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讲练学案部分§3.1.1空间向量及其加减运算.知识点一空间向量的概念判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ，在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A、B、C、D可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，与共线，虽起点不同，但终点却相同.【反思感悟】解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中，一定有+=答案 B解析|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b=-a故|a|=|b|，从而 B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB+ AD=AC ，只有平行四边形才能成立.故 A、C、D 均不正确.知识点二空间向量的加、减运算如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．（1）1AA +11B A ； （2）2111B A + 2111D A ； （3）1+2111B A +11D A ； （4）AB +BC +1CC +11A C +A A 1;解 （1） 11AA B B + = 1AB.（2） 11111122A B A D += 11111()2A B A D += 11112A C A M =（3）111111122AA A B A D ++ 11AA A M AM =+=（4）1110AB BC CC C A +++=【反思感悟】 向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，同平面向量相同，封闭图形，首尾连续向量的和为0..已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式:(1) ';AA CB -(2) '''''AB B C C D ++解 (1) 'AA CB - ='AA BC + = '''AA A D AD +=A(2) ''''''AB B C C D AD ++=知识点三 向量加减法则的应用在如图所示的平行六面体中，求证： ''2'AC AB AD AC ++=证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴ ,AC AB AD =+ '',AB AB AA =+ AD ′→＝AD →＋AA ′→. ∴''AC AB AD ++= (')AD AA ++= ()(')AB AD AB AA +++ =2('),AB AD AA ++又由于 AB ＝CC ′→，AD →＝BC →，∴ AB ＋AD →＋AA ′→= AB ＋BC →＋CC ′→=AC ＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC ＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.【反思感悟】 在本例的证明过程中,我们应用了平行六面体的对角线向量 AC ′→='AB AD AA ++,该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广(即平行六面体法则).在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段. （1）AB ＋AD →＋1AA; ；（2）11AB CC DD +- ;.解 如图，（1） AB ＋AD →＋1AA = 11AC AA AC +=;(2) 11AB CC DD +- = 111111AB BB AA AB AA A B +-=-=图中 1AC ，11A B为所求.课堂小结：1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由减数b 的终点指向被减数a 的终点的一条有向线段．课时作业一、选择题1．判断下列各命题的真假：①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．2. 已知向量AB ，AC →，，AC →，BC → 满足 |AB →| ＝ |AC →|＋|BC →|，则( )A ．AB ＝AC →＋BC → B ．AB ＝－AC →－BC →C ．AC →与BC →同向D ．AC →与CB →与CB →同向答案 D解析 由 |AB | = |AC → | + |BC → | = |AC → | + |CB →|,知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以 AC →与CB →与CB →同向3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量表达式1DD AB BC -+化简后的结果是（ ）A . 1BDB . 1D BC . 1BD D . 1DB答案 A解析 如图所示，因 1DD ＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝1BA ，1BA ＋BC →＝BD 1→， ∴1DD －AB →＋BC →＝BD 1→.4．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A . EB ＋BF →＋EH →＋GH →＝0 B . EB ＋FC →＋EH →＋GE →＝0C . EF ＋FG →＋EH →＋GH →＝0D . EF －FB →＋CG →＋GH →＝0答案 B解析 如图所示，EB ＋FC →＋EH →＋GE → ＝(EB ＋BF →)＋(GE →＋EH →) = EF ＋FE →＝0.5. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，如图所示，下列各式中运算的结果为向量1BD的是（ ） ① (11A D －A 1A →)－AB →；② (BC ＋BB 1→)－D 1C 1→；③（AD －AB →)－2DD 1→；④（11B D －A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 A (11A D －A 1A →)－AB → ＝ AD 1→－AB →＝BD 1→. (BC ＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→.∴①、②正确．二、填空题6. 如图所示 a ，b 是两个空间向量，则AC 与A ′C ′→与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．答案 相等 相反 7. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AB →+ CD + BC DA + 的结果为________．答案 0 解析AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DA →) =AC ＋CA →＝0. 三、解答题8．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB的中点，请化简 （1）AB →＋BC →＋CD →， （2） AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解 （1）AB →＋BC →＋CD →= AC ＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 中点．∴BE ＝EC →，EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC → = AB →＋BE →＋EF →= AF9. 已知ABCD 是空间四边形,M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点.求证: MN = 1()2AB CD +证明MN =MA AB BN ++又 MN = AB MC DN ++ , ∴2MN = ()()MA MC AB CD BN DN +++++由于M,N 分别是AC 和BD 的中点,所以．MA MC += 0. ∴MN ＝ 12(AB →＋CD →)．10．设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：1(3AG AB =+ AC →＋AD →)．证明 连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知 23BG BE =∵E 为CD 的中点， ∴BE ＝12BC →＋12BD →.∴AG ＝AB →＋BG → = AB →＋23BE →=AB →＋13(BC ＋BD →) =AB → +1()()3AC AB AD AB ⎡⎤-+-⎣⎦=13(AC →＋AC →＋AD →)．。
