凸函数的性质及其应用.kdh

凸函数的性质与应用凸函数是一种特殊的函数，它的图像在任何一点处都是凸的，也就是说，它的图像在任何一点处都是向上凸的。

凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。

首先，凸函数的性质可以用来求解最优化问题。

最优化问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值。

凸函数的性质可以用来求解最优化问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最优化问题。

其次，凸函数的性质可以用来求解线性规划问题。

线性规划问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。

凸函数的性质可以用来求解线性规划问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解线性规划问题。

此外，凸函数的性质还可以用来求解最小二乘问题。

最小二乘问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。

凸函数的性质可以用来求解最小二乘问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最小二乘问题。

最后，凸函数的性质还可以用来求解机器学习问题。

机器学习是一种人工智能技术，它可以自动从数据中学习规律，并做出预测。

凸函数的性质可以用来求解机器学习问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解机器学习问题。

总之，凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。

凸函数的性质可以用来求解最优化问题、线性规划问题、最小二乘问题和机器学习问题，从而为科学研究和实际应用提供了重要的理论支持。

凸函数的性质与应用数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用,而且在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用.关于凸函数,虽然很多书籍都做了相应的介绍,但多是从不同的角度出发来进行不同的定义和应用.在高等数学中,利用导数讨论函数的性态时,经常遇到一类特殊函数—凸函数,由于凸函数具有一些特殊性质,利用这些性质可非常简单地证明一些初等不等式、函数不等式和积分不等式. 凸函数是一类重要的函数,在不等式的研究中尤为重要.本文通过凸函数的定义、性质的描述,主要研究其在不等式证明中的应用,举例说明解题思路与证明方法,并且证明了几个常见的重要不等式及高次函数的凸性猜想. 函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握函数在区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析.2. 凸函数的有关概念2.1凸函数的定义、定理及其几何意义定义 若函数()f x 对于区间(),a b 内的任意12,x x 以及()0,1,λ∈恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任意两点()()11,,x f x ()()22,x f x 间的割线总在曲线之上.定理1 若函数()f x 在区间(),a b 内连续,对于区间(),a b 内的任意12,x x 恒有12121[][()()]22x x f f x f x +≤+， 则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任意两点()()11,,x f x ()()22,x f x 间割线的中点总在曲线上.定理2 若函数()f x 在区间(),a b 内可微,且对于区间(),a b 内的任意x 及0x ,恒有00()()()f x f x f x x '≥+-，则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任一点处的切线,总在曲线之下. 注 若将定义1,2,3中的≤“”改为<“”则称()f x 为(),a b 上的严格凸函数. 2.2 凸函数定义与定理之间的等价性条件2.2.1 定义1与定理1的等价性证 定义1⇒定理1:显然,只要取12λ=即可由定义1推得定理1.定理1⇒定义1:我们首先推证()f x 对于任意的12,x x (),a b ∈及有理数()0,1λ∈,不等式1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，成立.事实上,对于此有理数λ,总可表示为有穷二进位小数,即121121122220.2n n n nn na a a a a a a ---++= ， 其中0,1(1,2,,1);1i n a i n a ==-= 或由于1λ-也是有理数,故也可以表示为有穷的二进位小数,即1λ-=121121122220.2n n n nn nb b b b b b b ---++= ， 其中()1,1,2,,1;i i b a i n =-=- 1,n b =这是因为()11λλ+-=的缘故, 因此111212[]()()i i f a x b x a f x b f x +≤+(1,2,,1)i n =- ，所以12[(1)]f x x λλ+-12112112112112222222[]22n n n n n n n nn na a a ab b b b f x x ------++++=+ 21212121111212112222()(22[]2n n n n n nn n a a a b b b a x b x x x f ------+++++= 2121212111121211222211[()]()2222n n n nn n n n a a a b b b f a x b x f x x ------++≤+++ 2121212111121211222211[()()]()2222n n n n n n n n a a a b b b a f x b f x f x x ------++≤+++ 121112212221111[()()][()()]()2222n n n a x b x a f x b f x a f x b f x f -+≤++++ 11122122122111[()()][()()][()()]222n n n a f x b f x a f x b f x a f x b f x ≤+++++12112112112112222222()()22n n n n n n n n n na a a ab b b b f x f x ------++++=+ 12()(1)().f x f x λλ=+-下面再推证()f x 对λ为无理数时定义1也成立.事实上,对任意无里数()0,1,λ∈{}(0,1),n λ⊂存在有理数列12(),(1)n n n n x x λλλλ→→∞+-→所以，12(1)()x x n λλ+-→∞,由于()f x 在(),a b 内连续,所以1212121212[(1)][lim (1)]lim [(1)]lim[()(1)()]()(1)()n n x n n n n x x f x x f x x f x x f x f x f x f x λλλλλλλλλλ→∞→∞→∞+-=+-=+-≤+-=+-综上即知,定义1与定理1等价.2.2.2 定义1与定理2的等价条件证 定义1⇒定理2:对(),a b 内任意的0x 及x ,若0,x x <则取0h >,使00,x x h x <+<由推论1得0000()()()()].f x h f x f x f x h x x +-+≤-上式中令0,h →由于()f x 可微,所以有0()f x '00()(),f x f x x x +≤-即00()()()f x f x f x x '≥+-.若0,x x <则取0h >,使00,,x x x x h x <<+<同理可证.2.2.3 定理2与定义1的等价条件对于区间(),a b 内的任意12,x x (不妨设12x x <)以及()0,1,λ∈令()121x x x λλ=+-,则12,x x x << ()()1121,x x x x λ-=-- 2x x -= ()()211,x x λ--由泰勒(Taylor)公式,我们有111222()()()()()()()()f x f x f x x f x f x f x x θθ''=+-=+-及其中1122x x x θθ<<<<,于是12()(1)()f x f x λλ+-12[(1)]f x x λλ=+-+2121(1)()[()()]x x f f λλθθ''---.再由单调性知21()()f f θθ''≥,所以12()(1)()f x f x λλ+-≥ 12[(1)]f x x λλ+-,即12[(1)]f x x λλ+-≤12()(1)()f x f x λλ+-.所以在一定条件下，定义1与定理3等价.3. 凸函数的有关结论 3.1 凸函数的运算性质性质1 若()f x 为区间I 上的凸函数, k 为非负实数,则()kf x 也为区间I 上的凸函数.性质2 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,则()f x + ()g x 也为区间I 上的凸函数.推论 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,12,k k 为非负实数,则()()12f x k g x +k 也为区间I 上的凸函数.性质3 若()f x 为区间I 上的凸函数,()g x 为J 上的凸增函数,且()f I J ⊂,则g f ⋅为区间I 上的凸函数.