2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：选修4-5 第三节 柯西不等式与排序不等式 Word版含解析

高中数学A 选修4选修45第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式 试题 2019.091,如果直线a y x y ax 那么实数平行与直线,023022=--=++等于（ ） A ．-3 B ．-6C ．23-D ．322,已知命题.01,:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使下列结论中正确的是（ ）A ．命题“q p ∧”是真命题B ．命题“q p ⌝∧”是真命题C ．命题“q p ∧⌝”是真命题D ．命题“q p ⌝∨⌝”是假命题3,已知205105,31,}{S S S S n a S n n 那么且项和的前表示等差数列=的值为（ ）A ．91B ．101C ．81D ．314,函数))0(,0(cos sin )(f x x x f 在点+=处的切线方程为（ ） A ．01=+-y x B ．01=--y x C ．01=-+y x D ．01=++y x5,设,10<<<a b 则下列不等式成立的是（ ） A ．12<<b abB ．log log 2121<<a bC ．12<<ab a D ．ba )21()21(21<<6,将等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的高AD 折起，使折后△ABC 恰为等边三角形，M 为BD 的中点，则直线AB 与CM 所成角的余弦值为（ ）A ．66- B ．66 C ．1010 D ．-10107,已知21)sin(=+=y x y 与直线ϕω的交点中，距离最近的两点间的距离为3π，那么此函数的最小正周期是（ ） A ．3π B ．2π C ．πD ．2π8,定义在R 上的函数)()(,5)3()(x f x f f x f '=的导函数满足的图象如图所示。

若两点数m ，n 满足31,5)3(++<+n m n m f 则的取值范围是（ ）A ．)6,23(B ．)34,41(C ．)4,43(D ．)32,61(9,某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ） A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元 D ．24万元 10,若θθθ则角,542sin ,532cos-==的终边所在直线方程为11,设O 是△ABC 内部一点，且.2-=+则△AOB 与△AOC 面积之比是 。

新课程标准数学选修4—5 不等式选讲课后习题解答第一讲 不等式和绝对值不等式 习题1.1 （P9）1、（1）假命题. 假如32>，但是3(1)2(1)⋅-<⋅-. （2）假命题. 假如32>，但是223020⋅=⋅. （3）假命题. 假如12->-，但是22(1)(2)-<-.（4）真命题. 因为c d <，所以c d ->-，因此a c a d ->-. 又a b >，所以a d b d ->-. 因此a c b d ->-. 2、因为22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=> 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+3、（1）因为a b >，10ab >，所以11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a>，即11a b <； （2）因为a b >，0c <，所以ac bc <. 因为c d <，0b >，所以bc bd <. 因此ac bd <.4、不能得出. 举反例如下：例如23->-，14->-，但是(2)(1)(3)(4)-⨯-<-⨯-.5、（1）因为,a b R +∈，a b ≠，所以22a b ≠，即b a a b ≠. 所以2b a a b +>.（2）因为0a b +>>，所以1a b <+所以122ab ab a b ⨯<=+2ab a b <+6、因为,,a b c 是不全相等的正数所以a b +≥b c +≥，c a +≥，以上不等式不可能全取等号.所以（1）()()()8a b b c c a abc +++>=（2）()()()a b b c c a +++++>所以a b c ++>7、因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c d cd +≥，222d a da +≥ 所以22222222()()()()2()a b b c c d d a ab bc cd da +++++++≥+++ 即2222a b c d ab bc cd da +++≥+++8、因为2211112a x a x +≥，2222222a x a x +≥，……，222n n n n a x a x +≥ 所以22222212121122()()2()n n n n a a a x x x a x a x a x +++++++≥+++即112222()n n a x a x a x ≥+++ ，所以11221n n a x a x a x +++≤9、因为2222222222(2)()()02244x y x y x y x y xy x y +++-++--==≥， 所以222()22x y x y ++≥. 10222=≥=22≥11、因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，所以2222222223()2()()a b c a b c a b c ++=+++++222222222222()()()()222()()1a b b c c a a b c a b b c c a a b ca b c =++++++++≥+++++=++=所以22213a b c ++≥12、（1）因为,,a b c R +∈，所以3a b c b c a ++≥=，3b c a a b c ++≥= 所以()()9a b c b c ab c a a b c++++≥（2）因为,,a b c R +∈，所以0a b c ++≥>，2220a b c ++≥所以222()()9a b c a b c abc ++++≥= 13、设矩形两边分别为,a b ，对角线为定值d ，则222a b d +=∴222222()22()2a b a b ab a b d +=++≤+=∴a b +≤，2()a b +≤ ∴当且仅当a b =时，以上不等式取等号.∴当矩形为正方形时，周长取得最大值，最大值为因为22222a b d ab +≤=，当且仅当a b =时等号成立 所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为22d14、因为222()2h r R +=，所以22244r h R +=.根据三个正数的算术—几何平均不等式，得2222422R r r h =++≥所以，球内接圆柱的体积2V r h π=≤当且仅当222r h =，即r =，h =时，V 取最大值. 15、因为222a b ab +≥，所以2212ab a b ≤+，即2212b a a b ⨯≤+. 由于220min{,}b h a a a b <=≤+，22220min{,}b bh a a b a b <=≤++所以22212b h a a b ≤⨯≤+，从而h ≤习题1.2 （P19）1、（1）()()22a b a b a b a b a a ++-≥++-==（2）2()2a b b a b b a b -+≥-+=+，所以2a b a b b +--≤2、证法一：2212112x xx x x x x x+++==≥=. 