学案2 利用空间向量求角

求空间距离
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在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是
A1B1，CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离．
思路点拨： AB是平面AEC1F的斜线段，AB在平面AEC1F的法向量 方向上的投影长即为点B到平面AEC1F的距离，所以应先求出平面 AEC1F的一个法向量，再利用向量的数量积求解．
co〈s A→B ，C→D 〉＝
→→
A B ·C D
→→
|A B |·|C D |
角的 分类
向量求法
设二面角 α－l－β 的平面
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 _|c_o_s_〈__n_1_，__n_2〉__|_＝||nn11|··|nn22||
图形
1．对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识： (1)斜线与平面的夹角范围是0，π2；而直线与平面的夹 角范围是0，π2. (2)设A→B在平面 α 内的射影为A′→B′，且直线 AB 与平面 α 的夹角为 θ，则|A′→B′|＝|A→B|·cos θ.
解析： 以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，F0，12，0， E1，12，1，B(1,1,0)． ∴A→E＝0，12，1， A→F＝－1，12，0.
设平面 AEC1F 的法向量为 n＝(1，λ，μ)， 则 n·A→E＝0，n·A→F＝0.
∴12－λ＋1＋μ＝12λ0＝，0，
用向量方法求空间中的角
空间角的向量求法
角的 分类
向量求法
图形
异面 设两异面直线所成的角为
直线 θ，它们的方向向量为 a，b，
所成 则 cos θ＝_|c_o_s_〈__a_·_b_〉__| ＝ |a·b|

《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算。

2. 引导学生掌握利用向量法求空间角的方法，培养空间想象能力。

3. 通过对空间角的学习，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 空间向量的概念及基本运算2. 空间向量夹角的定义及计算方法3. 空间向量垂直的判定与性质4. 利用向量法求空间角的大小5. 应用实例解析三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及基本运算（2）空间向量夹角的计算方法（3）利用向量法求空间角的大小2. 教学难点：（1）空间向量垂直的判定与性质（2）应用实例的解析四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解空间向量及空间角的相关概念、性质和计算方法。

2. 利用多媒体课件，展示空间向量的几何形象，增强学生的空间想象力。

3. 结合具体实例，引导学生运用向量法求解空间角的大小，提高解决实际问题的能力。

4. 组织课堂讨论，鼓励学生提问、发表见解，提高学生的参与意识。

五、教学安排1. 第一课时：介绍空间向量的概念及基本运算2. 第二课时：讲解空间向量夹角的定义及计算方法3. 第三课时：讲解空间向量垂直的判定与性质4. 第四课时：讲解利用向量法求空间角的大小5. 第五课时：应用实例解析，巩固所学知识六、教学过程1. 导入：回顾上一节课的内容，通过提问方式检查学生对空间向量的理解和掌握情况。

2. 新课导入：介绍空间向量夹角的定义，解释其在几何中的意义。

3. 课堂讲解：详细讲解空间向量夹角的计算方法，包括夹角余弦值的求法。

4. 例题讲解：挑选典型例题，演示利用向量法求空间向量夹角的过程。

5. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固向量夹角的知识。

六、教学内容1. 空间向量夹角的定义2. 空间向量夹角的计算方法3. 空间向量夹角的应用实例七、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量夹角的定义及其计算方法（2）利用向量夹角解决实际问题2. 教学难点：（1）空间向量夹角的计算方法（2）空间向量夹角在实际问题中的应用八、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解空间向量夹角的含义和应用。

利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和运算法则。

2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。

3. 提高学生解决空间几何问题的综合素质。

二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。

2. 空间向量的线性运算：加法、减法、数乘、数量积（点积）、叉积。

3. 空间向量的坐标表示与运算。

4. 空间角的概念及求法。

5. 利用向量法求空间角的方法与步骤。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及其表示方法。

（2）空间向量的线性运算及坐标表示。

（3）空间角的概念及求法。

（4）利用向量法求空间角的方法与步骤。

2. 教学难点：（1）空间向量的坐标表示与运算。

（2）利用向量法求空间角的具体步骤。

四、教学方法与手段1. 采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。

2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。

五、教学过程1. 导入新课：介绍空间向量的概念，引导学生回顾初中阶段所学的一维向量和二维向量，引出三维空间向量的概念。

2. 知识讲解：讲解空间向量的表示方法、线性运算（加法、减法、数乘）、数量积（点积）和叉积。

3. 实例演示：利用多媒体课件演示空间向量的坐标表示与运算，让学生直观地感受空间向量的运算过程。

4. 练习巩固：布置一些有关空间向量的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的理解和掌握程度。