性质4 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,则()F x =()(){}max ,f x g x 也是区间I 上的凸函数.上述性质很容易证明，故在此省略.3.2 凸函数的其他性质引理 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点12x x x <<，总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x +-≤--. ()1证 [必要性]记3231,x x x x λ-=-则213(1).x x x λλ=+- 由f 的凸性知道()21313[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-=3221133131()()x x x xf x f x x x x x --+--.从而有()()312321213()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-,即()()()322212321213()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-.整理后即得()1式.[充分性]在I 上任取两点1313,,(),x x x x <在[13,x x ]上任取一点213(1)x x x λλ=+- ()0,1,λ∈即3231.x x x x λ-=-由必要性的推导逆过程，即可证明 1313[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.故f 为I 上的凸函数.同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点12,x x x <<总有313221213132()()()()()()]]f x f x f x f x f x f x x x x x x x -+-≤≤---.性质1 设f 为区间I 上的严格凸函数,若有0x 是()f x 的极小值点,则0x 是()f x 在I 上唯一的极小值点.证明 若()f x 有异于0x 的另一极小值点1x I ∈ ,不妨设()()10f x f x ≤ 由于()f x 是在I 上的严格凸函数, 故对于任意的()0,1λ∈,都有()01010[(1)]()(1)()f x x f x f x f x λλλλ+-<+-≤.于是,任意的0δ>,1,只要充分接近时总有()0010(1),x x x U x λλδ=+-∈.但是,()0()f x f x ≤,这与1x 是()f x 的极小值点的条件矛盾,从而0x 是()f x 在I 上唯一的极小值点.性质2 设()f x 为(),a b 内的凸函数,有()f x 在I 的任一内闭区间()(),,a b αβ<上满足Lipschitz 条件.证明 要证明()f x 在(),αβ上满足Lipschitz 条件,即要证明:0,L ∃>使得()12,,x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤-. ()2()()()(),,,,,,a b h h a b αβαβ⊂-+⊂因为，故可取充分小使得因此，()12,,x x αβ∀∈，12,x x <32x x h =+取，根据定义有32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h+--≤≤--,(其中,M m 分别表示()f x 在(),h h αβ-+的上、下界)从而2121()()M mf x f x x x h--≤-, ()3 若1232,,x x x x h >=-可取由定义有32211223()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--,从而32211223()()()()f x f x f x f x M m x x x x h---≤≤--.由此也可推出()3式.若12x x =，则()2显然成立.这就证明了()3式显然对于一切()12,,x x αβ∈都成立，因此()3式当12,x x 互换位置也应成立，故有2121()()M mf x f x x x h--≤-. 令M mL h-=,则原命题成立.性质3 设()f x 是(),a b 上的凸函数,则()f x 在(),a b 上处处存在左、右导数,且左导数小于、等于右导数.证明 ()()()00,,,x a b U x a b δ∀∈∃⊂.记()()00()(),,f x f x F x x a b x x +=∈-，()121200,x x x x x x δ<∈-任意且，，，有引理得()()1020121020()()()()f x f x f x f x F x F x x x x x ++=≤=--.()F x 在()00x x δ-，上单调递增;再在0x 右方任取一定点()00,x x λλδ∈+，，由引理得: ()()()12F F F x x λ≤≤所以()F x 在()00x x δ-，上单调递增且有上界, 故由单调有界原理: 极限()0lim x x F x -→存在，即0()f x +'存在; 任意102x x x <<由定义3有()()1020121020()()()()f x f x f x f x F x F x x x x x ++=≤=--.令1020,x x x x -+→→,则()f x 在0x 的左导数小于等于()f x 在0x 的右导数.性质4 设()f x 为(),a b 内可导凸函数,证明()0,x a b ∈ 为()f x 的极小值的充要条件是0()0f x '=.证明 [必要性]已知函数()f x 在0x 可导,且取得极小值,则0()0f x '=(极值的必要条件).[充分性] (),x a b ∀∈，0,x x ≠有00()()().f x f x x x ≥+-因为0()0f x '=，故(),,x a b ∀∈都有0()(),f x f x ≥所以0x 为()f x 的极小值点.定理1 设f 为区间I 上的可导函数，则下列论断互相等价；1) f 为I 上的凸函数, 2) f '为I 上的增函数, 3) 对I 上的任意两点12,,x x 有()21121()()()f x f x f x x x '≥+-. ()*证明 1)2)→ 任取I 上的两点1212,x x x x <（）及充分小的正数,h 由于1122,x h x x x h -<<<+根据的凸性及引理有11212212()()()()()()f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-.有f 是可导函数，令0h +→时可得211212()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-.所以f '为I 上的递增函数.2)3)→ 在以1212,()x x x x <为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和f '递增条件，有()()2121121()()()()f x f x f x x f x x x ξ''-=-≥-,移项后即得()*式成立，且当12x x >仍可得到相同结论3)1)→ 设以12,x x 为I 上的任意两点，312(1)x x x λλ=+-，由3)并利用131223211)()x x x x x x x x λλ-=---=-与（）,()()133133312()()()()(1)()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+--,()233233321()()()()()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+-（）,分别用λ和1λ-乘上列两式并相加，便得()()12312(1)()()(1)f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-,从而为I 上的凸函数.推论1 设()f x 为区间I 上的二阶可导函数,则()f x 为凸函数.()0,f x x I ''⇔≥∈.推论2 设()f x 为区间I 上的可微凸函数,则有0x I ∈是()f x 的极小值点.()00.f x ''⇔=定理2 设()f x 在(),a b 上连续,则()f x 是(),a b 上的凸函数的充要条件是:对任意含于(),a b 的闭区间[],,x h x h -+都有1()()2hhf x f x t dt h -≤+⎰. 证明 必要性：()()()()1,2t h f x f x t f x t ∀≤≤-++，故 ()()()()12[]2hhhhhf x f x t f x t f x t dt --≤-++≤+⎰⎰.充分性:假定存在12,x x <使()()1212122x x f f x f x +⎛⎫>+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 作辅助函数()()()()11,x f x k x x f x ϕ=---其中2121()()f x f x k x x +=-则120,2x x ϕ+⎛⎫> ⎪⎝⎭因此[]()()[][]12012,max 0,0,,,,x x x x h x h x h x x ϕϕ=>=-+⊂取()()000t h x x t ϕϕ≤-+≥当时，且不恒为0，因此()()002hhh x xt dt ϕϕ->+⎰.再由()x ϕ的定义推出: ()002()hhf x t hf x dt -+>⎰这与条件矛盾, 故定理2得证.