证法二：容易看出，无论0x >，还是0x <，均有11x x x x+=+所以112x x x x +=+≥3、（1）()()x a x b a x x b a x x b a b -+-=-+-≥-+-=- （2）因为()()a b x b b a x b b a x b x a -+-=-+-≥-+-=- 所以x a x b a b ---≤-另证：()()x a x b x a x b a b ---≤---=-4、（1）()()()()22A B a b A a B b A a B b εεε+-+=-+-≤-+-<+=（2）()()()()22A B a b A a b B A a b B A a B b εεε---=-+-≤-+-=-+-<+=5、4646(4)(6)2y x x x x x x =-+-=-+-≥-+-= 当且仅当(4)(6)0x x --≥，即[4,6]x ∈时，函数y 取最小值2.6、7、8、（1）5235x -<-< 228x -<< 14x -<<∴原不等式的解集为(1,4)-（2）251x -≤-或251x -≥ 24x ≤或26x ≥ 2x ≤或3x ≥∴原不等式的解集为(,2][3,)-∞+∞ （3）13132x -<+< 1422x -<<84x -<<∴原不等式的解集为(8,4)-（4）2418x -≥ 414x -≥414x -≤-或414x -≥ 43x ≤-或45x ≥ 34x ≤-或54x ≥ ∴原不等式的解集为35(,][,)44-∞-+∞（1）6341x -≤+<-或1346x <+≤ 1035x -≤<-或332x -≤≤ 10533x -≤<-或213x -≤≤ ∴原不等式的解集为1052[,)(1,]333--- （2）9523x -<-≤-或3529x ≤-<1428x -<-≤-或224x -≤-< 47x ≤<或21x -<≤ ∴原不等式的解集为(2,1][4,7)-（1）令30x -=，50x -=得3x =，5x = ①当3x <时354x x -+-+≥2x ≤∴2x ≤②当35x ≤<时 354x x --+≥9、(1,)a ∈+∞第二讲 证明不等式的基本方法 习题2.1 （P23）1、因为a b >，所以0a b ->. 因此33()a b ab a b ---222222()()()()()()()0a b a ab b ab a b a b a ab b ab a b a b =-++--=-++-=-+>所以33()a b ab a b ->-2、因为ad bc ≠，所以22222()()()a b c d ac bd ++-+（2）令20x -=，30x +=得2x =，3x =- ①当3x <-时234x x -+--≥ 52x ≤-∴3x <-②当32x -≤<时234x x -+++≥ 54≥ ∴32x -≤< ③当2x ≥时234x x -++≥32x ≥∴2x ≥∴原不等式的解集为R（3）令10x -=，20x -=得1x =，2x = ①当1x <时122x x -+-+<12x >∴112x << ②当12x ≤<时 122x x --+< 12< ∴12x ≤< ③当2x ≥时122x x -+-<52x <∴522x ≤<∴原不等式的解集为15(,)22222222222222()(2)()0a c a dbc bd a c a b c d b da dbc =+++-++=->所以22222()()()a b c d ac bd ++>+3、因为a b ≠，所以42242264()a a b b ab a b ++-+4224222222222222424()4()2()(2)(2)(2)()0a ab b a b ab a ba b a b a b a b a b a b a b =++-++=+-+⋅+=+-=->所以42242264()a a b b ab a b ++>+ 4、因为,,a b c 是正数，不妨设0a b c ≥≥>，则()1a b a b -≥，()1b c b c -≥，()1c a ca -≥因为0b c c aaa bc+++>，且222222()()(a b c a bcbcab ccaaba bc a babca bcbc a---------+++==≥所以222a b c b c c a a b a b c a b c +++≥ 习题2.2 （P25）1、因为222252(2)(2)(1)0a b a b a b ++--=-+-≥，所以2252(2)a b a b ++≥-.2、（1）因为2(1)()(1)(1)()()ab a b ab ac bc c a b a c b c ++++++=++++16c a b c ≥⨯= 所以2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥（2）因为3322()()()()()a b a b ab a b a ab b a b ab +-+=+-+-+222()(2)()()0a b a a b b a b a b =+-+=+-≥ 所以33()a b a b ab +≥+，33()b c b c bc +≥+，33()c a c a ca +≥+ 所以3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++ 3、略.4、要证明1110a b b c c a ++>---，即证明111a b b c a c+>--- 因为a b c >>，所以0a c a b ->->，从而110a b a c>>-- 又因为10b c >-，所以111a b b c a c +>---，所以1110a b b c c a ++>---5、要证2m m n +≥()2m nn m m n m n ++≥.因为2()()2m n m n m nm n mn ++++≥= 只需证2()m n n m mn m n +≥，即证22()m n n m mn m n +≥，只需证()1m n mn -≥，不妨设m n ≥，则0m n -≥所以()1m n mn -≥. 所以，原不等式成立.6、要证明()()f a f b a b -<-，即a b <-，即a b <-因为a b ≠，所以只需证a b +<∵a b a b +≤+<∴a b +<，从而原不等式成立.7、22log (1)log (1)[(log (1)log (1)][(log (1)log (1)]a a a a a a x x x x x x --+=-++--+21l o g (1)l o g 1a a x x x -=-+ 又因为01x <<，所以2011x <-<，1011xx-<<+. 所以21log (1)log 01a axx x -->+ 所以22log (1)log (1)0a a x x --+>，即22log (1)log (1)a a x x ->+ 从而log (1)log (1)a a x x ->+8、因为0n >，所以2244322n n n n n +=++≥= 9、因为22221(1)(1)0ab a b a b ---=-->，所以1ab a b ->-习题2.3 （P29）1、因为0,,1a b c <<，根据基本不等式2(1)10(1)()24a a a a -+<-≤= 2(1)10(1)()24b b b b -+<-≤=，2(1)10(1)()24c c c c -+<-≤= 所以31(1)(1)(1)()4a a b b c c -⨯-⨯-≤假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于14，则31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⨯-⨯->这与31(1)(1)(1)()4a ab bc c -⨯-⨯-≤矛盾. 所以(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于14.2、一方面，222211111111234233445(1)n n n ++++>++++⨯⨯⨯+1111111111()()()()233445121n n n =-+-+-++-=-++ 另一方面，222211111111234122334(1)n n n++++<++++⨯⨯⨯-111111111(1)()()()1223341n n n n n-=-+-+-++-=-=-所以，2222111111121234n n n n --<++++<+3、当1n =时，不等式1+++<1<.当2n ≥<<<<所以1<，<，<，……，<所以1(3+4、假设2211(1)(1)9x y--<. 由于,0x y>且1x y+=所以2222221111(1)(1)x yx y x y----=⨯2222(1)(1)(1)(1)(1)(1)111291x x y yx yx y y xx yx yx yx xx x+-+-=⨯++=⨯++=⨯+-=⨯<-得2(21)0x-<，这与2(21)0x-≥矛盾，所以2211(1)(1)9x y--≥5、因为2r h Vπ=（定值）所以，圆柱的表面积222S r rhππ=+22r rh rhπππ=++≥==当且仅当22r rh rhπππ==时，等号成立.