安徽省芜湖市第一中学2020学年高二数学上学期期中试题 理(无答案)

芜湖一中2020学年第一学期期末考试高二数学（理科）试卷一、选择题（每题3分，共30分，答案写在答题卷上） 1．下列命题中正确的命题的是A ．平行于同一平面的两条直线平行B ．与同一平面成等角的两条直线平行C ．垂直于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一直线的两条直线平行2．已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =,则实数x 的值是A ．3-或4B ．6-或2C ．3或4-D ．6或2-3．过点(4,1)P -且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是A ．43130x y +-=B ．43190x y --=C ．34160x y --=D ．3480x y +-=4．一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是43π,则正方体的表面积是 A ．8 B ．6C ．4D ．35．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，则1AC 与平面11BB C C 所成的角的正弦值为 A ．22 B ．515 C ．46 D ．366．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．54B ．60C ．66D ．728．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域M 由不等式组020x y x y y -≥+≤≥⎧⎪⎨⎪⎩给定，若点(,)P a b a b +-在区域M 内，则421a b +-的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．69．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-= 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(65)π-D ．54π 10．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱1CC 和11A D 的中点，则四面体1O MNB -的体积为A ．16B ．548 C ．18D ．748二、填空题（每题4分，共20分，答案写在答题卷上）11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．12．已知直线220x y k -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是___________．13．过(2,3)P --作圆22(4)(2)9x y -+-=的两条切线，切点为A 、B ,则过A 、B 两点的直线方程为 ．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题：①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线． 其中正确的命题是 ．15．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是________．三、解答题（6题，共50分，答案写在答题卷上）16．（本题8分）求经过直线1:3450L x y +-=与直线2:2380L x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程．（1）与直线250x y ++=平行； （2）与圆22(2)4x y -+=相切．17．（本题8分）已知方程04222=+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）求m的值．18．（本题8分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°. （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．19．（本题8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC CA ==，AB BC =，D 是1BC 上一点，CD ⊥平面1ABC ． （1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求异面直线1AC 与BC 所成的角．DA1CBC1A1B20．（本题9分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥面ABCD ，//AB DC ，90DAB ∠=o ，1,2PA AD DC AB ====，M 为PB 的中点．（1）求证：MC ∥平面PAD ；（2）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值； （3）求二面角A PB C --的平面角的正切值．21．（本题9分）圆O 的方程为221x y +=，直线1l 过点(3,0)A ，且与圆O 相切． （1）求直线1l 的方程；（2）设圆O 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点P ′，直线QM 交直线2l 于点Q ′，求证：以P ′Q ′直径的圆C 总经过定点，并求出定点的坐标．芜湖一中2020第一学期高二（理科）数学期末考试答案 一、选择题（每题3分，共30分） 12345678910C D A A C C B C A D二、填空题（每题4分，共20分）11． 3：1：2 12． 110k k -≤≤≠且 13． 65250x y +-= 14． ①③④ 15． 5 三、解答题（共50分） 16．（8分）解：⎩⎨⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=21y x ，所以交点（-1，2）--------2分（1）直线方程为02=+y x --------4分 （2）直线方程为2=y -----6分和122(1)5y x -=-+------8分 17．（8分）解：（1）由D 2+E 2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5．--------3分 （2）设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由OM ⊥ON 得x 1x 2+ y 1y 2=0。

四年下册数学教学计划教学计划是开展正常教学的准备工作，在正式上课之前，对要进行的教学任务及流程进行详细的计划，有助于工作的顺利进行和教学潜能的充分发挥。

值得注意的是，制订计划必须按学生的特点制订，不能仿制照搬的计划，只有自己去试着做，摸索出自己的完整方法，才是最有用的。

计划只是一种手段，绝不要为了列计划才去列计划，只要是能达到目的的计划才是有用的计划。

实施计划时，不要轻言放弃。

只有坚持科学合理的计划，我们教师一定能够在教书育人的同时不疏忽对自己的提升，真正做到寓教于乐。

首先，要研究教学大纲，这样才能做到心中有数；其次，要详细了解学生，只有这样在制定计划的时候才能更加准确，使实际实行时效率能更高。

最后我们一起来看看一个案例，希望能给你有所帮助：一、班级情况分析：这学期，我继续执教四年级5班和6班。

大部分学生对数学有上进心，但接受能力还有待提高，学习态度还需不断端正。

学生在学习水平上差异较大，有的学生的学习习惯差，上课经常走神，学生的自我约束的能力很差，作业不够规范，马虎、粗心现象特别突出。

很多家长的重视程度不够，在教学过程中对学生学习习惯和学习行为的教育力度不是很到位，相对来说差生面广，特别是解决问题的能力很差，这一类学生在本学期还要重点抓。

本学期要想有所进步，还有一定的难度，需要付出很大的努力。

二、本册教材内容分析：这册教材包括下面的内容：四则运算；位置与方向；运算定律与简便计算；小数的意义和性质；三角形；小数的加法和减法；统计；数学广角和数学综合运用活动等。

在数与计算方面，本教材安排了小数的意义与性质，小数的加法和减法，四则运算，运算定律与简便运算。

小数在日常生活中有着广泛的应用，有关小数概念的知识和小数四则运算能力是小学生应该掌握和形成的基础知识和基本能力。

在本学期里学生将系统地学习小数的意义和性质、小数大小的比较、小数点位置的移动引起小数大小的变化等，并在此基础上学习比较复杂的小数的加法和减法。

安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学题一、单选题1．已知R x ∈，R y ∈，则“1x >且1y >”是“2x y +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知集合{}210A x x =-≥，集合102B x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，则()A B =R U ð（）A ．1{2x x ≤或≥1B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．112x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．{1}∣<xx 3．已知函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则y =）.A ．[]1,4-B ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎣⎦D ．(]1,94．设a ，b ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）.A ．11a b <B ．22ac bc >C ．a b >D ．33a b >5．不等式10ax x b+>+的解集为{|1x x <-或}4x >，则()()10x a bx +-≥的解集为（）A ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,[1,4∞∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦ ）C ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．(]1,1,4∞∞⎡⎫---+⎪⎢⎣⎭6．已知0a >，0b >，3a b ab +=-，若不等式2212a b m +≥-恒成立，则m 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．77．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()11,A x y ，()22,B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，若点()2,1M ，点P 是直线3y x =+上的动点，则(),d M P 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知(),()f x g x 是定义域为R 的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭C ．5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列说法正确的是（）A．y =与y =B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件C ．若命题0p x ∃≥：，23x =，则0p x ⌝∃<：，23x ≠D ．若命题q ：对于任意R x ∈，220x x a +->为真命题，则1a <-10．下列选项正确的有（）A ．当()1,x ∈+∞时，函数2221x x y x -+=-的最小值为2B ．(),1x ∈-∞，函数31y x x =+-的最大值为-C．函数2y 的最小值为2D ．当0a >，0b >时，若2a b ab +=，则2+a b的最小值为3211．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足()103431x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪-⎩，，下列叙述正确的是（）A ．函数()f x 的值域为[]22-,B ．关于x 的方程()12f x =的所有实数根之和为11C ．关于x 的方程()0f x =有且只有两个不等的实根D ．当[)3,0x ∈-时，()f x 的解析式为()1=-+f x x三、填空题12．已知a ，b ∈R ，{}21,3,A a =，{}1,2,B a b =+，若A B =，则a b +=13．已知)=fx ()f x 的解析式为.14．已知方程2620x x a -+=的两根分别为1x ，2x ，12x x ≠，若对于[]2,3t ∀∈，都有22121t x x t-≥+恒成立，则实数a 的取值范围是四、解答题15．已知集合{}121A xa x a =+≤≤-∣，{}16B x x =-≤≤∣.(1)当4a =时，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16．已知幂函数()()222433mm f x m m x+-=-+为定义域上的偶函数.(1)求实数m 的值；(2)求使不等式()()21f t f t -<成立的实数t 的取值范围.17．已知函数()21f x ax bx =++.(1)若21a b =+，且0a <，求不等式()3f x >的解集（结果用a 表示）；(2)若()13f =，且a ，b 都是正实数，求111a b ++的最小值.18．已知函数()21x f x ax b+=+是其定义域上的奇函数，且()12f =.(1)求a ，b 的值；(2)令函数()()()2212R h x x mf x m x=+-∈，当[]1,3x ∈时，()h x 的最小值为8-，求m 的值.19．一般地，若函数()f x 的定义域是[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],ka kb 为()f x 的“k 倍跟随区间”，若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.(1)写出二次函数()212f x x =的一个“跟随区间”；(2)求证：函数()11g x x=-不存在“跟随区间”；(3)已知函数()()()221R 0aa x h x a a a x+-=∈≠，有“4倍跟随区间”[]4,4m n ，当n m -取得最大值时，求a的值.。

