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函数概念与其三要素讲解

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2.1函数的概念及映射教学目标（考试要求）1、学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．3、了解映射的概念．4、学习函数的表示方法，会作简单函数的图象．教学重点、难点重点：函数的概念及表示方法，求函数的定义域．难点：映射，函数值域．☆要点一：映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f作用下的象，记作)(xf，x称作y的f，于是y＝)(x原象．映射f也可记为B:)f→Ax→(xf其中A叫做映射f的定义域，由所有象)(xf构成的集合叫做映射f的值域．象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且B∈,，如果元素a和元素ba∈bA对应，则元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

判断某“对应法则”是否为A→B的映射，主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意：①A中任一元素在B中应有象，且象唯一；②B 中可以有空闲元素，即B中可以有元素没有原象．概括为：“有原必有象，而且象唯一”可以多对一，但是不能一对多。

●看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集求平方B B说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B 中都有唯一的元素和它对应◎映射的性质：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可；☆要点二：函数和区间的概念 ◎变量和常量在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。

◎函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有 唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作)(x f y =，A x ∈．◎函数的定义域与值域：定义域：函数的定义中，自变量x 取值的范围叫做这个函数的定义域； 值域：所有函数值构成的集合 {}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域． 确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．●练习：题1、2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

→ 题2、求223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-值域.◎自变量取值范围的确定方法1、自变量的取值范围必须使解析式有意义。

2、当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数，0次幂下的表达式底数不等于0，对数式函数保证真数大于03、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

4、复合函数的定义域求法根据：函数的定义域都是指自变量“x ”的范围；同一法则下括号内的范围相同。

◎区间的概念： 在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：如果x 和y 是两个在集合里的数，那麽，任何x 和y 之间的数也属于该集合。

例如，由符合0 ≤ x ≤ 1的实数所构成的集合，便是一个区间，它包含了0、1，还有0和1之间的全体实数。

其他例子包括：实数集，负实数组成的集合等。

区间在积分理论中起着重要作... 设a 、b 是两个实数，且a ＜b（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数的x 集合叫做闭区间，表示为［a ，b ］； （2）满足不等式a ＜x ＜b 的实数的x 集合叫做开区间，表示为（a ，b ）； （3）满足不等式a ≤x ＜b 的实数的x 集合叫做半开半闭区间，表示为［a ，b ）；（4）满足不等式a＜x≤b的实数的x集合也叫做半开半闭区间，表示为（a，b］．（5）满足不等式x≥a的实数的x集合表示为［a，＋∞）；（6）满足不等式x＞a的实数的x集合表示为（a，＋∞）；（7）满足不等式x≤a的实数的x集合表示为（－∞，a］；（8）满足不等式x＜a的实数的x集合表示为（－∞，a）；（9）实数集表示为（－∞，＋∞）；●练习：1、用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x<b}用区间表示：函数y＝x的定义域，值域是。

●作业：已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)☆要点三：函数的图像◎函数图像的概念：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．◎描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

◎函数的三种表示方式：4、解析式法：两个变量之间的函数关系，一般可以用含有这两个变量的等式表示，即解析法，也叫关系式法。

函数的定义域的函数存在的前提，再写函数解析式的时候，一定要写出函数的定义域。

解析法的优点：①函数关系清楚、精确②容易从自变量的值求出其对应的函数值③便于研究函数的性质。

解析法是中学研究函数的主要表达方法。

缺点：并不是所有函数都有解析式，对于类似气温随时间变化的函数是没有解析式的，解析式是为了方便进行数学研究，当然，我们可以通过数学手段对一些东西进行简单的函数拟和，从微积分的角度上来看，任何一小段（小到趋于0）的连续图像都是线性的；2、图像法：将自变量与其对应的函数值，组成一组组实数对，作为点的坐标，在平面直角坐标系内把这些所有点的坐标描述出来，即可得到函数的图像，用图像表示函数关系的方法，也叫图像法。

图像法的优点：能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础。

缺点：图像法是最直观的，但是也是相对最不准确的，对于连续的函数，可以通过图像看出增减性、零点、顶点、对称轴的大概位置（就是坐标的范围），但是不能求出其具体位置。

所有函数都有图像，但并不是所有图像都有函数，比如圆的方程，因为函数要满足一一对应性。

在解决线性问题的时候，准确的函数图像可能可以直接让你看出答案。

3、列表法：通过表格的形式来表示两个变量的函数关系，成为列表法。

列表法的优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。

缺点：列表法有两个意义，第一，在已知函数部分性质的情况下，通过表中的数据比较函数的增减性；第二，通过数据进行函数的拟和或者求函数，一般来说，列表只能看到函数的部分情况，而且不能判断函数的性质，当然，在知道函数是什么函数的情况下，列表可以助于求出函数解析式或者是做出函数的图像，列表法是对函数本身损失最大的，因为它丢失了大量的信息，但既然给出的数据列表法也是十分准确的；【例】某种笔记本的单价是5元，买x {}()1,2,3,4,5x ∈个笔记本需要y 元。