所以，当2h r=，即h r==.6、2(1π第三讲柯西不等式与排序不等式习题3.1 （P36）1、函数定义域为[5,6]，且0y≥5y=≤当且仅当=13425x=时，函数有最大值5.2、三维柯西不等式2222222123123112233()()()a a ab b b a b a b a b++++≥++三维三角不等式2221)(z x+≥-3、因为22236x y+≤，所以2x y+≤≤.因此2x y+4、因为221a b+=，所以cos sin1a bθθ+≤=5、因为1a b+=，所以2212121212()()(()ax bx bx ax a b x x x x++≥=+=6、222()(14)(2)1x y x y++≥+=，即2215x y+≥当且仅当12,55x y==时，22x y+有最小值157、2119()(2)22a bb a++≥=当且仅当21ab=（,a b R+∈）时，函数有最小值928、12()()pf x qf x+=12()f px qx=+9、3sin3siny x x=+=+≤=当且仅当tan x=习题3.2 （P41）1、22111111()()39a b ca b c a b c++=++++≥==推广：若12,,,nx x x R+∈，且121nx x x+++=，则212111nnx x x+++≥.证：121212111111()()n n nx x x x x x x x x +++=++++++22n ≥+= 2、因为2222222222224()(1111)()a b c d a b c d +++=++++++ 222(1111)()11a b c d a b c d ≥⋅+⋅+⋅+⋅=+++==所以222214a b c d +++≥ 3、221212111()()n n x x x n x x x ++++++≥+= 4、2221112()a b b c c a a b b c c a ++=++++++++222111()()9a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c aa b c+++=+++++++++++++≥+===++上式中等号不成立，这是由于,,a b c 是互不相等的正数， 所以111:::a b b c c a a b c a b a b c b c a b c c a+++≠≠+++++++++.5、因为22222222()(234)(234)10100x y z x y z ++++≥++==，所以22210029x y z ++≥.当且仅当203040,,292929x y z ===时，222x y z ++有最小值10029. 6、因为2221212()(1)111nnx x x n x x x +++++++222121212212()[(1)(1)(1)]111()1n n n n x x x x x x x x x x x x =++++++++++++≥+++=所以222121211111n n x x x x x x n +++≥++++ 习题3.3 （P45）1、由加法交换律及12,,,n c c c 的任意性，不妨假设12n a a a ≤≤≤ ，这不影响题意.由排序不等式，等222112212n n na c a c a c a a a +++≤+++ . 2、由于要证的式子中,,abc 是轮换对称的，所以不妨假设a b c ≤≤. 于是222a b c ≤≤.由排序不等式，得222222a a b b c c a b b c c a ++≥++222222a a b b c c a c b a c b ++≥++两式相加，得3332222()()()()a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 3、由于要证的式子中123,,a a a 是轮换对称的，所以不妨假设123a a a ≥≥. 于是123111a a a ≤≤，233112a a a a a a ≤≤ 由排序不等式，得122331233112231312312111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++≥⋅+⋅+⋅=++ 即122331231312a a a a a a a a a a a a ++≥++ 4、用柯西不等式证明如下：因为2222212123112231()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a -++++++++≥+++所以222212112231n n n n a a a aa a a a a a a -++++≥+++ .用排序不等式证明如下：设120n i i i a a a ≥≥≥> ，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列 则12222ni i i a a a ≥≥≥ ，12111ni i i a a a ≤≤≤.由排序不等式知，反序和最小，从而12122222222121231111n nn n i i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a -++++≥⋅+⋅++⋅1212n i i i n a a a a a a =+++=+++所以222212112231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++习题4.1 （P50）1、（1）当1n =时，左边=1，右边=1， 所以，左边=右边，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2135(21)k k ++++-= . 当1n k =+时，22135(21)2(1)12(1)1(1)k k k k k ++++-++-=++-=+ .所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，2135(21)n n ++++-=2、（1）当1n =时，左边=1，右边11(11)(211)16=⨯⨯+⨯+=， 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21149(1)(21)6k k k k ++++=++ . 当1n k =+时，2221149(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=++++ 21(1)(276)61(1)(2)[2(1)1]6k k k k k k =+++=++++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，21149(1)(21)6n n n n ++++=++3、（1）当1n =时，左边144=⨯=，右边2124=⨯=， 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1n k k =≥时，命题成立，即21427310(31)(1)k k k k ⨯+⨯+⨯+++=+ . 当1n k =+时，1427310(31)(1)[3(1)1]k k k k ⨯+⨯+⨯+++++++2(1)(1)[3(1)1]k k k k =+++++ 22(1)(44)(1)[(1)1]k k k k k =+++=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+4、（1）当1n =时，因为211211x y x y ⨯-⨯-+=+能被x y +整除，所以命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2121k k x y --+能被x y +整除. 当1n k =+时， 2(1)12(1)12121k k k k x y x y +-+-+++=+2122212122212212212212121222212121()()()()()k k k k k k k k k k k k x x y y x x x y x y y y x xyyy x x x y yy x y x------------=+=+-+=++-=+++-上式前后两部分都能被x y +整除，所以，当1n k =+时命题成立. 由（1）（2）知，2121n n x y --+能被x y +整除.5、凸n 边形有1(3)2n n -条对角线. 下面证明这个命题.（1）当3n =时，三角形没有对角线，即三角形有0条对角线，命题成立.（2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即凸k 边形有1(3)2k k -条对角线.