2018-2019学年福建省厦门市中学高一下学期期中数学试题及答案解析一、单选题1．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 ( ) A ．1 B ．13-C ．23-D ．2-【答案】D【解析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可. 【详解】因为直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直， 所以12102a a ⨯+⨯=⇒=-， 故选：D. 【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔= （121211||0l l A B A B ⇔-=）；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-（1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.2．设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是 （ ）A ．若m‖α，m‖ n ，则n‖αB ．若m ⊂α，n ⊂α，m‖β，n‖β，则α‖βC ．若α⊥β， m ⊥α，m ⊥n ，则n‖βD ．若α⊥β， m ⊥α，n‖m ，n ⊄β，则n‖β【答案】D【解析】试题分析：A 中n 有可能在平面内；B 中m,n 不一定是相交直线；C 中n 有可能在平面内，只有D 正确. 【考点】本小题主要考查空间中直线、平面间的位置关系，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.点评：解决此类问题，要紧扣相关的判定定理和性质定理，定理中的条件缺一不可.3．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知10,20,60b c C ︒===，则此三角形的解的情况是（）A ．无解B ．一解C ．两解D ．无法确定【答案】B【解析】由正弦定理判断，需结合三角形的性质． 【详解】由正弦定理sin 10sin 60sin 20b C B c ︒===，又∵b c <，∴B C <，B 一定是锐角， ∴只有一解． 故选：B. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，结合大边对大角的性质知本题中B 角是锐角，只有一解．4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73 B ．8π3- C ．83D ．7π3- 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B.【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.5．在空间直角坐标系O xyz -中，若点()1,2,1A ，()3,1,4B --，点C 是点A 关于xOy 平面的对称点，则BC =（ ） A 22B 26C 42D ．52【答案】D【解析】由对称性先求点C 的坐标为()1,2,1-，再根据空间中两点之间距离公式计算BC ．【详解】由对称性可知，点C 的坐标为()1,2,1-， 结合空间中两点之间距离公式可得：()()()22231124152BC =--+--++=.故选D.【点睛】本题考查了空间中对称点的坐标关系及两点间距离公式，属于基础题．6．如图，为了估测某塔的高度，在塔底D 和,A B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点,A B 处测得塔顶C 的仰角分别为45°，30°，且,A B 两点相距140m ，由点D 看,A B 的张角为150°，则塔的高度CD =（ ）A ．1403mB ．2021mC ．207mD ．140m【答案】C【解析】分析：首先设出CD 的长度，然后利用空间几何关系整理计算即可求得最终结果. 详解：设CD xm =，在Rt ADC 中，由45CAD ∠=可得：AD xcm =，同理可得：3BD xcm =，在△ABD 中，由余弦定理可得：2222cos150AD BD AD BD AB +-⨯⨯=，即：)222323cos150140x xx x +-⨯=，解得：207x =207m CD =.本题选择C选项.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.7．设圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（）A．3<r<5 B．4<r<6 C．r>4 D．r>5【答案】B【解析】圆心C（3，－5），半径为r，圆心C到直线4x －3y－2＝0的距离d＝，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－1<r<d ＋1，所以4<r<6.【考点】直线与圆的位置关系.二、多选题8．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，AB平面MNP的M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出//图形是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】对每个图形进行分析，根据面面平行的性质定理对A判断．由线面平行判定定理对D判断，由线面相交的定义对B，C判断．【详解】（下面说明只写主要条件，其他略）A如图连接AC，可得//,//AC MN BC NP，从而得//AC平面MNP，//AB BC平面MNP，于是有平面ABC//平面MNP，∴//平面MNP，B．如图连接BC交MP于点O，连接ON，易知在底面正方形中O不是BC中点（实际上是四等分点中靠近C的一个），而N是AC中点，因此AB与ON不平行，在平面ABC内，AB与ON必相交，此交点也是直线AB与平面MNP的公共点，直线AB与平面MNP相交而不平行，C.如图，连接BN ，正方体中有//PN BM ，因此B 在平面MNP 内，直线AB 与平面MNP 相交而不平行，D.如图，连接CD ，可得//AB CD ，//CD NP ，即//AB NP ，直线AB 与平面MNP 平行，故选：AD 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，掌握证明线面平行的方法是解题基础． 9．集合{}22(,)|4A x y x y =+=，{}222(,)|(3)(4)B x y x y r =-+-=，其中0r >，若A B 中有且仅有一个元素，则r 的值是（ ）.A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】AC【解析】题意说明两个圆只有一个公共点，两个圆相切（外切和内切）时，只有一个公共点．【详解】圆224x y +=的圆心是(0,0)O ，半径为2R =， 圆222(3)(4)x y r -+-=圆心是(3,4)C ，半径为r ，5OC =，当25r +=，3r =时，两圆外切，当25r -=，7r =时，两圆内切，它们都只有一个公共点． 故选：AC ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，解题关键是确定集合中的元素，本题实质是考查圆与圆的位置关系．三、填空题10．直线210x y --=被圆22(2)9x y ++=所截得的弦长为__________. 【答案】4【解析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算出弦长． 