定理3 若()f x 为(),a b 内的凸函数,(),,i x a b ∈ 1,2,,,i n = 则()111.ni ni i i x f f x n n ==⎛⎫⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 证明 对12,2n x ==不等式是显然的,设对1n -不等式成立. 因为1212111,1n n n x x x x x x n x n n n n-++++++-=⋅+-这里()()1211,,,,,1n n x x x n a b x a b n n λ-+++-=∈∈- 由题得()()111111.1nn i i n i i n i i x x n f f f x f x n n n nn ===⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪≤+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 4.凸函数的一些应用4.1应用凸函数性质证明不等式在初等数学及数学分析的课程中,对于不等式的证明是一个重要内容.有时利用凸 函数的理论,证明一些不等式,将会更加简单.下面用例题加以说明.例1 求证:对任意实数,,a b 有()21.2a ba bee e +≤+ 证明 设()()(),0,,x f x e f x x ''=≥∈-∞+∞则故()xf x e =(),-∞+∞为上的凸函数.从而对121,,2x a x b λ===有定义 12121[][()()]22x x f f x f x +≤+. 即得()212a ba bee e +≤+. 注：该题构造函数，运用凸函数的定义很容易就导出.例2 设01,01,x a <<<<则有()()1111.aax x x -+-<-证明 设()()()()11101aaf x x x x -=+-<<.那么()()()()()()111111,aaaa f x a x x x ax ---'=-+-++-()()()()()()1111111aaa a f x a a x x a a x x ----''=--+---+()()()()1121111aaa a a a x x a a x x ------+--+()()()()()()12112111111aa a a a a a x x x x x x x x -----⎡⎤=--+-++++-+⎣⎦()()()()()()1212111111.a a aa a a x x a a x x ------=--+-=-+-于是 ,当01,01x a <<<<时,()0,f x ''>由严格凸函数的定义,其中12,1,0,x x x λ===得()()()()()110110,f x f x x x f x f =⋅+-⋅<⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦即()()1111.aax x x -+-<-注：该题运用了定理1及推论1的结论.例3 在ABC 中，证明sin sin sin 2A B C ++()()()()sin ,0,,sin 0,0,f x x x f x x x ππ''=-∈=>∈证明 令由应用2得()()()33f A f B f C A B C F ++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,即sin sin sin sin3A B CA B C ++++≤s i n ,3π≤=所以sinA+sinB+sinC 2注：该题运用了定理3的结论.例4设12n a a a 、、均为正数，且121n a a a +++= .求证： ()2222212121111.n n n a a a a a a n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证 因为()2,f x x =()()()22,20,f x x f x f x x ''==>=由于得是凸函数，有凸函数的性质，有22212122121221211111111111.n n n n n a a a a a a a a a a a a n n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++++++ ⎪⎪≥⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()4由柯西不等式：222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑得1212111111()1n n a a a a a a ⎛⎫+++=+++⋅ ⎪⎝⎭()12122111(),n n a a a a a a n =++++++≥212111()nn a a a ∴+++≥ ，由()4即得 ()2222212121111n n n a a a a a a n+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .4.2关于凸函数的某些猜想猜想1 三次函数不是(),-∞+∞上的凸函数. 证 设()3232103,0.x x a x a x a a f a +++≠= 显然，()f x 在(),-∞+∞上可导，且()232123x x a x a f a ++'=,因为30,a ≠故()f x '在(),-∞+∞上不单调，所以不是凸函数.猜想2 试给出四次的函数在定义域上是凸函数的一个充分条件. 设()432432104,0,x x x a x a x a a f a a ++++≠=因为四次的在定义域上二次同样可导，且()324321432x x x a x a f a a +++'=, ()24321262x x x a f a a ++''=.根据3..1的推论1可知,下式()423420.64120a a a a >⎧⎪⎨-⋅⋅≤⎪⎩ 则该四次函数在(),-∞+∞是凸函数. 化简得① 423420.380a a a a >⎧⎨-⋅≤⎩ ② 423420.380a a a a <⎧⎨-⋅≤⎩ 则该四次函数在(),-∞+∞不是凸函数.③ 423420.380a a a a >⎧⎨-⋅>⎩设()24321262x x x a f a a ++''=与x 轴的两交点分别是()1212,,x x x x <则()x f 在()()12,,,x x -∞+∞内分别为凸函数，在()12,x x 内不是凸函数.④ 423420.380a a a a <⎧⎨-⋅>⎩ 同理设()x f ''与x 轴的两交点分别是()1212,,x x x x <则()x f 在()12,x x 内为凸函数，其他区间不是凸函数.猜想3 5次函数在实数范围内是否有为凸函数的？设5次函数的表达式为()54325432105,0,x x x x a x a x a a f a a a +++++≠= 显然该是在实数范围内二次可导.()432543215432,x x x x a x a f a a a ++++'= ()325432201262.x x x x a f a a a +++''=现在需要找出二次导数在实数范围内是否恒大于等于0. 我们设()()325432201262,x f x x x x a g a a a ''=+++=()2154360246.x x x g a a a =++'下面分情况讨论：()524530,2446060a a a a >⎧⎪⎨-⋅⋅≤⎪⎩ 即()0x g ≥'在R 上恒成立.则()x g 在R 上单调递增，此时5a 为某一定值，但是总,x R ∃∈使得()0,x g <即x R ∃∈使()0f x ''<成立.同四次的理一样，其他3种情况更不可能为凸函数. 所以五次函数在R 上不是凸函数.以此类推，高次函数()11100,,n n n n n f x a x a x a x a a --=+++≠5n 时，该函数在实数范围内不是凸函数.5.小结本文通过凸函数的定义、性质的描述,主要研究其在不等式证明中的应用,举例说明解题思路与证明方法,并且证明了几个常见的重要不等式及高次函数的凸性猜想.函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握函数在区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析.致谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，在这里首先要感谢我的指导老师柴国庆教授.柴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从初次选题到查阅资料，论文初稿的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导，还不惜把自己的研究成果让我参考、借鉴，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩柴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！参考文献[1]数学分析上第三版.华东师范大学数学系编.北京.高等教育出版社，2001,148-154.[2]李惜雯.数学分析例题解析及难点注释（上册）.西安.西安交通大学出版社，2004.1,265-269.[3]林源渠方企勤.数学分析解题指南.北京.北京大学大学出版社，2003.11.84-87.[4]大学数学名师导学丛书.北京.中国水利水电出版社，2004208-212..[5]花树忠.邯郸市职工大学基础教学部.邯郸，056001.[6]李世杰.衢州市教育局.浙江.衢州，324002.[7]宋小军.西华师范大学数学与信息学院.四川文理学院学报.2010年5期.[8]陈迪红.长沙铁道学院学报.第12卷.第3期.1994年9月.[9]曹良干.阜阳师范学院学报.总22期.[10]陈太道.琼州大学.数学系.临沂师范学院学报第24卷，第3期.[11]李宗铎.湖南教育学院学报长沙大学.第18卷第2期.。

