弹性力学课件：第四章应力应变关系

弹性力学中应力与应变为线性关系，应力与应变的比例常数E 被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。

虽然无法对应力进行直接的测量但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。

应力是应变的原因，应变是应力的结果。

应力概念解释：物体由于外因(受力、湿度、温度场变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。

在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。

同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。

拓展资料
应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。

对某种材
料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。

极限应力值要通过材料的力学试验来测定。

将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。

材料要想安全使用，在使用时其内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，通常“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始，因此，有必要区别并定义应力概念。

4 应力应变关系4.1弹性变形时应力和应变的关系当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即1()1()1()111222x x y z y yx zz z x yxy xy yz yz zx zxE E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()21E G ν=+关系。

由上式可得11212()()33m x y z x y z m E E ννεεεεσσσσ--=++=++= （4.2） 于是11()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=-= 或1112''22x m x x m G G Eνεεσσσ-=+=+ 类似地可以得到1112''22y m y y m G G E νεεσσσ-=+=+ 1112''22z m z z m G G Eνεεσσσ-=+=+于是，方程（4.1）可写成如下形式1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即'1122ij ij m ij ij m G Eνεεεσδσ-'=+=+ （4.3）显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。

前者与球应力分量成正比，即12m m E νεσ-= （4.4）后者与偏差应力分量成正比，即''12''12''12111222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zxG G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===⎩，，或简写为2ij ij G σε''= （4.5）此即为广义Hooke 定律。

第四章应力和应变关系应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系一、内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。

由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。

应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。

对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。

这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。

对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。

分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。

二、重点1、应变能函数和格林公式；2、广义胡克定律的一般表达式；3、具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。

§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。

同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。

借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求知识点解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。

根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。

如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。

因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。

弹性力学弹性体的应力与应变关系弹性力学是一门研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布规律的学科。

其中，弹性体是一类能够在外力作用下发生形变，但恢复力可以将其恢复到原始状态的物质。

弹性体的应力与应变关系是弹性力学中的基本概念和重要理论。

一、什么是应力与应变在力学中，应力是物体受来自外界作用的力引起的单位面积内的力的大小。

它是描述物体受力情况的物理量。

应力可分为正应力和剪应力两种，正应力作用于物体的表面上的垂直方向，而剪应力则作用于物体的表面上的切向方向。

应变是描述材料形变程度的物理量，是物体在受力下发生变形时单位长度的变化。

应变也可分为正应变和剪应变两种，正应变是物体长度在受力作用下产生的相对变化量，而剪应变则是物体形状的变化量与原始尺寸之比。

二、背景知识弹性体的应力与应变关系可以通过背景知识来理解。

弹性体的主要特性是能够在外力的作用下发生形变，但当外力消失时，它能够恢复到原来的形状和尺寸。

这是因为弹性体的分子或原子之间存在着弹性力，当外力作用结束时，弹性力将趋于平衡，使得物体恢复到原来的状态。

三、胡克定律胡克定律是描述弹性体应力与应变关系的基本定律。

根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体内部的应力与应变成正比。

具体数学描述如下：σ = Eε其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa），E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa），ε代表应变，为无单位。

胡克定律适用于弹性体在线性弹性范围内，即应力与应变成正比，并且比例系数恒定。

此时的应力-应变关系为线性关系，称为胡克定律。

超出线性弹性范围后，材料会发生塑性变形。

四、弹性模量弹性模量是表征弹性体抵抗形变的能力大小的物理量。

它是胡克定律中比例系数的倒数，可以用来度量弹性体的刚度。

常见的弹性模量有：1. 杨氏模量（Young's Modulus）：用E表示，描述的是物体在拉伸或压缩时的应变与应力之间的关系。

2. 剪切模量（Shear Modulus）：用G表示，描述的是物体在受剪时的应变与应力之间的关系。

弹性力学中的应变与应力关系弹性力学是物理学中的一个重要分支，主要研究物质体积和形状在外力作用下所发生的变化及其原因。

具体来说，就是通过研究应力（反映外力作用效果的物理量）和应变（反映物质形状和体积改变的物理量）之间的关系，来理解和解释物质的弹性行为。

本文将详细阐述应力和应变在弹性力学中的相关内容。

首先，我们需要明确应力和应变的概念，以便更好地理解二者之间的关系。

应力是弹性力学研究的基本物理量，它可以反映物质内部的力的大小和方向。

根据力的分布特点和作用方式，可以将应力分为正应力和剪应力等类型。

与此同时，应变是描述物体位形变化的物理量，它可以反映物体形状和体积的变化情况。

在弹性力学中，应力和应变之间的基本关系通常用应力--应变法则或哈肋定律来描述。

具体来说，对于同一物体，存在一个比例系数（即弹性模量），当其应力不超过一定值（即弹性限度）时，应力和应变之间达到正比关系，即应力等于弹性模量乘以应变。

这就是典型的线性弹性行为。

当然，应力和应变的关系并不总是线性的。

当物体受到的应力超过一定值后，应变可能导致物体的永久性形变，这就涉及到弹性物质的塑性行为。

塑性行为是弹性力学的另一个重要研究方向，对于理解材料的力学行为有着特别重要的意义。

在实际应用中，不同的应力类型和物质性质可能会引起不同的应变特性。

因此，为了更具体、精确地描述和理解应力和应变之间的关系，出现了多种理论和模型，如弹塑性理论、粘弹性理论、破坏理论等。

这些理论和模型都在一定程度上解释了应力和应变之间的复杂关系，并为理解和控制各种物质的弹性行为提供了重要的理论工具。

总的来说，弹性力学中的应力与应变关系是一个复杂而重要的主题，只有深入理解和掌握应力与应变的特性，才能准确地分析和预测物质在受力情况下的弹性行为。

而对于这些知识的理解和应用，在工程技术、材料科学等领域有着广泛的应用前景。

第四章应力与应变关系§4-1 应力和应变的最一般关系式§4-2 弹性体变形过程中的功和能§4-3 各向异性弹性体§4-4 各向同性弹性体§4-5 弹性常数的测定§4-6 各向同性体应变能密度的表达式显然有5225C C =同理可证nmmn C C =这样就证明了极端各向异性体，只有6+30/2=21个独立的弹性常数。

⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66564636266156554535255146454434244 136353433233 126252423222 16 15 14 13 12 111②具有一个弹性对称面的各向异性弹性体如果物体内的每一点都具有这样一个平面，关于该平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。

这样，物体的弹性常数从21个变为13个。

若Oyz 为弹性对称面，则（可用坐标变换公式得到）⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ665656554434244 13433233 1242322214 13 1211100000000000000如果互相垂直的3个平面中有2个式弹性对称面，则第3个平面必然也是弹性对称面。