第3章 刚体力学基础

第3章 刚体力学基础 (3) 当质点作圆周运动时： 质点以角速度ω 作半径为r 的 圆运动，相对圆心的角动量 的大小
L
p
o
r
m
L rp mrv mr J
2
(4) 角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运
动而不能作直线运动。
(5) 单位: kg ·m2/s
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第3章 刚体力学基础 2. 刚体绕定轴转动的角动量
z
L Li
刚体上任一质量元对其圆周运动的
圆心的角动量大小为
Lzi Δmvi ri Δmri
2
i v v r r i O O mi m
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第3章 刚体力学基础 刚体上各质量元对其对应圆心的的角动量方向相同
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第3章 刚体力学基础 二、 质点的角动量定理和角动量守恒定律
已知 L r P ,
1.质点的角动量定理
dL d r mv dt dt d(mv) dr r mv dt dt
P mv
v mv 0
r F M
W Md
0


0
l lmg 1 mgcos d sin 0 J 2 0 2 2 2
1 而 J ml 2 3 3 gsin l
2
lmg 1 2 sin J 2 2
3gsin 1/ 2 ( ) l
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第3章 刚体力学基础
mv0 r0 mvr1
根据动能定理，力 F 做的功为
r0 v v0 ( ) r1
v0
1 2 r0 2 1 2 A mv0 ( ) mv0 2 r1 2 1 2 r0 2 mv0 [( ) 1] 2 r1
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r0
o r1
F
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例2 一均质棒,长度为 L,质量为M,现有一子弹在距轴为 y 处水
其角速度平方乘积的一半。
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第3章 刚体力学基础 二、力矩的功 力的累积过程 —力矩的空间累积效应。 根据功的定义
dW F dr Fcos ds F r d Md

O
d
（力矩做功的微分形式） 对一有限过程
若M=C
r
.
P
dr
F
W Md
例3 如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于 顶端长棒的下端, 穿出后速度损失3/4, 已知棒长为 l, 质量为 M。 求: 子弹穿出后棒的角速度 。 解: 选取子弹和棒为系统, 其角动量守恒
1 mv0l mv0l J 4
因为
M
l
1 2 J Ml 3
3 m v l 9 m v 0 0 所以 4J 4Ml
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3.3 绕定轴转动刚体的动能定理 z 一、 定轴转动刚体的动能
Δm1 , Δm2 , , Δmk , , ΔmN
r1 , r2 , , rk , , rN v1 , v2 , , vk , , vN
1. 角动量定理
对定轴转动的刚体， Lz J z
dLZ d（J Z ） dt dt
对给定轴, Jz 为常量
dLZ d JZ J Z M z dt dt
或 M z dt dLz dJ
——刚体定轴转动的角动量定理微分形式。
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m
θ
a
l
v0
M
11 2 l 2 2 Ml ma mga 1 cos Mg 1 cos 23 2
初速度
1 v0 ma
2 3 Ml 2maMl
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2
3ma g / 6
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例5 长为 l、质量为M的均质杆, 一端悬挂, 可绕通过O 点垂直 于纸面的轴转动。今杆自水平位置无初速度地下落，在铅垂位 置与质量为m,的物体A做完全非弹性碰撞, 如图所示, 碰撞后物 体A沿摩擦系数为μ的水平面滑动。 求物体A沿水平面滑动的 距离。 解 第一阶段取杆为研究对象，设ω 为这一阶段末 的角速度，由动能定理
质量为 m 的质点以速度 v 在
r
L
x
z
r
o
L r p r mv
m y
v
大小：
L rmv sin
L
mv

方向: 符合右手螺旋法则。
r
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第3章 刚体力学基础
讨论
(1) 质点的角动量与质点的动量及位矢有关 (取 决于固定点的选择) 。 (2) 在直角坐标系中的分量式
在惯性系中，作用在质点上的合力矩等于质点角动量 对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理（微分 形式）。
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Mdt dL
M d t L2 L1
冲量矩
积分，得
t
t2
1
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量。
——质点角动量定理的积分形式。
和——绕定轴转动刚体的动能定理。
讨论
(1) 质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功。 (2) 刚体的内力做功之和为零。
(3) 刚体动能的增量，等于外力的功。
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例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内 转动, 初始时它静止在水平位置。求 它由此下摆 角时的 。 m l x 1 O 解 M mglcos 2 C 由动能定理 mg
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第3章 刚体力学基础 2. 刚体绕定轴转动的角动量守恒定律 对定轴转动刚体 若 Mz 0
Lz 0
Jω 常量
角动量L不变的含义: J 不变 , 则 不变。
J t ω 常量
J t ω
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J t ω
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dW d p M M dt dt
3
力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。
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三、绕定轴刚体的动能定理 （合力矩功的效果）
d M J J 元功 dW Md dt d d dW M d ( J )d J d Jd dt dt
r xi y j z k mv mv x i mv y j mv z k
j y mv y k z mv z
L x mv x
i
Lx ypz zp y
Ly zpx xpz
Lz xpy ypx
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说明
(1) 冲量矩是力矩的时间积累,是质点角动量变化的原因。
(2) 质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。
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dL 质点角动量定理 M 若 M 0 ， dt 则 L 常矢量 —— 质点角动量守恒定律。 F 0 讨论 (1) 守恒条件 M 0 F过O点 (2) 有心力的角动量守恒。F过O点
1 l 2 J 0 Mg 2 2
解得
1 2 J Ml 3
3g l
2
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第二阶段取杆和物体A为研究对象，设碰撞结束时杆的 角速度为ω´ ，由角动量守恒
例2 一长为l、质量为m均质细杆AB，用摩擦可忽略的柱铰链悬 挂于A处，见图。欲使静止的杆AB自铅垂位置恰好能转至水平位 置，求必须给杆的最小初角速度。 C2 解 设给杆的最小初速度 0 A 1 2 E J 杆的初动能 k1 z 0 C 2 杆到达水平位置时 Ek 2 0 C1 p
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第3章 刚体力学基础
3.4 角动量定理和角动量守恒定律
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理。
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、角动量定理。
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第3章 刚体力学基础 一、角动量 1. 质点的角动量( 对O点 )
空间运动, 某时刻相对原点O的位 矢为 , 质点相对于O点的角动量
1
2
W M (2 1 )
2
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讨论 (1) 合力矩的功
W Md ( M i )d M i d Wi
1 1
i i
2
2
2
1
i
(2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。
(4) 力矩的功率
例1 如图，质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过一 铅直 套管，使小球以速度v0绕管心作半径为r0的圆周运动, 然后向 下拉绳, 使小球运动的轨迹最后成为半径为r1的圆。 求（1） 小球距管心为r1时速度v的大小； （2）由r0缩短到r1过程中， 力F 所做的功。 解 小球受到的是有心力，根据质点的角动量守恒，故有
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m
v0
v
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例4 如图所示, 一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止 悬于顶端的均质长棒的 a 处（未穿出）, 使棒偏转 30o, 已 知棒长为 l , 质量为 M 。求: 子弹的初速度 v0 。 解: 将子弹和棒看作一个系统, 在极短时间内 系统角动量守恒 1 mv0 a Ml 2 ma 2 3 子弹射入棒后,以子弹、棒、地球为 一系统, 机械能守恒。