当1n k =+时， 凸(1)k +边形的对角线条数为2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，凸n 边形有1(3)2n n -条对角线.6、这样的n 条直线把平面分成的区域数目为1(1)2n nf n =++. 下面证明这个命题.（1）当1n =时，平面被分为112+=个区域，111(11)22f =++=，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即有1(1)2k kf k =++.当1n k =+时， 第1k +条直线与前面k 条直线有k 个不同交点即，它被前面k 条直线截成1k +段，其中每一段都把它所在的原区域一分为二，也即使原区域数目增加1k +.于是11(1)1(1)(1)1(2)22k k k k f f k k k k ++=++=++++=++ 2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，对任意正整数n ，命题都成立. 习题4.2 （P53）1、（1）当3n =时，左边11(123)(1)1123=++++=，右边233111=+-=所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即211(12)(1)12k k k k++++++≥+- . 当1n k =+时，111(121)(1)21k k k k ++++++++++22222111111(12)(1)(12)(1)(1)2121111111111(1)(1)(1)2121211111111(1)(1)(1)21223413251221231(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++++++++++≥+-+++++++++++++++>+-+++++++++=+-+++>++=+++-所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对大于2的一切正整数成立. 2、（1）当17n ≥时，有42n n >.①当17n =时，17421310728352117=>=，命题成立. ②假设当(17)n k k =≥时，命题成立，即42k k > 当1n k =+时，14422221k kk k k k k k k k +=⋅>>+>++++=+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于17的正整数成立.（2）当3n ≥时，有1(1)n n n+<.①当3n =时，3164(1)3327+=<，命题成立. ②假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即1(1)k k k+<当1n k =+时，1111(1)(1)(1)111k k k k k ++=+++++ 11(1)(1)11(1)11k k k k k k <+++<++<+ 所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于3的正整数成立.3、（1）当2n =时，212122-<，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222111123k k k -+++<当1n k =+时，2222211111123(1)(1)k k k k k -++++<+++3232221(1)1(1)(1)1k k k k k k k k k k +-++-=<=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对任意大于1的正整数成立. 4、不妨设a b c <<，a b d =-，c b d =+.（1）当2n =时，2222222()()222a c b d b d b d b +=-++=+>，命题成立. （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即2k k k a c b +> 当1n k =+时，1111k k k k k k a c a ac ac c +++++=+-+1()()()2222()22()22k k k k k k kkkkkk k a a c c c a a a c d ca b d c b d b d cb d b d b b+=++-=++>+=-+>-+= 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.5、（1）当1n =时，212(11)22⨯+<<，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2(1)(1)22k k k k a ++<<. 当1n k =+时，2(1)(1)22k k k k a +++<+<21(1)(1)23(1)222k k k k k k a ++++++<<+ 21(1)(2)(2)22k k k k a ++++<<所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立.6、（1）当2n =时，12121212sin()sin cos cos sin sin sin αααααααα+=+<+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即1212sin()sin sin sin k k αααααα+++<+++当1n k =+时，121sin()k k αααα+++++121121121121sin()cos cos()sin sin()sin sin sin sin sin k k k k k k k k αααααααααααααααα++++=+++++++≤++++<++++所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.7、（1）当2n =时，2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222222212121122()()()k k k k a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当1n k =+时，22222222121121()()k k k k a a a a b b b b ++++++++++2222222222222222121212111211()()()()k k k k k k k k a a a b b b a a a b a b b b a b ++++=+++++++++++++++222112211122211221112112211()2()2()k k k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++≥+++++≥+++++=+++所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切不小于2的正整数成立即，222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ .8、（1）21212111()()n n a a a n a a a ++++++≥ （2）①当1n =时，21111a a ⋅=，命题成立. ②假设当(2n k k =≥时，命题成立，即21212111()()k ka a a k a a a ++++++≥ 当1n k =+时，1211211111()()k k k k a a a a a a a a ++++++++++12121121122221111111()()()()111(1)k k k k k ka a a a a a a a a a a a a a k k k ++=+++++++++++++++≥++≥++=+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切正整数成立。