2020-2021学年安徽省芜湖一中高二上学期期中数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.若直线经过A(0,0),B(0,2)两点，则直线AB的倾斜角为()A. 30oB. 45oC. 90oD. 0o2.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是()A. 若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB. 若m//α，m⊥n，则n⊥αC. 若α//m，β//m，则α//βD. 若α⊥m，β⊥m，则α//β3.圆C1：(x−1)2+(y−1)2=1关于直线x+y=0对称的圆C2的方程为()A. (x+1)2+(y−1)2=1B. (x−1)2+(y+1)2=1C. (x+1)2+(y+1)2=1D. (x+1)2+(y−1)2=1或(x−1)2+(y+1)2=14.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A. 棱柱B. 棱台C. 棱柱与棱锥组合体D. 不能确定5.正方体A1B1C1D1−ABCD中，AB与B1D1成的角是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6.若圆C：x2+y2−2(m−1)x+2(m−1)y+2m2−6m+4=0过坐标原点，则实数m的值为()A. 2或1B. −2或−1C. 2D. 17.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半径为R的半球内有一个方锥，方锥的所有顶点都在半球所在球的球面上，方锥的底面与半球的底面重合，若方锥的体积为163.则半球的表面积为()A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π8.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为()A. 2√3B. 4√3C. 6√3D. 12√39.若圆x2+y2−4x=0上恰有四个点到直线2x−y+m=0的距离等于1，则实数m的取值范围是()A. (−2−√5,−2+√5)B. (−4−√5,−4+√5)C. (−4−3√5,−4−√5)D. (−4+√5,−4+3√5)10.如图，在二面角α−l−β的棱l上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若二面角α−l−β的大小为60°，AB=AC=2，BD=3，则CD=()A. √11B. √14C. 2√5D. √2311.圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2：x2+y2−4x+4y−17=0的位置关系是()A. 内切B. 外切C. 相交D. 相离12.已知△ABC的顶点A∈平面α，点B，C在平面α同侧，且AB=2，AC=√3，若AB，AC与α所成角分别为π3，π6，则线段BC长度的取值范围为()A. [2−√3,1]B. [1,√7]C. [√7,√7+2√3]D. [1,√7+2√3]二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．14.若直线l1：mx+y−1=0与直线l2：x+(m−1)y+2=0垂直，则实数m=______．15.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______ ．16.点A，B，C，D均在同一球面上，AD⊥平面ABC，其中△ABC是等边三角形，AD=2AB=6，则该球的表面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知点A(−1,2)，直线l：x+2y−2=0.求：(1)过点A且与直线l平行的直线方程；(2)过点A且与直线l垂直的直线方程．18.在四棱锥P−ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，BC=CD=1，PD=√2．(1)证明：AB⊥PD．(2)求二面角A−PB−C的余弦值．19.如图所示，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB，点E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE//平面PAD；(Ⅱ)已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC.在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．20.已知圆C的方程：x2+y2−2x−4y+m=0．(1)求m的取值范围；(2)若圆C与直线l：x+2y−4=0相交于M，N两点，且|MN|=4√5，求m的值．521.如图(1)所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4.作BB1//AA1，分别交A1A1′、AA1′于点B1、P；作CC1//AA1，分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q.现将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图(2)所示的三棱柱ABC−A1B1C1．(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，求证：AP⊥BC；(2)在三棱柱ABC−A1B1C1中，连接AQ与A1P，求四面体AA1QP的体积；(3)在三棱柱ABC−A1B1C1中，求直线PQ与直线AC所成角的余弦值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由直线经过A(0,0),B(0,2)两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角.若直线经过A(0,0),B(0,2)两点，则直线为x=0，其倾斜角为90o.2.答案：D解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在A中，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m//α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故B错误；在C中，若α//m，β//m，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若α⊥m，β⊥m，则由面面平行的判定定理得α//β，故D正确，故选D．3.答案：C解析：本题考查圆的标准方程，涉及点关于直线的对称性，属基础题．由题意可得圆C1关于直线x+y=0对称的圆C2的圆心为(−1,−1)，半径为1，可得圆的方程．解：∵圆C1：(x−1)2+(y−1)2=1的圆心为(1,1)，半径为1，∴圆C1关于直线x+y=0对称的圆C2的圆心为(−1,−1)，半径为1，∴圆C2的方程为：(x+1)2+(y+1)2=1，故选：C．4.答案：A解析：本题主要考查多面体的结构的特征，以及分析实际问题的能力．解：将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，有以下几种情况，倾斜后水槽中的水形成的几何体是棱柱．5.答案：B解析：本题考查异面直线所成的角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．由B1D1//BD，知∠ABD是AB与B1D1成的角．解：如下图所示，∵B1D1//BD，∴∠ABD是AB与B1D1成的角，∵ABCD是正方形，∴∠ABD=45°，∴AB与B1D1成的角是45°．故选B．6.答案：C解析：由题意，(0,0)代入可得2m2−6m+4=0，求出m，再进行验证即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．解：由题意，(0,0)代入可得2m2−6m+4=0，∴m=2或1，m=2时，方程为x2+y2−2x+2y=0，表示圆，满足题意，m=1时，方程为x2+y2=0，是一个点，不是圆，不满足题意，故选C．7.答案：C解析：本题考查棱锥的体积与球的表面积，属于中档题．根据题意设出半球的半径，用半径表示出方锥的体积，求出半径，得到半球的表面积．解：设球的半径为R，则棱锥的高为R，正方形的边长为a，则a=√2R，则方锥的体积为V=13a2ℎ=2R33=163，解得：R=2，故半球的表面积为，故选C．8.答案：D解析：本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，属于中档题．根据题意，取正方体ABCD−A1B1C1D1棱AB、BC、CC1的中点L、K、Q，连接NL，LK、KQ、QP，得出六边形PQKLNM是所得的截面，求出该六边形的面积即可．解：如图所示：取正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱AB 、BC 、CC 1的中点L 、K 、Q ，连接NL ，LK 、KQ 、QP ，由立方体几何性质以及中位线性质得NL//A 1B//D 1C//PQ ，同理KL//MP ，MN//KQ ，∴PQKLNM 共面．则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为12NQ =2√2，其面积为6×12×(2√2)2×√32=12√3． 故选D ．9.答案：B解析：本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 圆方程化为标准方程，圆x 2+y 2−4x =0上恰有四个点到直线2x −y +m =0的距离等于1，可得圆心到直线的距离小于1，即可求得实数m 的取值范围．解：圆x 2+y 2−4x =0可化为(x −2)2+y 2=4，圆心(2,0)，半径为2．∵圆x 2+y 2−4x =0上恰有四个点到直线2x −y +m =0的距离等于1，∴√5<1，∴−4−√5<m <−4+√5．故选：B ．10.答案：A解析：本题考查空间向量的三角形法则和数量积运算，属于简单题．由已知可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用数量积的运算律即可得出． 解：∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，又∵直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，二面角α−l −β的大小为60°，∵<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°，∴<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°， ∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =22+22+32+0+2×2×3×cos120°+0=11，∴CD =√11． 故选：A ．11.答案：A解析：本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，属于基础题.分别求出两圆的圆心和半径，根据圆心距离和半径之间的大小关系进行判断即可．解：两圆的标准方程为C 1：(x +1) 2+(y +2) 2=4，圆C 2：(x −2) 2+(y +2) 2=25， 则圆心坐标C 1：(−1,−2)，C 2：(2,−2)，半径R =2，r =5，圆心距离|C 1C 2|=√[2−(−1)]2+[−2−(−2)]2=3=|R −r|，即圆C 1与圆C 2内切．故选A ．12.答案：B解析：本题考查直线与平面所成的角，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由题意画出图形，分类求出BC 的最小值与最大值即可．解：分别过B ，C 作底面的垂线，垂足分别为B 1，C 1．由已知可得，BB 1=√3，CC 1=√32，AB 1=1，AC 1=32． 如图，当AB ，AC 所在平面与α垂直，且B ，C 在底面上的射影B 1，C 1在A 点同侧时BC 长度最小， 当AB ，AC 所在平面与α垂直，且B ，C 在底面上的射影B 1，C 1在A 点两侧时BC 长度最大．过C 作CD ⊥BB 1，垂足为D ，则BD =√32， B 1C 1的最小值为12，最大值为52，∴BC 的最小值为(12)(√32)=1，最大值为(52)(√32)=√7． ∴线段BC 长度的取值范围为[1,√7]，故选：B ． 13.答案：14π解析：本题考查长方体的外接球的表面积，属于基础题.利用长方体的特征求出球半径R ，由此能求出该球的表面积．解：∵长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上， ∴球半径R =√12+22+322=√142， ∴该球的表面积为S =4π×R 2=4π×(√142)2=14π． 故答案为：14π．14.答案：12解析：解：当m =1时，两条直线分别化为：x +y −1=0，x +2=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m ≠1时，两条直线的斜率分别为：−m ，11−m ，由于两条直线相互垂直，∴−m ⋅11−m =−1，解得m =12．综上可得：m =12．故答案为：12．对m 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：48解析：解：由三视图可知原几何体如图所示，可看作以直角梯形ABDE为底面，BC为高的四棱锥，由三棱锥的体积公式可得V=13×12×(2+6)×6×6=48，故答案为：48．由已知三视图和还原几何体，代入四棱锥的体积公式计算可得．本题考查三视图和几何体的体积的关系，还原几何体是解决问题的关键，属基础题．16.答案：48π解析：解：如图，O′为底面的中心，OO′⊥底面ABC，E为AD中点，且OE⊥AD，在正三角形ABC中，由AB=3求得O′A=√3，又OO′=AE=3，∴OA=2√3，∴S球=4π×12=48π，故答案为：48π．过底面中心O′作底面的垂线O′O，与过AD中点E与AD垂直的平面交于点O，O即为球心，建立矩形EAO′O，容易求得半径OA．此题考查了三棱锥外接球，难度适中．17.答案：解：(1)直线l′经过点A(−1,2)，且与直线x+2y−2=0平行，则直线l′的斜率为−12；所以直线l′的方程为：y −2=−12(x +1)，即x +2y −3=0； (2)直线l″经过点A(−1,2)，且与直线x +2y −2=0垂直，则直线l″的斜率为2；所以直线l″的方程为：y −2=2(x +1)，即2x −y +4=0．解析：利用两直线平行(或垂直)，求出对应直线的斜率，利用点斜式即可求出对应直线的方程． 本题考查了直线与直线的平行或垂直以及直线方程的求法问题，是基础题目． 18.答案：解：(1)证明：连结BD ，∵在四棱锥P −ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB ⊥BC ，BC =CD =1，PD =√2．∴BD =AD =√1+1=√2，∴AD 2+PD 2=AP 2，BD 2+PD 2=PB 2，∴AD ⊥PD ，BD ⊥PD ，∵AD ∩BD =D ，∴PD ⊥平面ABCD ，∵AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥PD ．(2)解：∵AD 2+BD 2=AB 2，∴AD ⊥BD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(√2,0，0)，B(0,√2,0)，C(−√22,√22,0)，P(0,0，√2)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−√2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,−√2)， 设平面ABP 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√2z =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y −√2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,1，1)， 设平面PBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2b −√2c =0m⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22a +√22b −√2c =0，取c =1，得m ⃗⃗⃗ =(−1,1，1)， 设二面角A −PB −C 的平面角为θ，则二面角A −PB −C 的余弦值为：cosθ=|m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=13．解析：【试题解析】(1)连结BD，推导出AD⊥PD，BD⊥PD，从而PD⊥平面ABCD，由此能证明AB⊥PD．(2)由AD2+BD2=AB2，得AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A−PB−C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．∵E为PC的中点，∴EQ//CD且EQ=12CD．又∵AB//CD且AB=12CD，∴EQ//AB且EQ=AB．∴四边形ABED是平行四边形，∴BE//AQ.又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，∴BE//平面PAD．(Ⅱ)解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．解析：本题考查线面平行的判断以及面面垂直的性质，属中档题．(Ⅰ)本小题考查线面平行的判断，要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内一条直线平行即可;(Ⅱ)本小题考查面面垂直的性质，首先根据面面垂直的性质可知直线AD ⊥平面PCD ，再结合PC =DC 即可证出F 为PD 中点时CF ⊥PA ．20.答案：解：(1)方程x 2+y 2−2x −4y +m =0，可化为(x −1)2+(y −2)2=5−m ， ∵此方程表示圆，∴5−m >0，即m <5．(2)圆的方程化为 (x −1)2+(y −2)2=5−m ，圆心 C(1,2)，半径 r =√5−m ， 则圆心C(1,2)到直线l ：x +2y −4=0的距离为 d =√12+22=√5， 由于|MN|=4√5，则12|MN|=2√5，有r 2=d 2+(12|MN|)2， ∴5−m =(√5)2+(√5)2，得m =4．解析：(1)方程x 2+y 2−2x −4y +m =0，可化为(x −1)2+(y −2)2=5−m ，利用方程表示圆，即可求m 的取值范围；(2)求出圆心C(1,2)到直线l ：x +2y −4=0的距离，利用|MN|=4√55，求m 的值．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题． 21.答案：(1)证明：因为AB =3，BC =4，所以图(2)中AC =5，从而有AC 2=AB 2+BC 2，即BC ⊥AB ．又因为BC ⊥BB 1，BB 1∩AB =B ，所以BC ⊥平面ABB 1A 1，则AP ⊥BC ；(2)解：S △APA 1=12AA 1⋅AB =18，由于CQ//面APA 1且BC ⊥面APA 1，所以Q 到面APA 1距离就是BC 的长4，所以V Q−APA 1=13×18×4=24；(3)解：以BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系，则A(3,0，0)、C(0,4，0)、P(0,0，3)、Q(0,4，7)．所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4，0)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4)，设直线AC 与直线PQ 所成角为θ，则cosθ=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5×4√2=2√25．解析：(1)由勾股定理逆定理，可得BC ⊥AB ，再由线面垂直的判定定理和性质定理，即可得证；(2)求出三角形APA 1的面积和Q 到面APA 1距离，运用棱锥的体积公式，即可得到；(3)以BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出向量AC ，PQ 的坐标，由向量的夹角公式，即可得到．本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行和垂直的判定和性质定理及运用，考查棱锥的体积公式，以及异面直线所成的角的求法，注意运用坐标法解决，属于中档题．。

