第四章 线性方程组
§4-1 克拉默法则
一、选择题
1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；
B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；
C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；
D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）
A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；
B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；
C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；
D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =.
二、填空题
1．已知齐次线性方程组1231231
230020
x x x x x x x x x λμμ++=??
++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠,则方程组有唯一解
i x =
i D D
.
三、用克拉默法则求解下列方程组
1．832
623x y x y +=??+=?
解：
8320
62D =
=-≠
1235
32
D =
=-，
28212
6
3D =
=-
所以，125,62D D x y D D
=
==
=-
2．1231231
2322231
x x x x x x x x x -+=-??
+-=??-+-=?
解：
2131
121121
22
1303550111010r r D r r ---=--=-≠+---
112221
051
1321135011011D r r ---=-+-=---，
212121
5
052
13221310101101D r r --=-+-=-----，
312122
5
002
11221151
1
1
1
D r r --=+=---
所以， 3121231,2,1
D D D x x x D
D
D
===
==
=
3．21241832x z x y z x y z -=??
+-=??-++=?
解：
13201
01
2
4120412001835
83
D c c --=-+-=≠-
131101
1001
41140202832
85D c c -=-+=，
232211
2
102
112100123125D c c -=-+=--，
313201
012
412041201
82
5
8
2D c c =-=--
所以， 3121,0,1D D D x y z D
D
D
=
==
==
=
4．1234123412341
2345242235232110
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=??
+-+=-??---=-??+++=?
解：
2131412131
1111111112140123223150537331211
21
8
123123
5537013814222
1
8
5
14r r D r r r r r r r r ---=
------------+=----=-+---
321421232
5111
5
111022214225182315235281101211
010
5110010
5251827332142102
528235
22c c D c c c c c c --------=
----------+=-----=----
2123141
1323
15111511121407232221501237330211
151
8723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=
--------------=----=------123422131
1151
21510312245
221823251111
3228310110
10
02510200251521852974265211
22811
51
27
c c D c c c c c c -------=
---------+=-----=----
124323221
111521153121252522231211352312
10
215215
5525027142511
5
2
6
4
c c D c c r r r r --------=
----------+=----=---
所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x D
D
D
D ===
==
==
=-
§4-2 齐次线性方程组
一、选择题
1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0A X =的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0A X =的通解为（ D ）. A.1k α； B.2k α； C.12()k αα+； D.12()k αα-.
解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0A X =的基础解系含1个向量。 而12,αα是齐次线性方程组0A X =的两个不同的解，所以120αα-≠为0A X =的解，
则方程组0A X =的通解为12()k αα-。
2．设线性方程组1231231
230020
kx x x x kx x x x x ++=??
++=??-+=? 有非零解，则下列说法正确的是（ C ）.
A.k 必定为0；
B. k 必定为1；
C. k 为0或1；
D.这样的k 值不存在.
3．11
12121
2221
2
n n
n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ??
???
?=??????
L L M M O M L
,且0i a ≠(1,2,,)i n =L ，0(1,2,,)j j n b ≠=L ，则0A x =的基础解系中含有（ A ）个向量.
A.1n -；
B.n ；
C.1；
D.不确定.
解：因为()
11121121
22221
2
1
2
n n n n n n n n a b a b a b a a b a b a b a
A b
b b a b a b a b a ????
? ?
? ?== ? ? ? ?????
L L L
M M O M M L
所以，11()10()1R A a b R A ≤≠?≥；又，所以，()1R A =。
4．设A 为n 阶方阵，()3r A n =- ，且123,,a a a 是0A x =的三个线性无关的解向量，则0A x =的基础解系为（ A ）．
A ．122331,,a a a a a a +++；
B ．213213,,a a a a a a ---；
C ．21321312,,2
a a a a a a ---； D ．1233213,,2a a a a a a a ++---．
二、填空题
1．n 元齐次线性方程组0m n A X ?=有非零解的充分必要条件是 ()R A n < .