凸函数的判定与应用凸函数是数学中一种常见的函数类型。

它在优化问题、经济学、工程和自然科学等领域中得到广泛应用。

本文将介绍凸函数的判定准则，以及凸函数在各个领域中的应用。

一、凸函数的定义与性质在数学中，凸函数可以通过其定义和性质来进行判定。

定义：设函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。

如果对于任意x1、x2∈[a, b]，以及任意0≤t≤1，都满足f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为[a, b]上的凸函数。

性质：凸函数具有以下性质：1. 对于凸函数f(x)，若f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)是凸函数。

2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数且在(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)是递增函数。

二、凸函数与判定方法凸函数的判定方法包括一阶导数、二阶导数和Jensen不等式等。

1. 一阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且对于任意x1、x2∈(a,b)，有f'(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。

2. 二阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上两次可导，且对于任意x∈(a,b)，有f''(x)≥0，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。

3. Jensen不等式对于凸函数f(x)，若λ1、λ2、...、λn为非负实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，以及x1、x2、...、xn为任意n个区间[a,b]上的数，则有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)三、凸函数的应用领域凸函数广泛应用于各个领域，包括优化问题、经济学、工程和自然科学。

1. 优化问题在优化问题中，凸函数常被用来描述目标函数或约束条件。

由于凸函数具有良好的性质，如弱凹性和全局极小值，因此可以通过凸优化算法来求解各种优化问题。

文献综述数学与应用数学凸函数的性质与应用凸函数是数学分析中一类非常重要的函数,它不仅在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支(如全局优化，运筹学等)中具有重要的应用,在具体的数学学科学习中也有重要的应用.我们在华东师范大学数学系编的数学分析书上册的第六章第五节学习了凸函数的有关定义和性质.在该书中对凸函数的定义叙述为:定义1[1] 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上的任意两点1x ,2x 和任意实数λ∈（0,1）总有: 1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称f 为I 上的凸函数.几何形状如下图所示:根据凸函数的定义和相关引理,我们可以得出关于二阶可导凸函数的一个重要的充要条件：定理2[1]设f 为区间I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸函数的充要条件是: 0)(''≥x f ,I x ∈.从凸函数的定义,图像,充要条件上,我们可以看到凸函数有其本身的特殊性和直观性,而这些性质对于证明某些较复杂的不等式,解答高中里的数学题目均有很大的帮助.国内外现状与研究方向：由于凸函数在数学上的广泛应用,国内外越来越多的学者专注于对凸函数各个方面的研究.首先,在凸函数的众多研究课题当中,对其基本定义和性质的研究最为广泛和普遍.研究的主要内容包括凸函数及对其概念的理解,等价定义,判别法,它的线形性[华东师范大学.数学分析上册(第三版)就对凸函数的概念和定义作了详细的说明].除了对凸函数原有性质的研究之外,对其新性质的研究也使研究者们趋之若鹜.目前越来越多的学者专注于凸函数的若干新性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,寻找求解线性与非线性不等式组的新方法.其次,在对凸函数的定义和性质有了充分研究的前提下,研究者们更加关注对凸函数的应用的研究.例如研究其与不等式证明有关的下凸函数的性质[邱忠文,刘瑞金.函数的凹凸性及不等式的证明;王新奇.利用函数的凹凸性证明一类三角不等式];利用Jenven不等式证明当 n 取任意自然数时该性质的推广;在不等式中的应用[于靖.利用曲线的凹凸性证明柯西不等式];凸函数与极值,导数的一些关系[裴礼文.数学分析中的典型问题与方法;孙本旺,汪浩.数学分析中的典型例题和方法];判断函数极值点与拐点等应用.凸函数在高中数学中的研究也是一大亮点:由于凸函数是一类象形函数,在高中课程中虽然没有明确引入它的定义和概念,但因其性质具有明显的直观性,可以考查学生的观察能力和知识迁移能力,又可考查函数的各种性质,还能使平淡的题目增色,所以近年来已受高考命题人的青睐.初等函数基本都是凸函数,研究凸函数性质的纵向和横向的发散应用[方良秋.高考题中凸函数的题型及应用].最后,随着凸函数的凸性在数学,物理学,经济学,管理学,最优化理论等领域的广泛应用,对凸函数的凸性的进一步研究已成为众多学者密切关注的一个焦点,而由凸集和凸函数拓展延伸而产生的各类凸集和凸函数的不断出现,不仅极大地丰富了凸分析理论,而且有力地推动了数学科学的发展,特别是对数学规划,控制论,最优化等领域的发展起到巨大的作用,也引起了众多学者的密切关注和极大兴趣[钟伟,周彬林.凸函数的几种不同定义及应用].进展情况：一开始时,凸函数的重要作用被认为是在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支(如全局优化,运筹学等)中的应用.但随着对凸函数横向和纵向研究的逐渐深入,研究者们越来越意识到凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用.例如由重庆师范大学罗超群学者所写的《凸函数在分析中的初探》就详细得探讨了凸函数的线形性和凸函数与极值,倒数的一些关系;由中国科学院计算数学与科学工程计算研究所时贞军学者和曲阜师范大学运筹与管理学院岳丽学者所写的《凸函数的若干新性质及应用》则详细讨论凸函数的性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,为线性与非线性不等式组,线性规划的求解提供了一种新方法;由井冈山职业技术学院的晏忠红学者所写的《凸函数的应用》则对用凸函数方法和凸函数詹生不等式推证几种重要的不等式作出了讨论;由湖南省汨罗市第二中学的刘正良和宋加文老师则在《凸函数理论及应用策略》中描述了凸函数在初高中数学学科中的具体应用.总之,学者们对凸函数各方面的研究是趋之若鹜,使得凸函数在各方面的应用也越来越深入.存在问题：现阶段关于凸函数主要存在三个方面的问题:（1）在一元微积分的教学里,函数的凹凸性的的概念却往往被忽视.在一些工科类的微积分教材中,对于函数的凹凸性的判断甚至就简单地通过比较函数图像和其切线(或割线)的上下位置关系来描述.（2）对二元凸函数的性质研究较少.(3)对于凸函数的定义和基本性质的介绍比较分散,跨度大.参考文献：[1] 华东师范大学. 数学分析上册（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006：119-125.[2] 雷澜.凸函数的性质与不等式证明[N].渝州大学学报,2000,17(4):19-21.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 186-191.[4] 卢兴江,金蒙伟. 高等数学竞赛教程[M]. 杭州: 浙江大学出版社, 2010: 20-46.[5] 顾荣. 函数凹凸性定义的探讨[J]. 佳木斯教育学院学报，2010, 102(6): 299.[6] 王庆东,侯海军. R n 中函数凹凸性判定的充要条件[J]. 河北理科教学研究， 2003, 3: 50.[7] 张国坤. 多元函数的凹凸性再探[J], 曲靖师专学报. 1995, 14(6): 29-31.[8] 陈朝晖. 二元函数凹凸性的判别法及最值探讨[J]. 高师理科学刊, 2010, 30(5): 25-28.[9] 白景华. 凸函数的性质、等价定义及应用[J]. 开封大学学报, 2003, 17(2), 69-64.[10] 赵文彼, 栗洪敏. 利用函数的凹凸性推导出一批积分不等式[J]. 工科数学, 1994, 10(4):227-229.[11] 王新奇. 利用函数的凹凸性证明一类三角不等式[J]. 西安文理学院学报(自然科学版), 2005,8(3): 37-40.[12] 于靖. 利用曲线的凹凸性证明柯西不等式[J]. 辽宁师专学报, 2003, 5(2): 2-3.[13] 沈文国. 用泰勒公式研究函数凹凸性的一种拓广[J]. 兰州工业高等专科学校学报, 2001,8(4): 4-8.[14] 普丰山, 李兆强. 连续函数的单调性及凸凹性研究[J]. 河南科学, 2009, 27(8): 896-899.[15] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992：203-205.[16] 时贞军. 无约束优化的超记忆梯度算法[J]. 工程数学学报, 2000, 17(2): 99-104.[17] 孙本旺, 汪浩. 数学分析中的典型例题和方法[M]. 长沙: 湖南科学技术出版社, 1983：246-264.[18] 方良秋.高考题中的凸函数题型及其应用[J].数学教学通讯报,2007,271:38-4.[19] 李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[N].广西师范学院学报,2004,21(2):93-95.[20] 邱忠文, 刘瑞金. 函数的凹凸性及不等式的证明[J]. 工科数学, 1993, 19(3): 151-154.[21] 陈太道.凸函数判定及其应用[N].临沂师范学院学报,2002,24(3):91-92.[22] 古小敏.对凸函数定义之间等价性的进一步研究[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2009,26(2):172-182.。

