第3章 1.ppt

z
O
cos sin
ds rd dW Fr sin d 又 M Fr sin
dW Md
力矩的功
y
P

W Md
1 2
o
x
3、转动动能
在刚体上取一质元


mi
1 1 2 2 2 E m v m r 动能： ki i i i i 2 2
10 1.6 圈 在这5秒内滑轮转过的圈数为 N 2
1 2 0 dt t 2 1 2 10 rad 5 0.8 5 2
a
(4)开始上升后t" =1s末滑轮边缘上一点的加速度？ 将滑轮放大为如图所示.
at a 0.4 m s 2 an r '2 r ( t ')2 0.32 m s 2
(3) J与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 dm R
dm
J R dm R
0
m
2
2

m
0
O m
mR
2
m 体密度 πR 2l
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
m 2mr dm dV 2 2 rdrl 2 dr πR l R
J r dm
一
刚
体
运
动
学
1、刚体的运动
平动；转动；平动+转动

平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方 向始终不变。

特点：各点位移、速度、加速度均相同 刚体平动 质点运动

转动：刚体各质元都绕同一直线(转动轴)作圆周运动
定轴转动: 转轴固定不动的转动

C A
B
刚体的一般运动 = 平动 + 转动
定义：

J mi ri 2
i
对分立的质点组： J m1r12 m2 r2 2 对质量连续分布的刚体：
J mi ri 2 r 2 dm
i

—质元的质量
—质元到转轴的距离

影响转动惯量的三个要素: (2)总质量 (3)质量分布
(1)转轴的位置
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
小结：

刚体、定轴转动 力矩、力矩做功
M r F
W Md
1 2


转动惯量、转动动能
J mi ri r dm
i 2
2
1 Ek J 2 2
l
3
2
h O l/2 x dx l/2 B O x l dx
(2) 当转轴通过中心并和棒垂直时，有
2 ml J O r 2 dm x 2 dx l /2 12 12 l /2
l 3
(3) 当转轴通过棒上距中心为h 的A点并和棒垂直时，有
2 ml 2 2 JB x dx mh l /2 h 12 l /2 h
牛顿第二定律、动能定理
§3.2 定轴转动的角动量定理与角动量守恒定律
动量定理、动量守恒定律
力矩、力矩做功、转动动能、转动惯量、转动定律、动能定理 角动量、角动量定理、角动量守恒定律
思考
在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一
点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中， 我们是否也可以如此处理？力作用点的位置对物体的运动有 影响吗？
A x l O x l h B l x dx l dx dx
ml 2 JA 3 ml 2 JO 12 ml 2 JB mh 2 12
此例题表明: 同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量不相同
(1) J与转轴位置有关
(2) J 与刚体总质量有关
A
O
B
例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴的转动惯量
2 a an at2 0.51m s 2
P
o
r
这个加速度的方向与滑轮边缘的切线 方向的夹角为
an tan at
1
1 0.32 0 tan 38.7 0.4
三、刚体定轴转动的动力学描述
对比于质点动力学
§3.1
定轴转动的转动定律与动能定理
对刚体上所有质元的动能求和：
1 1 2 2 2 2 m r Ek mi ri i i 2 i 2
J mi ri 2 --- 对转动轴的转动惯量
i
OLeabharlann vi则刚体的动能Ek
1 J 2 2
——刚体因转动而具有的动能，叫刚体的转动动能。
4、转动惯量的计算
0 m 2 R 0
2m 3 1 2 r dr mR R2 2
o
m
l
若为薄圆盘（不计厚度），结果如何？
例：求极薄圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。
设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。
r
R
解：
dr
m R2
设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为 dr的圆环，环的面积为2rdr，环的质量dm=2rdr 。
dm dl
dm ds
dm dV
dl
线分布
ds
面分布
dV
体分布
：质量的线密度
：质量的面密度

：质量的体密度
J mi ri 2 r 2 dm
例：求质量为m、长为 l 的均匀细棒对三种转轴的转动惯 量J：
（1）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （2）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。
2、刚体定轴转动的描述

角位置： (t ) 角位移：
d dt d d 2 2 角加速度： dt dt
质元
角速度：
O
x
转动平面 固定轴
角量与线量的关系
特点： 各质元在转动平面内作半径不同的圆周运动；
且角位移、角速度、角加速度均相同。
角量与线量的关系
2 0 0t t / 2 2 2 0 2 ( 0 )
0 t
匀变速圆周运动
v v0 a t
2 x x0 v0t a t / 2 2 2 v v0 2 a ( x x0 )
匀变速直线运动
例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机， 滑轮半径 r=0.5m，如果升降机从静止开 始以加速度a=0.4m/s2匀加速上升，求： (1)滑轮的角加速度; (2)开始上升后t=5s末滑轮的角速度; (3)在这5s内滑轮转过的圈数; (4)开始上升后t‘=1s末滑轮边缘上一点的 加速度(设缆索与滑轮间不打滑)
W
r2 r1
F d r Ek Ek 0
本章研究对象：
一、刚体及刚体定轴转动
刚体是一种理想模型.

刚体是一个特殊的质点（质元）组，其特殊性在于在外力作用下
各质元之间的相对位置保持不变。 在力的作用下，体积（大小）和形状都不发生改变的物体 叫做刚体
研究刚体的思路
先研究单个质点，后对所有质点求和
圆盘的转动惯量，与厚度无关。
J r dm 2 r dr
0
2
R
3
R
2
4
1 mR 2 2
思考1. 环上加一质量为m1的质点, J=? J = mR2+m1R2 思考2. 环上有一个x的缺口，J=? R O m1 m
O
R x
注意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体， 才能用积分计算出刚体的转动惯量
a
解 (1) 升降机的加速度和滑轮边 缘上的一点的切向加速度相等
ait ri
r
at a 0.8 rad s 2 r r (2) 0 d t t
P
5 t 0.8 5 4.0 rad s 1
(3) 在这5 秒内滑轮转过的角度为
F F F
F
F
圆盘静止不动
F
力矩
圆盘转动
反映了力作用点的位置对刚体运动的影响.
1、力矩
F 对转轴z的力矩 M r F 大小 M Fr sin
M
O

P
2、力矩的功
力 F 对质元P所做的元功： dW F dr F cos ds
第三章 刚体的定轴转动
质点的运动学与动力学
1、质点的概念
类比
刚体的运动学与动力学 1、刚体的概念
2、运动学
r r v a
运动定律
2、刚体运动学
F ma
t2 I Fdt p2 p1
t1
3、动力学 动量定理
动能定理
3、刚体动力学
（1）
i
O
（2）
O O
h
（3）
A x l dx
解:
在 棒 上 离 轴 x 处 ， 取 一 长 度 元 dx ， 此 长 度 元 dx 的 质 量 为 dm=dx, 其中棒的质量线密度 = m l (1)当转轴通过棒的一端并和棒垂直时，有
ml J A x dx 0 3 3
l 2