2．当 023λλλ===或或 时，齐次线性方程组1231231
23(1)240
2(3)0(1)0
x x x x x x x x x λλλ--+=??
+-+=??++-=?有非
零解.
3．写出一个基础解系由[]12,1,0T
η=-，[]23,
0,
1T
η=组成的齐次线性方程组
___ __123230x x x +-= .
解：方程组可为123
223
323x x x x x x x =-+??
=??=?即123230x x x +-=
三、求解齐次线性方程组12345123451
3451
2345233703230
226054330
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??
+++-=??+++=??+++-=?
解：
2222
131
413232
23
42123123371
2337332113048824
A 102260211155
4
3
3106
12
12361
23371
0004/3(1/3)(1/4)0122601004/3
220
03311001162300
00
r r r r r r r r r r r r r r r r r ????
- ? ?-----
? ?-= ?
?
----- ? ?-----????-????-
?- ?+- ?
+--
???11/30
0??
?
? ?
???
所以，同解方程组为1
5253
45445
54/3
4/311/3x x x x x x x x x x x =
??=??
=--??=??=?，令1204/304/3
,111/31001ξξ????
? ?
? ?
? ?==-- ? ?
? ?
? ?????
所以，通解为1122x k k ξξ=+。
四、已知3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231232202030
x x x x x x x x x λ+-=??
-+=??+-=?
的解.
①求λ的值；②证明0B =.
① 解：因为3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组的解.所以方程组有非零解。
系数行列式A =1
22
2
103
1
1
λ--=?-1λ=。
② 证明：依题意，A B O =。假设0B ≠，则B 可逆， 1
1
AB O ABB
OB
A O --=?=?=，矛盾。所以，0
B =。
补充：求证：,m n n p A B ??，0()()AB R A R B n =?+≤.
证明：依题意，矩阵B 的所有列向量1,,p ββ 都是齐次线性方程组0A x =的解，而
0A x =解空间的维数是()n R A -，所以，1()(,,)()p R B R n R A ββ=≤- ，即
()()R A R B n +≤。
§4-3 非齐次线性方程组
一、选择题
1．若()R A r n =<，则n 元线性方程组m n A X b ?= D . A.有无穷多个解； B.有唯一解； C.无解； D.不一定有解. 2．线性方程组???=+=+01
21
21x x x x （ A ）.
A. 无解；
B. 只有0解；
C. 有唯一解；
D. 有无穷多解. 3．方程組 1231232
1231x x x x x x x x x λλλλλ?++=?
++=??+
+=? 有唯一解，则λ应满足（ A ）.
A.2,1-≠≠λλ；
B.2,1==λλ；
C.2,1
≠≠λλ； D.2,1
≠-≠λλ.
4．设A ＝1
1000110
001110
1????????
??
??，1234a a b a a ??
????=??????
，A x b =有解的充分必要条件为（ D ）．
A .1234a a a a ===；
B .12341a a a a ====；
C .12340a a a a +++=；
D .12340a a a a -+-= . 二、填空题
1．n 元非齐次线性方程组m n A X b ?=有非零解的充分必要条件是 ()(,)R A R A b =.
2．若5元线性方程组A X b =的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则()r A = 3 .
3．设有一个四元非齐次线性方程组A X b =，()3R A =，又123,,ααα是它的三个解向
量，其中12(1,1,0,2)T αα+=，23(1,0,1,3)T
αα+=，则非齐次线性方程组的通解为
(0,1,1,1)(1,1,0,2)T T
k --+ .
解：因为123,,ααα是A X b =三个解向量，则
1223()()(1,1,0,2)(1,0,1,3)(0,1,1,1)0T
T
T
αααα+-+=-=--≠是0A X =的解，
而()3R A =，所以(0,1,1,1)T
--是0A X =的一组基础解系，
又
1211()(1,1,0,2)2
2
T
αα+=
是A X b =的解，
所以，A X b =的通解为(0,1,1,1)(1,1,0,2)T T k --+ 三、求解非齐次线性方程组234245
38213496
x y z x y z x y z x y z ++=??