摘要本文首先给出了凸函数的几种定义,然后给出了凸函数的几个重要性质,最后举例说明了凸函数在微积分和不等式证明中的应用.关键词: 凸函数的积分性质;凸函数的不等式AbstractIn this paper,firstly we list several kinds of definition for convex functions, then we give several important properties about convex functions, finally we discuss the applications of convex function in differential calculus and the proof of inequality.Keywords: integral properties of convex functions ; inequality of convex functions目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)0引言 (1)1 凸函数的概念 (1)2 凸函数的判定 (2)3 凸函数的性质 (4)4凸函数的应用 (10)4.1 凸函数在数学分析中的应用 (10)4.2 利用凸函数的性质证明不等式 (13)5小结 (15)参考文献 (16)0 引言凸函数是一类非常重要的函数,其概念最早出现在Jensen [1905]编写的文献中.自20世纪初建立凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在数学等其他领域获得广泛应用.诸如模具设计、运筹与控制理论等方面具有重要的理论和实践意义.同时它在基础数学和应用数学的众多领域中被广泛应用,现已成为数学规划、对策论、数理经济等学科的理论基础和有力工具.文献[]9,作者给出了凸函数的8种定义，其次,凸函数也是一种性质特殊的函数[1][16],截止目前,对凸函数的研究已经从定义的研究[9-12]到凸性的研究[16],再到凸性应用方面的研究.对函数凸凹性的研究,在数学中的多个分支都有用处,于是研究凸函数的一些性质就显得十分必要了.1 凸函数的概念函数2()f x x =图象的特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的线段下方. 一般地，设函数()f x 在区间[],a b 上有定义,若曲线()y f x =上任意两点间的弧段总位于两点连线段的下方,则称函数()f x 是凸函数.图行表示如下(见图1),即可知213l l l k k k <<图1以上定义仅对凸函数作了直观描述,下面我们给出精确定义.定义1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当12,,(0,1)x x I λ∀∈∀∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“≤”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当12,,x x I ∀∈有1212()().22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......().n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤⎪⎝⎭定义4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线下方,则()f x 凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则曲线()f x 是严格凸的.注1：定义2与定义3等价.注2：若()f x 连续,则定义1,2,3都是等价的.2 凸函数的判定下面介绍凸函数的判定定理.定理1 函数()f x 是区间(),m n 上的凸函数的充要条件为对于(),m n 上的任意三点1x ,2x ,3x 123()x x x <<,总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --≤--. 定理2 设()f x 在区间I 上可导,则下述论断互相等价:1）()f x 是区间I 上的凸函数; 2）()f x '是区间I 上的增函数;3）对区间I 上的任意两点1x ,2x 有()21121()()()f x f x f x x x '≥+-.证明：1)2)⇒在区间I 上任取两点1x ,2x ()12x x ＜,对充分小的正数h ,由于1122x h x x x h -+＜＜＜,所以由定理1得()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h ---+-≤≤-,因()f x 是区间I 上的可导函数,令0h +→可得()()211221()()f x f x f x f x x x -''≤≤-,所以()f x '是区间I 上的增函数.2)3)⇒在以1x ,2x ()12x x ＜为端点的区间上,由Langrange 中值定理和()f x '是区间I 上的增函数得()()()2121121()()()f x f x f x x f x x x ξ''-=-≥-,移项后得()21121()()()f x f x f x x x '≥+-,且当12x x ＞时仍可得到相应的结论.3)1)⇒任取区间I 上的任意两点1x ,2x ()12x x ＜,()3121x x x λλ=+-,其中 01＜＜λ,由3）并利用()()13121x x x x λ-=--与()2321x x x x λ-=-得()()()()()()()133133312()1f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+--()()()()()()233233321()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+-分别用λ和1λ-乘以上述两式并相加,便得()()()()()12312()11f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-则()f x 是区间I 上的凸函数.定理3 设()f x 是区间I 上的二阶可导函数,则在区间I 上()f x 是凸函数的充要条件为()0f x ''≥,x I ∈.3 凸函数的性质下面我们将看到凸函数的一些性质 性质1 若()f x 是区间I 上的凸函数,则 a.若0β≥,则()y f x β=在I 上为凸函数； b.若0β<,则称()y f x β=在I 上为凹函数.性质2 若()f x ,()g x 是区间I 上的凸函数,则(){}max (),()M x f x g x =在I 上为凸函数.证明：因()f x ,()g x 为I 上的凸函数,则在I 上任意两点1x ,2x 和正数(0,1)λ∈,总有121212((1))()(1)()()(1)()f x x f x f x M x M x λλλλλλ+-≤+-≤+- 121212((1))()(1)()()(1)()g x x g x g x M x M x λλλλλλ+-≤+-≤+-,{}121212((1))max ((1)),((1))M x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-12()(1)()M x M x λλ≤+-.因此,(){}max (),()M x f x g x =为I 凸函数.推论1 若()i f x 1,2,,i n （）=为凸函数,则()()()(){}12max ,,,n F x f x f x f x =为凸函数.性质3 若()f x ,()g x 为区间I 上的凸函数,则()()()F x f x g x =+为凸函数.推论2 若()i f x 是I 上的凸函数,则()()1ni i F x f x ==∑ (1,2,,i n =)为I 上的凸函数.性质4设()f x ,()g x 都为区间I 上非负单调递增(递减)的凸函数,则()()()F x f x g x =在区间I 上是凸函数.证明 因()f x ,()g x 都是I 上的非负单调递增(递减)的凸函数,则对I 上任意两点1x ,2x 有[][]2121()()()()0f x f x g x g x --≥,12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+,又因为()f x ,()g x 是非负的凸函数,即对I 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-, 1212((1))()(1)()g x x g x g x λλλλ+-≤+-.所以121212((1))((1))((1))F x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-[][][][]12122222112211222112221111221()(1)()()(1)()=()()(1)()()()()(1)()()()()(1)()()()()(1)()()=+()()(1)(1)()()()f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x F x （1-）λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤+-+-+-++-≤+-++-+-+-=2(1)()F x λ+-即证.注：非负不能少.性质5 a.若()f x 是奇函数,且当0x ≥时,()f x 是凸函数(凹函数),那么当0x ≤时,()f x 是凹函数(凸函数).b.若()f x 是偶函数,且当0x ≥时,()f x 是凸函数(凹函数),那么当0x ≤时,()f x 是凸函数(凹函数).性质6 若()y f x =是(),m n 上的连续递增的凸函数,则()1x f y -=是递增的凹函数.