课时作业A 组——基础对点练1．(2018·成都市模拟)已知f (x )＝|x －a |，a ∈R.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，不等式即为|x －1|＋|2x －5|≥6.当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6，∴x ≤0；当1＜x ＜52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，无解；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，∴x ≥4.综上所述：原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}．(2)∵||x －a |－|x －3||≤|x －a －(x －3)|＝|a －3|，∴f (x )－|x －3|＝|x －a |－|x －3|∈[－|a －3|，|a －3|]．∴函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]．∵[－1,2] ⊆A ，∴⎩⎨⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2.解得a ≤1或a ≥5.∴a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．2．(2018·长沙市模拟)已知函数f (x )＝14(x ＋1)2.(1)证明：f (x )＋|f (x )－2|≥2；(2)当x ≠－1时，求y ＝14f (x )＋[f (x )]2的最小值． 解析：(1)证明：∵f (x )＝14(x ＋1)2≥0，∴f (x )＋|f (x )－2|＝|f (x )|＋|2－f (x )|≥|f (x )＋[2－f (x )]|＝|2|＝2.(2)当x ≠－1时，f (x )＝14(x ＋1)2＞0，∴y ＝14f (x )＋[f (x )]2＝18f (x )＋18f (x )＋[f (x )]2≥3·318f (x )·18f (x )·[f (x )]2＝34， 当且仅当18f (x )＝18f (x )＝[f (x )]2时取等号，即x ＝－1±2时取等号． ∴y ＝14f (x )＋[f (x )]2的最小值为34. B 组——能力提升练1．(2018·温州摸拟)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，有－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则 h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 2．(1)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)，若不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤－2或x ≥3}，求a 的值；(2)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92m. 解析：(1)因为a ＞0，所以f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |＝⎩⎨⎧ －2x ＋a －1，x <－1，a ＋1，－1≤x <a ，2x －a ＋1，x ≥a .又不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤－2或x ≥3}，解得a ＝2.(2)证明：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )2m＝1＋b ＋c a ＋b ＋c ＋a a ＋b ＋1＋a ＋b b ＋c ＋c ＋a b ＋c ＋1＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c c ＋a 2m＝3＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b b ＋c ＋c ＋a b ＋c ＋b ＋c c ＋a ＋a ＋b c ＋a ＋c ＋a a ＋b 2m≥92m (当且仅当a ＝b ＝c ＝m 3时，取等号)． BSD。

选修4・5不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. 解不等式l<|x-l|<3.解：原不等式可化为1 <x —1<3或一3<x —1< —1, 解得不等式的解集为(一2, 0) U (2, 4). 2. 解不等式|x+l| + |x-2|<4.解：当x 〈一1吋，不等式化为一X —1+2 —x<4,3解得一~<x< —1；当一 1W X W2时，不等式化为x+l+2-x<4, 得一1 WxW2：当x>2时，不等式化为x + l+x-2<4, 解得2<x<^.3. 解不等式 |x 2—2x+4| >2x.解：原不等式等价于X 2—2x+4< —2x 或 X 2—2x+4>2x ②. 解①得解集为0，解②得解集为{x|xeR 且xH2}.・•・原不等式的解集为{x|xeR 且xH2}. 4. 解不等式 X 2— | x | —2<0.解：(解法 1)当 xMO 时，X 2-X -2<0, 解得一l 〈x<2,・・・0Wx 〈2； 当 x 〈0 时，X 2+X -2<0,解得一2<x<l, ・・・-2<x<0.・・・原不等式的解集为{x |-2<x<2}.(解法2)原不等式可化为| x 12— | x | —2<0, 解得一l<|x|〈2.V |x|N0,・・・ 0W|x|<2,・・・-2<x<2. ・・・原不等式的解集为{x|-2<x<2}.5. 已知满足不等式|2x+a| + |x —3| W4的x 的最大值为3,求实数a 的值.解：因为x 的最大值为3,所以xW3,即不等式为|2x + a|+3-xW4,所以|2x + a|Wx +1,NM —1,所以彳二^、xWl —a,因为x 的最大值为3,所以1—a=3,即a=—2.6. 已知函数f (x) = |x + l | + |x —2| — |a 2—2a|.若函数f (x)的图象恒在x 轴上方，求实 数a 的取值范围.解：f(x)的最小值为3-|a 2-2a|,由题设，得 I a 2—2a| <3,解得 aW ( —1, 3). 7. 已知函数 f(x) = |x|-|x-3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)21；(2) 若存在XoWR,使得关于X 的不等式IllWf(xo)成立，求实数的取值范围.xWO, f0<x<3,解：(1)原不等式等价于不等式组①： ,z 、［或②：丿| / 八或③:—x 十(x —3) Ml x+ (x —3) Ml①, 所以x+1 $0,—x —lW2x + aWx+l,原不等式的解集为、不等式组①无解；解不等式组②得2Wx<3；解不等式组③得xN3,所以原不 [x —x + 321.等式的解集为[2, +8).(2)由题意知 mWf (x)max,因为 f(x) = |x| —lx —3| w|x —x + 3| =3,所以 f (x)max =3, 所以 mW3,即 me( —8, 3].8. 已知函数 f(x) = |l-x|-|2+x|. (1) 求f(x)的最大值；(2) |2t-l|>f(x)恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1) f(x) = 11—x| — 12+x|W11—x+2+x| =3, 当且仅当xW —2时等号成立，.I f(x)聞x=3. (2)由 12t — 11 (x)恒成立得 2t — 1 Mf(x)«ax, 即 |2t —1|33, 2t —133 或 2t —1W —3, 解得t22或tW — l,・•・实数t 的取值范围是(一8, -1]U[2, +oo).9. 已知关于x 的不等式|ax —11 + | ax —a| >1 (a>0). (1) 当a=l 时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R,求实数a 的取值范围. 解：(1)当 a=l 时,得 2|x —11 >1,即 |x —1| 昜，3也,+8(2)ax — 1 | + |ax —a| > a—11,・・・原不等式解集为R 等价于|a-l|^l. ・•・a^2或aWO. •・• a>0,・•・ a$2.・•・实数“的取值范围是［2, +8). 10. 设函数 f (x) = |2x + l | — |x —2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集;(2) VxER, f(x)>t 2-yt,求实数t 的取值范围.kx + 3, x$2,当 x<—7；时，一x — 3>2, x< — 5,・°・ x< — 5； 当一时，3x-l>2, x>l,・・・ l<x<2；当 xM2 时,x + 3>2, x>-l,・・・ x22.