-+=-??+-=??-+=-?
解： 2
31410211245011238213~00004
1
9
60
0211210r A x y c z -???? ? ?--- ? ? ? ?- ? ?--????
--?????? ? ? ??=+ ? ? ? ? ? ???????
=
2112,()10x y c c R z --?????? ? ? ?=+∈ ? ? ? ? ? ???????
四、,a b 取何值时，线性方程组1231231
233
244
x ax x x ax x x x bx ++=??
++=??++=?
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？
说明: 对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解,有无穷
解或无解时最好用:方程组有唯一解?系数行列式||0A ≠, 此种方法简单又不容易出错.
解: 方程组有唯一解?系数行列式||0A ≠
2131
11
1
111||1
21001
1
011
01(1)
(1)0
11
a a r r A a a r r
b a
b a a b a
b +-=---?-=-≠--而按第一列展开
21233123(1)101310131
013,1
01400010111~11
40
1
1
100
1~()2(,)3,. (3)1
13,1
21411
1
4r r r r A b r r b b
b R A R A b a r r A b a ∴≠≠-??????
?
? ? ?-- ? ? ? ? ? ?-?
????
?
=≠=∴???
? ? ???当a 0且b 1时,方程组有唯一解 (2)当a=0时,增广矩阵()=则此时方程组无解当b=1时,()=21312311141
114121402100~11
1
301
1~ 11141
114,~0
00001/201~01/2
100
0()2(,)3, 1
114,~0
r r a r r a a r r A b R A R A b A b -????
? ?-- ? ? ? ?--????
????
?
? ?-- ? ? ? ?--?
??
?
==<∴当a=1/2时,
()则此时方程组有无穷多解.当a=1时,()10000
1()2(,)3,R A R A b ??
? ? ?-?
?
=≠=∴则此时方程组无解.
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
一. 判断题（正确打√，错误打×） 1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为1-n .( × ) 正确答案：)!(1-n 解答：方法1因为含有11a 的项的一般形式是n nj j a a a 2211， 其中n j j j 32是1-n 级全排列的全体，所以共有)!(1-n 项. 方法2 由行列式展开定理 =21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a n n A a A a A a 111111+++2211 ， 而n n A a A a 1111++22 中不再含有11a ，而11A 共有)!(1-n 项，所以含有11a 的项数是 )!(1-n . 注意：含有任何元素ij a 的项数都是)!(1-n . 2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( √ ) 解答：将 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 中的n 、、、 32列都加到第一列，则行 列式中有 一列元素全为零，所以ij a 等于零. 3. 3 3 22 44114 4 332211 000000a b b a a b b a a b a b b a b a =.( √ ) 解答：方法1按第一列展开
3 3 2244 1144 11 41413 3 22413322 414 4 33221 1=-=-=0 00 000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a ) (. 方法2 交换2，4列，再交换2，4行 2 2 3344 114 4 3322114 4 3322110 000000=0 00000 0-=0 00 0000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =3 32 2 4411 a b b a a b b a . 方法3 Laplace 展开定理：设在n 阶行列式D 中任意取定了)(1-≤≤1n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D . 所以按2，3行展开 3 +2+3+24 4 33221 1 1-=0 00 000)(a b a b b a b a 33 224411a b b a a b b a =3 3 2 244 11 a b b a a b b a . 4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ，， ,,21=,则0≥ij a .(√) 解答：由行列式展开定理 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 n n A a A a A a 111111+++=2211 0≥+++=2 n a a a 1212211 . 5. 若n 阶行列式ij a 的展开式中每一项都不为零,则0≠ij a .( × )
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件；