证明 因()f x 是(),m n 上的凸函数,所以对(),m n 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.又()y f x =在(),m n 上连续单调递增,故反函数单调性不变,则有11121212(()(1)())(((1))(1)f f x f x f f x x x x λλλλλλ--+-≥+-=+-,所以()1x f y -=是递增的凹函数.性质7 若()f x 为区间H 上的凸函数,11:g R R →为单调增加的凸函数,则()()g f x 亦为凸函数.证明 因()f x 为凸函数,即对H 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.又11:g R R →为单调增加的凸函数,所以121212(((1)))(()(1)())(())(1)(())g f x x g f x f x g f x g f x λλλλλλ+-≤+-≤+-. 即()()g f x 亦为凸函数.下面我们将看到有关凸函数的几个定理定理4设()f x 在区间I 上有定义,则下列四个条件等价（其中各不等式要求对任意123,,,x x x I ∈123x x x <<恒成立）：（i ）()f x 在I 上为凸函数；（ii ）31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--； (iii)31323132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--；(iv)32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--.推论3若()f x 在区间I 上为凸函数,则I 上任意三点123x x x <<,有313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---. 注：几何意义是分别连接曲线()f x 上的两点()()111,A x f x ,()()222,A x f x 的弦的斜率2121()()f x f x x x --不超过()()333,A x f x 与()()111,A x f x 的弦的斜率3131()()f x f x x x --,不超过()()333,A x f x 与()()222,A x f x 的弦的斜率3232()()f x f x x x --.推论4 若()f x 在区间I 上的凸函数,则0,x I ∀∈过0x 的弦的斜率()k x =00()()f x f x x x --是关于x 的增函数（若f 为严格凸的,则()k x 严格增）.推论5 若()f x 为区间I 上的凸函数,则I 上任意四点s t u v <<<有()()()()f t f s f v f u t s v u--≤--推论6 若()f x 为区间I 上的凸函数,则对I 上的任一内点x ,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在,皆为增函数,且()()f x f x -+''≤ 0()x I ∀∈这里0I 表示I 的全体内点组成之集合.（若f 为严格凸的,则'f +与'f -为严格递增的）.证明 因为x 是内点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,从而（利用推论3）,1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--.再由推论4所述,当1x 递增时,11()()f x f x x x --也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且10'1212()()()()()=limx x f x f x f x f x f x x x x x--→--≤--. 同理,在此式中,令2x x →时,可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤.最后由推论5中的不等式重新取相应的极限,可知'f +与'f -皆为增函数.推论7 若()f x 在区间I 上为凸的,则f 在任一内点x ∈0I 上连续.事实上推论6知f +'与f -'存在,所以f 在x 处左右都是连续的.定理5 设函数()f x 在区间I 上有定义,则()f x 为凸函数的充要条件为00,x I ∈α∃,使得x I ∀∈,有()f x 00()()x x f x α≥-+.证明（必要性）因()f x 为凸函数,由上面的推论6知,0'00,()x I f x -∀∈存在且'000()()()f x f x f x x x --→-.由此任取一'0(),f x α-≥则0x x <时有00()()()f x x x f x α≥-+因''00()f x f x -+≤(),所以对任一α:''00()(),f x f x x I α-+≤≤∀∈恒有()f x 00()()x x f x α≥-+.(充分性)设123x x x <<是区间I 上的任意三点,由已知条件可知222,,()()()x f x x x f x αα∀∃≥-+()x I ∀∈,由此令1x x =和3x x =,可以得到32123212()()()()f x f x f x f x x x x x α--≥≥--, 由定理1可知()f x 为凸的.定理6 设()f x 在区间I 上有导数,则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是()()f x I '∈x 递增.证明 （充分性）12,x x I ∀∈,不妨设12x x <及λ∈（0,1）,记12(1)x x x λλ≡+-,则1212()[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ≡+-≤+-或12()()(1)()0f x f x f x λλ---≤ （1） 由于()()(1)()f x f x f x λλ=+-则（1）是等价于12[()()](1)[()()]0f x f x f x f x λλ-+--≤ （2）应用Largrange 定理,12,:,x x εηεη∃<<<使得''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()f x f x f x f x f x x f x x λλλελη-+--=-+--,但112121[(1)](1)()x x x x x x x λλλ-=+--=--, 212212[(1)]()x x x x x x x λλλ-=+--=-.故（2）式左端12''22121[()()](1)[()()]()(1)()(1)()()(1)()[()()]f x f x f x f x f x x f x x x x f f λλλελληλλλεη=-+--=--+--''=--- 按已知条件()()f x I '∈x 递增,得知()()f f εη''≤,从而上式≤0,(2)式获证. （必要性）由定理1的推论6,()f x +'在0I 内为递增的,因()f x '存在,故()()f x f x +''=亦在0I 内为递增的,若I 有右端点b ,按照已知条件f 在b 点有左导数,0x I ∀∈易知''''()()()()()()f x f b f x f x f b f b x b+--=≤≤=-同理,若I 有左端点a ,则()(),f a f x ''≤即()f x '在I 上为递增的.定理7 （Jensen 不等式）若()f x 为[a,b]上的凸函数,则[,]i x a b ∀∈ ,0i λ>(1,2,...,)i n =,11,ni i λ==∑,有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑.证明 应用数学归纳法.当n=2时,由定义1命题显然成立.设n=k 时命题成立,即对任何12,,...,[,]k x x x a b ∈与10,1,2,...,,1ni i i i k αα=>==∑都有11()()k ki i i i i i f x f x αα==≤∑∑现设121,,...,,[,]k k x x x x a b +∈及0i λ>(1,2,,1)i k =+,111k i i λ+==∑.令1,1ii k （1,2，k)λαλ+=- 则11ki i α==∑,由数学归纳法假设可推得1111111()[(1)]1ki ik i i i k k k i k xf x f x λλλλλ+=+++=+=-+-∑∑111111111111111(1)()(1)()()=(1)()()1=()kk i i k k i kk i i k k i kik i k k i k k i i i x f x f x f x f x f x f x λαλλαλλλλλλ+++=+++=+++=++=≤-+≤-+-+-∑∑∑∑即对任何正整数n(n 2)≥,上述不等式成立.推论8设()f x 在区间I 上是凸函数,则对于任意的12,,...,m x x x I ∈和120m βββ>，，...,都有1122111212...()...()()......m m m m m mx x x f x f x f βββββββββββ+++++≤++++++.4 凸函数的应用接下来将我们介绍凸函数在数学分析、不等式中的应用.4.1 凸函数在数学分析中的应用例1 设函数()f x 在区间I 上是凸函数,试证：()f x 在I 上的任一闭子区间上有界.证明 设[,]a b I ⊂为任一闭子区间， ①（证明()f x 在[,]a b 上有上界）[,],x a b ∀∈取[0,1],x ab aλ-=∈-(1)x b a λλ=+-. 因()f x 为凸函数,所以()[(1)]()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+-≤+-≤+-=其中max{(),()}M f a f b =.