2019-2020学年安徽省芜湖市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1350y --=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可. 【详解】350y --=故倾斜角θ的正切值tan θ=,又[)0,θπ∈,故6πθ=.故选：A 【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型. 2．下列说法正确的是（ ）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥C ．用平行于圆台底面的平面截圆台，其截面是圆面D ．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 【答案】C【解析】根据常见几何体的定义判断或举出反例即可. 【详解】对A, 有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体也可以是台体,故A 错误. 对B,如图所示多面体满足只有底面为四边形,其他面均为三角形,但不是锥体对C, 用平行于圆台底面的平面截圆台,其截面是圆面正确.对D, 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的结合体,故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查基本几何体的判断与概念等,属于基础题型.3．如图正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．8cmB ．6cmC ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由题意得，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以，对应原图形平行四边形的高为，如图所示，所以原图形中，，所以原图形的周长为，故选A ．【考点】平面图形的直观图．4．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交C ．外切D ．内切【答案】C【解析】1(2,2)C -，11r =，2(2,5)C ，24r =，12125C C r r ===+，即两圆外切，故选C ．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． (2)切线法：根据公切线条数确定． （3）数形结合法：直接根据图形确定5．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．1-或3 B ．1-C ．3-D ．1或3-【答案】B【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m 的值. 【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m ﹣2）x+3y+2m=0互相平行， ∴13m 202620m m m ⨯-=⎧⎨-≠⎩﹣（﹣）解得 m=﹣1， 故选：B ． 【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论： 已知1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则12211212210//0A B A B l l AC A C -=⎧⇔⎨-≠⎩，1212120l l A A B B ⊥⇔+= ．6．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若//,//m m βα，则//βα B ．若//,//m n n α，则//m α C ．若,m n m α⊥⊥，则//n α D ．若//,m m βα⊥，则βα⊥【答案】D【解析】利用正方体中的线面关系容易否定,,A B C ，故选D ． 【详解】选取一个正方体，如下图：对于答案A ，令11m A D =,α=平面ABCD ，β=平面11AB C D , 满足//,//m m βα，但是α与β不平行，所以A 答案错误. 对于答案B ，令11m A D =，n AD =，α=平面1111D C B A ， 满足//,//m n n α，但是α与m 不平行，所以B 答案错误. 对于答案C ，令11m A D =，α=平面11CDD C ,11n C D =, 满足,m n m α⊥⊥,但是α与n 不平行，所以C 答案错误. 排除,,A B C . 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了线面位置关系，考查空间思维能力及举特例方法，属于基础题。

芜湖一中20242025学年第一学期期中考试高一数学试卷命题人： 审校人：一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知,,R y R x ∈∈则”且“11>>y x 是”“2>+y x 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知集合{}210A x x =-≥，集合}021|{≤-=x x B ，则=B A C R )(（ ） A ．}121|{≥≤x x x 或 B ．}211|{≤<-x x C ．}121|{<≤x x D ．}1|{<x x3．已知函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则1)12(-+=x x f y 的定义域为（ ）A ．]4,1[-B ．]23,1(C ．3[1,]2D ．]9,1(4．设R b a ∈，，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b a 11<B ．22bc ac >C ．||||b a >D ．33b a > 5．不等式01>++b x ax 的解集为{1x x <-或}4x >，则0)1)((≥-+bx a x 的解集为（ ）A ．]141[，B ．),1[]41,(+∞-∞ C ．]41,1[-- D ．),41[]1,(+∞---∞6．已知3,0,0-=+>>ab b a b a ，若不等式1222-≥+m b a 恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．77．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点),(),,(2211y x B y x A 的曼哈顿距离||||),(2121y y x x B A d -+-=，若点)1,2(M ，点P 是直线3+=x y 上的动点，则),(P M d 的最小值为（ ） A. 2B. 3C.4D.58．已知)(),(x g x f 是定义域为R 的函数，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，满足2)()(2++=+x ax x g x f ，若对任意的2121<<<x x ，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,∞+B ．5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭C ．5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对的得部分分) 9．下列说法正确的是（ ）A ．11-⋅+=x x y 与12-=x y 表示同一个函数B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件 C. 若命题32,0:=≥∃x x p ，则32,0:≠<∃⌝x x pD. 若命题q ：对于任意2R,20x x x a ∈+->为真命题，则1a <- 10．下列选项正确的有（ ）A ．当),1(+∞∈x 时，函数1222-+-=x x x y 的最小值为2B ．()1x ∈-∞，，函数31y x x =+-的最大值为-C．函数2y 的最小值为2D ．当0a >，0b >时，若2a b ab +=，则2+a b的最小值为3211. 已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=3,1430|,1|)(x x x x x f ，下列叙述正确的是（ ） A. 函数)(x f 的值域为]2,2[- B ．关于x 的方程21)(=x f 的所有实数根之和为11 C ．关于x 的方程0)(=x f 有且只有两个不等的实根 D. 当)0,3[-∈x 时，)(x f 的解析式为|1|)(+-=x x f三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12. 已知},2,1{},,3,1{,,2b a B a A R b a +==∈，若B A =，则._________=+b a 13. 已知x x x f 2)1(+=+，则)(x f 的解析式为__________.14. 已知方程2620x x a -+=的两根分别为,,,2121x x x x ≠若对于]3,2[∈∀t ，都有22211x x tt +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （本小题满分13分）已知集合}121|{-≤≤+=a x a x A ，}61|{≤≤-=x x B . (1)当4=a 时，求B A ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16. （本小题满分15分）已知幂函数()()222433mm f x m m x+-=-+为定义域上的偶函数.(1)求实数m 的值；(2)求使不等式)()12(t f t f <-成立的实数t 的取值范围.17. （本小题满分15分） 已知函数1)(2++=bx ax x f .(1) 若,12+=b a 且0<a ，求不等式()3f x >的解集（结果用a 表示）； (2)若3)1(=f ，且b a ，都是正实数，求111++b a 的最小值.18. （本小题满分17分）已知函数bax x x f ++=1)(2是其定义域上的奇函数，且2)1(=f .(1)求b a ,的值； (2)令函数)(21)(22x mf xx x h -+=)(R m ∈，当]3,1[∈x 时，)(x h 的最小值为8-，求m 的值.19. （本小题满分17分）一般地，若函数()f x 的定义域是[,]a b ，值域为[,]ka kb ，则称[,]ka kb 为()f x 的“k 倍跟随区间”，若函数的定义域为[,]a b ，值域也为[,]a b ，则称[,]a b 为()f x 的“跟随区间”. (1)写出二次函数221)(x x f =的一个“跟随区间”； (2)求证：函数()11g x x=-不存在“跟随区间”；(3)已知函数)0,(1)()(22≠∈-+=a R a xa x a a x h 有“4倍跟随区间”]4,4[n m ，当m n -取得最大值时，求a 的值.。