试用函数的三种表示法表示函数解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝ 用解析法可将函数y=f(x)表示为： 用列表法可将函数表示为：{}543215,,,,x ,x y ∈=用图象法可将函数表示为下图：函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。

☆要点四：变换法求函数的图像向左平移a个单位：y1=y，x1-a=x⇒y=f(x+a);平移变换向右平移a个单位：y1=y，x1+a=x⇒y=f(x-a);向上平移b个单位：x1=x, y1+b=y⇒y-b=f(x);向下平移b个单位：x1=x, y1-b=y⇒y+b=f(x);横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w>1）时，或伸长（当 0<w<1）时，伸缩变换到原来的1w倍纵坐标不变，即x1=wx⇒y=f（wx）纵坐标变换：把各点的纵坐标y1 伸长（A>1）或缩短（0<A<1)到原来的A倍（横坐标不变），即y1=Ay ⇒y1=A f（x）关于点（x0，y）对称：x+x1=2xx1= 2x-x0 1 2 3 4 5 x yy+y1=2y⇒y1=2y-y⇒2y0-y=f（2x-x）关于直线x=x0 对称：x+x1=2xx1= 2x-xy=y1 ⇒y1= y 对称变换⇒y=f（2x-x）关于直线 y=y0 对称：x=x1 x1=xy+y1=2y⇒y1=2y0-y⇒2y-y=f(x)关于直线y=x对称：x=y1y=x1⇒y=f-1(x)正比例函数一般地，•形如y=•kx•（k是常数，•k≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional function），其中k叫做比例系数．也就是说，形如y=•kx，且k≠0的函数是正比例函数。

[正比例函数图象和性质]一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1，k）的直线．我们称它为直线y=kx.•当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴[正比例函数解析式的确定]——待定系数法1. 设出含有待定系数的函数解析式y=kx （k•≠0）2. 把已知条件（一个点的坐标）代入解析式，得到关于k 的一元一次方程3. 解方程，求出系数k4. 将k 的值代回解析式一次函数[一次函数]一般地，形如y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．[一次函数的图象及性质]一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)（2）必过点：（0，b ）和（-kb，0）（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>0b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小. （5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.[直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系] （1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2（3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2[确定一次函数解析式的方法]（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.[一次函数建模]函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.从图象中获取的信息一般是：（1）从函数图象的形状判定函数的类型； （2）从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx -1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

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函数知识点归纳

函数知识点归纳

函数知识点归纳函数是数学中一个非常重要的概念，它贯穿了从初中到高中，甚至大学的数学学习。

下面就来给大家详细归纳一下函数的相关知识点。

一、函数的定义函数的定义简单来说，就是对于给定的一个数集 A 中的每一个元素x，按照某种对应法则 f，在另一个数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ A。

其中，x 叫做自变量，y 叫做因变量。

二、函数的三要素1、定义域定义域是指自变量 x 的取值范围。

确定函数的定义域时，需要考虑以下几个方面：（1）分式的分母不为零。

（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数大于零。

（4）零次幂的底数不为零。

2、值域值域是指因变量 y 的取值范围。

求函数的值域需要根据函数的类型和定义域来确定，常见的方法有观察法、配方法、换元法、判别式法等。

3、对应法则对应法则是函数的核心，它决定了自变量和因变量之间的关系。

同一个对应法则，在不同的定义域上可能是不同的函数。

三、函数的表示方法1、解析法用数学式子表示两个变量之间的对应关系，如 y ＝ 2x ＋ 1。

2、列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系，例如在一个表格中列出不同的 x 值及其对应的 y 值。

3、图象法用图象来表示两个变量之间的对应关系，图象能够直观地反映函数的性质。

四、函数的性质1、单调性如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数（或减函数）。

2、奇偶性设函数 f(x)的定义域为 D，如果对于任意的 x ∈ D，都有 x ∈ D，且 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数；如果对于任意的 x ∈ D，都有 x ∈ D，且 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。