故在[,]a b 上有上界M ； ②（证明()f x 在[,]a b 上有下界）记2a bc +=为,a b 的中点,则[,]x a b ∀∈,有关于c 的对称点x ',因为()f x 为凸函数,所以()()11()()222f x f x f c f x M '+≤≤+,从而有()2()f x f c M m ≥-≡,即m 是()f x 在[,]a b 上的下界.例2 设()f x 是区间(,)a b 内的凸函数,试证：()f x 在I 上的任一内闭区间[,][,]a b αβ⊂上满足Lipschitz 条件.证明 要证明()f x 在区间[,]αβ上满足Lipschitz 条件,即要证明：0,L ∃>使得12,[,]x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤- （3）因为[,][,]a b αβ⊂, >0h ",使得[,](,)h h a b αβ-+⊂,12,[,],x x αβ∀∈若12,x x <取32x x h =+.由凹函数的性质,有32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 其中M,m 分别表示()f x 在[,]h h αβ-+上的上下界,从而2121()()M mf x f x x x h--≤- （4） 若21,x x <可取32,x x h =-由()f x 的凸性,有()23122312()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 从而()21322132()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 由此可知(4)式成立.若12x x =,则（4）式明显成立.这就证明了（4）式对一切12,[,]x x αβ∈皆成立.因此（4）式当1x 与2x 互换位置也成立,故有2121()()M mf x f x x x h--≤-,令,M mL h-=则（3）式也获证. 例3 设()f x 为区间(,)a b 内的凸函数,并且有界,试证明极限 lim ()x af x +→与lim ()x b f x -→存在.证明 设(,)x a b ∈时10x ≤>>f(x)M,x x 为(,)a b 内任意三点,根据()f x 的凸性当x 递增时00()()f x f x x x --也递增.又因为0010010()()()()f x f x M f x x x x x x x x --≤∀>>--,根据单调有界原理,有极限00()()limx b f x f x A x x →--=-,从而000000()()lim ()lim ()()()()x b x b f x f x f x x x f x A b x f x x x --→→⎡⎤-=-+=-+⎢⎥-⎣⎦亦存在.例4设()f x 是区间[,]a b 上连续的凸函数.试证:1212,[,],x x a b x x ∀∈<,有21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≤≤-⎰. 证明 令 121(),(0,1),t x x x λλ=+-∈则2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰ (5) 同理,令221()t x x x λ=--,亦有2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰从而21112122102111(){[()][()]}2x x f t dt f x x x f x x x d x x λλλ=+-+---⎰⎰ （6) 其中121()x x x λ+-与221()x x x λ--关于中点122x x +对称.由于()f x 是凸函数, 故由（6）式得2112211()()2x x x x f t dt f x x +≥-⎰另外,由（5）式,应用()f x 的凸性211210211()[(1))]x x f t dt f x x d x x λλλ=+--⎰⎰ 12101122122100()(1)()]()()(1)()()222f x f x d f x f x f x f x λλλλλ≤+-⎡⎤⎡⎤+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰4.2 利用凸函数的性质证明不等式例 5 设111,1,1αβαβ>>+=及0,0(1,2,...,)i i a b i n >>=则有Holder 不等式成立：11111()()n nni iiii i i a b a b αββα===≤∑∑∑当且仅当i a α与i b β成正比例时等号成立.证明 取()(1,0)f x x x αα=><<+∞,因为2()(1)0f x x ααα-''=->,所以()f x x α=在(0,)+∞上为凸函数,由定理7的推论9得:112211221212......()......n n n n n nt x t x t x t x t x t x t t t t t t αααα+++++≤++++++ 即1111()()()nnni i i i i i i i t x t x t ααα-===≤∑∑∑,亦即11111()()nnni ii i i i i i t xt x t αααα-===≤∑∑∑令,1αβα=-则有11111ααβαα-+=+=,于是有 11111()()n nni i i ii i i i t x t xt αβα===≤∑∑∑令1,i i i i i t b x t a βα-==,则有11111()()n nni i ii i i i a b ab αββα===≤∑∑∑当i a α与i b β成正比例时,即i i a kb αβ= (k 为正常数,1,21,i n n =-)111111111111()()()nnnnni i i i i i i i i i i i i a b k b k b a b a b ββαββββαβαααα+-==========∑∑∑∑∑∑当i a α与i b β不成正比例时,i t 不全相等,又因为()f x x α=在(0,)+∞为严格凸函数,故严格不等式成立.例6应用Jensen 不等式证明：设0(1,2,....)i i n >=a ,有1212111n n a a a a a a n n++≤≤++⋅⋅⋅+ 证明 取函数()ln f x x =,(0,)x ∈+∞.由21()0,f x x''=-<f 是区间(0,)+∞上严格凹函数,则对12,,...(0,)n a a a ∀∈+∞及1(1,2,...),i i n n N nλ+==∈ 1. 12...n a a a ===,则上式等号成立； 2.若1,2,...,n a a a 不全相等,则由Jensen 不等式11()()n ni i i i i i f a f a λλ==≥∑∑（7） 即12121211ln(...)[ln ln ...ln ]ln(...)n n n a a a a a a a a a n n n n n+++≥+++= 1111n ni i i i i i f f a a λλ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ （8）即121212*********ln(...)(ln ln ...ln )ln ...n n nna na na n a a a n a a a +++≥+++= 12111111ln(...)ln ln ...n n n a a a a a a n⇒++-≥- 因为f 在(0,)+∞上单调递增,综合（7）（8）结论得1212111...nn a a a a a a n n ++≤≤++, 命题成立.5 小结凸函数的性质及其应用还有很多方面值得探讨,例如利用凸函数的性质验证级数的敛散性,广义凸函数求极值等问题,由于篇幅有限没能一一介绍,在以后的研究中还需不断探索和完善.致谢 本文是在彭定忠老师的指导和帮助下完成的, 谢谢老师,老师您辛苦了!参考文献[1]华东师范大学数学系, 数学分析[M]. 北京:高等教育出版社, 1980.[2] 裘兆泰. 数学分析学习指导[M]. 北京: 科学出版社,2004.[3] 徐利治. 大学数学解题法诠释第一版[M]. 安徽：教育出版社,1999.[4] 徐利治. 数学分析的方法和例题选讲[M]. 北京:高等教育出版社,1984.[5] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M]. 北京:高等教育出版社,1988.[6] 张从军. 数学分析[M]. 安徽:安徽大学出版社, 2000.[7] 欧阳光中,姚允龙. 数学分析概要二十讲[M]. 上海：复旦大学出版社,1999.[8] 张筑生. 数学分析新讲[M]. 北京：北京大学出版社,1991.[9] 华东师范大学数学系. 数学分析第三版[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[10]刘国华等, 关于凸函数的八个等价定义[J]. 河北建筑科技学院学报, 2003,20(3):82-83.[11]俞文辉, 凸函数不同定义间的关系及其应用[J]. 南昌高专学报, 2005,60(5):112-113.[12]郭素霞, 关于凸函数定义的讨论[J]. 衡水师专学报, 2000, 2(4):49-52.[13]钟伟等, 凸函数的几种不同定义及应用[J]. 九江学院学报, 2007, 11(3):74-77.[14]刘鸿基, 关于凸函数的两个充分必要条件[J]. 菏泽学院学报, 2005, 19(9):78-79.[15]周科, 凸函数等价性命题证明[J]. 渝州大学学报, 2000, 17(4):18-21.[16]刘仁义, 关于凸函数的判定[J]. 九江师专学报, 1999, 18(3):1-8.[17]向日光, 对函数凸性定义的诠释[J]. 遵义师范学院学报, 2005, 7(4):49-50.[18]周翠莲, 凸函数定义的进一步研究[J]. 山东工程学院学报, 1996, 10(3):26-31.。