安徽省芜湖市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．直线3350x y --=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可. 【详解】直线3350x y --=的斜率为3,故倾斜角θ的正切值3tan 3θ=,又[)0,θπ∈,故6πθ=.故选：A 【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型. 2．下列说法正确的是（ ）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥C ．用平行于圆台底面的平面截圆台，其截面是圆面D ．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 【答案】C【解析】根据常见几何体的定义判断或举出反例即可. 【详解】对A, 有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体也可以是台体,故A 错误. 对B,如图所示多面体满足只有底面为四边形,其他面均为三角形,但不是锥体对C, 用平行于圆台底面的平面截圆台,其截面是圆面正确.对D, 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的结合体,故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查基本几何体的判断与概念等,属于基础题型.3．如图正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．8cmB ．6cmC ．D ．【答案】A4．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交C ．外切D ．内切【答案】C5．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．1-或3 B ．1-C ．3-D ．1或3-【答案】B6．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若//,//m m βα，则//βα B ．若//,//m n n α，则//m α C ．若,m n m α⊥⊥，则//n α D ．若//,m m βα⊥，则βα⊥【答案】D7．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．203B ．403C ．83D ．40【答案】B8．与圆224240x y x y +-++=关于直线30x y -+=成轴对称的圆的方程是（ ）A ．22810400x y x y +-++= B ．22810200x y x y +-++= C ．22810400x y x y ++-+= D ．22810200x y x y ++-+=【答案】C9．若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 【答案】D 【解析】【详解】 因为直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点， 2222111111a b a b ≤⇒+≥+，故选D10．由直线1y x =+上的一点P 向圆C ：()2231x y -+=引切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ） A ．1 B ．22C 7D ．3【答案】C 【详解】根据题意，连接PA PB PC 、、 ，圆C ：()2231x y -+=的圆心为(3,0)，半径1r =， 设PA PB d ==，则四边形PACB 面积122()2PBC PAC PAC S S S S d r d =+=⨯=⨯⨯⨯=V V V ， 又由221d PC =-，则当PC 取得最小值时，切线长d 取得最小值， 此时四边形PACB 面积取得最小值，而PC 的最小值为圆心C 到直线1y x =+的距离，设其最小值为d '， 则312211d +'==+，则2min ()1817d d '=-=-= ； 故四边形PACB 面积的最小值为7 ； 故选：C ． 11．在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B12．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（ ） A ．313 B ．95C ．18D ．21【答案】C【解析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可.【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=u u u r u u u r ,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C二、填空题13．已知直线l 过点()2,2-且与直线1l ：230x y -+=垂直，则直线l 的方程为______. 【答案】220x y ++=【解析】根据直线l 与直线1l ：230x y -+=垂直求得直线l 的斜率,再利用点斜式求出直线l 的方程即可. 【详解】1l ：230x y -+=的斜率为1122-=-,故直线l 的斜率2k =-. 故直线l 方程为22(2)y x -=-+,化简得220x y ++=故答案为：220x y ++=14．已知正三棱柱111ABC A B C -，2AB =，13AA =，D ，E 分别是棱11A B ，11A C 中点，则异面直线AD 与CE 夹角的余弦值为______. 【答案】58【详解】画出图形,建立如图空间直角坐标系,则1(0,1,0)A -，(0,1,3)A -，1(3,0,0)C ，(3,0,3)C ,31(,,0)22E =-， ∴(0,1,3)AD =-u u u r ,31(,,3)22CE =---u u u r, 设直线AD 与CE 夹角为θ,则153522cos 483113344AD CE AD CEθ-+⋅====⋅+⋅++u u u r u u u ru u ur u u u r故答案为：5815．已知m R ∈，动直线1l ：10x my +-=过定点A ，动直线2l ：230mx y m --+=过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于点A ，B ），则PA PB +的最大值为______. 【答案】5【详解】对于直线10x my +-=，令0y =，可得1x =，故它过定点(1,0)A ，且它的斜率为1m-． 对于动直线2l ：230mx y m --+=，即(2)30m x y --+=， 令20x -=，求得2x =，3y =，过定点()2,3B ， 且它的斜率为m ，故1l 与2l 垂直．1l Q 与2l 交于点P （异于点A ，B ）， 22210PA PB AB ∴+==．222522PA PB PA PB ⎛+⎫+≤= ⎪⎝⎭Q ， 52PA PB+∴≤ ，25PA PB ∴+≤ ，当且仅当PA PB =时，PA PB +的最大值为25 ， 故答案为：25．16．如图，在直角梯形SDCB 中，//SD CB ，CD SD ⊥，7SD =，4BC =，4DC =，A 在线段SD 上，E 是线段AB 的中点，沿AB 把平面SAB 折起到平面PAB 的位置，使PA ⊥平面ABCD ，则下列命题正确的编号为______.①二面角P CD B --的余弦值为35； ②设折起后几何体的棱PD 的中点F ，则//AF 平面PEC ； ③8D PEC V -=；④四棱锥P ABCD -的内切球的表面积为4π. 【答案】②③④【解析】先由题意求得四棱锥的位置关系SA AB ⊥进而得到棱长的值，以此判断各个命题的真假． 【详解】由题意如图：使PA ⊥平面ABCD 时，则PA AB ⊥，PA AD ⊥， 所以没有折叠前SA AB ⊥，即四边形ABCD 是矩形，4AD BC ==，3SA PA ==，5PD =，PA ⊥Q 平面ABCD ，面PAD ⊥面AC ，CD AD ⊥，面PAD I 面AC CD =，CD ⊆面AC ，CD \^面PAD ，CD PD ∴⊥，PDA ∴∠为二面角P CD B --的平面角，45AD cos PDA PD ∠==，所以①不正确， 取PC 的中点M ，连接EM ，MF ， 所以////12MF CD AE ，12MF CD AE ==， 四边形AFME 为平行四边形，//AF EM ∴，而EM ⊆面PEC ，AF PEC ⊄， //AF ∴面PEC ．所以②正确，E 到CD 的距离等于AD ，1111144833232D PEC P DEC DEC V V S PA CD AD PA --==⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=V ，所以③正确；设四棱锥的内切球半径为R ，四棱锥P ABCD -被内切球的球心O 分成5个小棱锥，之和等于大棱锥的体积，即P ABCD O ABCD O PAB O PAD O PCD O PBC V V V V V V ------=++++1111114434443434545332222R ⎛⎫∴⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭1R ∴= ，所以内切球的表面积为244R ππ=，所以④正确， 故答案为：②③④．三、解答题17．在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，4=AD ，3BC =，3BAD π∠=，以AB 所在的直线为轴，四边形旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积.【答案】2183ππ+【解析】画图分析可得,旋转体为圆锥与圆台的组合体,故表面积为圆锥侧面积与圆台侧面积加底面面积即可. 【详解】 由图,D 到AB 的距离sin 4sin233R AD A π=⋅=⨯=sin6CD BC R π⨯+=,故CD 23=,又C 到垂线的距离sin33h CD π=⨯=.故可得圆锥部分侧面积183S AD R ππ=⋅⋅= ,圆台的侧面积2()=18S CD BC R ππ=⋅⋅+,底面面积233S BC ππ=⋅=.故表面积123831832183S S S S πππππ=++=++=+故答案为：2183ππ+ 【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积问题,需要分析各个面的形状再代入公式进行运算即可.属于中等题型.18．在ABC ∆中，已知BC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=,A ∠平分线所在直线的方程为0y =，若点B 的坐标为（1，2），（Ⅰ）求直线BC 的方程； （Ⅱ）求点C 的坐标【答案】（Ⅰ）2x +y -4=0（Ⅱ）C （5，-6） 【解析】【详解】（Ⅰ）因为BC 与BC 边上的高互相垂直， 且BC 边上的高的斜率为12， 所以，直线BC 的斜率为 -2 ， 因此由点斜式可得直线BC 的方程为y -2=-2(x -1) ，化简得 2x +y -4=0（Ⅱ）由x -2y +1=0和y =0求得A (-1, 0)由AB ，AC 关于角A 平分线x 轴对称得AC 直线方程y =-x -1由 于BC 方程为：y =-2x +4由BC ，AC 联立解得C （5，-6）19．如图，正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22AB AD ==，E 为AB 的中点.（1）求证：1//BD 平面1A DE ；（2）求二面角1D EC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6 【解析】（1）证明1//BD 平面1A DE ，利用线面平行的判定定理，连接1AD 交1A D 于F ，利用三角形的中位线的性质，证明1//EF BD 即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面1D EC 的一个法向量、面DEC 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】（1）证明：连接1AD 交1A D 于F ，则F 为中点，连接EF ，如图．E Q 为中点，1//EF BD ∴．又EF ⊆面1A DE ，1BD ⊄面1A DE ，1//BD ∴面1A DE ．（2）由面ABCD ⊥面11ADD A ，且四边形11ADD A 为正方形，四边形ABCD 为矩形，得1D D AD ⊥，1D D DC ⊥，DC DA ⊥．于是以D 为原点DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()0,0,0D ∴、()10,0,1D 、()1,1,0E 、()0,2,0C()11,1,1D E ∴=-u u u u r 、()10,2,1D C =-u u u u r 、()10,0,1DD =u u u u r设面1D EC 的一个法向量为(),,n x y z =r面DEC 的一个法向量为()10,0,1DD =u u u u r则1100n D E n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v ，即020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 解得：11,,122n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ． 设二面角1D EC D --的大小为α，116cos 11 144n DD n DD α⋅∴===++r u u u u r r u u u u r ． 【点睛】 本题考查利用线面平行的判定定理证明线面平行，考查利用空间向量知识解决立体几何二面角问题，属于中档题．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，1AB =，2AD DC AP ===，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 面PAD ；（2）证明：面PBC ⊥面PDC ；（3）求直线PD 与面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3【解析】(1)取PD 中点M ,证明//BE AM 即可.(2)证明BE ⊥面PDC 即可.(3)利用等体积法,先求出三棱锥P DBC -的体积,再求出PBC V 的面积,进而求得D 到平面PBC 的体积,再求解PD 与面PBC 所成角的正弦值即可.【详解】(1) 取PD 中点M ,连接,ME MA .因为E 为棱PC 的中点,所以12ME DC =且//ME DC ,又//AB DC 且12AB DC =, 故//AB ME 且AB ME =,故四边形ABEM 为平行四边形,故//AM BE , 又AM ⊂面PAD ,BE ⊄面PAD ,故//BE 面PAD .(2)因为AD AP =,故AM PD ⊥,又PA ⊥底面ABCD ,故面PAD ⊥面ABCD , 又面PAD I 面ABCD AD =,AD AB ⊥,//AB DC ,故DC AD ⊥,故DC ⊥面PAD ,故DC AM ⊥.所以AM CD AM PD CD PD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩,PD ⊂面PDC ,DC ⊂面PDC ,故AM ⊥面PDC .又//AM BE ,所以BE ⊥面PDC .又BE ⊂面,PBC 故面PBC ⊥面PDC . (3)11142223323P BCD BCD V S PA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=V .又PB =BC ==PC =故12PBC S =⨯=V 故D 到平面PDC 的距离h 满足13P BCDPBC V S h -=⋅V即4133h =,所以h =. 设直线PD 与面PBC 所成角为θ,则sin h PD θ==即直线PD 与面PBC所成角的正弦值为3.【点睛】本题主要考查了线面平行与面面垂直的判定,同时也考查了直线与平面夹角的问题,属于中等题型.21．已知圆C ：()()22121x y -+-=，过圆C 外一点P 作该圆的一条切线，切点为Q ，O 为坐标原点，且有OP PQ =.（1）求点P 的轨迹方程E ；（2）若轨迹方程E 与圆2260x y x y m ++-+=相交于M ，N 两点，O 为原点，且OM ON ⊥，求实数m 的值.【答案】（1）220x y +-=（2）145m = 【解析】（1）根据题意，连接QC ，PC ，分析可得PMC △为直角三角形，即222PQ PC QC =-，设,Px y （），分析可得1CQ =，又由OP PQ =，分析可得2222(1)(2)1x y x y +=-+--，变形可得P 的轨迹方程．（2）设11M x y （,），22N x y （,），由M ，N 在直线上分析可得1122x y =-，2222x y =-，则121212444x x y y y y =-++（），又由OM ON ⊥，分析可得12124450y y y y -++=（），联立直线与圆的方程，分析可251660y y m -++=，结合根与系数的关系分析可得12165y y +=，1265m y y +=，代入上式可得答案． 【详解】（1）由于PQ 为圆C 的切线，连接QC ，PC ，则CQ PQ ⊥，所以PQC △为直角三角形，即222PQ PC QC =- 设,P x y （） ，由圆C ：()()22121x y -+-=知()1,2C ，1CQ = ， 因为OP PQ =，所以222OP PC QC =-，即2222(1)(2)1x y x y +=-+--，化简得点P 的轨迹方程为220x y +-=. （2）设11M x y （,），22N x y （,），由M ，N 在直线上220x y +-=可得1122x y =-，2222x y =-，121212444x x y y y y =-++（） 又由OM ON ⊥，则12120x x y y +=即12124450y y y y -++=（）① 由2222060x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩得251660y y m -++= ， 所以12165y y +=，1265m y y +=， 代入①得145m =. 【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系及求轨迹方程，注意将圆的一般方程的形式，属于综合题．，解题时要认真审题，注意直线与圆的相切问题及研究曲线的轨迹方程的合理运用．22．已知圆C ：224x y +=，过坐标原点O 的直线l 交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PH x ⊥轴，垂足为H .连结QH 并延长交C 于点R .（1）设O 到直线QH 的距离为d ，求d 的取值范围；（2）求PQR ∆面积的最大值及此时直线l 的方程.【答案】（1）203d <≤ （2）PQR S ∆的最大值为1629，直线l ：2y x = 【解析】（1）设直线l 的方程为y kx =，与圆的方程联立，构成方程组，解出P ，Q 的坐标，再利用点线的距离公式求解；（2）把直线PQ 的方程与圆的方程联立，得到关于x 的一元二次方程，运用根与系数的关系可求得点R 的横坐标，进而表示出PQR V 的面积，再通过化简变形，结合双勾函数的性质求得最大值及相应的直线方程．【详解】（1） 设直线l 的方程为(0)y kx k =>，与圆的方程联立有224x y y kx ⎧+=⎨=⎩， 消y 并整理得，2241x k += ， 2211P kk ⎛⎫∴++,，2211Q k k ⎛⎫ ++⎝，21H k ⎛⎫⎪+⎭， 22121QH k k k k +∴+， ∴直线QH 的方程为221k y x k ⎛⎫= +⎝， 即2 021kx y k -+，d∴=，2244kk+≥Q，23∴<≤=，即23d<≤；（2）直线QH与圆的方程联立有，2242x yky x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消y并整理得，2222243441k kx xk++-=+，由根与系数的关系有，222)4(341())4(Q Rkx xk k+-++=，2Rx∴，1||()21122PQR Q R HS OH PH OH y PH x x∴++-V=223412k⎡⎤+=232222()()()()28228814141()4kk k k k kk k k kk kk k=⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭+++==⨯⨯+++⎝++⎭+22222884251k kk kk kk k++=⨯⨯⎛⎫++++⎪⎝⎭＝，令()2t k kk+>=，则t≥，当且仅当k=28818119PQRtSt tt=≤++V==，故PQR V 面积的最大值为9，直线l ：y ． 【点睛】 本题综合考查了直线与圆的位置关系及距离公式，圆锥曲线中的最值问题，双勾函数性质的运用等，本题看似入手很易，但实质是以小见大，比如通过数形结合得到三角形的面积，通过对目标函数化简，进而简化式子表达，并转化为熟悉的双勾函数等，特别是训练了学生的运算能力及化简变形能力，对数学的综合素养要求较高，是一道较难题目．。

