广东省深圳市外国语学校2021届高三第一次月考 数学(含答案)

2021-2022学年广东省深圳市南山外国语学校高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）：1．（5分）下列说法正确的是（ ）A ．任一空间向量与它的相反向量都不相等B ．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C ．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D ．不相等的两个空间向量的模可能相等2．（5分）直线l 的倾斜角等于直线√3x −y =0倾斜角的2倍，则直线l 的斜率是（ ）A ．2√33B ．√3C ．2√3D ．−√33．（5分）已知点A （2，3，﹣2），B （﹣1，k ，5），O 为坐标原点，若向量OA →⊥AB →，则实数k ＝（ ）A ．4B ．143C ．293D ．﹣44．（5分）过直线2x ﹣y +4＝0与x +y +5＝0的交点，且垂直于直线x ﹣2y ＝0的直线方程是（ ）A ．2x +y ﹣8＝0B ．2x ﹣y ﹣8＝0C ．2x +y +8＝0D ．2x ﹣y +8＝05．（5分）两平行直线l 1：x +2y ﹣2＝0和l 2：ax +4y +1＝0之间的距离为（ ）A ．3√55B ．√52C ．3√510D ．√56．（5分）已知圆C 的圆心与点P （﹣2，1）关于直线y ＝x ﹣1对称，直线3x +4y +16＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为（ ）A ．（x ﹣2）2+（y +3）2＝13B ．（x +2）2+（y ﹣3）2＝18C ．（x +2）2+（y ﹣3）2＝13D ．（x ﹣2）2+（y +3）2＝187．（5分）点M 为圆C ：（x +2）2+（y +1）2＝4上任意一点直线（3λ+1）x +（2λ+1）y ＝5λ+2过定点P ，则|MP |的最大值为（ ）A ．√13B ．√13+2C ．2√3D ．2√3+28．（5分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．AC 1＝6B ．BD ⊥平面ACC 1C ．向量CB 1→与AA 1→的夹角是120°D ．BD 1与AC 1所成角的余弦值为√66 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

一中2021-2021学年第一学期高三年级阶段性检测〔一〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学学科一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．，，那么___________．【答案】【解析】【分析】此题是集合A与集合B取交集。

【详解】因为，所以【点睛】交集是取两集合都有的元素。

是虚数单位)是纯虚数，那么实数的值是___________．【答案】-2【解析】【分析】此题考察的是复数的运算，可以先将复数化简，在通过复数是纯虚数得出结果。

【详解】，因为是纯虚数，所以。

【点睛】假如复数是纯虚数，那么。

3.“〞是“直线与直线互相垂直〞的___________条件〔填“必要不充分〞“充分不必要〞“充要〞或者“既不充分又不必要〞〕．【答案】充分不必要【解析】【分析】可以先通过“直线与直线互相垂直〞解得的取值范围，再通过与“〞进展比照得出结论。

【详解】因为直线与直线互相垂直，所以两直线斜率乘积为或者者一条直线与轴平行、一条与轴平行，所以或者者，解得或者者，由“〞可以推出“或者者〞，但是由“或者者〞推不出“〞，所以为充分不必要条件。

【点睛】在判断充要条件的时候，可以先将“假设A那么B〞中的A和B化为最简单的数集形式，在进展判断。

的递增区间是___________．【答案】【解析】【分析】此题可以先通过的取值范围来将函数分为两段函数，再依次进展讨论。

【详解】当时，，开口向下，对称轴为，所以递增区间是，当时，，开口向上，对称轴是，所以在定义域内无递增区间。

综上所述，递增区间是。

【点睛】在遇到带有绝对值的函数的时候，可以根据的取值范围来将函数分为数段函数，在依次求解。

5.按如下图的程序框图运行后，输出的结果是63，那么判断框中的整数的值是___________．【答案】5【解析】【分析】此题中，，可根据这几个式子依次推导出每一个A所对应的S的值，最后得出结果。