第一章 行列式习题答案 二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案 1.计算下列二阶行列式 （1） 23112 =； （2） cos sin 1sin cos θθθ θ -=； （3） 111112122121 2222 a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b 1221 12211221 1221a a a b b a b b （4） 11121112 21222122 a a b b a a b b + 11221122 1221 1221a a b b a a b b 2.计算下列三阶行列式 （1）103 12 126231-=--； (2)11 1213222332 33 a a a a a a a 112233 112332 a a a a a a 1122332332a a a a a （3）a c b b a c c b a 3 3 3 3a b c abc 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235. 123t 112217t （3）() ()() 123225 24212n n n n --- 当n 为偶数时，2n k ，排列为 143425 2122 21 223 412 k k k k k k k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2 2 (1) 1 3 1 31 42 n k k k k k k n
其中11(1)(1)k k 为143425 2122k k k k --+的逆序 数；k 为21k 与它前面数构成的逆序数；(1) (2) 21k k 为 23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和； 113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k 与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21n k ，排列为 142345 2122 23 225 412 k k k k k k k k ++++++1122t k k (1)21k k 2 2 1 3 32 3432n k k k k k k n 其中1122k k 为142345 2122k k k k +++的逆序数； (1)21k k 为23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22, ,2k k 与它们前面数构成的逆序数的 和. 4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5i j ，()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a - 6.按定义计算下列行列式： （1） 0001 002003004000(4321) (1) 2424 （2） 00 000000000 a c d b (1342) (1) abcd abcd
第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(a b)(b c)(c a) (4) 解 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y)y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.
线性代数练习冊 第一章 行列式 一、 填空： 1、 =4 8 39 32 6871 （ ） 。 2、=2290387431（ ） 。 3、=3 421（ ） 。 4、=8191910161714121（ ） 。 5、=0786989444222211（ ） 。 6、4 095230357268015中元素31a 的余子式等于（ ）。
7、 40952 3035 7210 011中元素( )的余子式等于4 092305 72。 8、 409523035 7268015中元素31a 的代数余子式等于（ ）。 9、 400523035 7218901按第（ ）列展开计算最简单。 10、 4 095 23035 7210011中元素32a 的代数余子式等（ ）。 二、 选择填空： 1、下列行列式中，（ ）的值等于6。 （a ） 4 321 (b) 1321 (c) 4 839 920 891 (d) 4 616360261 2、若行列式 02 12 =k ，则k ＝（ ） (a)1 (b)-1 (c) 0 (d)不存在 3、若行列式 02 14 2=k ，则k ＝（ ）
(a)1 (b)-1 (c) 0 (d)不存在 4、若行列式 62 12=k ，则k ＝（ ） (a)4 (b)-4 (c) 0 (d)不存在 5、若行列式 22 12 -=k ，则k ＝（ ） (a)1 (b)-1 (c) 0 (d)不存在 6、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333（ ） (a)6 (b)18 (c)162 (d)54 7、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 232323（ ） (a)36 (b)8276?? (c)72 (d)216 8、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333（ ） (a)6 (b)18 (c)162 (d)54 9、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333333（ ） (a)6 (b)18 (c)162 (d)54 10、如果6222==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333（ ） (a)6 (b)18 (c)9 (d)54 三、 判断题（对，填“√”；错，填“?”。） 1、行列式的行数和列数可以不相等。（ ） 2、行列式的行数和列数必须相等。（ ） 3、用一个数k 乘一个行列式，等于用k 乘此行列式的每一个元素。（ ） 4、用一个数k 乘一个行列式，等于用k 乘此行列式的某一行元素。（ ）
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1
7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
第1章 矩阵 习 题 1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)???==011y x x ； (2) ?? ?+=-=? ?? ?cos sin sin cos 11y x y y x x 2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 3. 设????? ??--=111111111Α，??? ? ? ??--=150421321 B ，求3AB -2A 和A T B . 4. 计算 (1) 2 210013112???? ? ??