2019-2020学年安徽省芜湖一中高二（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.直线√2x+√6y+1=0的倾斜角是()A. 5π6B. π6C. π3D. 2π32.下列说法正确的是()A. 三点确定一个平面B. 四边形一定是平面图形C. 梯形一定是平面图形D. 一条直线和一个点确定一个平面3.如图，正方形O′A′B′C′的面积为4，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为()A. 4√3+4B. 16C. 12D. 4√2+44.直线3x+2y−3=0与6x+my+1=0互相平行，则m的值为()A. −9B. 3C. 4D. −45.设a,b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是()A. a⊥α，b//β，α⊥βB. a⊥α，b⊥β，α//βC. a⊂α，b⊥β，α//βD. a⊂α，b//β，α⊥β6.已知过点A(−2,m)和点B(0,−4)的直线与直线2x+y−1=0平行，则实数m的值为()A. −8B. 0C. 1D. 107.已知a、b是两条异面直线，c//a，那么c与b的位置关系()A. 一定是异面B. 一定是相交C. 不可能平行D. 不可能垂直8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是棱AD、CD的中点，若该正方体的外接球与直线EF交于点G、H，且GH=√6，点Q是棱DD1上的一个动点，则AQ+B1Q的最小值是()A. 3(3+√5)4B. 3+√5 C. 2√4+2√2 D. 32√4+2√29.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 60B. 30C. 20D. 1010.已知三棱锥P−ABC的侧棱长相等，底面正三角形ABC的边长为√2，PA⊥平面PBC时，三棱锥P−ABC外接球的表面积为()A. √32B. √32π C. π D. 3π11.若实数a，b，c成等差数列，点P(−1,−2)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为点M，点N(3,2)，则|MN|的最大值为()A. 5B. 6C. 7D. 812.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，点E，F分别在棱AA1，BB1上，满足AE=13AA1，BF=23BB1，过D1，E，F三点的截面与棱B1C1交于点K，则线段KF的长为()A. √23B. √53C. √136D. 56二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.过点P(1,2)且与直线l：x−2y=3垂直的直线方程为______.(用斜截式方程表示)．14.两平行直线l1：ax+4y=0；l2：3x+4y+m=0，若两直线之间的距离为1，则m=______．15.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2√2，点D，E分别是棱AB，BB1的中点，若DE⊥EC1，则侧棱AA1的长为______．16.如图，四棱锥S−ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：①AC⊥SB；②AB//平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AC⊥SO；⑤AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角其中，正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AD=2，AB=3，AF=3√32，M为EF的中点，求多面体M−ABCD的外接球的表面积．18.证明：直线mx+y−m−1=0(m是参数且m∈R)过定点，并求出定点坐标．19.如图四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为菱形，BE⊥平面ABCD．(1)求证：AC⊥平面BED；(2)若，AB=2，求三棱锥E−ABD的体积．20.光线过点A(−2,4)，经过2x−y−7=0反射，若反射光线通过点B(5,8)，求入射光线与反射光线所在直线的方程．21.中国古代数学经典《数书九章)中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=√2，以C的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M(异于点D)，交PC于N(异于点C)．(Ⅰ)证明：AM⊥平面PCD，判断四面体MCDA是否为“鳖臑”，若是，写出它每个面的直角(只需写出结论)：若不是，请说明理由：(Ⅱ)求直线ON与平面ACM所成角的正弦值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A，解析：解：直线√2x+√6y+1=0的斜率k=−√33∴直线√2x+√6y+1=0的倾斜角α=5π．6故选：A．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．2.答案：C解析：解：不共线的三点确定一个平面，共线的三点确定无数个平面，故A不正确；四边形有可能是平面图形，有可能是空间图形，故B不正确；梯形中两条平行线确定一个平面，故梯形一定是平面图形，故C正确；直线与直线外一点确定一个平面，直线与直线上一点确定无数个平面，故D不正确．故选C．不共线的三点确定一个平面；四边形有可能是空间图形；梯形中两条平行线确定一个平面，故梯形一定是平面图形；直线与直线外一点确定一个平面．本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要注意平面的公理及其推论的灵活运用．3.答案：B解析：【分析】根据题目给出的直观图的形状，利用平面图形的直观图的画法，求出相应的边长，则问题可求．本题考查了平面图形的直观图，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，求出相应的边长．【解答】解：如下图所示，因为直观图中的线段C′B′//x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变为2，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=4√2，所以OC=6，则四边形OABC的周长为2×(6+2)=16．故选B．4.答案：C解析：解：因为直线3x+2y−3=0与6x+my+1=0互相平行，所以3m−2×6=0，解得m=4，故选C由直线平行可得3m−2×6=0，解之可得答案．本题考查直线方程的一般式，和直线的平行关系，属基础题．5.答案：C解析：【分析】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义，根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选C．6.答案：B解析：直线2x+y−1=0的斜率为k=−2，过点A(−2,m)和点B(0,−4)的直线与直线2x+y−1=0平行，故−2=m+4，解得m=0.−2故本题选题B．主要考查了两直线平行斜率相等，根据题意，根据过点A(−2,m)和点B(0,−4)的直线的斜率与直线2x+y−1=0相等，则−2=m+4，在计算即可．−27.答案：C解析：解：a、b是两条异面直线，c//a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．因为若c//b，因为c//a，由平行公理得a//b，与a、b是两条异面直线矛盾．故选：C．由平行公理，若c//b，因为c//a，所以a//b，与a、b是两条异面直线矛盾．异面和相交均有可能．本题考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力．8.答案：C解析：【分析】本题考查棱柱的特征，正方体的外接球，空间点线面距离的最小值的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出截面图形，求出棱长，通过求解三角形求出棱长，然后利用展开求解AQ +B 1Q 最小值． 【解答】解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是AD 中点，点F 是CD 中点，若该正方体的外接球与直线EF 交于点G 、H ，平面ABCD 截的球面图形如图所示：设正方形ABCD 的中心为O ，连接OD 交GH 于点M ，连接OH ，∵GH =√6， ∴MH =√62， ∵E 、F 分别是棱AD 、CD 的中点， ∴OM =12OD =12OH ， 设OM =a ，则OD =OH =2a ， 由勾股定理可得(2a )2−a 2=(√62)2，解得a =√22，∴OD =OH =√2，∴正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长AD =2，点Q 是棱DD 1上一个动点，要求AQ +B 1Q 最小值，只需把平面AA 1D 1D 沿DD11旋转到与DD 1B 1B 在一个平面内，连接AB 1，如图：AB 1就是AQ +B 1Q 最小值，∵AA 1=2，B 1D 1=2√2， ∴A 1B 1=2+2√2，∴AB 1=√22+(2+2√2)2=√16+8√2=2√4+2√2，故选C ． 9.答案：D解析：【分析】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示：该三棱锥的体积==10．故选D ． 10.答案：D解析：【分析】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．以PA 、PB 、PC 为过同一顶点的三条棱，作正方体如图，则正方体的外接球同时也是三棱锥P −ABC 外接球．算出正方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P −ABC 外接球的表面积． 【解答】解：∵三棱锥P −ABC 的侧棱长相等，故设AP =PB =PC =a ， 底面正三角形ABC 的边长为√2，PA ⊥平面PBC 时， 可得a 2+a 2=2，∴a =1， 即AP =PB =PC =1，以PA 、PB 、PC 为过同一顶点的三条棱，作正方体如图， 则正方体的外接球同时也是三棱锥P −ABC 外接球． ∵正方体的对角线长为√3a 2=√3，∴半径R =√32，因此，三棱锥P −ABC 外接球的表面积是4πR 2=4π×(√32)2=3π． 故选：D ． 11.答案：B解析：解：∵不全为零的实数a ，b ，c 成等差数列， ∴2b =a +c ， 把b =a+c 2代入直线l ：ax +by +c =0，可得ax +a+c 2y +c =0，化为a(2x +y)+c(y +2)=0， 由于a ，c 不全为0， 联立{2x +y =0y +2=0，解得{x =1y =−2，可知：动直线l 过定点Q(1,−2)， 设点M(x,y)， ∵PM ⊥QM ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y +2)⋅(x −1,y +2)=x 2−1+(y +2)2=0， 化为x 2+(y +2)2=1，因此点M 在以(0,−2)为圆心，1为半径的圆上，圆心(0,−2)到N(3,2)的距离d =√32+(−2−2)2=√9+16=√25=5， 则|MN|的最大值为d +r =5+1=6． 故选：B ．由于不全为零的实数a ，b ，c 成等差数列，可得2b =a +c.代入直线l ：ax +by +c =0可得a(2x +y)+c(y +2)=0，可得：动直线l 过定点(1,−2).由于PM ⊥MQ ，可知点M 在以PQ 为直径的圆上，进而得出答案．本题考查了等差数列的定义、直线过定点问题、圆的标准方程及其性质、最值问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．综合性较强． 12.答案：C解析：解：如右图所示，延长EF 和A 1B 1相交于点G ． 由题可知，B 1F =12A 1E =13.∴B 1G =A 1B 1． 连接D 1G 交B 1C 1于点K ．∵B 1G//D 1C 1且B 1G =D 1C 1.∴K 是B 1C 1的中点． 连接KF ，在Rt △FB 1K 中，B 1F =13，B 1K =12 ∴FK =√B 1F 2+B 1K 2=√(13)2+(12)2=√136． 故选：C ．把过点D 1，E ，F 的截面拓展就可以确定点K 的位置，从而求出线段KF 的长． 本题考查了平面的基本性质，解题关键是把平面D 1EF 拓展为平面D 1EFK ． 13.答案：y =−2x +4解析：解：直线l ：x −2y =3的斜率是：12由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k =−2， 所求直线的方程为y −2=−2(x −1)即y =−2x +4， 故答案为：y =−2x +4．由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k ，然后利用直线的点斜式可求直线方程． 本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是利用垂直关系求解出直线的斜率． 14.答案：±5解析：解：两平行直线l 1：ax +4y =0；l 2：3x +4y +m =0，∴a3=44≠0m ，∴a =3，m ≠0， ∴两平行直线l 1：3x +4y =0；l 2：3x +4y +m =0，=1，∴m=±5，若两直线之间的距离为1，则|m−0|√9+16故答案为：±5．，根据两直线之间利用两条平行线的性质求得a的值，再利用两条平行直线间的距离公式d=|C2−C1|√A2+B2的距离为1，求出m的值．应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础本题主要考查两条平行直线间的距离公式d=|C2−C1|√A2+B2题．15.答案：2√2)2，解析：解：设侧棱AA1的长为2x，则由题意，可得8+x2+2+x2=4x2+(2√2×√32∴x=√2，2x=2√2．故答案为2√2．)2，求出x，即可得出结论．设侧棱AA1的长为2x，则由题意，可得8+x2+2+x2=4x2+(2√2×√32本题考查侧棱AA1的长的计算，考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理是关键．16.答案：①②③④解析：【分析】由题意和线面垂直的判定定理、定义判断出①④正确；由AB//CD和线面平行的判定定理判断出②正确；由SD⊥底面ABCD、线面角的定义判断出③正确；由异面直线所成角的定义、边的大小关系判断出⑤错误．本题考查了线面平行、垂直的判定定理，线面角的定义，异面直线所成角的定义等应用，考查知识广泛，综合性强，熟练掌握定理、定义是解题的关键．【解答】解：连接SO，如右图：∵四棱锥S−ABCD的底面为正方形，∴AC⊥BD、AB=AD=BC=CD、AC=BD，∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC，∵SD∩BD=D，∴AC⊥平面SBD，∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，则①正确；∵AB//CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB//平面SCD，则②正确；∵SD⊥底面ABCD，∴∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，∵AD=CD，SD=SD，∴∠SAD=∠SCD，则③正确；∵AC⊥平面SBD，SO⊂平面SBD，∴AC⊥SO，则④正确；∵AB//CD，∴∠SCD是AB与SC所成的角，∠SAB是DC与SA所成的角，∵△SDA≌△SDC ，∴SA =SC ，∵AB =CD ，SB >SD ，∴∠SCD ≠∠SAB ，则⑤不正确，故答案为：①②③④．17.答案：解：记多面体M −ABCD 的外接球的球心为O ，如图，过点O 分别作平面ABCD 和平面ABEF 的垂线，垂足分别为Q ，H ，连接MH 并延长，交AB 于点N ，连接OM ，NQ ，AQ ，设球O 的半径为R ，球心到平面ABCD 的距离为d ，即OQ =d ，∵矩形ABEF 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，AF =3√32，M 为EF 的中点，∴MN =3√32，又AB =3，AD =2，∴AN =NB =32，NQ =1，∴R 2=(√22+322)2+d 2=12+(3√32−d)2， ∴d =√32，R 2=4，∴多面体M −ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=16π．解析：本题考查空间几何体的外接球的表面积，难度一般．设球O 的半径为R ，球心到平面ABCD 的距离为d ，构造方程R 2=(√22+322)2+d 2可求R ． 18.答案：略解析：取m =0,m =1得，y =1,x +y −2=0，联立解得，，x =1,y =1，将(1,1)代入mx +y −m −1=0检验满足方程，∴直线mx +y −m −1=0(m 是参数且m ∈R)过定点(1,1)．19.答案：(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∵BE ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥BE ，又∵BD ∩BE =B ，∴AC ⊥平面BED ；(2)解：∵∠ABC =120°，AB =2，∴AB =DB =2，AG =√3，DG =1，∵AE ⊥EC ，∴EG =12AC =√3，则BE =√2， ∴V E−ABD =13×12×2×2×sin60°×√2=√63．解析：本题考查了空间线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法．属于中档题．(1)证明AC ⊥BD ，AC ⊥BE ，即可证明AC ⊥平面BED ；(2)由已知求解三角形可得BE ，再由棱锥体积公式求解．20.答案：解：设点A 关于2x −y −7=0的对称点为A′(a,b)，点A′在反射光线所在直线上，则{2·a−22−b+42−7=0,b−4a+2·2=−1,解得{a =10,b =−2.∴A′(10,−2)，∴k A′B =−2−810−5=−2，∴反射光线的方程为y −8=−2(x −5)，即2x +y −18=0；直线2x −y −7=0与反射光线2x +y −18=0的交点为C(254,112)，k AC =211，∴入射光线的方程为y −4=211(x +2)，即2x −11y +48=0．解析：本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于中档题． 求得点A 关于直线2x −y −7=0的对称点A′的坐标，可得直线A′B 的方程为2x +y −18=0，即为反射光线所在的直线方程；求得直线2x −y −7=0与反射光线2x +y −18=0的交点C 的坐标，得到k AC =211，所以入射光线的方程为y −4=211(x +2)，得到答案． 21.答案：证明：(Ⅰ)∵AC 是球的直径，则AM ⊥MC ，又PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ，∵CD ⊥AD ，AD ∩PA =A ，AD 、PA ⊂平面PCD ，∴CD ⊥平面PCD ，AM ⊂平面PCD ，∴AM ⊥CD ，又PA =AD =2，M 是PD 中点，∴AM ⊥PD ，∴AM⊥平面PCD，根据证明可知四面体MCDA是“鳖臑”，它的四个直角分别是∠AMC，∠AMD，∠ADC，∠MDC．解：(Ⅱ)由第一问可知AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD中点，∴AM=MD=√2，MC=√MD2+CD2=2，取MC中点E，则在直角△MCD中，由MD=CD，得DE⊥MC，又AM⊥平面PCD，DE⊂平面PCD，从而AM⊥DE，∵AM∩MC=M，AM、MC⊂平面MAC，∴DE⊥平面MAC，∴D点到平面AMC的距离为ℎ=DE=1，又P与D关于M对称，P点到平面AMC的距离为1，又AN⊥PC，Rt△PAC中，NCPN =AC2PA2=32，∴CNPC =35，设N到平面ACM的距离为ℎ′，则ℎ′ℎ=CNPC=35，解得ℎ′=35，在直角△NAC中，ON=12AC=√62，记ON与平面AMC所成角为θ，则sinθ=ℎ′ON =√65．∴直线ON与平面ACM所成角的正弦值为√65．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．(Ⅰ)推导出AM⊥CD，AM⊥PD，由此能求出AM⊥平面PCD，根据证明可知四面体MCDA是“鳖臑”，它的四个直角分别是∠AMC，∠AMD，∠ADC，∠MDC．(Ⅱ)由AM⊥PD，PA=AD，则M是PD中点，取MC中点E，则DE⊥MC，又AM⊥平面PCD，从而AM⊥DE，由此得到DE⊥平面MAC，从而D点到平面AMC的距离为ℎ=DE=1，由P与D关于M对称，P点到平面AMC的距离为1，求出N到平面ACM的距离为ℎ′=35，由此能求出直线ON 与平面ACM所成角的正弦值．。