目录1引言 (2)2凸函数的定义及性质 (2)2.1凸函数的几种不同定义及其关联 (2)2.2凸函数的判定定理及证明 (4)2.3凸函数的性质 (5)3凸函数的应用 (6)3.1詹森不等式及应用 (6)3.2凸函数在微分学的应用 (8)3.3凸函数在积分学的应用 (9)结论 (11)参考文献 (11)凸函数的性质及应用王波波，数学计算机科学学院扌商要：凸函数是高等数学中的一个基本内容，它在证明比较复杂的不等式方面有着重要的作用•在本文中，我们分析总结了凸函数的性质及相关定理•最后用凸函数方法和詹森不等式推证几种重要的不等式，并对某些结论作一些讨论. 关键i司：凸函数;方法；不等式；推论Properties of Convex Function and Its ApplicationWangbobo , College of Mathematic and Computer Science Abstract：Convex function is a basic content of higher maths.lt plays an important role in proving more complex inequality. In this paper，we summarized some properties and theorem of convex function . And finally we proved some important inequality using the method of Convex function and Jensen inequality of convex function and discussed some conclusion.Key words：Convex function; Method; Inequality; Inference1引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、黎曼集合、最优化理论等当中•常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数。

凸函数的性质及应用摘要：函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象。

而凸函数则是其中重要的一类。

本文主要是研究几类凸函数的性质与应用。

探讨拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的定义、性质以及这三类函数之间相互转换的充分必要条件，也讨论拟凸函数的连续性和可微性。

同时也对强伪凸函数性质进行研究，得到一些有意义的结论。

关键词：凸函数性质应用1.凸函数的概念与等价定义1.1凸函数的概念人们常用凸与凹来反映曲线的弯曲方向。

这种从几何直观给出的关于曲线凸（凹）的概念反映在数学上就是表达该曲线的凸（凹）性概念。

定义1.1.1([1])设是定义在区间上的函数,若对上的任意两点 , ,常有，则称为上的凸函数。

定义1.1.2([2])若在定义上成立不等式（≠），则称是上严格的凸函数。

1.2凸函数的等价定义定义1.2.1设在区间上有定义，在上成为凸函数当且仅当对任意 ,∈ ,任意∈(0,1)有若不等号反向，则称为上的凹函数。

若“≤”改为“<”，则称为上的严格凸函数。

2.凸函数的简单性质在本节中，来叙述关于凸函数的一些常用的简单的性质。

定理2.1([4])设在区间I上为凸函数，对任意，则:时，在区间上为凸函数，时，在区间上为凹函数。

定理2.2([5])设，是间I上的凸函数，则其和也是I上的凸函数。

定理2.3([6])若设，是间I上的凸函数，则为I上的凸函数定理2.4([7])设是单调递增的凸函数，u=f(x)是凸函数，则复合函数也是凸函数定理2.5设为区间I上的凹函数，，则为区间I上的凸函数，反之不真。

3.凸函数的判定定理利用凸函数的定义判别函数是否为凸函数，常常并不方便。

因此需要建立一系列的便于应用的判别方法。

定理3.1若函数是区间上的递增可积函数，则变动上限积分所定义的函数是上的一个凸函数。

定理3.2若在间上存在，则在上成为凸函数的充分必要条件是：在上4.关于凸函数的几个重要不等式4.1不等式定理4.1.1（凸函数的基本不等式）设是间上的凸函数，则对中任意个数成立不等式，当仅当时等号。

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。

在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。

1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。

如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。

2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。

3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。

在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。

这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。

由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。

2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。

这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。

摘要高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。

凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。

凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。

同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。

为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。

本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。

关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题AbstractConvex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem目录摘要 (I)Abstract ......................................................................................................................... I I第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (9)2.4 几种常见的不等式 (10)第3章在数学中的应用 (12)3.1. 初等不等式的证明 (12)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (15)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (19)4.1.1 线性规划下的最优化问题 (19)4.1.2 非线性规划下的最优化问题 (21)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (26)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)第1章绪论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。