【详解】因为当时输出结果，所以【点睛】在计算程序框图时，理清每一个字母之间的关系，假如次数较少的话可以依次罗列出每一步的运算结果，最后得出答案。

2021年广东省深圳市高考数学一模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x>2}，B={0,1，2，3，4}，则(∁R A)∩B=()A. {3,4}B. {2,3，4}C. {0,1}D. {0,1，2}2.已知复数z=i1+i，则|z|=()A. √22B. √2 C. 12D. 13.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为()A. 6B. 12C. 24D. 484.设α，β，γ为三个不同的平面，若α⊥β，则“γ//β”是“α⊥γ”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.已知随机变量ξ～N(μ,σ2)，有下列四个命题：甲：P(ξ<a−1)>P(ξ>a+2)乙：P(ξ>a)=0.5丙：(ξ≤a)=0.5丁：P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2)如果只有一个假命题，则该命题为()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图(如图)估计该地接种年龄的中位数为()A. 40B. 39C. 38D. 377. 在数列{a n }中，a 1=3，a m+n =a m +a n (m,n ∈N ∗)，若a 1+a 2+a 3+⋯+a k =135，则k =( )A. 10B. 9C. 8D. 78. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形.设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. 18B. 24C. 36D. 48二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 设F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2m+n−y 2m−n=1的左、右焦点，且|F 1F 2|=4，则下列结论正确的有( )A. m =2B. 当n =0时，C 的离心率是2C. F 1到渐近线的距离随着n 的增大而减小D. 当n =1时，C 的实轴长是虚轴长的两倍10. 已知函数f(x)=cos2x −2sin(π2−x)cos(π2+x)，则( )A. f(x)的最大值为3B. f(x)的最小正周期为πC. f(x)的图象关于直线x =π8对称D. f(x)在区间[−3π8,π8]上单调递减11. 已知函数f(x)=3x +x 3，若0<m <1<n ，则下列不等式一定成立的有( )A. f(1−m)<f(n −1)B. f(2√mn)<f(m +n)C. f(log m n)<f(log n m)D. f(m n )<f(n m )12. 在空间直角坐标系O −xyz 中，棱长为1的正四面体ABCD 的顶点A ，B 分别为y轴和z 轴上的动点(可与坐标原点O 重合)，记正四面体ABCD 在平面xOy 上的正投影图形为S ，则下列说法正确的有( )A. 若CD//平面xOy ，则S 可能为正方形B. 若点A 与坐标原点O 重合，则S 的面积为√24C. 若OA=OB=OC，则S的面积不可能为12D. 点D到坐标原点O的距离不可能为32三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数的图象关于y轴对称，且与直线y=x相切，则满足上述条件的二次函数可以为f(x)=______ ．14.设F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，若|AF|−|BF|=4，则|AB|=______ ．15.冈珀茨模型(y=k⋅a b t)是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y=k0⋅e1.4e−0.125t(当t=0时，表示2020年初的种群数量)，若m(m∈N∗)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为______ .(ln2≈0.7)16.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点.”已知△ABC 内接于单位圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A′，B′，C′.若∠ACB=30°，则△A′B′C′的面积最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设数列{a n}的前n项和S n，满足S n+1=S n，且a1=1．1+2S n}为等差数列；(1)证明：数列{1S n(2)求{a n}的通项公式．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sinB−cosC=c2−a2．2ab(1)求A；(2)若b=√3c，且BC边上的高为2√3，求△ABC的面积．419.某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率．(1)求甲同学通过测试的概率；(2)在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．20.如图，在四棱锥S−ABCD中，SA=SB=SC=SD=13，AC⊥CD，AB=6，BD=8．(1)求证：平面SAD⊥平面ABCD；(2)求二面角A−SB−D的余弦值．21.设O是坐标原点，以F1，F2为焦点的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为2√2，以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点．(1)求C的方程；(2)P是C外的一点，过P的直线l1，l2均与C相切，且l1，l2的斜率之积为m(−1≤m≤−12)，记u为|PO|的最小值，求u的取值范围．22.已知函数f(x)=aln2x+2x(1−lnx)，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)=e2f(x)−2a2有且仅有3个零点，求a的取值范围.(其中常数e=2.71828…，是自然对数的底数)答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A ={x|x >2}，B ={0,1，2，3，4}， ∴∁R A ={x|x ≤2}，(∁R A)∩B ={0,1，2}． 故选：D ．进行补集和交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵复数z =i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i−i 21−i 2=1+i 2=12+12i ，∴|z|=√(12)2+(12)2=√22． 故选：A ．利用复数的运算法则求出z =12+12i ，由此能求出|z|．本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，要求小明的父母都与他相邻，即小明坐在父母中间，将三人看成一个整体，有2种排法，将这个整体与爷爷和奶奶全排列，有A 33=6种排法， 则有2×6=12种不同的排法， 故选：B ．根据题意，将小明和他父母看成一个整体，分析三人的排法，将这个整体与爷爷和奶奶全排列，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：当α⊥β时，若γ//β，则α⊥γ成立，即充分性成立，反之当α⊥γ时，γ//β也有可能相交，即必要性不成立，即“γ//β”是“α⊥γ”的充分不必要条件，故选：A．根据空间面面垂直和面面平行的位置关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用空间面面平行和垂直的性质是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵只有一个是假命题，∴乙、丙必为真命题(乙与丙共真假)，∴μ=a，则ξ～N(a,σ2)，由正态分布曲线的对称性可得，P(ξ<a−1)>P(ξ>a+2)，P(a<ξ<a+1)>P(a+1<ξ<a+2)，则甲为真命题，丁为假命题，故选：D．由已知结合选项可得乙、丙必为真命题，求得μ=a，则ξ～N(a,σ2)，再由正态分布曲线的对称性分析甲与丁即可．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图得：[18,36)的频率为：(0.013+0.023+0.034)×6=0.42，[36,42)的频率为：0.04×4=0.16，×4=38．∴估计该地接种年龄的中位数为：36+0.5−0.420.16故选：C．由频率分布直方图先求出[18,36)的频率为0.42，[36,42)的频率为0.16，由此能估计该地接种年龄的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．7.【答案】B【解析】解：因为a m+n =a m +a n (m,n ∈N ∗)， 故令m =1，则有a n+1=a 1+a n ， 所以a n+1−a n =a 1，又a 1=3， 所以a n+1−a n =3，故数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列， 所以a 1+a 2+a 3+⋯+a k =3k +k(k−1)2×3=135，解得k =9．故选：B ．利用题中给出的恒等式，令m =1，得到数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，然后由等差数列的前n 项求和公式列出关于k 的方程，求解即可．本题考查了等差数列通项公式以及前n 项求和公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：据题意：圆D(后轮)的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形．点P 为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A(−8,0)，B(−6,2√3)，C(−2,2√3).圆D 的方程为x 2+y 2=3，可设P(√3cosα,√3sinα)， 所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2√3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3cosα+6,√3sinα−2√3)． 故AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =6sinα+6√3cosα+24=12(12sinα+√32cosα)+24 =12sin(α+π3)+24≤12+24=36．故选：C ．根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．本题考查数量积的运算、三角函数的性质在实际问题中的应用，同时考查了学生的数学建模的核心素养．属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：F1、F2分别是双曲线C：x2m+n −y2m−n=1的左、右焦点，且|F1F2|=4，可得2=√m+n+m−n，解得m=2，所以A正确；n=0时，a=b=√m，c=√2√m，所以e=√2，所以B不正确；F1到渐近线的距离：√m−n，随着n的增大而减小，所以C正确；当n=1时，C的实轴长：2√m+1，虚轴长：2√m−1，所以D不正确．故选：AC．利用双曲线的标准方程，结合焦距，求解m，判断A；求解离心率判断B；求出点到直线的距离，判断C；求解实轴长与虚轴长的比值，判断D．本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题．10.【答案】BC【解析】解：f(x)=cos2x+2cosxsinx=cos2x+sin2x=√2(√22sin2x+√22cos2x)=√2sin(2x+π4)，A：∵sin(2x+π4)∈[−1,1]，∴f(x)的最大值为√2，∴A不正确．B：f(x)的最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π，∴f(x)的最小正周期为π，∴B正确．C：当x=π8时，f(π8)=√2sin(2×π8+π4)=√2sinπ2=√2，∴f(x)的图象关于直线x=π8对称，∴C正确D：当x∈[−3π8,π8]时，2x+π4∈[−π2,π2]，∴f(x)在区间[−3π8,π8]上单调递增，∴D不正确．故选：BC．先将函数解析式化简成y=Asin(ωx+φ)+k的形式，即可根据三角函数的性质判断各选项的真假．本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦型函数的性质应用，属于中档题．11.【答案】BD【解析】解：根据题意，函数f(x)=3x +x 3，易得f(x)在R 上为增函数，对于A ，无法判断1−m 与n −1的大小，故f(1−m)<f(n −1)不一定成立，A 错误， 对于B ，若0<m <1<n ，则有2√mn <m +n ，则f(2√mn)<f(m +n)，B 正确， 对于C ，当n =12，m =2时，log m n =log m n =−1，则有f(log m n)=f(log n m)，C 错误，对于D ，若0<m <1<n ，则m n <n m ，则有f(m n )<f(n m )，D 正确， 故选：BD ．根据题意，分析可得f(x)在R 上为增函数，由此分析选项，可得答案． 本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及不等式的性质，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ：若CD//平面xoy ，考虑一下特殊情形； ①当点B 与坐标原点O 重合时，S 为正方形，②当点A 与坐标原点O 重合时，S 为三角形，故A 正确； 对于B ：若点A 原点O 重合，即AB 在z 轴上， 易知：CD//平面xoy ，且S 为三角形，不难知道，其面积为12×1×√22=√24，故B 正确；对于C ：当OA =OB =OC 时，且点O 在正四面体ABCD 的外部时， 则点D 恰好为以OA ，OB ，OC ，为棱的正方体的一个顶点， 由于AB =1，所以OA =√22，所以S 为以边长为√22的正方形，其面积为12，故C 错误；对于D ：设AB 的中点为M ，则OM =12，且MD =√32，易知OD ≤OM +MD =1+√32<32，即OD <32， 所以点D 到坐标原点的距离小于32，故D 正确． 故选：ABD ．直接根据几何体中的点和投影的关系，结合直线与平面的平行的性质，三角形的面积公式判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：几何体中的点和投影的关系，直线与平面的平行的性质，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．13.【答案】x 2+14【解析】解：设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)， ∵f(x)的图象关于y 轴对称， ∴对称轴x =−b2a =0，∴b =0， ∴f(x)=ax 2+c ，联立得{y =ax 2+cy =x 整理的ax 2+c =x ，即ax 2−x +c =0， ∵f(x)的图象与直线y =x 相切， ∴△=1−4ac =0，∴ac =14，∴满足条件的二次函数可以为f(x)=x 2+14． 故答案为：x 2+14．先设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，由对称轴的计算公式可得到b =0，函数f(x)的图象与直线y =x 相切，则可知函数与直线的方程组只有一解，可得a ，c 的关系，从而得到函数解析式．此题主要考查二次函数的解析式求解及相切求解问题．14.【答案】8【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(p2,0)，设直线AB 的方程为：y =√3(x −p2)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =√3(x −p2)y 2=2px 整理可得：12x 2−20px +3p 2=0，所以x 1=32p ，x 2=p 6由抛物线的性质可得|AF|−|BF|=x 1−x 2=3p 2−p 6=43p =4，解得p =3，所以|AB|=x 1+x 2+p =32×3+36+3=8， 故答案为：8．设直线AB 的方程，与抛物线联立求出A ，B 的横坐标，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得|AF|−|BF|的值，再由|AF|−|BF|=4，求出p 的值， 再由性质可得|AB|的值．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，弦长公式的应用，属于中档题．15.【答案】6【解析】解：因为y=k0⋅e1.4e−0.125t，所以当t=0时，y=k0⋅e1.4，当t=m时，y=k0⋅e1.4e−0.125m，因为m(m∈N∗)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，所以k0⋅e1.4e−0.125m<12k0⋅e1.4，即2⋅e1.4e−0.125m<e1.4，两边同取对数得，ln2+1.4e−0.125m<1.4，即e−0.125m<12，两边取对数得，−0.125m<−ln2=−0.7，即m>5.6，而m∈N∗，所以m的最小值为为6．故答案为：6．根据某珍稀物种t年后的种群数量y解析式，分别求出t=0与t=m的种群数，然后根据m(m∈N∗)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，建立不等式，取对数，从而可求出m的范围．本题主要考查了实际应用问题，以及指数不等式的解法，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题．16.【答案】12+√33【解析】解：不妨设BC=a，AC=b，若∠ACB=30°，由正弦定理得：ABsin30∘=2，故AB=1，所以由余弦定理得1=a2+b2−2abcos30°=a2+b2−√3ab≥(1−√32)(a2+b2)．所以a2+b2≤4+2√3．显然△A′B′C′为由△ABC得到的拿破仑三角形(等边三角形)，设其边长为x，易知∠A′CB′=90°，且A′C=√33a,B′C=√33b，所以x2=(√33a)2+(√33b)2=13(a2+b2)，故△A′B′C′的面积S=√34x2=√312(a2+b2)≤√312(4+2√3)=12+√33．当且仅当a=b时取等号．故△A′B′C′面积的最大值为12+√33．故答案为：12+√33．先利用正弦定理结合基本不等式，得到AC ，BC 两边平方和的最大值，然后利用拿破仑三角形的性质，用AC ，BC 表示出拿破仑三角形的边长，最后利用三角形的面积公式即可求出△A′B′C′面积的最大值．本题考查解三角形的基本运算，考查正、余弦定理的综合应用，属于中档题．17.【答案】(1)证明：∵S n+1=Sn1+2S n，且a 1=1， ∴1Sn+1=1+2S n S n=1S n+2，即1Sn+1−1S n=2，∴数列{1S n}为首项为1，公差为2的等差数列；(2)解：由(1)可得：1S n=1+2(n −1)=2n −1，即S n =12n−1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=12n−1−12n−3=−2(2n−1)(2n−3)， 又当n =1时，a 1=1， ∴a n ={1,n =1−2(2n−1)(2n−3)．【解析】(1)由题设得到：1Sn+1−1S n=2，即可证明结论；(2)先由(1)可得：S n =12n−1，再由a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求得a n ．本题主要考查等差数列的定义及基本量的计算、a n 与S n 的关系，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为sinB −cosC =c 2−a22ab， 所以2absinB =c 2−a 2+2abcosC ， 由余弦定理得，c 2=a 2+b 2−2abcosC ， 所以2absinB =b 2， 即2asinB =b ，由正弦定理得，asinA =bsinB ， 所以2sinAsinB =sinB ， 因为sinB >0， 故sinA =12， 由A 为锐角，A =π6，(2)由题意得，S=12a⋅2√3=12bcsinA=bc4，所以bc=4√3a，因为b=√34c，所以c2=16a，b2=3c216=3a，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =22×4√3a=8√3=√32，解得a=7，所以S=√3a=7√3．【解析】(1)由已知结合正弦定理，余弦定理进行化简可求sin A，进而可求A；(2)由已知结合三角形面积公式可得a，b，c之间关系，然后结合余弦定理可求a，再由三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，还考查了考生方程，转化与化归思想，考查了考生的逻辑推理，数学运算的核心素养．19.【答案】解：(1)甲同学两分球投篮命中的概率为：P=510+410+310+610+7105=0.5，甲同学三分球投篮命中的概率为：P=110+0+110+210+1105=0.1，设甲同学累计得分为X，则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.9×0.5×0.5+0.1×0.5+0.1×0.5×0.5=0.3，∴甲同学通过测试的概率为0.3．(2)同(1)可求，乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2，设乙同学累计得分为Y，则P(Y=4)=0.8×0.4×0.4=0.128，P(Y=5)=0.2×0.4+0.2×0.6×0.4=0.128，设“甲得分比乙得到高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，则P(AB)=P(X=5)⋅P(X=4)=0.075×0.128=0.0096，P(B)=[P(X=4)+P(X=5)]⋅[P(Y=4)+P(Y=5)]=0.0768，由条件概率得：P(A|B)=P(AB)P(B)=0.00960.0768=18．【解析】(1)分别求出甲同学两分球投篮命中的概率和甲同学三分球投篮命中的概率，设甲同学累计得分为X ，则P(X ≥4)=P(X =4)+P(X =5)，由此能求出甲同学通过测试的概率．(2)乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2，设乙同学累计得分为Y ，求出P(Y =4)=0.128，P(Y =5)=0.128，设“甲得分比乙得到高”为事件A ，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B ，则P(AB)=P(X =5)⋅P(X =4)，P(B)=[P(X =4)+P(X =5)]⋅[P(Y =4)+P(Y =5)]，由条件概率得：P(A|B)=P(AB)P(B)．本题以体育运动为背景，通过频率与概率定义以及条件概率公式等知识点，考查学生数学建模、运算求解能力、逻辑推理等数学核心素养，体现分类讨论的数学思想，是基础题．20.【答案】在四棱锥S −ABCD 中，SA =SB =SC =SD =13，AC ⊥CD ，AB =6，BD =8． (1)证明：取AD 中点M ，连接MS 、MC 、MB ， 又因为SA =SD ，所以SM ⊥AD ，因为∠ACD =90°，所以MC =12AD =MD ， 又因为SC =SD ，SM =SM ，所以△MSC≌△MSD ， 所以∠SMC =SMD =90°，所以SM ⊥MC ， 又因MD ∩MC =M ，所以SM ⊥平面ABCD ， 又因为SM ⊂平面SAD ， 所以平面SAD ⊥平面ABCD ． (2)解：由(1)知SM ⊥平面ABCD ，又因为SA =SB =SC =SD ，所以MA =MB =MC =MD ， 于是A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ABD =∠ACD =90°， 因为AB =6，BD =8，由勾股定理得AD =√AB 2+BD 2=10， 因为MC =MD =5，PC =13，由勾股定理得SM =√PC 2−MC 2=12， 建立如图所示的空间直角坐标系，B(0,0，0)，A(0,6，0)，D(8,0，0)，M(4,3，0)，S(4,3，12)， BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3，12)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6，0)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,0，0)， 设平面SBA 与平面SBD 的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，n ⃗ =(u,v ，w)，{BS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =4x +3y +12z =0BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =6y =0，令z =−1，m ⃗⃗⃗ =(3,0，−1)， {BS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =4u +3v +12w =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =8u =0，令w =−1，n ⃗ =(0,4，−1)， 所以二面角A −SB −D 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√10⋅√17=√170170．【解析】(1)根据平面与平面垂直的判定定理证明；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意，2a =2√2，即a =√2，又以|F 1F 2|为直径的圆和C 恰好有两个交点，即b =c ， 又∵b 2+c 2=a 2=2， ∴b =c =1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)由题意，l 1，l 2的斜率存在且不为零，设过点P(x 0,y 0)的切线l ：y −y 0=k(x −x 0)， 联立{y −y 0=k(x −x 0)x 22+y 2=1，消去y 并整理得， (1+2k 2)x 2+4k(y 0−kx 0)x +2(y 0−kx 0)2−2=0，∵l 与C 相切，∴△=16k 2(y 0−kx 0)2−8(1+2k 2)[(y 0−kx 0)2−1]=0， 化简并整理，得(y 0−kx 0)2=2k 2+1，整理成关于k 的一元二次方程得(x 02−2)k 2−2x 0y 0k +y 02−1=0,(x 0≠±√2)，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，易知k 1，k 2为方程(x 02−2)k 2−2x 0y 0k +y 02−1=0的两根，∴k 1+k 2=y 02−1x 02−2=m ，∴y 02=mx 02+1−2m ，∴x 02+y 02=(1+m)x 02+1−2m ，∴|PO|=√x 02+y 02=√(1+m)x 02+1−2m ，易知当x 0=0时，有μ=|PO|min =√1−2m ， 又∵−1≤m ≤−12， ∴√2≤μ≤√3，即μ的取值范围为[√2,√3].【解析】(1)由题中的条件易求出a，b，c，进而求出椭圆的方程，(2)利用直线与椭圆相切时，直线与椭圆只有一个交点，联立方程即可解决．本题考查了椭圆的性质，利用代数的方法解决几何问题，考查学生的逻辑推理，数学运算能力．−1)，a22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=2lnx(ax−1<0，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，①若a≤0，则axx∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②若0<a<1，当x∈(0,a)时，f′(x)<0，当x∈(a,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递减，在(a,1)上单调递增，③若a=1，则f′(x)≤0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，④若a>1，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,a)时，f′(x)>0，当x∈(a,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递减，在(1,a)上单调递增，综上所述：若a≤0，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，若0<a<1，f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递减，在(a,1)上单调递增，若a=1，f(x)在(0,+∞)上单调递减，若a>1，f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递减，在(1,a)上单调递增．(2)令g(x)=0，则f(x)=2a2，e2的图像有3个不同的交点，所以依题意可得函数y=f(x)与y=2a2e2由(1)知必有0<a<1或a>1，①当0<a<1时，f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递减，在(a,1)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(1)=2，f(x)的极大值为f(1)=2，f(x)的极小值为f(a)=a(ln2a−2lna+2)，，又f(a)=a(ln2a−2lna+2)=a[(lna−1)2+1]>a>2a2e2所以函数y=f(x)与y=2a2e2的图像至多有1个交点，不合题意，②当a>1时，f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递减，在(1,a)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(1)=2，f(x)的极大值为f(a)=a(ln2a−2lna+2)，所以必须有2<2a2e2<a(ln2a−2lna+2)成立，因为2<2a2e2，所以a>e，所以2a2e2<a(ln2a−2lna+2)，所以2a2e2<ln2a−2lna+2(∗)，下面求不等式(∗)的解集，令lna=x，则不等式(∗)等价于2e x−2<x2−2x+2，令函数ℎ(x)=x2−2x−2e x−2+2，则ℎ′(x)=2x−2−2e x−2，令y=2x−2−2e x−2，y′=2−2e x−2，函数y=2x−2−2e x−2在区间(−∞,2)上单调递增，在区间(2,+∞)上单调递减，又y(2)=0，所以y=2x−2−2e x−2≤0，即ℎ′(x)≤0恒成立，故函数ℎ(x)单调递减，又ℎ(2)=0，所以当且仅当x<2时，ℎ(x)>0，所以不等式2e x−2<x2−2x+2的解集为(−∞,2)，即不等式(∗)的解集为(0,e2).所以a的取值范围为(1,e2).【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=2(a−1)lnxx，f′(1)=0，分四种情况①若a≤0，②若0<a<1，③若a=1，④若a>1，讨论函数f(x)的单调性．(2)令g(x)=0，得f(x)=2a2e2，问题可转化为函数y=f(x)与y=2a2e2的图像有3个不同的交点，由(1)知必有0<a<1或a>1，分两种情况①当0<a<1时，②当a>1时，讨论即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．。