数学(理)试卷（考试时间；120分钟 满分；150分 ）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．每小题只有一项符合题目要求） 1. 如右图所示是一个几何体的三视图，则该几何体为 ( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球2.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03.下列命题中，错误的是（ ） A.一条直线和直线外一点确定一个平面 B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线D.如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β4.空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定5．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离6.设m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ①//,,,//m n m n αβαβ⊆⊆若则；②若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是( )A ．①③ B．①④ C ．②③④ D ．②③7．圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为（ ）A. 5B. 6 C ．2 5 D ．2 68.在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A. πB. πC. πD. π9．过点)1,0(P 与圆22(1)4x y -+=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（ ）A ．0=xB ．1=yC ．01=-+y xD ．01=+-y x10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )A. 2B.6C.22D.3211.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++= 对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.612．在一个45︒的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45︒，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上) 13.已知直线l 与直线01=--y x 垂直,则直线l 的倾斜角=α______________14．直线l ：(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒过定点_______.15．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －m ＝0的距离等于1的点有3个，则m =_______16. 六棱锥P —ABCDEF 中，底面ABCDEF 是正六边形，PA ⊥底面ABCDEF ，给出下列四个命题①线段PC 的长是点P 到线段CD 的距离； ②异面直线PB 与EF 所成角是∠PBC ；③线段AD 的长是直线CD 与平面PAF 的距离； ④∠PEA 是二面角P —DE —A 平面角。