【详解】圆22(2)9x y ++=的圆心是(2,0)C -，半径为3r =，圆心C 到直线210x y --=的距离为d ==∴弦长为4==．故答案为：4. 【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是几何法：求出圆心到弦所在直线距离，由勾股定理计算出弦长． 11．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为__________． 【答案】25π【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为5，∴外接球的半径为52，∴外接球的表面积为254252ππ⨯=． 故答案为25π．点睛：本题考查球的体积和表面积，确定直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线是解题的关键． 12．如图，正方体1111ABCD A B C D -，点M 是1AA 的中点，点O 是底面ABCD 的中心，P 是11C B 上的任意一点，则直线BM 与OP 所成的角大小为__________.【答案】90°【解析】OP 是动直线，因此猜想这个角可能是90°，为此证明BM ⊥平面11OB C ，把平面11OB C 在正方体中补全(如图)，即可证． 【详解】如图，分别取,AB CD 的中点,Q N ，连接1,,QN CN B Q ，显然O QN ∈，11//QN B C ，∴11,,,Q N C B 共面，∵11B C ⊥平面11ABB A ，BM ⊂平面11ABB A ，∴11B C BM ⊥， 在正方形11ABB A 中，易得1AMB BQB ∆≅∆，∴1ABM BB Q ∠=∠， ∴11190QB B B BM ABM B BM ∠+∠=∠+∠=︒，∴1BM B Q ⊥， 又1111B QB C B =，∴BM ⊥平面11B C NQ ，11P B C ∈，则OP ⊂平面11B C NQ ，∴BM OP ⊥，∴直线BM 与OP 所成的角为90°． 故答案为：90°．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，考查证明线面垂直．掌握线面垂直的判定定理是解题关键．13．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= .故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若::4:5:7a b c =，则最大角的余弦值为__________．【答案】15-【解析】分析：首先设出边长，然后结合余弦定理整理计算即可求得最终结果.详解：不妨设三角形的三边长()4,5,70m m m m >， 由大边对大角结合余弦定理可得最大角的余弦值为：()()()22245712455m m m m m+-=-⨯⨯. 点睛：本题主要考查解三角形的方法，余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系O xyz -的坐标平面xOy 内，若函数()[)[)24,2,0,22,0,3x x f x x x π⎧-∈-⎪=⎨-+∈+∞⎪⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向上移4个单位，得到几何体如图一.现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 面积相等，则此圆柱的体积为__________．【答案】16π【解析】分析：首先确定底面积，然后结合柱体的体积公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知，图一中底面积是由一个四分之一圆与一个直角三角形组成的图形，由[)2,0y x =∈-可知，该四分之一圆的半径为2，其面积为：()21124S ππ=⨯⨯=, 由[)22,0,3y x x π=-+∈+∞，令0x =可得2y =，由0y =可得3x π=， 则直角三角形与坐标轴的交点坐标为()0,2，()3,0π， 直角三角形的面积212332S ππ=⨯⨯=， 结合题意可得：区域A 的面积，即圆柱的底面积：124S S S π=+=，结合祖暅原理可得，此圆柱的体积4416V ππ=⨯=.点睛：本题主要考查柱体的体积公式及其应用，直线方程、圆的方程的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.四、解答题16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin cos a B A C =.（1）若a =2c =，求角A ；（2）若8c =-ABC ∆的面积为22a b +的值.【答案】(1)4A π=;(2)67.【解析】分析：（1）利用正弦定理边化角可得cosC =，则sinC =，利用正弦定理有2sinA =，则4A π=.（2）由题意结合面积公式可得24ab =，结合余弦定理可得2267a b +=.详解：（1）∵asinB =，∴sinAsinB =，∴cosC =，∴sinC =，根据正弦定理a csinA sinC ==，即sinA =因为a c <，所以A C <，所以4A π=.（2）因为126ABC S absinC ab ∆===，所以24ab =， 因为8c =-2222c a b abcosC =+-得，(22282243a b -=+-⨯⨯，即2267a b -=+-所以2267a b +=.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：（1）//PA 平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PAC .【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）连接OE ，证明//PA OE 后即得线面平行； （2）可证明BD ⊥平面PAC ，然后得面面垂直． 【详解】（1）如图，连接OE ，∵,O E 分别是,AC PC 中点，∴//PA OE ，又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴//PA 平面BDE ；（2）∵，PO ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， ∴PO BD ⊥，又正方形中BD AC ⊥，PO AC O =，∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面PAC .【点睛】本题考查证明线面平行和面面垂直，掌握线面平行和面面垂直的判定定理是解题关键． 18．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，（Ⅰ）若直线1l 过定点A （1，0），且与圆C 相切，求1l 的方程；（Ⅱ）若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程． 【答案】（Ⅰ）1x =，3430x y --=（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）此问注意直线斜率不存在的情况，应分斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时由圆心到直线的距离等于半径求出直线斜率； (Ⅱ)先设出圆心坐标，然后由两圆外切，知圆心距等于两半径之和，从而求出圆心D 的坐标，写出圆D 方程.试题解析：（Ⅰ）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意．