2021年广东省深圳市中考一模数学试题一、选择题（共10小题）.1．在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2020年又将是一个新的时间坐标．过去40年，中国完成了卓越的经济转型，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就．将820000000科学记数法表示为（ ） A ．98.210⨯B ．90.8210⨯C ．88.210⨯D ．78210⨯2．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c >>B ．||||b a >C ．0b c +<D ．0ab >3．画如图所示物体的俯视图，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．（﹣2a 2b ﹣1）2＝424a bB ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2C ﹣ 2D ．222a a b -＋222b b a -＝2a b- 5．某校男篮队员的年龄分布如表所示：对于不同的a ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A ．平均数，中位数 B ．众数，中位数C ．众数，方差D ．平均数，方差6．商场将进价为100元的商品提高80%后标价，销售时按标价打折销售，结果仍获利44%，则这件商品销售时打几折（ ） A ．7折B ．7.5折C ．8折D ．8.5折7．以下说法正确的是（）A．三角形的外心到三角形三边的距离相等B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形C．分式方程11222xx x-=---的解为x＝2D．将抛物线y＝2x2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2x2－38．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（）A．（8，﹣12）B．（﹣8，12）C．（8，﹣12）或（﹣8，12）D．（5，﹣12）9．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的正实数根x1取值范围为：1＜x1＜210．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（）（1）EF OE ；（2）S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；（3）BE ＋BF OA ；（4）在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34； （5）OG •BD ＝AE 2＋CF 2． A ．（1）（2）（3）（5） B ．（1）（3）（4）（5） C ．（2）（3）（4）（5） D ．（1）（2）（3）（4）二、填空题11．因式分解：9a 3b ﹣ab ＝_____．12．定义运算：*2a b ab =，若a ，b 是方程230x x +-=的两个根，则()1*2a b a ++的值为______．13．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为35，则m ＝__． 14．在平面直角坐标系xOy 中，A （0，2），B （0，6），动点C 在直线y ＝﹣x 上，若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为_____．15．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC ，点A 的坐标为（3，0），点B ，C 均在第一象限，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点C ，且与边AB 交于点D ，若D 是AB 的中点，则k 的值为_____．三、解答题16．计算：2020(1)2cos 45|2|--︒+-． 17．先化简再求值：（22a -+1）÷24a a -，其中a 是方程a 2+a ＝0的一个根． 18．面对突如其来的疫情，全国人民响应党和政府的号召，主动居家隔离．随之而来的，则是线上买菜需求激增．某小区为了解居民使用买菜APP 的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查(每户必选且只能选最常用的一个APP)，现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： (A ：天虹到家，B ：叮咚买菜，C ：每日优鲜，D ：盒马鲜生)(1)本次随机调查了 户居民； (2)补全条形统计图的空缺部分；(3)若该小区共有1200户居民，请估计该小区居民选择“C ：每日优鲜”的大约有 户； (4)某日下午，张阿姨想购买苹果和生菜，各APP 的供货情况如下：天虹到家仅有苹果在售，叮咚买菜仅有生菜在售，每日优鲜仅有生菜在售，盒马鲜生的苹果、生菜均已全部售完，则张阿姨随机选择两个不同的APP 能买到苹果和生菜的概率是 ． 19．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P 处，离地面的铅锤高度PQ 为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A 处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的中点为下引桥坡脚点B 处，此时电子眼的俯角为60°（A 、B 、P 、Q 四点在同一平面）．（1）求路段BQ 的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度1:i =AB 的长（结果保留根号）． 20．纸箱厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的有底无盖纸盒（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪）．（1）若有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片恰好全部用完，可供制作竖式与横式纸盒各多少个？（2）现有正方形纸板172张，长方形纸板330张． 若要生产两种纸盒共100个．已知每个竖式纸盒可获利2元，每个横式纸盒可获利3元．应如何安排生产，可使销售利润最大？最大利润是多少？（3）若有正方形纸板112张，长方形纸板a 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．若已知200＜a ＜210，则a 的值是 ．（直接写答案）21．在平面直角坐标系xOy 中，把与x 轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线2113:222L y x x =--的顶点为D ，交x 轴于点A 、B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．抛物线2L 与1L 是“共根抛物线”，其顶点为P ．（1）若抛物线2L 经过点(2,12)-，求2L 对应的函数表达式； （2）当BP CP -的值最大时，求点P 的坐标；（3）设点Q 是抛物线1L 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若DPQ 与ABC 相似，求其“共根抛物线”2L 的顶点P 的坐标．22．如图1所示，以点M(−1，0)为圆心的圆与y 轴，x 轴分别交于点A ，B ，C ，D ，与(1)求⊙M的半径r；(2)如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC=34，求PHPD的值；(3)如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+12PE的最小值．参考答案1．C 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数． 解：88200000008.210=⨯． 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2．D 【分析】根据,,a b c 对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可． 解：由题意得：431023,a b c ---＜＜＜＜＜＜＜＜,,0,0,a b c a b b c ab ∴+＜＜＞＞＞∴A 错误，B 错误，C 错误，D 正确．故选D ． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 3．B 【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．解：从上面看矩形分成两个矩形，分线是实线，故B 正确． 故选：B ． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，能看到的线用实线画．4．A 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、二次根式的加减、分式的加减运算法则分别计算得出答案．解：A 、（﹣2a 2b ﹣1）2＝424a b，故此选项正确；B 、（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故此选项错误；C ﹣，故此选项错误；D 、222222a b a b b a +--＝222a a b -﹣222ba b -＝2a b+，故此选项错误；故选：A ． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式、二次根式的加减、分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．B 【分析】根据频数分布表可得前两组的频数和为4，然后求得总人数，最后结合频数分布表即可确定中位数和众数．解：由表可知，年龄13-14岁的频数和为a +4﹣a ＝4， 则总人数为：4+6＝10， 故该组数据的众数为15岁；将数据按大小排列后，第5个和第6个数据处于中间位置，则中位数为：15152+＝15岁. 即对于不同的a ，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数. 故选：B ． 【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，根据表中数据得出数据特点确定总人数是解答本题的关键． 6．C 【分析】设这件商品销售时打x 折，根据利润=售价-进价，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．解：设这件商品销售时打x 折， 依题意，得100×（1+80%）×10010044%10x-=⨯， 解得：x=8． 故选：C ． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．B 【分析】利用三角形的外心的性质、中点四边形、解分式方程以及抛物线的平移规律分别判断后即可确定正确的选项．解：A 、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A 说法错误，不符合题意； B 、顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，故选项B 说法正确，符合题意； C 、11222x x x -=--- 去分母得，112(2)x x =--- 解这个整式方程得，x ＝2 经检验，x ＝2是原方程的增根，∴原方程无解，故选项C 说法错误，不符合题意；D 、将抛物线y =2x 2-2向右平移1个单位后得到的抛物线是y =2（x -1）2-2，故选项D 说法错误，不符合题意；； 故选：B ． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，三角形的外心的性质、中点四边形、解分式方程及抛物线的平移等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8．D【分析】过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，利用位似图形的性质可求出B′D 的长，可得B′的纵坐标，利用待定系数法可得直线AB的解析式，把B′纵坐标代入即可得B′的横坐标，即可得答案.【详解】过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，∴BC、B′D分别是△ABO和△AB′O′的高，∵A（9，0）、B（6，﹣9），O′（-3，0），∴AO=9，AO′=12，BC=9，∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，∴AOAO'＝BCB D'，即912＝9DB'，解得：B′D＝12，∴点B′的纵坐标为-12，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴9069 k bk b+=⎧⎨+=-⎩，解得：k3b27=⎧⎨=-⎩，∴直线AB的解析式为：y＝3x﹣27，当y＝﹣12时，﹣12＝3x﹣27，解得：x＝5，故B′点坐标为：（5，﹣12），故选D．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题关键.9．D【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可以对A 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点情况可对B 进行判断；根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝n +1无交点，可对C 进行判断；根据抛物线的对称性，可对D 进行判断．解：A ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝﹣2b a＝﹣1， ∴b ＝2a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故A 正确；B ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即4ac ﹣b 2＜0，故B 正确；C ．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n ），∴函数有最大值n ，∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝n +1无交点，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n +1无实数根，故C 正确；D ．∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴于x 的方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根x 1取值范围为：0＜x 1＜1，故D 错误；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数的性质，准确识图，从图中获取准确信息，熟练运用数形结合思想． 10．A【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，直角∠MPN ，易证得△BOE ≌△COF （ASA ），则可证得结论；（2）由（1）易证得S 四边形OEBF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，则可证得结论； （3）由BE ＝CF ，可得BE +BF ＝BC ，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE +BFOA ； （4）首先设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1﹣x ，BF ＝x ，继而表示出△BEF 与△COF 的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；（5）易证得△OEG ∽△OBE ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG •OB ＝OE 2，再利用OB 与BD 的关系，OE 与EF 的关系，即可证得结论．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF +∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF +∠COE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，在△BOE 和△COF 中，BOE COF OB OCOBE OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EFOE ；故（1）符合题意；（2）∵S 四边形OEBF ＝S △BOE +S △BOE ＝S △BOE +S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ， ∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；故（2）符合题意；（3）∵△BOE ≌△COF∵∴BE +BF ＝BF +CF ＝BC OA ；故（3）符合题意；（4）过点O 作OH ⊥BC ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12， 设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1﹣x ，BF ＝x ，∴S △BEF +S △COF ＝12BE •BF +12CF •OH ＝12x （1﹣x ）+12（1﹣x ）×12＝﹣12（x ﹣14）2+932， ∵a ＝﹣12＜0， ∴当x ＝14时，S △BEF +S △COF 最大； 即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14； 故（4）不符合题意；（5）∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ：OB ＝OG ：OE ，∴OG •OB ＝OE 2，∵OB ＝12BD ，OE EF ， ∴OG •BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2+BF 2，∴EF 2＝AE 2+CF 2，∴OG •BD ＝AE 2+CF 2．故（5）符合题意．故选：A ．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．11．ab(3a ＋1)(3a ﹣1)【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．解：原式＝ab(9a 2﹣1)＝ab(3a ＋1)(3a ﹣1)．故答案为：ab(3a ＋1)(3a ﹣1).【点评】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解决此类题的关键.12．8-【分析】由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含ab 和a+b 的代数式，再由a 、b 是方程230x x +-= 的两个根可得ab 和a+b 的值，最后把ab 和a+b 的值整体代入即可得解．【详解】∵a ，b 为230x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，3ab =-，∴()()1*2222628a b a ab b a ++=++=-+-=-．故答案为-8．【点评】本题考查实数运算和一元二次方程根与系数关系的综合应用，由根与系数关系得到ab 和a+b 的值后代入由实数新运算法则得到的算式求解是解题关键．13．5【分析】根据概率公式列出方程，即可求出答案．解：由题意得，10m 3610m 45+=+++ 解得m ＝5，经检验m ＝5是原分式方程的根，故答案为5．【点评】本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．14．3【分析】分别以A 、B 、C 为三角形顶角顶点，根据平面直角坐标中两点距离公式，列出方程求解即可．解：如图所示：∵动点C 在直线y ＝﹣x 上，设点C 坐标为（x ，﹣x ），分三种情况讨论：∵A （0，2），B （0，6），∴AB =6-2=4，当AC ＝AB 时，根据勾股定理，得（x -0）2+(-x -2)2=AC 2=AB 2=42，整理得，（﹣x ﹣2）2+x 2＝42，解得，x 1＝﹣，x 2＝﹣1，所以点C 的坐标分别为：（﹣，1）、（﹣1，当BC ＝AC 时，点C 在AB 中垂线上，点C 纵坐标为（6+2）÷2=4，点C （﹣4，4）； 当BC ＝AB 时，（﹣x ﹣6）2+x 2＝42整理，得x 2+6x +10＝0，实数范围内此方程无解，这种情况不存在，所以点C 的个数为3个．故答案为3．【点评】本题考查了直线上与已知两点组成等腰三角形的点，已知两点坐标用勾股定理求两点距离，用公式法解一元二次方程，根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，分类讨论是解决本题的关键．15．【分析】 可以先设点(,)k C m m ，则点(32m D +，)32k m +，求出点C 的横坐标m ，即可以根据菱形的特征得到3OC OA ==，根据勾股定理求得CE ，即可求得C 的纵坐标，代入解析式进行求解即可．解：依题意，过点C 作CE x ⊥轴交于点E ，设点的坐标为(,)k C m m， 点D 为AB 的中点，∴则点(32m D +，)32k m +，∴232k kmm=⨯+，解得，2m=，2OE∴=，四边形ABCD为菱形，3OA=，3OC∴=，CE∴===，C∴，2k∴==故答案为【点评】此题考查的是反比函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键．16．3【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝1﹣+2＝1+2＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17．a+2，a的值为﹣1，原式＝1【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式＝a+2，接着利用因式分解法解方程得到满足条件的a的值，然后代入计算即可．解：（22a-+1）÷24aa-＝22(2)(2) 2a a aa a+-+--＝a+2，方程a2+a＝0可化为a（a+1）＝0，解得a1＝0，a2＝﹣1，∵a≠0，∴a的值为﹣1，当a＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．【点评】本题考查分式的化简求值及解一元二次方程，掌握分式的混合运算，因式分解法解一元二次方程的计算法则及分式成立的条件，正确计算是解题关键．18．(1)200；(2)见解析；(3)240；(4)1 3【分析】（1）根据“调查居民户数=D组户数÷D组所占百分比”，即可求解；（2）先求出A组居民户数，再补全条形统计图，即可；（3）由“C组户数=小区总居民户数×C组所占百分比”，即可求解；（4）先画出树状图，再根据概率公式，即可求解．【详解】（1）∵D组由30户，占总调查户数的15％，∴本次随机调查的居民有：30÷15％=200（户）．故答案是：200；（2）由题意得，A组居民有：200-80-40-30=50（户），补全条形统计图如下：（3）1200×（40÷200×100％）=240（户），答：该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有240户．故答案三是：240；（4）画树状图如下：由树状图可知：共有12种等可能的结果，可以买到苹果和生菜的结果有4种，∴P(买到苹果和生菜)= 4 12= 13． 故答案是： 13．【点评】本题主要考查条形统计图和随机事件的概率，掌握条形统计图的特征，学会画树状图，是解题的关键．19．（1）BQ =2）AB =【分析】（1）由题意可得∠PBQ=60°，然后在Rt △PQB 中利用60°的三角函数求解即可； （2）作AH PQ ⊥于点H ，AM BQ ⊥于点M ，如图，则四边形AMQH 是矩形，设AM a =，根据矩形的性质和坡度的定义可用含a 的代数式表示出PH 和AH ，易得∠PAH=30°，然后利用30°角的三角函数即可求出a ，再根据勾股定理即可求出结果．解：（1）作PD ∥QB ，如图，由题意得：∠PBQ=∠DPB=60°，则在Rt △PQB 中，9sin sin 60PQ BQ PBQ ===∠︒，即BQ =米；（2）作AH PQ ⊥于点H ，AM BQ ⊥于点M ，如图，则四边形AMQH 是矩形，设AM a =，∴HQ=AM=a ，AH=MQ ，∴PH=9－a ，∵:1:i AM BM ==∴BM =，∴AH=QM=QB BM +=+，由题意得：∠DPA=∠PAH=30°，在Rt △PAH 中，∵tan PH PAH AH∠=，∴tan 30︒==，解得：2a =，∴AM=2，BM=∴AB ==米．∴电子眼区间测速路段AB 的长为【点评】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的相关知识是解题的关键．20．（1）竖式纸盒30个，横式纸盒60个；（2）生产28个竖式纸盒、72个横式纸盒，销售利润最大，最大利润为272元；（3）203或208【分析】（1）设可供制作竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设生产竖式纸盒m 个，则生产横式纸盒（100﹣m ）个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，进而即可得出各生产方案；设销售利润为w 元，根据总利润＝单个利润×生产数量，即可得出w 关于m 的一次函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题；（3）设可供制作竖式纸盒b 个，横式纸盒c 个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关a 、b 、c 的三元一次方程组，解之可得出a ＝448﹣5c ，再结合a 的取值范围即可确定a 的值．解：（1）设可供制作竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，根据题意得：433002150x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：3060x y =⎧⎨=⎩． 答：可供制作竖式纸盒30个，横式纸盒60个．（2）设生产竖式纸盒m 个，则生产横式纸盒（100﹣m ）个，根据题意得：2(100)17243(100)330m m m m +-≤⎧⎨+-≤⎩， 解得：28≤m ≤30，设销售利润为w 元，根据题意得：w ＝2m +3（100﹣m ）＝﹣m +300．∵﹣1＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m ＝28时，w 取最大值，最大值为272．∴最佳生产方案是：生产28个竖式纸盒、72个横式纸盒，销售利润最大，最大利润为272元．（3）设可供制作竖式纸盒b 个，横式纸盒c 个，根据题意得：211243b c b c a +=⎧⎨+=⎩， 解得：a ＝448﹣5c ，∵200＜a ＜210，且c 为整数，∴a ＝203或208．故答案为：203或208．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于m 的一元一次不等式，利用总利润＝单个利润×生产数量，找出w 关于m 的一次函数关系式；（3）通过解方程组找出a ＝448﹣5c ．21．（1）2268y x x =--；（2）点3,52P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）1339,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或2321,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3355,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或435,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线2L 经过抛物线1L 与x 轴交点，故根据抛物线1L 可求AB 两点坐标进而由交点式设2L 为(1)(4)y a x x =+-，将点(2,12)-代入，即可求出解； （2）由抛物线对称性可知PA=PB ，∴BP CP AP CP -=-，根据三角形两边之差小于第三边可知当当A 、C 、P 三点共线时，BP CP -的值最大，而P 点在对称轴为32x =上，由此求出点P 坐标；（3）根据点ABC 坐标可证明△ABC 为直角三角形，DPQ 与ABC 相似，分两种情况讨论：当90DPQ ︒∠=、90DQP ︒∠=时，分别利用对应边成比例求解即可．解：（1）当0y =时，2132022x x --=，解得11x =-，24x =． ∴(1,0)A -、(4,0)B 、(0,2)C -．由题意得，设2L 对应的函数表达式为(1)(4)y a x x =+-，又∵2L 经过点(2,12)-，∴12(21)(24)a -=+-，∴2a =．∴2L 对应的函数表达式为22(1)(4)268y x x x x =+-=--．（2）∵1L 、2L 与x 轴交点均为(1,0)A -、(4,0)B ，∴1L 、2L 的对称轴都是直线32x =． ∴点P 在直线32x =上． ∴BP AP =．如图1，当A 、C 、P 三点共线时，BP CP -的值最大，此时点P 为直线AC 与直线32x =的交点． 由(1,0)A -、(0,2)C -可求得，直线AC 对应的函数表达式为22y x =--．∴点3,52P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）由题意可得，5AB =，CB =，CA =，因为在ABC 中，222AB BC AC =+，故90,2ACB CB CA ︒∠==． 由22131325222228y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，得顶点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 因为2L 的顶点P 在直线32x =上，点Q 在1L 上， ∴PDQ ∠不可能是直角． 第一种情况：当90DPQ ︒∠=时，①如图2，当QDP ABC ∽时，则得12QP AC DP BC ==． 设213,222Q x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2313,2222P x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴22132513932,2282282DP x x x x QP x ⎛⎫⎛⎫=----=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由12QP DP =得213923228x x x -=-+，解得12113,22x x ==． ∵32x =时，点Q 与点P 重合，不符合题意， ∴舍去，此时339,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ②如图3，当DQP ABC ∽时，则得12DP AC QP BC ==． 设213,222Q x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2313,2222P x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∴22132513932,2282282DP x x x x QP x ⎛⎫⎛⎫=----=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由12DP QP =得239324x x x -=-+，解得1253,22x x ==（舍），此时321,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 第二种情况：当90DQP ︒∠=时，①如图4，当PDQ ABC ∽时，则得12PQ AC DQ BC ==．过Q 作QM PD ⊥交对称轴于点M ，∴QDM PDQ ∽． ∴12QM PQ DM DQ ==．由图2可知3391139,,,2828M Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴8,4MD MQ ==．∴QD =，又QD PD DM DQ=，代入得10PD =． ∵点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴点355,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ②如图5，当DPQ ABC ∽时，则12DQ AC PQ BC ==．过Q 作QM PD ⊥交对称轴于点M ，∴QDM PDQ ∽，则2QM PQ DM DQ==． 由图3可知321,28M ⎛⎫-⎪⎝⎭，521,28Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴12MD =，1MQ =，∴QD =又QD PD DM DQ =，代入得52PD =． ∵点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴点35,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述，1339,28P ⎛⎫⎪⎝⎭或2321,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3355,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或435,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点评】 本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答．22．（1）r=2；（2）PH PD =23；（3． 【分析】（1）连接MH ，根据点E （5-，0）和点F （0，），求出EF 的值，再通过证明△EMH ∽△EFO ，得到HM EM OF EF＝，即可解出r 的值； （2）连接DQ 、CQ ，由cos ∠QDC =cos ∠QHC =34，可得34DQ CD =，由（1）可知，r=2，故CD=4，由DQ=3，CH 是RT △EHM 斜边上的中线，得到CH=12EM=2．再通过证明△CHP ∽△QDP ，即可得到23HP CH PD DQ ==； （3）取CM 的中点N ，连接PM 、PN ，由OM=1，OE=5，可得ME=4，进而得到12MN MP PM ME ==， 通过证明△PMN ∽△EMP ，可得12PN PE =，即12PN PE =，所以当F 、P 、N 三点共线时，PF+12PE 的最小值为FN 的长，根据勾股定理可求的PF+12PE 的最小值. 【详解】（1）如图，连接MH ，∵点E（5-，0）和点F（0，），∴OE=5，，∴EF===∵M（-1，0），∴OM=1，∴EM=OE-OM=4，∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，∴△EMH∽△EFO，∴HM EM OF EF＝，∴r=2；(2) 如图，连接DQ、CQ.∵CD为直径，∴∠CQD=90°，∵∠QHC=∠QDC，∴cos∠QDC =cos∠QHC =34，∴34 DQCD=，由（1）可知，r=2，故CD=4，∴DQ=3，∵CH是RT△EHM斜边上的中线，∴CH=12EM=2．∵∠CHP=∠QDP，∠CPH=∠QPD，∴△CHP∽△QDP，∴23 HP CHPD DQ==；（3）如图，取CM的中点N，连接PM、PN，∵OM=1，OE=5，∴ME=4，∴12 MN MPPM ME==，又∵∠PMN=∠EMP，∴△PMN∽△EMP，∴12 PNPE=，∴12PN PE=，当F、P、N三点共线时，PF+12PE的最小值为FN的长，∴点N为CM的中点，∴ON=2，∴NF ===，∴PF+12PE . 【点评】本题综合考察圆的性质，相似三角形的判定和性质，难度较大.解题的关键是根据题意正确作出辅助线，构造相似三角形.。