2020-2021学年安徽省芜湖市第一中学高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知(1i)i 1i()b b R +=-+∈，则b 的值为A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】A【详解】试题分析：因为（1+bi ）i=i+bi 2=-b+i=-1+i ，所以1b -=-，1b =．【解析】复数乘除和乘方2．三名防控新冠疫情志愿者分别报名参加甲､乙两个社区服务，每个人限报其中一个服务社区.则不同的报法种数是（ ）A ．12种B ．9种C ．8种D ．6种 【答案】C【分析】由题意可知，每名防控新冠疫情志愿者有2种选择，结合分步计数原理计算即可得到答案.【详解】由题意可知，每名防控新冠疫情志愿者有2种选择，即2种情况，则不同的报法种数是2228⨯⨯=种，故选：C.3．函数()ln f x x x =的单调递减区间是（ ） A ．10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,eD ．[),e +∞【答案】B 【分析】求导后，解不等式()0f x '≤，与函数的定义域取交集即可得到答案.【详解】因为()ln f x x x =，定义域为()0,+∞，则()ln 1f x x '=+，令()0f x '≤，则01ex <≤，故选：B 4．如图所示是()y f x =的导函数()y f x '=的图象，下列4个结论：①()f x 在区间(3,1)-上是增函数；②1x =-是()f x 极小值点；③()f x 在区间(2,4)上是减函数；在区间(1,2)-上是增函数；④当2x =时，()f x 在区间[]3,5-上取得最大值.其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】结合图象首先判断函数()f x 的单调区间，然后结合选项逐项分析即可得到答案.【详解】由图象可知，(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，则()f x 单调递减；(1,2)x ∈-时，()0f x '>，则()f x 单调递增；(2,4)x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减；(4,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；故①错，③正确；()f x 在1x =-处取得极小值，则1x =-是()f x 的极小值点，故②正确；因为()f x 在(3,1)--上单调递减，在(1,2)-单调递增，在(2,4)单调递减，在(4,5)单调递增，则()f x 在1x =-处取得极小值，在2x =处取得极大值，在4x =处取得极小值，但不确定()()()3,2,5f f f -的大小关系，所以不确定是否在2x =处取得最大值,故④错误，故选：B.5．对于不等式 2n n +n ＋1(n ∈N)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当n ＝1时， 211+1＋1，不等式成立．（2）假设当n ＝k (k ∈N)时，不等式成立，即 2k k +k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（）A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【答案】D【分析】根据数学归纳法的定义即可判断答案.【详解】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.故选:D.6．已知函数3()12f x x x=-，若()f x在区间(2,1)m m+上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．[1,1]-B．(]1,1-C．()1,1-D．[)1,1-【答案】D【分析】首先求得导函数，由原函数单调递增求得函数的单调递增区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于m的不等式组，求解不等式组即可求得实数m的取值范围.【详解】详解：因为()()()2312322f x x x x==+'--，令()0f x'≤可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间()2,1m m+上单调递减，则区间（2m，m+1）是区间[]22-,的子区间，所以221212mmm m≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩，求解不等式组可得：111mmm≥-⎧⎪≤⎨⎪<⎩，解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是[)1,1-.故选：D7．函数cos()([,])xf x xe xππ=∈-的图像大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】cos ()()x f x xe f x -=-=- ,所以舍去A,C;cos cos cos ()(sin )(1sin )x x x f x e x x e x x e =+-=-',所以π,()02x f x '=< 即函数在(0,π] 上存在减区间,因此舍去D,选B.8．内接于半径R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ）A ．233RB ．439RC ．239RD ．49R 【答案】A【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可.【详解】根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：显然满足2224h r R =-， 故圆柱的体积()23214V h r h h R h πππ=⨯=-+， 故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<，令()0V h '>，解得2303h R <<，故此时()V h 单调递增， 令()0V h '<，解得2323R h R <<，故此时()V h 单调递减. 故()233maxV h V R ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 即当233h R =时，圆柱的体积最大. 故选：A.9．有曲线2y x =，直线2y x =-所围成的图形的面积为（ ）A ．43B ．196C ．236D ．92【答案】D 【分析】先求出曲线2y x =与直线2y x =-的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可.【详解】联立方程组得22y x y x ⎧=⎨=-⎩， 解得曲线2y x =与直线2y x =-的交点坐标为：()()1,1,4,2-，选择y 为积分变量，∴曲线2y x =和直线2y x =-所围成的图形的面积为()222321111811922242233232S y y dy y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+---+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 故选：D10．已知4a <且44a ae e =，3b <且33b be e =，2c <且22c ce e =，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c << D ．a c b <<【答案】C【分析】设()(0)x e f x x x =>，利用导数求得函数的单调性，画出图象，根据题意转化为()()4f a f =，()()3f b f =，()()2f c f =，结合图象，即可求解.【详解】设()(0)x e f x x x=>，可得()2(1)x e x f x x -=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，函数()f x 的图象如图所示，由4a <且44aae e =，可变形为44a e e a =，可得()()4f a f =； 由3b <且33bbe e =，变形为33b e e b =，可得()()3f b f =， 由2c <且22cce e =，变形为22c e e c =，可得()()2f c f =， 所以01a b c <<<<.故选：C11．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足2()10x f x '+>，5(2)2f =，则关于x 的不等式()1ln 2ln f x x >+ 的解集为（ ） A ．2(,)e +∞B ．2(0,)eC ．2(,)e eD ．2(1,)e【答案】A 【解析】构造函数1()()(0)g x f x x x=->，利用导数确定函数单调性，原不等式可化为(ln )(2)g x g >，根据单调性即可求解.【详解】令1()()(0)g x f x x x =->，则2221()1()()x f x g x f x x x '+''=+=， 因为0x >时，2()10x f x '+>， 所以2221()1()()0x f x g x f x x x '+''=+=>， 即函数1()()g x f x x=-在()0,+∞上单调递增； 又()522f =，所以1(2)(2)22g f =-=； 由()12ln f lnx x >+得()12ln f lnx x ->， 所以(ln )(2)g x g >，因此，ln 2x >，解得2x e >.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求解不等式，属于中档题.12．1642年，帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机.1674年，莱布尼茨改进了帕斯卡的计算机，但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂，随即提出了“二进制”数的概念.之后，人们对进位制的效率问题进行了深入的研究.研究方法如下：对于正整数n ，()2x x ≥，我们准备nx 张不同的卡片，其中写有数字0，1，…，1x -的卡片各有n 张.如果用这些卡片表示n 位x 进制数，通过不同的卡片组合，这些卡片可以表示x 个不同的整数(例如3n =，10x =时，我们可以表示出000999⋯共310个不同的整数).假设卡片的总数nx 为一个定值，那么x 进制的效率最高则意味着nx 张卡片所表示的不同整数的个数n x 最大.根据上述研究方法，几进制的效率最高？ A ．二进制B ．三进制C ．十进制D ．十六进制 【答案】B【分析】设nx k =为定值，可得nx 张卡片所表示的不同整数的个数kx y x =，()*,x k ∈N ，假设x ，k +∈R ，可得ln ln k y x x=，即ln e k x x y =，利用求导研究其单调性即可求出答案． 【详解】设nx k =为定值， 则nx 张卡片所表示的不同整数的个数kx y x =，()*,x k ∈N ， 假设x ，k +∈R ， 则ln ln k y x x=，即ln e k x x y =，求导可得：()ln 2'e 1ln k x x k y x x =⋅-， 因为ln 2e 0k x x k x ⋅>，所以当0e x <<，0y '>，当e x >，0y '<， 可得e x =时，函数y 取得最大值，比较22k ，33k的大小即可，分别6次方可得：328k k =，239k k =，可得89k k <，3223k k ∴<．∴根据上述研究方法，3进制的效率最高． 故选B ．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值与最值的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题13．按照图①～图③的规律，第10个图中圆点有______个．【答案】40【分析】根据图形可得每次增加4个点，即可得出.【详解】因为根据图形，第一个图有4个点，第二个图有8个点，第三个图有12个点，…，所以第10个图有10×4＝40个点． 故答案为：40.14．2211(1(1))x dx x --=⎰___________. 【答案】ln 24π+【分析】根据定积分的运算，将函数分为两个部分，分别用定积分的几何意义和微积分基本定理求解，再合并起来即可．【详解】()221111x dx x ⎫--⎪⎭⎰()2211111x dx dx x =--+⎰⎰ 由定积分的几何意义可知()2111x dx --⎰表示圆()2211x y -+=的14部分， 即()21114x dx π--=⎰，由微积分基本定理可知12121ln ln 2ln 0ln 2dx x x⎰==-=，所以211dx x ⎫=⎪⎭⎰ln 24π+. 故答案为：ln 24π+15．已知函数2()2ln x f x e x t -=--有四个零点，则实数t 的取值范围为___________.【答案】()0,2ln 21-【分析】函数2()2ln x f x e x t -=--的零点个数，也就是22ln x y e x -=-与y t =的交点个数，设()22ln x g x e x -=-，利用导数求出()g x 的单调性和最值，然后在同一直角坐标系中画出图象即可得出答案.【详解】函数2()2ln x f x e x t -=--的零点个数，也就是22ln x y e x -=-与y t =的交点个数，设()22ln x g x e x -=-，显然函数的定义域为()0,∞+，()22x g x e x -'=-， 记()22x h x e x-=-，则有()20h =，()2220x h x e x -'=+>， ()h x ∴在()0,∞+上单调递增，所以当()0,2x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在()0,2上单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在()2,+∞上单调递增，所以()()min 212ln 20g x g ==-<，同一直角坐标系中画出函数22ln x y e x -=-与y t =的大致图象，如图：由图可知，函数22ln x y e x -=-与y t =有四个交点，可得02ln 21t <<-.故答案为：()0,2ln 21-16．已知不等式[]1ln(1)x e x m x x -->-+对一切正数x 都成立.则实数m 的取值范围是___________.【答案】(],1-∞【分析】设()()ln 1f x x x =-+，利用导数判断()f x 在()0,∞+上单调递增，分离参数等价于()()1x f e m f x -<恒成立，构造函数()1x h x e x =--，得出1x e x ->在()0,∞+上恒成立，进而证出()()1x f e f x ->，即求.