高一数学函数的三要素知识点

高一数学函数的三要素知识点

高一数学函数的三要素知识点在高一数学学习中，函数是一个重要的概念和工具。

理解和掌握函数的三要素是学好数学的基础。

本文将介绍函数的三要素的知识点，包括定义域、值域和图像。

一、定义域定义域是指函数所能接受的自变量的取值范围。

对于一个函数来说，它并不是任意定义的，而是有一定的限制。

在确定定义域时，需要考虑函数中出现的各种运算，比如平方根、分母不能为零等。

例如，对于函数y = √x，由于不能对负数开平方根，因此定义域为x ≥ 0；对于函数y = 1/x，由于分母不能为零，因此定义域为x ≠ 0。

需要注意的是，对于一些复杂的函数，确定定义域可能需要借助一些技巧和方法。

二、值域值域是函数所有可能的输出值的集合。

它是定义域经过函数变换后得到的结果。

确定值域的方法通常有两种：代数方法和图像法。

在使用代数方法确定值域时，可以分析函数的性质和特点，并求出函数的最值。

例如，对于函数y = x^2，在定义域为实数集时，函数的最小值为0，因此值域为y ≥ 0；对于函数y = sinx，在定义域为实数集时，由于正弦函数的取值范围是[-1, 1]，因此值域为-1 ≤ y ≤ 1。

图像法是通过作出函数的图像来确定值域。

通过观察函数的图像，我们可以直观地判断函数的值域。

例如，对于函数y = 2x + 1，在作出其图像后，我们可以看到函数的图像是一条直线，它包含了所有的实数，因此值域为实数集。

三、图像函数的图像是函数在坐标系上的表示。

通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和特点，进而更好地理解函数的三要素。

在绘制函数的图像时，需要根据定义域和值域的情况选择适当的坐标系和标尺。

对于简单的函数，可以通过画出一些特殊点和关键点，再通过描点连线的方法绘制函数的图像；对于复杂的函数，则可以借助计算机绘图工具进行绘制。

无论使用哪种方法，绘制的图像应该准确反映函数的性质，直观地展示函数的变化趋势。

综上所述，函数的三要素——定义域、值域和图像，是理解和掌握高一数学函数的关键知识点。

3.1.1 函数的概念(解析版)

3.1.1 函数的概念(解析版)