2024-2025学年福建省福州市高新一中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x ∈Z|x(x−3)<0}，B ={−1,2,3}，则A ∩B =( )A. {2}B. {2,3}C. {−1,1,2,3}D. ⌀2.已知α∈(π2,π)，sinα=35，则tan (α+π4)=( )A. −17B. 7C. 17D. −73.“lna >lnb ”是“ a >b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)=xcosxe |x|−1的图象大致为( )A. B.C. D.5.实数x ，y 满足2x +y =−1，x >0，则x−yx 的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.已知函数f(x)=log 0.5(x 2−ax +3a)在(2,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [−4,4]D. (−4,4]7.已知定义域为R 的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)−f(x)<0，f(0)=1，则( )A. ef(−1)<1B. f(1)>eC. f(12)<eD. f(1)>e f(12)8.已知f(x)={|ln (−x)|,x <0x 2−4x +5,x ≥1，若方程f(x)=m(m ∈R)有四个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4的取值范围是( )A. (3,4)B. (2,4)C. [0,4)D. [3,4)二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列选项中，与sin5π6的值相等的是( )A. cos2π3B. cos18°cos42°−sin18°sin42°C. 2sin15°sin75°D. tan30°+tan15°1−tan30∘tan15∘10.已知a>0，b>0，a+2b=1，下列结论正确的是( )A. 1a +2b的最小值为9 B. a2+b2的最小值为15C. log2a+log2b的最小值为−3D. 2a+4b的最小值为2211.设函数f(x)与其导函数f′(x)的定义域均为R，且f′(x+2)为偶函数，f(1+x)−f(1−x)=0，则( )A. f′(1+x)=f′(1−x)B. f′(3)=0C. f′(2025)=0D. f(2+x)+f(2−x)=2f(2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

