20）=0.05，P（ξ=40）=0.80，P（ξ=80）=0.15，（ii）服务部的月利润为45×2000=90000（元），受助学生人数为2000×0.05=100，每个受助学生每月可获得90000×÷100=200（元）．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=3，AD=4，AC=2，∠ADC=60°，E为线段PC上一点，且=λ．（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）若平面PAB⊥平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求λ的值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，在△ACD中使用正弦定理可得∠ACD=90°，故而CD⊥平面PAC，于是CD⊥AE；（II）由面面垂直可得AB⊥AD，以A为原点建立空间直角坐标系，求出和平面PBC的法向量，则|cos＜＞|=，列方程解出λ即可．【解答】证明：（Ⅰ）在△ADC中，AD=4，，∠ADC=60°，由正弦定理得：，即，解得sin∠ACD=1，∴∠ACD=90°，即DC⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴DC⊥PA．又AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC．∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD．∴∠BAD即为二面角B﹣PA﹣D的平面角．∵平面PAB⊥平面PAD，∴∠BAD=90°．以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，．=（，3，﹣3）.=（0，0，3）．∴=（，3λ，﹣3λ），∴==（，3λ，3﹣3λ）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，∴，令，得=（，0，1）．设直线AE与平面PBC所成的角为θ，则，∴或．20．已知点F（1，0），点P在圆E：（x+1）2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q（m，0）（m＞2）的直线l交曲线Γ于A，B两点．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|•|OQ|=4．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（I）利用垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．（Ⅱ）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线A'B与x轴的交点为S（s，0）则A'（x1，﹣y1），直线方程与椭圆方程联立可得：（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，利用根与系数的关系，及其A'，B，S三点共线，进而得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，|MP|=|MF|，∴|ME|+|MF|=4，∵|ME|+|MF|＞|EF|，∴点M的轨迹是以点F（1，0）和E（﹣1，0）为焦点，2a=4的椭圆，∴，∴曲线Γ的方程为．（Ⅱ）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线A'B与x轴的交点为S（s，0）则A'（x1，﹣y1），∴=（x1﹣s，﹣y1），=（x2﹣s，y2），由得，（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，△＞0，即（4﹣m2）k2+3＞0，∴，当k≠0时，由A'，B，S三点共线，可得（x1﹣s）y2+（x2﹣s）y1=0，即k（x1﹣s）（x2﹣m）+k（x2﹣s）（x1﹣m）=0，2x1x2﹣（s+m）（x1+x2）+2sm=0，∴，∴，∴，即，k=0时，直线A'B与x轴重合，过点．综上述，直线A'B恒过一个定点，且=4．21．已知函数f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx．（Ⅰ）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞1，求证：（2a﹣1）f（x）＜3e a﹣3．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求导，令f′（x）=0，解得x1、x2，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；（Ⅱ）a＞1，由函数单调性可知，f（x）在x=1取极大值，也为最大值，f（x）max=a﹣1，因此（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），构造辅助函数g（a）=，求导，求出g（a）的单调区间及最大值，＜=3，可知g（a）＜3，e a﹣3＞0，即可证明（2a﹣1）f（x）＜3e a﹣3．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx，x＞0则f′（x）=﹣ax+（a﹣1）+=，令f′（x）=0，解得x1=1，x2=﹣，当﹣＞1，解得﹣1＜a＜0，∴﹣1＜a＜0，f′（x）＞0的解集为（0，1），（﹣，+∞），f′（x）＜0的解集为（1，﹣），∴函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）；当﹣＜1，解得a＞0，∴a＞0，f′（x）＞0的解集为（0，1），f′（x）＜0的解集为（1，+∞）；∴当a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；综上可知：﹣1＜a＜0，函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）；a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；（Ⅱ）证明：∵a＞1，故由（Ⅰ）可知函数f（x）的单调递增区间为（0，1）单调递减区间为（1，+∞），∴f（x）在x=1时取最大值，并且也是最大值，即f（x）max=a﹣1，又∵2a﹣1＞0，∴（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），设g（a）=，g′（a）=﹣=﹣，∴g（a）的单调增区间为（2，），单调减区间为（，+∞），∴g（a）≤g（）==，∵2＞3，∴＜=3，∴g（a）＜3，e a﹣3＞0，∴（2a﹣1）f（x）＜3e a﹣3．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．（Ⅰ）求弦CD的长；（Ⅱ）⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）连结CA，由圆的切线的性质、对称性，根据射影定理求出BE，再根据勾股定理，继而得出弦CD的长；（Ⅱ）在△CEF中，求出EF，CF的长，根据勾股定理求出AC，设⊙A与直线AB相交于M，N两点，分别求出AF，MF，NF，根据相交弦定理求得CF•FG，得出FG，继而求得CG的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结CA，则CA⊥CB，∵由圆的对称性知CD⊥AB，∴由射影定理得：BC2=BE•BA=BE•（BE+EA），∴22=BE•（BE+3），∴BE=1；∴在Rt△BEC中，，∴．（Ⅱ）在△CEF中，，EF=BF﹣BE=1，∴CF=2，在△ACE中，．设⊙A与直线AB相交于M，N两点，AF=AE﹣EF=3﹣1=2，，∵由相交弦定理得CF•FG=FM•NF=（2+2）•（2﹣2）=8，∴FG=4，∴CG=4+2=6．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若点A，B为曲线C上的两点，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用平方关系可得曲线C的普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C的极坐标方程．（2）由对称性，设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），，其中，代入极坐标方程化简利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得曲线C的普通方程为．∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为．（2）由对称性，设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），，其中，则=．当且仅当sin22θ=1即，|OA|•|OB|取到最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤x的解集；（Ⅱ）当x≤﹣时，不等式f（x）+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x）的最小值，根据函数恒成立求出a的范围即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）≤x化为|2x+1|﹣|x﹣1|≤x，…当，不等式化为2x+2≥0，解得；…当，不等式化为2x≤0，解得；…当x≥1，不等式化为2≤0，无解；…所以f（x）≤x解集为{x|﹣1≤x≤0}．…（2）∵当时f（x）=﹣2x﹣1﹣（a﹣x）=﹣x﹣a﹣1，∴．…∵t2+2t+3=（t+1）2+2≥2，…要使当时f（x）+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，则当时f（x）+2≥0恒成立，…∴，又由已知a＞0∴．…2016年9月20日。