3.1.1 函数的概念考点讲解考点1：函数的概念1.定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数2.函数三要素：【例1】（1）判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．∈ A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；∈ A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；∈ A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；∈ A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．（2）下列各组函数是同一函数的是()∈ f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；∈ f(x)＝x与g(x)＝x2；∈ f(x)＝x0与g(x)＝1x0；∈ f (x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. A．∈∈B．∈∈C．∈∈ D．∈∈[解](1)∈对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．∈对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．∈对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．∈集合A不是数集，故不是函数．(2)C[∈f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．∈g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．∈f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．∈f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是∈∈.故选C.]【方法技巧】1．判断对应关系是否为函数的2个条件（1）A，B必须是非空数集．（2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法（1）先看定义域，若定义域不同，则不相等；（2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．【针对训练】1.下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C DB [根据函数的定义知：y 是x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B 不符合此条件．故选B.]2．下列各组函数中是相等函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1 B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2B [A 、C 选项中两函数的定义域不同，D 选项中两函数的对应关系不同，故A 、C 、D 错误，选B.] 考点2：求函数值【例2】 设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2， （1）求f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)，g (f (2))． （2）求g (f (x ))．思路点拨：(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x ))． [解] (1)因为f (x )＝2x 2＋2， 所以f (2)＝2×22＋2＝10，f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20.因为g (x )＝1x ＋2，所以g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋10＋2＝1a ＋2＋12(a ≠－2)．g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112.(2)g (f (x ))＝1f （x ）＋2＝12x 2＋2＋2＝12x 2＋4.【方法技巧】 函数求值的方法（1）已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． （2）求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则． 【针对训练】3．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f (f (－1))的值． [解] f (1)＝13＋2×1＋3＝6； f (t )＝t 3＋2t ＋3；f (2a －1)＝(2a －1)3＋2(2a －1)＋3＝8a 3－12a 2＋10a ； f (f (－1))＝f ((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f (0)＝3. 考点3：求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f (x )＝x ＋1x 2－1.倘若先化简，则f (x )＝1x －1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，这里的“[1，2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：[1，2]是自变量x 的取值范围． 函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2，3]． 【例3】 求下列函数的定义域： （1）f (x )＝2＋3x －2；（2）f (x )＝(x －1)0＋2x ＋1； （3）f (x )＝3－x ·x －1；（4）f (x )＝（x ＋1）2x ＋1－1－x .思路点拨：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可． [解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时， 函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．【方法技巧】求函数定义域的常用方法（1）若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零． （2）若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零．（3）若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． （4）若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． （5）若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．考点过关一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，则⎪⎭⎫⎝⎛af 1＝( )A ．1aB.3a C ．aD ．3aD [⎪⎭⎫ ⎝⎛a f 1＝3a ，故选D.]2．下列表示y 关于x 的函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y 2＝x C ．|y |＝xD ．|y |＝|x |A [结合函数的定义可知A 正确，选A.]3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为( ) A ．{－1，0，3} B ．{0，1，2，3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}A [当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∈函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1，0，3}．]4．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]5．函数y ＝x ＋1x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1，1)∈(1，＋∞)D ．[－1，1)∈(1，＋∞)D [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，所以x ≥－1且x ≠1，故函数y ＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥－1且x ≠1}．故选D.] 6．下列四组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－xC [∈f (x )＝x (x ∈R )与g (x )＝(x )2(x ≥0)两个函数的定义域不一致，∈A 中两个函数不表示同一函数；∈f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2两个函数的对应法则不一致，∈B 中两个函数不表示同一函数；∈f (x )＝x 2＝|x |与g (x )＝|x |，两个函数的定义域均为R ，∈C 中两个函数表示同一函数；f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)两个函数的定义域不一致，∈D 中两个函数不表示同一函数，故选C.]7．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( )A B C DD [A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．]8．下列函数中，对于定义域内的任意x ，f (x ＋1)＝f (x )＋1恒成立的为( ) A ．f (x )＝x ＋1 B ．f (x )＝－x 2 C ．f (x )＝1xD ．y ＝|x |A [对于A 选项，f (x ＋1)＝(x ＋1)＋1＝f (x )＋1，成立． 对于B 选项，f (x ＋1)＝－(x ＋1)2≠f (x )＋1，不成立． 对于C 选项，f (x ＋1)＝1x ＋1，f (x )＋1＝1x ＋1，不成立．对于D 选项，f (x ＋1)＝|x ＋1|，f (x )＋1＝|x |＋1，不成立．] 二、填空题9．若[a ，3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 [由题意知3a －1>a ，则a >12.] 10．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．(－∞，0)∈(0，1] [由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为(－∞，0)∈(0，1]．] 11．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________． －56 [由f (t )＝6，得11＋t＝6，即t ＝－56.] 12．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝⎪⎭⎫⎝⎛2x f ＋f (x －1)的定义域是________．(0，2) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.解得0＜x ＜2，于是函数g (x )的定义域为(0，2)．] 13．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 1 2 [∈g (1)＝3，f (3)＝1，∈f [g (1)]＝1. 当x ＝1时，f [g (1)]＝f (3)＝1，g [f (1)]＝g (1)＝3， f [g (x ]<g [f (x )]，不合题意；当x ＝2时，f [g (2)]＝f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝1， f [g (x )]>g [f (x )]，符合题意；当x ＝3时，f [g (3)]＝f (1)＝1，g [f (3)]＝g (1)＝3， f [g (x )]<g [f (x )]，不合题意．]14．已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个． 9 [因为一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，所以函数的定义域可以为{1，2}，{－1，2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{－1，1，－2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2，2}，共9种可能，故这样的函数共9个．]三、解答题15．求下列函数的定义域： （1）f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4； （2）f (x )＝（x ＋3）0|x |－x.[解] (1)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，即⎩⎨⎧x ≥13，x ≤12.所以13≤x ≤12，即函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131，(2)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≠0，|x |－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－3，|x |>x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－3，x <0.所以函数的定义域为(－∞，－3)∈(－3，0)．16．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2.（1）求函数的定义域；（2）求f (－3)，⎪⎭⎫ ⎝⎛32f 的值；（3）当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，得函数的定义域为[－3，－2)∈(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－1，⎪⎭⎫ ⎝⎛32f ＝38＋333.(3)当a >0时，f (a )＝a ＋3＋1a ＋2，a －1∈(－1，＋∞)，f (a －1)＝a ＋2＋1a ＋1. 17．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.（1）求f (2)＋⎪⎭⎫⎝⎛21f ，f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的值； （2）求证：f (x )＋⎪⎭⎫⎝⎛x f 1是定值． [解] ∈f (x )＝x 21＋x 2，∈f (2)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1. f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f ＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1.。

函数的概念,三要素的求法（整理版）

函数的概念,三要素的求法（整理版）

函数的概念：A.a叫做A中元素的象集是B的子集.f映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：；）函数定义的理解.定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.表示；表示；表示；相等？；；.）y、已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。