综上所述，不等式f (x) >2的解集为{x|x>l 或x< —5}.5 .11(2) f(x)Bin =—若V x^R, f (X )^t 2——t 恒成立, 则只需f (X )min=—辱t'—孕"，解得gwtW5. 即t 的取值范围是5xN3, ・・・不等式的解集为(一8, | 解: (1) f(x)=<3x —1, —*Wx 〈2,11.设函数f (x) = |2x —11 — |x+l |.(1)求不等式f(x)W0的解集D；(2)若存在实数xU{x|0WxW2},使得换+QT二冶成立，求实数a的取值范围.解:⑴ 当xW — 1 吋，由f(x)=—x + 2W 0 得x$2,所以xeo；当-l<xwg时,由f (x) =—3xW0 得x20,所以OWxwg；当x>*时，由f(x)=x — 2W0 得xW2,所以*〈xW2.综上，不等式f(x)W0的解集D={x|0WxW2}・(2) y/3x +y/2 — x = A/3^/X +-^2 —x,由柯西不等式得(羽&+寸2 —x)M (3+1) [x+ (2 —x)]=8,yl^+y/2 — xW2y[^,当且仅当x=^时取“ =” ,a 的取值范围是(一8,第2课时不等式证明的基本方法1.已知xdl, yNl,求证:x2y+xy2+l^x2y2+x + y.证明：左边一右边=(y —y2)x2+ (y2—l)x —y+l = (1—y) [yx2— (1 +y)x+ 1] = (1 — y) (xy —1) (x—1),*.* xMl, y$l, 1—yWO, xy —IMO, x —120.从而左边一右边WO,・：x'y + xy'+l Wx'y' + x + y.2.(2017 •苏州期末)已知a,b,x,y 都是正数，且a+b=l,求证：(ax + by) (bx + ay) Nxy. 证明：因为a, b, x, y都是正数，所以(ax + by) (bx + ay) = ab (x2+y2) + xy (a2+b2)^ab • 2xy+xy (a2+b2) = (a+b)2x)\又a+b = l,所以(ax + by) (bx+ay) Mxy.当且仅当x = y时等号成立.3.已知x, y, zER,且x + 2y+ 3z + 8 = 0.求证：(x — l)2+ (y + 2)2+ (z — 3)2^14. 证明：因为[(x-1)2+ (y+2)2+ (z-3)2] (l2+22+32)2[(x—1) +2(y + 2) +3(z —3)r= (x+2y+3z-6)2=142,当且仅当即x = &0, y=—4时，収等号，所以(x-l)2+(y+2)2+(z-3)2^14.4.已知函数f (x) = |2x—11 + |x+l |,函数g(x) =f (x) + |x+l | 的值域为M.(1)求不等式f(x)W3的解集；3(2)若teM,求证：t2+l>-+3t.厂一3x, xW —1.—Y — 1 x X 1 ,(1)解：依题意，得f(x) =\ 92’于是得f(x)W3=>] 或〔一3xW33x,” 1—l<x<T,< 2或| 2 解得—iWxWl.即不等式f(x)W3的解集为{x|—lWxWl}・、2—xW3 、3xW3,(2)证明:g (x) =f (x) + | x +11 = 12x—11 + | 2x + 2 | M 12x—1 — 2x—2 | =3,当且仅当(2x — l) (2x + 2)W 0时，取等号，・・・M=[3, +->).2 c I3 t3—3t2 +1 —3 (t —3) (t2+1)原不等式等价于t2-3t + l--= ---------------- ------- = ------------- ---------- •TtGM, /• t — 320, t'+1 >0. .(t —3) (t~+1) . 2 3NO. • • t +lMf+3t.b? c 2 a?•-十+F+b + c.[ /1 I 1 \1111$3@碍）3訓=9（当且仅当a —az 时等号成立）,所以-+-+-邛・I ?37. 已知正数x, y, zW^x+2y +3z=l,求古+；的最小值.= 1+4+9+勺+主+尹+字+糾爭x x zy zy 3z 3z9 Q・・・£+-+-的最小值为36.x y ”8. 已知 x>0, y>0, z>0 且 xyz = l, 证明：*.* x>0, y>0, z>0, •I x 3 + y J + z 3>3xyz.同理 x 3+y 3+1^3xy, y'+z'+lN3yz, x 3+z 3+1^3xz. 将以上各式相加,得 3x" + 3y"+3z' + 323xyz + 3xy + 3yz + 3zx. *.* xyz = 1,・：x 3 + y 3+z 3^xy + yz +9. 己知a, b, c 均为正数，且a+2b+4c =3.求士y+尙+占的最小值，并指出取得最小值时a, b, c 的值.解：J a + 2b + 4c = 3,・・・(a+l)+2(b+l)+4(c+1) = 10.*.* a, b, c 为正数，・°・由柯西不等式得[(a+ 1) +2(b+l) +4(c + l)] • J +[ + [)+[ +(、+])$ (1+迈 + 2)1 当且仅当(a+l)2 = 2(b + l)2=4(c + l)2时，等式成立.・ 1 | 1 | 1 J1+M••a+1 十 b+1 十 c + L10 '2 (c +1)(c+1)+4 (c +1) = 10,8-5^2 . 15^/2-17 23-10^/2• •c= 7 ,b= 7 ,a= 7 •10. 已知 a+b+c = l, a, b, c>0.求证： (1) abc 专y ；1.2. ,3 [ J 4.十1 X y h 7-l2y 3zJ解: (x+2y+3z) 5- （2017 •苏、锡、常、镇二模）己知a, b, c 为正实数, 9c ： b+—>2c, b 证明：T a, b, c 为正实数a+—>2b, a k 2 c 2 a 2将上面三个式子相加得a+b+c+—+—+—>2a+2b+2c, a b c12 2 2求证：-•+~+~>a + b + c.a b c2 8 c+—52a, c 6.设內，a 2,加均为正数，且a. + a 2+a 3=l,求证：丄+丄+丄29.313233证明:因为az,负均为正数，且aZ+aE,所以右+£+右=（&+十3）住+右+右1,1,1 ai a 2 a :J313233x 2y + 2 \j x 3z 当且仅当x = y = z=£时等号成立,12z 18y 2y 3z =%， 求证：x"+y"+z"$xy + yz + zx ・ zx. 3Z 9x 卜2(2)a2+b24-c2yjabc.证明：⑴a+b+c23 •引abc,而a+b + c = InabcW右，当且仅当a=b = c=#时取等号.(2)由柯两不等式得a2+b2+c2^|(a+b + c)2=-^,由(1)知守赢W*,『+b，+ c空引abc,当且仅当a = b = c="时取等号.11.已知惭数f (x) =p3x+6, g(x) =yjlA_x.若存在实数x使f (x) +g(x) >a成立，求实数a的取值范围.解：存在实数X使f (x) +g(x) >a成立，等价于f (x) +g(x)的最大值大于a.•/ f(x) +g(x) =y/3x + 6 + 寸14_x=y/3Xy/x + 2+ 1 Xy/14~x f由柯西不等式得，(^3X^7+2+l X y/14-x)(3 +1)・(x + 2+14 —x) =64,f (x) +g(x) =#3x + 6+#14 — xW8,当且仅当x = 10 时取等号.故实数Q的取值范围是(一8, 8).。