★启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学本试卷共5页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。

将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写 上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合M={x|-7<3x-1<2},N={x|x+1>0},则M ∪N=A.(-2,+∞)B. (-1,1)C.(-∞,1)D.(-1,+∞) 2.若复数z 满足（z-1)(1+i)=2-2i,则｜z|=3.已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则f(2e)= A. 2e 2 B. 2e C. 1+ln2 D. 21n 24.函数f(x)=cos 2x+6cos(2π-x)(x ∈[0, 2π])的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.75.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则数列｛log 2a n }的前10项和等于 A. 1023 B.55 C.45 D.356.已知a,b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是A. ab 的最小值是1B.ab 的最大值是1C. 11a b +的最小值是92D. 11a b +的最大值是927.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h,计算其体积V 的近似公式V≈2136L h .用该术可求得圆率π的近似值。

专题22 导数及其应用（多选题）1．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是 A ．（1x ）′21x= B ．（cos 2x ）'＝﹣2sin 2x C ．333x x ln '⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．（lgx ）′110xln -=【试题来源】山东省潍坊市潍坊中学2019-2020学年高二下学期4月阶段测试 【答案】BC【解析】211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（cos 2x ）′＝﹣2sin 2x ，3'33x xln ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1'10lgx xln =．故选BC ． 2．已知函数2()(0)(0)cos 2f x x f x f x '=+⋅-⋅+，其导函数为()'f x ，则 A ．(0)1f =- B ．(0)1f '= C ．(0)1f =D ．(0)1f '=-【试题来源】湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】BC【解析】因为2()(0)(0)cos 2f x x f x f x '=+⋅-⋅+，所以()()020f f '=-．又()2(0)(0)sin f x x f f x ''=++⋅，所以()()00f f '=．故()()001f f '==．故选BC 3．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是A ．-3是()f x 的一个极小值点B ．-2和-1都是()f x 的极大值点C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-【试题来源】福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末 【答案】ACD【解析】当3x <-时，()0f x '<，(3,)x ∈-+∞时()0f x '≥，所以3-是极小值点，无极大值点，增区间是()3,-+∞，减区间是(),3-∞-．故选ACD ． 4．如图是()y f x =的导函数()'f x 的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是．A ．()f x 在[2,1]-上是增函数B ．当4x =时，()f x 取得极小值C ．()f x 在[1,2]-上是增函数、在[2,4]上是减函数D ．当1x =时，()f x 取得极大值【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期末 【答案】BC【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取极大值，左减右增取极小值． 【解析】由图象可以看出，在[2-，1]-上导数小于零，故A 不对；1x =-左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以1x =-是()f x 的极小值点，故B 对；在[1-，2]上导数大于零，在[]2,4上导数小于零，故C 对；1x =左右两侧导数的符号都为正，所以1x =不是极值点，D 不对．故选BC ．5．设()'f x 为函数()f x 的导函数，已知2()()ln x f x xf x x '+=，1(1)2f =，则下列结论不正确的是A ．()xf x 在(0,)+∞单调递增B ．()xf x 在(1,)+∞单调递增C ．()xf x 在(0,)+∞上有极大值12D ．()xf x 在(0,)+∞上有极小值12【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【解析】由2()()ln x f x xf x x '+=得0x >，则ln ()()xxf x f x x'+=，即ln [()]'=xxf x x ，设()()g x xf x =，ln ()01x g x x x'=>⇒>，()001g x x '<⇒<<， 即()xf x 在(1,)+∞单调递增，在(0,1)单调递减， 即当1x =时，函数()()g x xf x =取得极小值()()1112==g f ．故选AC ． 6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是 A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【试题来源】金太阳联考2020-2021学年新高考（广东卷） 【答案】BD 【解析】设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x '-'=． 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<．故选BD ． 7．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且(1)()0x f x '-<，若1(0),,(3)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的有A ．b a >B ．c b >C ．b c >D ．c a >【试题来源】湖南省长沙市长沙县第九中学2020-2021学年高三上学期10月月考 【答案】AC【分析】确定函数关于1x =对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案．【解析】由()()2f x f x =-得()()11f x f x +=-，则函数关于1x =对称， 当1x >时，由()()10x f x '-<得()0f x '<，函数单调递减； 当1x <时，由()()10x f x '-<得()0f x '>，函数单调递增． 又()()02a f f ==，1322b f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3c f =，故b a c >>．故选AC ． 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是 A ．()()20192020f ef < B ．()()20192020ef f >C ．()f x 是R 上的增函数D ．若0t >，则有()()tf x e f x t <+【试题来源】广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性检测调研 【答案】AD【解析】由()()f x f x '>-，得()()0xxe f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()x e f x 为增函数，故()()2019202020192020e f e f <，所以()()20192020f ef <，故A 正确，B 不正确；函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如122xxx e e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是增函数，但12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以C 不正确； 因为函数()xe f x 为增函数，所以0t >时，有()()xx te f x ef x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确．故选AD ．9．已知函数()f x 为R 上的可导函数，则下列判断中正确的是（ ） A ．若()f x 在0x x =处的导数值为0，则()f x 在0x x =处取得极值 B ．若()'f x 为奇函数，则()f x 为偶函数 C ．若()'f x 为偶函数，则()f x 为奇函数D ．若()f x 的图象关于某直线对称，则()'f x 的图象关于某点成中心对称【试题来源】福建省龙岩市“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市区）一中2021届高三上学期期中联考【答案】BD【解析】A 选项，若3()f x x =，则2()3f x x '=，所以(0)0f '=，而3()f x x =显然是单调函数，没有极值，故A 错；B 选项，若()'f x 为奇函数，则原函数一定是偶函数，加上常数C 后，也为偶函数，故B 正确；C 选项，若()'f x 为偶函数，则()f x 不一定为奇函数，如2()3f x x '=显然为偶函数，但3()f x x C =+，若C 不为0，则3()f x x C =+不是奇函数；故C 错；D 选项，若()f x 的图象关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-， 两边求导，可得()()f a x f a x ''+=--，即()()0f a x f a x ''++-=， 所以函数()'f x 的图象关于(),0a 中心对称，故D 正确．故选BD ． 10．已知函数31()423f x x x =-+，下列说法中正确的有 A ．函数()f x 的极大值为223，极小值为103-B ．当[]3,4x ∈时，函数()f x 的最大值为223，最小值为103-C ．函数()f x 的单调减区间为[]22-,D ．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+ 【试题来源】河北省邢台市第二中学2021届高三上学期11月月考 【答案】ACD【解析】因为31()423f x x x =-+，所以2()4f x x =-'， 由()0f x '>，得2x <-或2x >，由()0f x '<，得22x -<<，所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增，在[]22-,上递减，在(2,)+∞上递增，故选项C 正确， 所以当2x =-时，()f x 取得极大值3122(2)(2)4(2)233f -=⨯--⨯-+=， 在2x =时，()f x 取得极小值3110(2)242233f =⨯-⨯+=-，故选项A 正确，当[]3,4x ∈时，()f x 为单调递增函数，所以当3x =时，()f x 取得最小值31(3)343213f =⨯-⨯+=-，当4x =时，()f x 取得最大值3122(4)444233f =⨯-⨯+=，故选项B 不正确，因为(0)4f '=-，所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=--，即42y x =-+，故选项D 正确．故选ACD ．11．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中正确结论为A ．在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；D ．甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高三上学期10月检测 【答案】ABC 【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；A 正确； 甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．D 错误；在2t时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B 正确； 在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；C 正确； 故选ABC ． 12．若直线12y x b =+是函数()f x 图象的一条切线，则函数()f x 可以是 A ．1()f x x=B ．4()f x x =C ．()sin f x x =D ．()x f x e =【试题来源】江苏省淮安市五校2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】BCD 【解析】直线12y x b =+的斜率为12k =， 由1()f x x =的导数为'21()f x x=-，即切线的斜率小于0，故A 不正确； 由4()f x x =的导数为'3()4f x x =，而3142x =，解得12x =，故B 正确；由()sin f x x =的导数为'()cos f x x =，而1cos 2x =有解，故C 正确；由()x f x e =的导数为'()x f x e =，而12xe =，解得ln 2x =-，故D 正确，故选BCD13．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是 A ．cos y x = B ．ln y x = C ．e x y =D ．2yx【试题来源】辽宁省本溪满族自治县高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】AD【分析】由题意关键看选项中的函数的导函数'()f x ，否存在点1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-成立．【解析】由题意()y f x =具有T 性质，则存在1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-． 对于选项A ，因为'()sin f x x =-，存在12x π=，22x π=-，使得()1f x '()21f x '=-；对于选项B ，因为'1()0f x x=>，不存在1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-； 对于选项C ，因为'()e 0x f x =>，不存在1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-； 对于选项D ，因为'()2f x x =，存在11x =，214x =-，使得()1f x '()21241f x x x '==-． 故选AD ．14．设函数ln ,0()(1),0xx x f x e x x ⎧>=⎨+≤⎩，若方程21[()()01]6f x af x -+=有六个不等的实数根，则实数a 可取的值可能是A ．12B ．23C ．1D ．2【试题来源】湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】BC【解析】当0x ≤时，()()1xf x ex =+，则()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+由()'0f x <得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数， 由()0f x '>得20x +>，即20x -<≤，此时()f x 为增函数， 即当2x =-时，()f x 取得极小值21(2)f e -=-，作出()f x 的图象如图：由图象可知当()01f x <≤时，有三个不同的x 与()f x 对应， 设()t f x =，方程21[()()01]6f x af x -+=有六个不等的实数根， 所以21016t at -+=在(]0,1t ∈内有两个不等的实根， 设21()16g t t at =-+，即21016(0)01(1)01011716012164016012012g g a a a a a ⎧⎧>⎪⎪>⎪⎪⎪⎪≥-+≥⎪⎪⎪∴∴<≤⎨⎨∆>⎪⎪-⨯>⎪⎪<<⎪⎪⎪⎪<<⎪⎩⎩，，， 则实数a 可取的值可能是23，1，故选BC ．15．已知函数f (x )＝21xx x e+-，则下列结论正确的是 A ．函数f (x )不存在两个不同的零点 B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e <k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝25e ，则t 的最大值为2 【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021届高三上学期第一次联考 【答案】BCD【解析】A ．()2010f x x x =⇒+-=，解得12x -±=，所以A 不正确； B ．()()()2122x xx x x x f x e e +---'=-=-， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >()(),1,2,-∞-+∞是函数的单调递减区间，()1,2-是函数的单调递增区间，所以()1f -是函数的极小值，()2f 是函数的极大值，所以B 正确．C ．当x 趋向于+∞时，y 趋向于0，根据B 可知，函数的最小值是()1f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；D ．由图象可知，t 的最大值是2，所以正确．故选BCD ． 16．关于函数()2ln f x a x x=+，下列判断正确的是 A ．当1a =时，()ln 21f x ≥+；B ．当1a =-时，不等式()()210f x f x -->的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；C ．当a e >时，函数()f x 有两个零点；D ．当()f x 的最小值为2时，2a =．【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期10月月考 【答案】ABD【解析】对函数()2ln ,0f x a x x x =+>求导得()2222a ax f x x x x -'=-=， 当1a =时，()2ln f x x x =+，()22x f x x-'=， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，单调递增， 所以()()2ln 21f x f ≥=+，故A 正确； 当1a =-时，()2ln f x x x=-+，在()0,∞+上单调递减，因为()()210f x f x -->即()()21f x f x ->，所以021x x <-<，解得1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 正确；当2a e =时，()22ln f x e x x =+，()222ex f x x -'=，则当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，所以()112ln20f x f e e e e⎛⎫≥=+= ⎪⎝⎭，函数只有一个零点，故C 错误； 当0a ≤时，()2ln f x a x x=+单调递减，无最小值； 当0a >时，由()22ax f x x-'=可得当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减， 当2,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()min 22ln 2f x f a a a a ⎛⎫==+=⎪⎝⎭，解得2a =，故D 正确．故选ABD ． 17．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是A ．7B ．8C ．9D ．10【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考【答案】BCD【解析】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12xf x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值．故选BCD ．18．已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则 A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在[)0,π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点【试题来源】2020届山东省临沂市高三上学期期末考试 【答案】BD【解析】因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，()sin cos f x x x x x =+-，()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，当0,x 时，()0f x '>，则()f x 在0,上单调递增．显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-， 分别作出sin y x =，1y x=-在区间[)2,2ππ-上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点．故选BD ．19．已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为()f x '，下列命题中真命题的为 A ．()f x 的单调减区间是2(,2)3B ．()f x 的极小值是15-C ．当2a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()f x f >（a ）f +'（a ）()x a -D ．函数()f x 有且只有一个零点【试题来源】江苏省泰州中学2019-2020学年高二下学期第二次月考 【答案】BCD【解析】32()247f x x x x =---，其导函数为2()344f x x x '=--．令()0f x '=，解得23x =-，2x =，当()0f x '>时，即23x <-，或2x >时，函数单调递增，当()0f x '<时，即223x -<<时，函数单调递减；故当2x =时，函数有极小值，极小值为()215f =-，当23x =-时，函数有极大值，极大值为2()03f -<，故函数只有一个零点，A 错误，BD 正确；令2()344g x x x =--，则()64g x x '=-故在()2,+∞上()640g x x '=->，即2()344f x x x '=--在()2,+∞上单调递增，根据切割线的定义可知，当2a >时，对任意的x a >，恒有()()()f x f a f a x a-'<-，即()()()()f x f a f a x a '>+-，对任意的2x a <<，恒有()()()f x f a f a x a-'>-，即()()()()f x f a f a x a '>+-，故C 正确；故选BCD ．20．定义在R 的函数()f x ，已知()000x x ≠是它的极大值点，则以下结论正确的是 A ．0x -是()f x -的一个极大值点 B ．0x -是()f x -的一个极小值点 C ．0x 是()f x -的一个极大值点D ．0x -是()f x --的一个极小值点【试题来源】福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末 【答案】AD【解析】()000x x ≠是()f x 的极大值点，就是存在正数m ，使得在00(,)x m x -上，()0f x '>，在00(,)x x m +上，()0f x '<．()()g x f x =-，()()g x f x ''=--，当00x x x m -<<-+时，00x m x x -<-<，()0f x '->，()0g x '<，同理00x m x x --<<-时，()0g x '>，所以0x -是()f x -的一个极大值点，从而0x -是()f x --的一个极小值点，0x 是()f x -的一个极小值点．不能判定0x -是不是()f x -的极值点．故选AD ．21．设函数()ln x e f x x=，则下列说法正确的是A ．()f x 定义域是()0,∞+B ．()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有且仅有一个极值点【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研B 卷试题 【答案】BCD【分析】求出函数定义域判断A ，根据函数值的正负判断B ，求出导函数，利用导函数确定原函数的增区间，判断C ，由导函数研究函数的单调性得极值，判断D ．【解析】由题意，函数()ln xe f x x =满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以函数()ln xe f x x=的定义域为()()0,11,+∞，所以A 不正确；由()ln xe f x x=，当()0,1x ∈时，ln 0x <，所以()0f x <，所以()f x 在()0,1上的图象都在轴的下方，所以B 正确；因为21ln '()(ln )x e x x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，所以()'0f x >在定义域上有解，所以函数()f x 存在单调递增区间，所以C 是正确的； 由()1ln g x x x =-，则()211'(0)g x x x x=+>，所以()'0g x >，函数()g x 单调增，则函数'()0f x =只有一个根0x ，使得0'()0f x =，当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，函数单调递减，当()0,x x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D 正确； 故选BCD ．22．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是 A ．()sin f x x x =-B ．()ln(1)ln(1)f x x x =--+C ．e e ()2x xf x -+=D ．e 1()e 1x x f x -=+【试题来源】江苏省苏州市吴江区平望中学2020-2021学年高三上学期阶段性测试（一） 【答案】AD【解析】对于A ，()f x 的定义域为R ，且()()sin f x x x f x -=-+=-，()f x ∴是奇函数，关于原点对称，又()1cos 0f x x '=-≥，则()f x 单调递增，故A 正确； 对于B ，()ln(1)ln(1)f x x x =--+满足1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得1x >，即()f x 定义域为()1,+∞，不关于原点对称，故B 错误；对于C ，()e e ()2x xf x f x -+-==，故()f x 是偶函数，不关于原点对称，故C 错误；对于D ，()f x 定义域为R ，且()e 11e ()e 11e x xx xf x f x -----===-++，则()f x 是奇函数，关于原点对称，又e 1()1e 12e 1x x xf x -==-++，可知其单调递增，故D 正确．