【详解】设()()ln 1f x x x =-+，则()11x x f e e x -=--，故()()1x f e mf x ->对一切正数x 都成立，()()110011x f x x x x'=-=>>++， 故()f x 在()0,∞+上单调递增，()()0ln 010f x -+=＞，()()1x f e m f x -∴<恒成立，由()1x h x e x =--，()1x h x e '=-在()0,∞+上恒大于零，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00h x h >=，1x e x ∴->在()0,∞+上恒成立，()()1x f e f x ∴->，()()11x f e f x -∴>，1m ∴≤.故答案为：(],1-∞三、解答题17．（1）复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |=1，且1z z +=，求z ；（2）已知复数25(15)3(2)12m z i m i i=-+-+-为纯虚数，求实数m 的值. 【答案】（1）12z =；（2）2m =-. 【分析】（1）设()0,0z a bi a b =+><，根据1,1z z z =+=列方程，解方程求得,a b ，也即求得z .（2）利用复数的乘法和除法运算化简z ，根据z 为纯虚数，求得实数m 的值.【详解】（1）设()0,0z a bi a b =+><，依题意1,1z z z =+=，即22121a b a bi a bi a ⎧+=⎨++-==⎩，解得12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12z =. （2）依题意()()()22251256325631212m i z m mi i m m i m mi i i i +=----=+-----+ ()226253m m m m i =--+--.由于z 为纯虚数，则22602530m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得2m =-. 【点睛】本小题主要考查复数的有关概念和运算，属于基础题.18．（1（2）设x ，y 都是正数，且x+y ＞2证明：12x y +＜和12y x+＜中至少有一个成立． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）用作差法，直接比较2与2的大小，即可得出结论成立；（2）用反证法，先假设12x y +＜和12y x+＜都不成立，根据题中条件，推出矛盾，即可证明结论成立.【详解】（1）∵22-=（-（）=0，（2）假设12x y +＜和12y x +＜都不成立， 即1x y +≥2且1y x+≥2， ∵x ，y 都是正数，∴1+x≥2y ，1+y≥2x ，∴1+x+1+y≥2x+2y ，∴x+y≤2，这与已知x+y ＞2矛盾，∴假设不成立，即12x y +＜和12y x+＜中至少有一个成立． 【点睛】本题主要考查证明方法，熟记直接证明与间接证明的方法即可，属于常考题型. 19．已知函数322()2()f x x ax a x a R =-+∈在2x =处取得极小值.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,3上的最大值与最小值.【答案】（1）2a =； （2）最小值为0，最大值为3.【分析】（1）由函数()f x 在2x =处取得极小值，单调(2)0f '=，求得2a =或6a =，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解；（2）由（1）得到函数32()44f x x x x =-+，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值.【详解】（1）由题意，函数322()2()f x x ax a x a R =-+∈，可得22()34f x x ax a '=-+，因为函数()f x 在2x =处取得极小值，所以(2)0f '=，即28120a a -+=，解得2a =或6a =，①当2a =时，可得2()384(32)(2)f x x x x x ==-'-+-， 当2(,)3x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,2)3x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(2,+)x ∈∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以函数()f x 在2x =处取得极小值，符合题意.②当6a =时，可得2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，当(,2)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,6)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(6,+)x ∈∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以函数()f x 在2x =处取得极大值，不符合题意，综上可得，2a =.（2）由（1）知，函数32()44f x x x x =-+且2()384(32)(2)f x x x x x ==-'-+- 因为[]1,3x ∈，可得当[1,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(2,3]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以当2x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为min ()(2)0f x f ==，又由(1)1,(3)3f f ==，所以函数()f x 最大值为(3)3f =，所以函数的最小值为0，最大值为3.20．设a 为实数，函数()e 22,x f x x a x R =-+∈.（1）求函数()f x 的极值.（2）求证：当ln 21a >-且0x >时，2e 21x x ax >-+.【答案】（1）极小值22ln 22a -+，无极大值；（2）证明见解析.【分析】（1）求导以后利用导数判断函数的单调区间，进而可以求得极值；（2）构造函数2()e 21,0x g x x ax x =-+->，求得函数()g x 在()0,∞+的最小值，并证得其最小值大于0即可.【详解】（1）因为()e 22,x f x x a x R =-+∈，所以()e 2x f x '=-，令()0f x '=，则ln 2x =，所以(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在()ln 2,+∞上单调递增，所以()f x 在ln 2x =取得极小值，且ln 2(ln 2)e 2ln 2222ln 22f a a =-+=-+，()f x 无极大值；（2）令2()e 21,0x g x x ax x =-+->，则()e 22x g x x a '=-+，由（1）知，()g x '在ln 2x =取得极小值，且ln 2(ln 2)e 2ln 2222ln 22g a a '=-+=-+，因为ln 21a >-，所以(ln 2)0g '>，而()g x '在ln 2x =取得极小值，也是最小值，故min ()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，故()02()0e 010g x g >=--=，即2e 210x x ax -+->在()0,∞+上很成立，即当ln 21a >-且0x >时，2e 21x x ax >-+.【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式的方法主要有两个：（1）不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值即可；（2）观察不等式的特点，结合已解答问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，再化简或者进一步利用导数证明.21．已知函数23()1,()f x ax g x x bx =+=+，其中0,a b R >∈.（1）曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公切线，求a ，b 的值. （2）当24a b =时，若函数()()f x g x +在区间(],1-∞-上的最大值为1，求a 的取值范围【答案】（1）3,3a b ==；（2）2a ≥【分析】（1）求a ，b 的值，根据曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，列方程组,即可求出,a b 的值；（2）根据24a b =，构建函数()3221()()14h x f x g x x ax a x =+=+++，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间(],1-∞-的最大值.【详解】（1）()()22,3f x ax g x x b ''==+，因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，所以2311a b a b c =+⎧⎨+=+=⎩，解得3,3a b ==. （2）24a b =，∴设()3221()()14h x f x g x x ax a x =+=+++， 则()221324h x x ax a '=++， 令()0h x '= ，解得12a x =-，26a x =-；0a >，26a a ∴-<-， ()h x ∴在,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增；在,26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减； 在,6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ①若12a -≤-，即2a ≤时，最大值为()2114a h a -=-=， 解得2a =，②若126a a -<-<-，解得26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； ③若16a -≥-时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 综上所述，()h x 在区间(],1-∞-上的最大值为1，则a 的取值范围为2a ≥.22．已知函数2()(2)(3)x f x a x e x =+-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性.（2）当1a e>时，证明：2(2)ln 3f x x x x ->---. 【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）()()()(3)2(3)32x x f x a x e x x ae '=+-+=+-，对a 分类讨论，即可得出单调性.（2）()()2221x f x axe x --=-+，2(2)ln 3f x x x x ->---，即2ln 20x axe x x ---+>，()0,x ∈+∞，当1a e>时，23ln 2ln 2x x axe x x xe x x ----+>--+，因此只要证明：3ln 20x xe x x ---+≥即可，令()3ln 2x g x xe x x -=--+，()0,x ∈+∞，利用导数研究函数的单调性、极值与最值，即可证明结论.【详解】（1）()()()(3)2(3)32x x f x a x e x x ae '=+-+=+-，当0a ≤时，20x ae -<，可得()f x 在(),3-∞-上单调递增，在()3,-+∞上单调递减.当0a >时，令20x ae -=，解得2lnx a =， 令2ln 3a=-，解得32a e =， 302e a <<时，2ln3a >-， 则函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，在23,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 当32a e =时，()()230f x x '=+≥，函数()f x 在R 上单调递增， 当32a e >时，2ln 3a <-，则函数()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 在2ln ,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在()3,-+∞上单调递增， 综上所述，0a ≤时，()f x 在(),3-∞-上单调递增，在()3,-+∞上单调递减； 302e a <<时，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增， 在23,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 32a e =时，函数()f x 在R 上单调递增；32a e >时，函数()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 在2ln ,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在()3,-+∞上单调递增. （2）证明：()()2221x f x axe x --=-+，2(2)ln 3f x x x x ->---， 即2ln 20x axe x x ---+>，()0,x ∈+∞，当1a e >时，23ln 2ln 2x x axe x x xe x x ----+>--+， 因此只要证明：3ln 20x xe x x ---+≥即可，令()3ln 2x g x xe x x -=--+，()0,x ∈+∞，()()()3311111x x g x x e x e x x --⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭， 令()31x h x e x-=-在()0,x ∈+∞上单调递增， 又()1231033h =-=>，()11202h e =-<， ∴存在唯一()02,3x ∈，使得()00h x =，0301x e x -=，即003ln x x -=-， 0x 是函数()g x 的极小值点，此时函数()g x 在0x 取得最小值， ()()0001320g x g x x x ∴≥=+--+=，∴当1a e>时，2ln 20x axe x x ---+>，即2(2)ln 3f x x x x ->---.。