1．若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1<n ＋1＋12＋13＋…＋1n .证明：右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n ＝n ·n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1<n ＋1＋12＋13＋…＋1n 成立．2．(1)求证：a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2m ＋n； (2)求函数y ＝2x ＋91－2x，x ∈(0，12)的最小值． 解析：(1)证明：因为m ，n >0，利用柯西不等式，得(m ＋n )(a 2m ＋b 2n )≥(a ＋b )2，所以a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2m ＋n. (2)由(1)，y ＝2x ＋91－2x ＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25， 所以函数y ＝2x ＋91－2x (x ∈ (0，12))的最小值为25，当且仅当x ＝15时取得． 3．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，(1)判定b ＋c －a ，a ＋b －c ，c ＋a －b 的符号；(2)求证：a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c≥a ＋b ＋c . 解析：(1)因为a ，b ，c 为三角形的三边，所以b ＋c －a >0，c ＋a －b >0，a ＋b －c >0.(2)证明：a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c＝1a ＋b ＋c (a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c)·[(b ＋c －a )＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )] ≥1a ＋b ＋c (a 2b ＋c －a ·b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ·c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c·a ＋b －c )2 ＝1a ＋b ＋c(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c . 4．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且1a ＋2b ＋3c ＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．解析：(1a ＋2b ＋3c )(a ＋2b ＋3c )＝[(1a )2＋( 2b )2＋( 3c )2][(a )2＋(2b )2＋(3c )2]≥( 1a ·a ＋2b ·2b ＋3c·3c )2＝36. 又1a ＋2b ＋3c ＝2，∴a ＋2b ＋3c ≥18， 当且仅当1a a ＝2b 2b ＝3c 3c ，即a ＝b ＝c ＝3时等号成立． ∴当a ＝b ＝c ＝3时，a ＋2b ＋3c 取得最小值18.5．已知函数f (x )＝m －|x －2|， m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解析：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)由(1)知1a＋12b＋13c＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(1a ＋12b＋13c)≥(a·1a＋2b·12b＋3c·13c)2＝9.6．某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．解析：设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m、b m、c m，由题意，可得abc＝500，长方体水箱的表面积为：S＝2bc＋2ac＋ab.由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥332bc·2ac·ab＝334×5002＝300.当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，S＝2bc＋2ca＋ab＝300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案，就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图，如图(1)，进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．SJ。

选修不等式选讲题组不等式的性质和绝对值不等式.[ 山东分][理]不等式<的解集是() .(∞) .(∞).() .().[重庆分][理]若函数()的最小值为,则实数..[重庆分][理]若不等式≥对任意实数恒成立,则实数的取值范围是..[全国卷Ⅰ分][理]已知函数()().()当时,求不等式()≥()的解集;()若不等式()≥()的解集包含[],求的取值范围..[全国卷Ⅰ分][理]已知函数().(Ⅰ)在图中画出()的图象;(Ⅱ)求不等式()>的解集.图.[ 新课标全国Ⅰ分][理]已知函数()>.(Ⅰ)当时,求不等式()>的解集;(Ⅱ)若()的图象与轴围成的三角形面积大于,求的取值范围..[新课标全国Ⅱ分][理]设函数()(>).(Ⅰ)证明()≥;(Ⅱ)若()<,求的取值范围.题组不等式的证明.[全国卷Ⅱ分][理]已知函数()为不等式()<的解集.(Ⅰ)求;(Ⅱ)证明:当∈时<..[ 新课标全国Ⅱ分][理]设均为正数,且,证明:(Ⅰ)若>,则>;(Ⅱ)>是<的充要条件..[新课标全国Ⅱ分][理]设均为正数,且.证明:(Ⅰ)≤;(Ⅱ)≥.组基础题.[广东七校联考]已知函数().()当时,求()≥的解集;()当∈[]时()≤恒成立,求的取值范围..[湖北省八校第一次联考] 已知().()求()在[]上的最大值及最小值.()∈,设,求的最小值..[广西桂林市、柳州市高三综合模拟]已知(),不等式()≤的解集是{≤≤}. ()求的值;()若<存在实数解,求实数的取值范围..[郑州市高三第三次质量预测]已知函数().()若∃∈,使得()≤成立,求的取值范围;()求不等式()≤的解集.。

第3讲柯西不等式与排序不等式)1．二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）22．柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．3．排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，则有：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．柯西不等式的证明若a，b，c，d都是实数，求证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc 时，等号成立．【证明】因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立．即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ，所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．如下：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．由|CA|＋|CB|≥|BA|与两点间的距离公式得（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.当且仅当点C位于线段BA上时取等号．设a 1，a 2，b 1，b 2为实数，求证：a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2. (a 21＋a 22＋b 21＋b 22)2＝a 21＋a 22＋2a 21＋a 22b 21＋b 22＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22＋2|a 1b 1＋a 2b 2|＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22－2(a 1b 1＋a 2b 2)＋b 21＋b 22 ＝(a 21－2a 1b 1＋b 21)＋(a 22－2a 2b 2＋b 22) ＝(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2，所以a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2.