故选AD ．23．已知函数()ln f x x x =，则A ．()f x 的单调递增区间为()e ∞+，B ．()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数 C ．当(]01x ∈，时，()f x 有最小值1e- D ．()f x 在定义域内无极值【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高三上学期第一次月考 【答案】BC【分析】先求解出()f x '，根据()0f x '=分析出()f x 的单调性以及极值，由此可确定各选项是否正确． 【解析】因为()()ln 10f x x x '=+>，令()0f x '=，所以1=x e， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，1=x e 是极小值点， 所以A 错误，B 正确；当(]0,1x ∈时，根据单调性可知，()min 11f x f e e⎛⎫==-⎪⎝⎭，故C 正确；显然()f x 有极小值1f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 错误，故选BC ．24．已知函()sin cos f x x x =-且π2a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，ππ,b f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22c f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C ．a c b >>D ．b a c >>【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷（一） 【答案】ABC【解析】对于A ：因为()()()sin cos sin cos f x x x x f x x -==--=--，所以函数()f x 为偶函数，故选项A 正确；对于B ：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos f x x x =-，()sin cos 0f x x x '=+>，此时()f x 单调递增；故选项B 正确； 对于C 和D ：令()x x g x e =，则()1x xg x e-'=，则()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减，因为2π<，所以π2π2πe e 2<<，由函数()f x 的单调性有： π2π2ππe e 22f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．即a c b >>，故选项C 正确，选项D 不正确 故选ABC ． 25．若函数()ln f x y x=在(1,)+∞上单调递减，则称()f x 为P 函数．下列函数中为P 函数的为A ．()1f x =B ．()f x x =C ．1()f x x=D ．()f x =【试题来源】江苏省泰州中学2020-2021学年高三上学期第二次检测 【答案】AC【解析】对于A ，()1ln ln f x y x x ==，当(1,)x ∈+∞，ln y x =为增函数，故1ln y x=为减函数，所以()1f x =为P 函数，故A 符合；对于B ，()ln ln f x xy x x==，求导2ln 1(ln )-'=x y x ，令0y '=，得x e = 当(1,)x e ∈时，0y '<，即ln xy x=在(1,)e 上单调递减；当[),x e ∈+∞时，0y '>，即ln x y x=在[),e +∞上单调递增；所以()f x x =不是P 函数，故B 不符合；对于C ，()1ln ln f x y x x x ==，求导2(ln 1)0(ln )x y x x -+'=<，所以1ln y x x=在(1,)+∞上单调递减，所以1()f x x=为P 函数，故C 符合；对于D ，()ln f x y x ==y '=0y '=，得2x e =当2(1,)x e ∈时，0y '<，即ln y x=在2(1,)e 上单调递减；当)2,x e ⎡∈+∞⎣时，0y '>，即y =在)2,e ⎡+∞⎣上单调递增；所以()f x =P 函数，故D 不符合；故选AC ．26．关于函数()e ,x f x ax x R =-∈，其中e 为自然对数的底数，下列说法正确的是A ．当1a =时，()f x 在(,0)-∞上单调递增B ．当0a =时，()lnx 3f x -≥在(0,)x ∈+∞上恒成立C ．对任意0a <，()f x 在(,0)-∞上一定存在零点D ．存在0a >，()f x 有唯一的极小值【试题来源】江苏省镇江市名校2020-2021学年高三上学期10月月考 【答案】CD【分析】就a 的不同取值，利用导数讨论各选项的函数性质或不等式在给定的范围上是否成立后可得正确的选项．【解析】对于A ，当1a =时，()x f x e x =-，()1x f x e =-'， 当0x <时，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞上单调递减，故A 不正确． 对于B ，当0a =时，()x f x e =，此时()ln ln x f x x e x -=-， 因为1(1)ln103f e -=-<，故B 错误．对于C ，当0a <时，()x f x e ax =-，()0x f x e a '=->，故()f x 在R 上为单调递增函数，又()01f =，1110a f e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()f x 在(,0)-∞上一定存在零点，故C 正确．对于D ，取2a =，则()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-， 当ln 2x <时，()0f x '<，当ln 2x >时，()0f x '>， 故()f x 有唯一的极小值点ln 2x =，故D 正确．故选CD ．27．已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠有两个互异的极值点()1212,x x x x <，下列说话正确的是 A ．230b ac ->B ．有三个零点的充要条件是12()()0f x f x <C ．0a >时，()f x 在区间12(,)x x 上单调递减D ．0a <时，1()f x 为极大值，2()f x 为极小值【试题来源】辽宁省凌海市第二高级中学2020-2021学年高三上学期第二次月考 【答案】ABC【解析】因为函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，所以2()32f x ax bx c '=++，因为()f x 有两个互异的极值点()1212,x x x x <，所以()()22212430b ac b ac ∆=-=->，故A 正确；所以若()f x 有三个零点则12()()0f x f x <，故B 正确；当0a >时，2()32f x ax bx c '=++开口向上，则12(,)x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 区间12(,)x x 上单调递减，故C 正确；当0a <时，当1x x <或2x x >时，()0f x '<，当12x x x <<时，()0f x '>，所以1()f x 为极小值，2()f x 为极大值，故D 错误；故选ABC ．28．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立．下列结论正确的是A ．()()22315f f ->B ．若()12f =，1x >，则()21122f x x x >++ C ．()()3217f f -<D ．若()12f =，01x <<，则()21122f x x x >++ 【试题来源】江苏省南通市四校2020-2021学年高三上学期第二次联考 【答案】CD【分析】构造函数()()21f x xg x x -=+，然后求导，可得到函数()g x 的单调性，然后根据单调性判断所给选项的正误．【解析】构造函数()()21f x xg x x -=+，则()()()()()()()()()2222211211f x x x f x x x f x f x x x g x x x '⎡⎤⎡⎤-+--'+---⎣⎦⎣⎦'==++， 因为()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立，所以()()()()()221201x f x f x x x g x x '+---'=<+在()0,x ∈+∞上恒成立，即()g x 在()0,∞+上递减，所以()()21g g <，即()()241132f f --<，整理得()()22315f f -<，故A 错；所以()()31g g <，即()()391142f f --<，整理得()()3217f f -<，故C 正确；对于B 选项，若()12f =，1x >，则()()1g x g <在()1,+∞恒成立，所以()()2111122f x x f x --<=+整理得()21122f x x x <++，所以B 错； 对于D 选项，当01x <<时，()()1g x g >，则可得()21122f x x x >++，故D 正确． 故选CD ．29．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()xf xg x e =，下列结论正确的是 A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数 B ．1x =-是函数()g x 的极小值点 C ．函数()g x 必有2个零点D ．2()(2)e e f e e f >【试题来源】湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测 【答案】BD 【解析】函数()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e'-'=， 当1x >-时，()()0f x f x '->，故()g x 在()1,-+∞上为增函数，A 错误；当1x <-时，()()0f x f x '-<，故()g x 在(),1-∞-单调递减，故1x =-是函数g (x )的极小值点，B 正确；若()10g -<，则()y g x =有两个零点，若()10g -=，则()y g x =有一个零点， 若()10g ->，则()y g x =没有零点，故C 错误；()g x 在()1,-+∞上为增函数，则()()2g g e <，即()()22e f f e e e<，化简得2()(2)e e f e e f >，D 正确；故选BD30．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是 A ．()()20192020f ef < B ．()()20192020ef f > C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t >，则有()()tf x e f x t <+【试题来源】广东省2021届高三上学期10月联考 【答案】AD【解析】由()()f x f x '>-，得()()0xxe f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()xe f x 为增函数，故()()2019202020192020ef e f <，所以()()20192020f ef <，故A 正确，B 不正确； 函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如122x x xe e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是增函数，但12x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，所以C 不正确；因为函数()xe f x 为增函数，所以0t >时，有()()xx te f x ef x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确．故选AD ．31．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是 A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则124x x +> 【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（三） 【答案】BD【解析】对于A 选项，函数的的定义域为()0,∞+，函数的导数()22212'x f x x x x-=-+= ， 所以()0,2x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，()2,x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误；对于B 选项，()2ln y f x x x x x =-=+-，所以222212'10x x y x x x-+-=-+-=<， 所以 函数在()0,∞+上单调递减，因为()112ln1110f -=+-=>，()221ln220f -=+-<，所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确；对于C 选项，若()f x kx >，可得()22ln f x xk x x x<=+， 令()22ln x g x x x =+，则()34ln 'x x xg x x -+-=，令()4ln h x x x x =-+-， 则()'ln h x x =-，所以在()0,1x ∈上，()'0h x >，函数()h x 单调递增，()1,x ∈+∞上，()'0h x <，函数()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以()'0g x <，所以()22ln xg x x x=+在()0,∞+上函数单调递减，函数无最小值， 所以不存在正实数k ，使得()f x kx >成立，故C 错误；对于D 选项，由12x x >，()()12f x f x =可知122,02x x ><<， 要证124x x +>，即证124x x >-，且1242x x >->，由函数()f x 在()2,x ∈+∞是单调递增函数，所以有()()124x f f x >-，由于()()12f x f x =，所以()()224x f f x >-，即证明()()()4,0,2f x f x x >-∈， 令()()()()()224ln ln 4,0,24m x f x f x x x x x x=--=--+-∈-， 则()()()22282'04x m x x x --=<-，所以()m x 在()0,2是单调递减函数，所以()()20m x m >=，即()()()4,0,2f x f x x >-∈成立，故124x x +>成立，所以D 正确．综上，故正确的是BD ．故选BD【名师点睛】函数中涉及极值、零点，不等式恒成立，一般都需要通过导数研究函数的单调性极值最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法．32．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数()()0xf x x x =>，我们可以作变形：()ln ln xxx x x t f x x ee e ====()ln t x x =，所以()f x 可看作是由函数()tf t e=和()ln g x x x =复合而成的，即()()0xf x x x =>为初等函数．根据以上材料，对于初等函数()()10xh x x x =>的说法正确的是A ．无极小值B ．有极小值1C ．无极大值D ．有极大值1ee【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷（一） 【答案】AD【解析】根据材料知()111ln ln xx x xxh x x e e===，所以()()111ln ln ln 2221111ln ln 1ln x x x xx xh x ex e x e x x xx x '⎛⎫⎛⎫'=⋅=-⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0h x '=得x e =，当0x e <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增； 当x e >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减．所以()h x 有极大值且为()1eh e e =，无极小值．故选AD ．33．已知函数1n ,0()31,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若直线y kx =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),(,())A a f a B b f b C c f c （其中a b c <<），则13b a++的可能值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】山东省泰安市泰山国际学校2020-2021学年高三10月月考 【答案】BC【解析】在0x >时，()ln f x x =，'1()f x x =，设切点的坐标为00(,)x y ，'1()f x x=， 因此有'001()f x x =，所以切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，当该切线过原点时，00010ln (0)x x x e x-=-⇒=，所以切点的坐标为(,1)e ， 因为直线y kx =与()y f x =交于三个不同的点，所以有(1,)b e ∈，当切线与直线31yx 相交时，解方程组：31131113e y x x ey x y e e ⎧=+=⎧⎪⎪⎪-⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩， 因此有1(,)133e a e ∈--，于是有11(3,3)a e ∈--+， 所以113(1,)b e a e++∈+，显然选项BC 符合，故选BC ．34．已知函数()ln f x x ，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则A12+= B ．12128x x <C ．1232x x +<D ．2212512x x +>【试题来源】广东省深圳高级中学2021届高三上学期10月月考 【答案】AD【解析】由题意知1()(0)f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=1211x x -=-12=，A 正确；由基本不等式及12x x ≠，可得12=>即12256x x >，B错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选AD ． 35．已知函数()sin x f x e a x =+，下列说法正确的是 A ．0a R ∃∈，使得()f x 是周期函数；B ．(1,1)a ∀∈-，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；C ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；D ．当1a =时，()f x 在(,)π-+∞内存在唯一极小值点0x ，且01()0f x -<<．【试题来源】福建省三明市泰宁一中学2021届高三上学期第二阶段考试 【答案】BCD【分析】逐一验证选项，选项A ，假设成立，推出矛盾，则不成立；选项B ，求导后判断正负，得出结论；选项C ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项D ，通过导数求出函数极值并判断极值范围．【解析】选项A ，若()f x 是周期函数，周期为0T ≠，则不0a R ∃∈，使得()()sin sin ()x T x f x T e a x T e a x f x ++=++=+=成立，故选项A 不符合题意；选项B ，'()cos x f x e a x =+，0x，1x e ∴>，1cos 1x -≤≤，(1,1)a ∀∈-，1cos 1a x ∴-≤≤，()'0f x ∴>，即函数()f x 在(0,)+∞单调递增，故选项B 符合题意；选项C ，当a ＝1时，f （x ）＝e x +sin x ，所以f （0）＝1，故切点为（0，1），f ′（x ）＝e x +cos x ，所以切线斜率K ＝f ′（0）＝2，故切线方程为y ﹣1＝2（x ﹣0），即2x ﹣y +1＝0．故选项C 符合题意；选项D ，当a ＝1时，f （x ）＝e x +sin x ，x ∈（﹣π，+∞），f ′（x ）＝e x +cos x ，f ″（x ）＝e x ﹣sin x ＞0恒成立，所以f ′（x ）在（﹣π，+∞）单调递增， 又f ′（﹣34π）＝e 34π-+cos （﹣34π）＜0 ， f ′（﹣2π）＝20e π->，故f （x ）在（﹣π，+∞）存在唯一极值点0x ，不妨设0x ∈（﹣34π，2π-），则f ′（0x ）＝0，即00cos 0xe x +=，f （x 0）＝e 0x +sin x 0＝sin x 0﹣cos x 0（x 0﹣4π）∈（﹣1，0），故选项D 符合题意； 故选BCD ．36．函数()()322320f x x ax a x a =-+≠在1x =处的切线方程为40x y +-=，若()1212,x x x x <是函数()()4g x f x x λ=-的两个极值点，且()()120f x f x -<，则λ的值可能为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】决胜新高考名校交流2020-2021学年高三9月联考卷 【答案】CD【解析】由已知得()()223620f x x ax a a '=-+≠，所以()21362f a a '=-+， 由已知得()13f =，()11f '=-，解得2a =，所以()3268f x x x x =-+，()()324684g x f x x x x x x λλ=-=-+-，()231284g x x x λ'=-+-．若1λ=，则()23124g x x x '=-+，101x <<，234x <<．又()()()24f x x x x =--，所以()10f x >，()20f x <，不满足要求，排除A 选项； 若2λ=，则()2312g x x x '=-，10x =，24x =．又()()()24f x x x x =--，所以()10f x =，()20f x =，不满足要求，排除B 选项； 若3λ=，则()23124g x x x '=--，110x -<<，245x <<．又()()()24f x x x x =--，所以()10<f x ，()20f x >，满足要求，故C 选项正确； 若4λ=，则()23128g x x x '=--，110x -<<，245x <<．又()()()24f x x x x =--，所以()10<f x ，()20f x >，满足要求，故D 选项正确． 故选CD ．37．已知函数()243,1ln 2,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+>⎩，则函数()()()10g x f x ax a =-->的零点个数可能为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【试题来源】河北省邯郸市永年县第二中学2021届高三上学期月考（一） 【答案】BCD【解析】由()()10g x f x ax =--=可得()1f x ax =+，则函数()g x 的零点即是函数()y f x =与直线()10y ax a =+>图象交点的横坐标，画出()243,1ln 2,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+>⎩的大致图象如下，由ln 2y x =+得1y x'=，所以曲线ln 2y x =+在点()1,2处的切线斜率为11x k y ='==，此时的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，恰好过点()0,1，又直线()10y ax a =+>也过点()0,1，所以由图象可得，当1a =时，直线1y ax =+与函数()y f x =的图象有两个交点；即函数()g x 有两个零点；当1a >时，直线1y ax =+只与函数()y f x =在1x <的图象有一个交点，即函数()g x 有一个零点；当01a <<时，直线1y ax =+与函数()y f x =有三个不同的交点，即函数()g x 有三个零点； 综上，函数()()()10g x f x ax a =-->的零点个数可能为1，2，3．故选BCD ．38．在直角坐标系内，由A ，B ，C ，D 四点所确定的“N 型函数”指的是三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，其图象过A ，D 两点，且()f x 的图象在点A 处的切线经过点B ，在点D 处的切线经过点C ．若将由()0,0A ，()1,4B ，()3,2C ，()4,0D 四点所确定的“N 型函数”记为()y f x =，则下列选项正确的是 A ．曲线()y f x =在点D 处的切线方程为28y x =-+ B ．()()()1488f x x x x =-- C ．曲线()y f x =关于点()4,0对称 D ．当46x ≤≤时，()0f x ≥【试题来源】江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试 【答案】ABC【分析】A ．根据函数在点D 处的切线经过点C ，利用点斜式求解判断；B ．根据()f x 的图象过点()0,0A 及()4,0D ，设()()()4f x x x kx m =-+(其中0k ≠)，然后再利用()'04f =，()'42f =求解判断；C ．由B 得到()()80f x f x +-=判断；D ． 由B 结合46x ≤≤，有40x -≥，80x -<判断． 【解析】因为直线CD 的斜率为02243-=--，所以CD 的方程为()024y x -=--，即28y x =-+，所以A 正确．因为()f x 的图象过点()0,0A 及()4,0D ，所以()f x 有两个零点0，4，故可设()()()4f x x x kx m =-+(其中0k ≠)，则()()()()'424f x kx x kx m x =-++-，由()'04f =，()'42f =，得1m =-，18k =，所以()()()1488f x x x x =--，故B 正确．由选项B 可知，()()80f x f x +-=，所以曲线()y f x =关于点()4,0对称，故C 正确． 当46x ≤≤时，有40x -≥，80x -<，所以()0f x ≤，故D 不正确．故答案为ABC ． 39．已知函数()ln xf x x=，下列说法正确的是 A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =- B ．单调递增区间为(),e -∞ C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()2f x =-有两个不同的解【试题来源】江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高三上学期9月月考 【答案】AC 【解析】()21ln xf x x -'=（0x >），因为()11f '=，()10f =， 所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，故A 正确； 令()21ln 0xf x x-'=>，即1ln 0x ->，解之得x e <，因为0x >， 所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，故B 错误；再令()21ln 0-'=<xf x x，即1ln 0x -<，解之得x e >， 所以()f x 的单调递减区间为(),e +∞，所以()f x 在x e =处取得极大值，极大值为1()f e e=，故C 正确；方程()2f x =-即ln 2xx=-，也即ln 2x x =-，函数ln y x =与函数2y x =-的图象只有一个交点，所以方程()2f x =-有一个解，故D 错误．故选AC ．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查导数的几何意义，考查函数。