②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2， 即23421k k k --=+解之得34k =．所求直线方程是1x =，3430x y --=．（Ⅱ）依题意设(,2)D a a -，又已知圆的圆心(3,4),2C r =， 由两圆外切，可知5CD = ∴可知22(3)(24)a a -+--＝，解得，∴(3,1)D -或(2,4)D －， ∴所求圆的方程为．【考点】1.直线与圆相切；2.两圆相外切；3.点到直线的距离公式. 19．如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CD AB ⊥，且AD =1，BD =2，△ACD 绕CD 旋转至A CD '，使点A '与点B 之间的距离A B '=．（1）求证：BA '⊥平面A CD '； （2）求二面角A CD B '--的大小；（3）求异面直线A C '与BD 所成的角的余弦值．【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）．【解析】【详解】（1）∵CD⊥AB，∴CD⊥A′D，CD⊥DB，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥BA′．又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=，∴∠BA′D=90°，即BA′⊥A′D，∴BA′⊥平面A′CD．（2）∵CD⊥DB，CD⊥A′D，∴∠BDA′是二面角A′—CD—B的平面角．又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，∴∠A′DB=60°，即二面角A′—CD—B为60°．（3）过A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，连CE，则∠CA′E为A′C与BD所成角．∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE．∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，又A′D=1，∠DEA′=90°，∴A′E=又∵在Rt △ACB 中，AC==∴A′C=AC=∴cos ∠CA′E===,即A′C 与BD 所成角的余弦值为．20．如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．(Ⅰ) 若34ADC π∠=，求AD 的长；（Ⅱ） 若2BD DC =，ACD ∆的面积为42，求sin sin BADCAD ∠∠的值．【答案】(1) 83；(2) 42.【解析】【详解】（I ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴22sin B =．在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B =∠，又2AB =，4ADB π∠=，22sin B =．∴83AD =． （II ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，，又423ADC S ∆=∴42ABC S ∆= ∵1·sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠，1·sin 2ADC S AC AD CAD ∆=∠， 2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2?sin BAD ACCAD AB∠=∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠． ∴42AC =∴sin 2?42sin BAD ACCAD AB∠==∠21．已知圆C ：22(3)4x y +-=，一动直线l 过(1,0)A -与圆C 相交于,P Q .两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：360x y ++=相交于N .（1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （2）当23PQ =时，求直线l 的方程；（3）探索AM AN ⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 1x =-或4340x y -+=（3）见解析【解析】（1）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由直线m 的斜率求出直线l 的斜率，根据点A 和圆心坐标求出直线AC 的斜率，得到直线AC 的斜率与直线l 的斜率相等，所以得到直线l 过圆心；（2）分两种情况：①当直线l 与x 轴垂直时，求出直线l 的方程；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，写出直线l 的方程，根据勾股定理求出CM 的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l 的距离d ，让d 等于CM ，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，写出直线l 的方程即可；（3）根据CM ⊥MN ，得到CM •AN 等于0，利用平面向量的加法法则化简AM AN ⋅等于AC •AN ，也分两种情况：当直线l 与x 轴垂直时，求得N 的坐标，分别表示出AN 和AC ，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线l 与x 轴不垂直时，设出直线l 的方程，与直线m 的方程联立即可求出N 的坐标，分别表示出AN 和AC ，求出两向量的数量积，也得到其值为常数．综上，得到AM AN ⋅与直线l 的倾斜角无关．【详解】（1）l 与m 垂直，且13m k =-，3l k ∴=，又3AC k =， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C .（2）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1x =-符合题意 ②当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为()1y k x =+，即0kx y k -+=，因为PQ =所以1CM ==，则由1CM ==，得43k = ∴直线l ：4340x y -+=. 从而所求的直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=（3）因为CM ⊥MN,()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅ ①当l 与x 轴垂直时，易得51,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又()1,3AC =,5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-，②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+，则由()1360y k xx y⎧=+⎨++=⎩，得N（36,13kk--+513kk-+）,则55,1313kANk k--⎛⎫= ⎪++⎝⎭AM AN AC AN ∴⋅=⋅=5155 1313kk k--+=-++综上，AM AN⋅与直线l的斜率无关，且5AM AN⋅=-.【点睛】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．。
