反比例函数(2)

(3)若连接OA,则△AOB与△AOC的 面积又有怎样的关系?
结论：
反比例函数 意义：
y
kx（k≠0）中比例系数k的几何
S矩形OBAC=|x||y|=|k|,S△ABO=S△ACO=
1 2
|k|.
[知识拓展]
1.反比例函数图像的位置和函数的增减性都是 由比例系数k的符号决定的,反过来,由双曲线的 位置或函数的增减性可以判断k的符号.
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大 而减小. ∵-3<-1,∴y1>y2.
如图所示,点A在反比例函数 y
3 x
(x
>0)的图像
上,AB⊥x轴于B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形
OBAC的面积吗?
回答问题: (1)矩形的两条邻边长与点A的 坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与 比例系数之间是否有等量关系?
3.如图所示,点B在反比例函数 y
2 x
(x >0)的
图像上,过点B分别向x轴、y轴作垂线,垂足
分别为A,C,则矩形OABC的面积为 ( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由反比例函数 y k中比例系数k的几何意义可得矩
x
形OABC的面积为|k|=2.故选B.
4. 已知y是x的反比例函数,当x >0时, y随x的增
2.当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限;当k<0 时,双曲线的两支分别位于第二、四象限.
3.反比例函数的增减性必须强调“在每一个象 限内”.当k>0时,在每一个象限内, y随着x的增大 而减小,但不能笼统地说:当k>0时, y随着x的增 大而减小.同样,当k<0时,在每一个象限内, y随着 x的增大而增大,也不能笼统地说:当k<0时, y随 着x的增大而增大.

_矩____形，DE=__3____,DF=__1______,面积为__3_____.
. y
C A(1,8)
y
D(-1,3). F
OB
x
E Ox
小组讨论（四个人一个小组讨论下列问题，每个小组 派一名代表上讲台展示小组成果） 过双曲线 y k 上任一点（x，y）分别作x轴、y轴的
垂线，所得图x形为__矩___形，其面积为_|_x_|_|_y_|_.
为
y1>y.2
1x.轴若于双点曲B线，作y AC8垂x 直上于的Ay（轴1于，点a）C，，则过四点边A形作AOBB垂AC直为于
_矩____形，AB=_8____,AC=___1____,面积为__8_____.
2于.若x轴双于曲点线E，y 作D3xF上垂的直D于（y-轴1，于点b）F，，过则点四D边作形DEO垂ED直F为
பைடு நூலகம்
y
.B
.A
O
x
例2 如图是反比例函数 y m 5 的图象的一支.
根据图象回答下列问题: x
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围 是什么?
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A( x1, y1)
和点B(x2, y2 ).如果 x1> x 2,那么 y 1和 y 2有怎么
的大小关系?
大家有疑问的，可以询问和交流
3.探究 反比例函数的几何意义，体会数形结合及 转化的思想方法.
例1 已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的 增大如何变化?
(2)点B(3,4) 、C(-2.5,-4.8)和D(2,5)是否在这个 函数的图象上?
K的代数意义：k=xy.

反比例函数可以通过垂直和水平变换来进行平移和伸缩等操作。当多个函数进行组合 使用时，反比例函数会发生一些有趣的变化。
反比例函数的应用举例
1 实际问题中的应用
反比例函数在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理、经济学和生物学等领域中。
2 实际问题的建模与解决
我们可以使用反比例函数来建立实际问题的模型，分析问题并解决问题。
总结和要点
反比例函数的基本 性质回顾
反比例函数是一个含有x的有 理式，其中x不能为0。其图 象有垂直和水平渐近线，单 调性以及奇偶性等特点。
反比例函数在实际 生活中的重要性
反比例函数在各个领域中都 有广泛的应用，是一种十分 有用的数学工具。
反比例函数应用中 需注意的问题
在反比例函数的应用过程中， 需要注意变换和组合使用时 的变化，以及实际问题的建 模和解决方法。
反比例函数的图象和性质
在本节课中，我们将深入研究反比例函数的图象和性质，探索其在数学中的 应用。
反比例函数的定义和表达式
定义
反比例函数是一个含有x的有理式，其中x不能为0。
表达式
一般形式为f(x) = k/x，其中k为常数且k ≠ 0。
反比例函数的图象特点
垂直渐近线和水平渐近线
反比例函数的图象在x轴和y轴上分别有一个渐近 线，即y轴和x轴。
单调性和奇偶性
反比例函数具有单调性，即当x增大时，f(x)减小； 当x减小时，f(x)增大。同时，反比例函数是奇函 数。Biblioteka 反比例函数的性质1
定义域和值域
反比例函数的定义域是除了0的所有实数，值域也是除了0的所有实数。
2
极值和最值
反比例函数无极值，但有最值。最小值为0，最大值不存在。
3
反比例函数的变换和组合使用

3 （4）已知点(x1,y1)，(x2,y2)都在反比例函数 y 的图 x 象上，且y ＜ y ，则x x 的大小关系是 .
1 2 1、 2
k （5）已知点A(2,1) 在反比例函数 y 的图象上，当 x
1＜x＜ 4时 ，y的取值范围是
.
k (6)如果点（-2,y1)，(-1,y2)和(3,y3)都在反比例函数 y x 的图象上，那么y1、 y2 、y3的大小关系又如何呢？
图象与性质(2)
y
0
y
x
0
x
k 反比例函数 y (k 0)的图象 x
1.形状： 2.位置：
反比例函数的图象是双曲线 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
3.对称性：
既是中心对称图形;又是轴对称图形.
2 4 6 观察反比例函数 y , y , y 的图象，回答下列 x x x 问题：
1、反比例函数的性质: 反比例函数y=k/x的图象是两支曲线； 当k>0时,图象位于第一、三象限，在每一象限内，y的值 随x的增大而减小； 当k<0时,图象位于第二、四象限，在每一象限内， y的值 随x的增大而增大. 2、双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交 . 3、反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对 称图形,又是关于直线y=x和y=-x的轴对称图形. 4、在反比例函数y=k/x的图象上任取一点，分别作坐标轴 的垂线（或平行线），与坐标轴所围成的S矩形=︱K ︱
1、 2
（2）已知点(2,y1)，(1,y2)，(-1,y3)，(-2,y4)都在反比例 1 函数 y 的图象上，则y1、 y2 、y3、y4的大小关系 x 是 y3＜y4 ＜ y1＜y2.