2021-2022年高三上学期10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合{}{}1,2,5,4,5,6U A C B ==，则集合A. B. C. D.2.若，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.3.函数的零点有A.0个B.1个C.2个D.3个 4.设0.13592,1,log 210a b g c ===，则a,b,c 的大小关系是 A. B. C. D.5.下面几种推理过程是演绎推理的是A.两条直线平行，同旁内角互补，如果是两条平行直线的同旁内角，则B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列中，()11111,221n n n a a a n a -⎛⎫==+≥ ⎪-⎝⎭，计算，由此猜测通项 6.已知函数的导函数为，且满足，则A. B. C.1 D.e7.函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是，则A.1B.2C.3D.48.函数满足，那么函数的图象大致为9.设函数是定义在R 上周期为3的奇函数，若，则有 A. B. C.D.10.已知()32log ,03,,,,1108,333x x f x a b c d x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是A.B. C. D.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上.11. __________.12.设实数满足240,0,0.x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩则的最大值为_________.13.观察下列式子222222131151117:1,1,1222332344+<++<+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________________________.14.在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为_______、_______.15.下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab ”；②若命题，则；③若命题“”与命题“”都是真命题，则命题q 一定是真命题；④命题“若，则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭”是真命题. 其中正确命题的序号是_________.（把所有正确命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知集合{}{}22log 8,0,14x A x x B xC x a x a x +⎧⎫=<=<=<<+⎨⎬-⎩⎭. （I ）求集合；（II ）若，求实数a 的取值范围.17. （本题满分12分）设命题p ：函数在R 上是增函数，命题()2:,2310q x R x k x ∃∈+-+=，如果是假命题，是真命题，求k 的取值范围.18. （本题满分12分）已知函数.（I ）若函数的图象在处的切线方程为，求a,b 的值；（II ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的最大值.19. （本题满分12分）已知二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈. （I ）若，且函数的值域为，求函数的解析式；（II ）若，且函数在上有两个零点，求的取值范围.20. （本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为161,04815,42x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤10⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（I ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（II ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a （1≤a ≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）.21. （本题满分14分）设，函数.（I）求的单调递增区间；（II）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（III）设是函数图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，直线AB的斜率为为k.证明：.T *35356 8A1C 訜21153 52A1 务24278 5ED6 廖37058 90C2 郂40714 9F0A 鼊B21961 55C9 嗉35803 8BDB 诛e24194 5E82 庂F。