利用柯西不等式求最值已知正实数u ，v ，w 满足u 2＋v 2＋w 2＝8，求u 49＋v 416＋w 425的最小值．【解】 因为u 2＋v 2＋w 2＝8.所以82＝(u 2＋v 2＋w 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 23·3＋v 24·4＋w 25·52≤⎝ ⎛⎭⎪⎫u 49＋v 416＋w 425(9＋16＋25)，所以u 49＋v 416＋w 425≥6450＝3225.当且仅当u 23÷3＝v 24÷4＝w 25÷5，即u ＝65，v ＝85，w ＝2时取到“＝”，所以当u ＝65，v＝85，w ＝2时u 49＋v 416＋w 425的最小值为3225.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．1．设x ，y ，z ∈R ，2x －y －2z ＝6，试求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 考虑以下两组向量u ＝(2，－1，－2)，v ＝(x ，y ，z )，根据柯西不等式(u ·v )2≤|u |2·|v |2，得2≤(x 2＋y 2＋z 2)，即(2x －y －2z )2≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 将2x －y －2z ＝6代入其中， 得36≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 即x 2＋y 2＋z 2≥4， 故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.2．设x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值． 根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y ＋2z )2≤9×25， 所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.利用柯西不等式证明不等式设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003.【证明】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13(12＋12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋（a ＋b ＋c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥13×(1＋9)2＝1003， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，所以所求证的不等式成立．利用柯西不等式证明的关键是恰当构造变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．注意等号成立的条件．1．已知a ，b 为正数，求证1a ＋4b ≥9a ＋b .因为a >0，b >0，所以由柯西不等式，得(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·4b 2＝9，当且仅当a ＝12b 时取等号，所以1a ＋4b ≥9a ＋b . 2．设a ，b >0，且a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.利用排序不等式求最值设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．【证明】 不妨设a ≥b ≥c ， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b，由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.求最小(大)值时，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当的一个或两个乱序和，从而求出其最小(大)值．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值．令S ＝1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ），则S ＝（abc ）2a 3（b ＋c ）＋（abc ）2b 3（a ＋c ）＋（abc ）2c 3（a ＋b ）＝bc a （b ＋c ）·bc ＋ac b （a ＋c ）·ac ＋abc （a ＋b ）·ab .由已知可得：1a （b ＋c ）≥1b （a ＋c ）≥1c （a ＋b ），ab ≤ac ≤bc .所以S ≥bc a （b ＋c ）·ac ＋ac b （a ＋c ）·ab ＋abc （a ＋b ）·bc＝c a （b ＋c ）＋a b （a ＋c ）＋bc （a ＋b ）.又S ≥bc a （b ＋c ）·ab ＋ac b （a ＋c ）·bc ＋abc （a ＋b ）·ac＝b a （b ＋c ）＋c b （a ＋c ）＋ac （a ＋b ），两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥331abc＝3.所以S ≥32，即1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值为32.1．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c的最小值．因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝·⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a＋b ·2b＋c ·2c 2＝18.所以2a ＋2b ＋2c≥2.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 所以2a ＋2b ＋2c的最小值为2.2．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n (n ≥2，n ∈N *)的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n. 设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n－1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1， 则1c 1 >1c 2>…>1c n －1，且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n. 故原不等式成立．3．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·≥(x ＋y ＋z )2＝27. 又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183，所以x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32，当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．4．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值． 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2， 即(x ＋2y ＋3z )2≤14， 因此x ＋2y ＋3z ≤14. 因为x ＋2y ＋3z ＝14， 所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414， 于是x ＋y ＋z ＝3147.5．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值． 由柯西不等式得 (4＋4＋1)×≥2， 所以9≥(2a ＋2b ＋c －1)2. 因为2a ＋2b ＋c ＝8，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.6．已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.。