(2) ???? ? ??????? ??1)1,,(2 1 22212 11211y x c b b b a a b a a y x 5. 已知两个线性变换 32133212311542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=?????,??? ??+-=+=+-=323 3122 11323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表 示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.
6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m - 1+…+ a m E . 当f (x )=x 2 -5x +3，??? ? ??--=3312A 时，求f (A ). 7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O . (2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .
1 习题4.1（线性方程组解的结构） 一、下列齐次线性方程组是否有非零解？ 分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ?=?<；仅有零解0()A R A n ?≠?= （1）1234123412341 23442020372031260 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=?? --+=??++-=??--+=? ； 解：1142111231 7 21 312 6 A ----= ---21 3241 31142005404540 2 16 8 r r r r r r ---=-------21 054054544544004016 8 2 16 8 2 16 8 r r -= ---=-=-≠-------- 仅有零解。 （2）12451234123453020426340 x x x x x x x x x x x x x +--=?? -+-=?? -++-=? . 分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ?≤；仅有零解()R A n ?= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。 二、求齐次线性方程组12341234123420 363051050 x x x x x x x x x x x x ++-=?? +--=?? ++-=?的一个基础解系。 解：32 21 12 31 412351 21101 2110120103 61300 04000 0100 510 1 5000 4 000 00r r r r r r r r r A --------=--→-→--?? ???? ?? ???? ????????????? ?? ??? 所以原方程组等价于1243 20 0x x x x +-=??=?（24,x x 可取任意实数） 原方程组的通解为1 122 1342 20x k k x k x x k =-+??=??=??=?（12,k k R ∈）
第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解； B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解； C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解； D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ） A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =； D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题 1．已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解， 则λ= 1 ，μ= 0 . 2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=??+=? 解： 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-， 28212 63 D = =- 所以，125,62D D x y D D = ===-
2．123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解： 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---， 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----， 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以， 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3．21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解： 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=， 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--， 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以， 3121,0,1D D D x y z D D D = =====
一、选择题（每小题5分，共25分。） 1．已知四阶行列式4D 第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则4 D 的值为【 】A ．3-； B.；5- C.3； D.5. 2．已知n 阶矩阵????? ?? ? ? ?=1. .00... 1. 1. . 101..11A ,则A 的所有元素的代数余子式之和等于 【】A ．0； B ．1；C ．-1； D ．2. 3．设A 是n m ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩 1r ，则【 】A ．1r r >； B ．1r r <； C ．1r r =； D ．r 与1r 的关系依C 而定. 4．设A 为n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【】A ．A 的列向量组线 性无关； B ．A 的列向量组线性相关； C ．A 的行向量组线性无关； D 。A 的行向量组线性相关. 5．设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵， 则P A P * 1 -的对应于特征值 λ A 的特征向量是【 】A ．ξ1-P ； B ．ξP ； C ．ξT P ； D ．ξ1)(-T P . 二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。） 1．设B A ,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则___________=+B A .2．已知A B AB =-， 其中??? ?? ??-=20001 2021B ，则___________=A .3．已知向量组.,,,4321a a a a 线性无关，若向量组14433221,,,a a a a a a ka a ++++线性相关，则____________ =k . 4． 若线性方程组??? ??=---=+++=+-+b x x x x x ax x x x x x x 2617230324321 43214321无解，则常数b a ,应满足的条件是_____________. 5．若4阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1，2，3，4，则矩阵E B -* 的全部特征值为 ___________________. 三 、 计 算 证 明 题 （ 50 分 ） 1 (12 分 ) 求 向 量 组 )1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321--====a a a a 的一个极大线性无关组和秩. 2．(15分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件022 =+A A ，已知A 的秩2)(=A r (1)求A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 3．(15分)已知二次型)0(233232232 22 1>+++=a x ax x x x f 通过正交变换可化为标准形 2 3222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换. 4．(8分)设A 是n 阶矩阵，且满足E A =2 ，证明:n E A r E A r =++-)()(.