广东省深圳市深圳中学2021-2022高二数学下学期第一次月考试试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，所以，故选C. 考点：集合的运算.2.在等差数列中，若前项的和，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：.考点：等差数列的基本概念.3.已知f(x)＝x2＋，则f ′(0)等于( )A. 0B. －4C. －2D. 1【答案】D【解析】【分析】先求得函数导数，然后令求得相应导数的值.【详解】依题意，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.考点：1.三视图；2.组合体的体积5.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )．A. f(x)＝sin 2xB. f(x)＝x e xC. f(x)＝x3－xD. f(x)＝－x＋ln x【答案】B【解析】【分析】分别求得四个选项函数的导数，根据导数有没有负值，对选项进行排除，由此得到正确选项. 【详解】由于，对于选项，，，不符合题意；对于选项，，符合题意；对于选项，，，不符合题意；对于选项，，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力和分析问题的能力，属于基础题.6.已知tan θ＝2，θ为第三象项角，则sin θ＝( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列方程组，结合为第三象限角，求得的值.【详解】由于为第三象限角，故，依题意有，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.7.设f（x）=|x﹣1|，则 =（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】画出的图像，根据定积分的几何意义求得定积分的值.【详解】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.【点睛】本小题主要考查利用定积分的几何意义求定积分的值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A.B.C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】求函数的导数，令导数等于解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】依题意令，解得，，故点的坐标为，故选C.【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.9.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为（2，0），双曲线的焦点坐标为（±，0）由题意，∴椭圆的方程为考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质10.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 11.若函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C. 或 D. 不存在【答案】A【解析】【分析】利用当时导数为零列方程，求得的关系式，并根据时为极大值对关系式进行检验，由此求得的值.【详解】依题意，①，结合②，解得或.当时，函数在两侧左减右增，取得极小值，不符合题意，舍去.当时，，函数在两侧左增右减取得极大值，符合题意，故，故选A.【点睛】本小题考查已知函数的极大值求参数，考查函数导数、极值与单调性的关系，考查分析与求解问题的能力，属于中档题.解题过程中要注意的是，取得极值点，导数为零，要注意验证导数为零的点左右两侧的单调性，以便确定是极大值还是极小值.12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，首先证得函数的奇偶性，然后根据题目所给条件判断函数的单调性，结合函数的零点求得不等式的解集.【详解】构造函数，故，故函数为奇函数，图像关于原点对称，且.当时，即函数在时单调递增.根据函数为奇函数可知函数在时递增，且，，，画出函数的大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集为，故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查两个函数相乘的导数，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。