5. 讲解空间角的概念及求法：讲解空间角的概念，引导学生理解空间角的大小与两个向量的夹角有关。

6. 方法讲解：讲解利用向量法求空间角的方法与步骤，让学生了解如何运用向量知识求解空间角。

7. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调空间向量运算和空间角求解的方法。

8. 课后作业：布置一些有关利用向量法求空间角的练习题，让学生巩固所学知识。

六、教学拓展1. 引导学生思考空间向量在实际问题中的应用，例如物理学中的力、速度等问题。

2. 探讨空间向量与其他数学领域的联系，如代数、微积分等。

七、课堂练习1. 布置一些有关空间向量运算和空间角求解的练习题，让学生独立完成。

§3.2.3《利用空间向量求空间角》导学案（课前部分）编制： 审核：高二数学组【学习目标】1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 【重点、难点】1、 重点：求解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法。

2、 难点：二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系。

一、【★ 旧知链接】向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：（3）平面的法向量：二、【★ 学习探究】知识点1、异面直线所成的角（范围： ）设两异面直线a 、b 的方向向量分别为m 和 n ，思考1 当m 与n 的夹角不大于90°时，异面直线a 、b 所成的角 与m 和n 的夹角的关系？θcos 与><n m ,cos 有什么关系？ （如图1）（1）（2）思考 2 当m 与n 的夹角大于90°时，异面直线a 、b 所成的角与m 和n 的夹角的关系？θcos 与><n m ,cos 有什么关系？（如图2）结论：设两异面直线a 、b 的方向向量分别为m 和n ，所以，异面直线a 、b 所成的角的余弦值为:=θcos典例1：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1、A 1C 1的中点．求：异面直线AE 与CF 所成角的余弦值．'ab ´oθbβnαmbβnaαm'ab ´o θ•θθ知识点2、直线与平面所成的角（范围： ） （1） （2）思考1：如图（1） 的余角与><n AB ,的关系？ 与 的关系？思考2：如图（2） 的余角与><n AB ,的关系？ 与 的关系？结论：直线与平面所成的角的正弦值为=θsin典例2：如图所示，已知直角梯形ABCD ，其中AB ＝BC ＝2AD ，AS ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AS ＝AB.求直线SC 与底面ABCD 的夹角θ的正弦．知识点3、二面角 （范围： ）θαβn 2θαβn 1n 2（1） （2）思考1：如图（1），θ与><21,n n 的关系？思考2：如图（2），θ与><21,n n 的关系？结论：二面角的余弦值θcos 与><21,cos n n 的关系？典例3：如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA.求二面角A －BE －D 的余弦值．αBA θOnαθBAOn θ)2cos(θπ-n AB θ)2cos(θπ-nAB cos典例4：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和b ,CD的长为c , AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.A BCDαβ由此题你能总结求解二面角的另外一种方法吗？三、【★巩固练习】1.如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，直线SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：（1）异面直线SA和OB所成的角的余弦值；（2）直线OS与平面SAB所成角α的正弦值；（3）二面角B－AS－O的余弦值.OA B CS2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E、F 分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1，(1)求二面角C—DE—C1的余弦值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．四、【★质疑汇总】1.我的疑惑？2.小组合作探究后的疑惑？五、【★自学总结】本节课我的收获：3．个人评价反思：§3.2.3《利用空间向量求空间角》导学案（课上部分）【★展示交流问题】1．课上要解决的问题：2．展示交流记录：§3.2.3《利用空间向量求空间角》导学案达标检测 （课上部分） （限时独立完成）1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错2．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．以上均错3．若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的二面角的度数是________．4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22（ 4题图） （5题图）5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，M ，N 分别是DD 1，B 1C 1的中点，P 是棱AB 上的动点，则A 1M 与PN 所成的角是________．ADCA 1D 1C 1BEB 1§3.2.3《利用空间向量求空间角》导学案（课后部分）【★课后作业：】教材112页6、8、111.已知正四棱锥S—ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E是SA的中点，求异面直线BE和SC所成的角．2．正三棱锥O—ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1＝32.(1)求证：B1C1⊥平面OAH；(2)求二面角O—A1B1—C1的余弦值．。