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正态分布

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正态分布

正态分布
x
x
当-x<0时 ( x ) P ( X x )
P( X x) 1 P( X x)
1 ( x ) (0 x 4.99)
当x 5时, ( x ) 1;当x 5时, ( x ) 0
P ( a X b) ( b) ( a)
或
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
当x→ ∞时，f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
将标准正态分布概率密度的图形向左(或) 右平行移动 个单位，向上伸长(或压缩)
1
图形。
个单位，即可得一般正态分布概率密度的
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 ( x )
,
既然标准正态分布是关于y 轴对称的,而一 般正态分布是由标准正态分布平移 个单位 得来的,故f (x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到 最大值: 1 f ( ) 2
2
X

~N(0,1)
根据定理1,只要将一般正态分布的分布 函数转化成标准正态分布，然后查表就可解 决一般正态分布的概率计算问题.
设X ~ N ( , 2 ),Y ~ N (0,1) 其概率密度分别为：
( x ), 0 ( y ) 分布函数分别为： ( x ), 0 ( y )
P ( X a ) P (Y a
a

正态分布的概念及应用

正态分布的概念及应用
正态分布的概念及应用
• 正态分布的简介 • 正态分布的性质 • 正态分布的应用场景 • 正态分布在数据分析中的应用 • 正态分布在机器学习中的应用 • 正态分布与其他统计分布的关系
01
正态分布的简介
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 描述了许多自然现象的概率分布 形态，其概率密度函数呈钟形曲 线，且具有对称性。
贝叶斯推断
正态分布在贝叶斯推断中发挥了重要作用。通过贝叶斯定理，我们可以根据先 验知识和数据更新对未知参数的估计，而正态分布可以作为先验知识的分布形 式。
核方法和支持向量机
核方法
在支持向量机（SVM）等核方法中，正态分布作为核函数的一 种形式，用于将输入空间映射到高维特征空间，从而使得线性 不可分的数据变得线性可分。
在时间序列分析中，正态分布可用于描述时间序列数据的分布特征， 并建立预测模型。
05
正态分布在机器学习中的应用
概率模型和贝叶斯推断
概率模型
正态分布是一种常用的概率分布，在贝叶斯推断中，我们常常假设某些参数服 从正态分布，以便进行统计推断。例如，在朴素贝叶斯分类器中，特征的概率 分布被假设为正态分布。
考试成绩和测试评分
考试成绩和各种测试评分也经常呈现正态分布，因为大多数人的得分集中在平均分附近， 而高分和低分的人数较少。
气温、降雨量等气候数据
气温、降雨量等自然现象数据也可以用正态分布来描述，因为它们通常遵循类似的统计规 律。
科学研究和技术开发
01 02
实验结果和测量数据
在科学实验和测量中，很多数据呈现正态分布，如放射性衰变的半衰期、 化学反应速率等。这些数据反映了物质内部微观粒子的随机运动和相互 作用。
正态分布在统计学中的地位

正态分布

正态分布

2. 一般正态分布的概率计算
对于一般正态分布的概率计算，可以应用定积分的
换元法将其转化为标准正态分布的概率计算.
定理 设X~ N(, ) ，则 X ~ N(0,1).

这样，若X~ N(, )，并记其分布函数为 F(x)，则
从而
F ( x)

P{X

x}

P

X



x


P

X
1 2

5
1
2

2
0.9772
P{0

X
1.6}
P

0
1 2

X 1 2

1.6 1
2

0.3 0.5
0.3 0.5 1
0.6179 0.6915 1 0.3094
P{
解：由题意知 X ~ N (10.05,0.062 )，于是
P{
X
10.05

0.12}
P

0.12 0.06

X
10.05 0.06

0.12
0.06

2 2
22 1
2 0.9772 1 0.9544
例4 设 X ~ N(, )，求 P{ X }, P{ X 2 },
越小，图形越陡峭.
o
1 x
0.5 1 1.5
x
特别地，当 0， 1时，称 X 服从标准正态分布，
记为 X ~ N(0,1)，其概率密度函数为
(x)
1
x2

正态分布

正态分布
y (x)
密度函数
(x)
1 2
x
2
e
2
专用符 号
分布函数
( x)

x
1 2

x
2

e
2
dx
专用符 号
标准正态分布的性质
分布函数
( x ) P{ X x}
( x)
( x)

x
1 2

t
2

e
2
dt
x
( x) 1 ( x)
一般正态分布的标准化
定理
x 如果 X ~ N ( , ), 则 F ( x)
2
概率计算 若 X ~ N ( , 2 )
b a P (a X b)
a P( X a) 1
决定了图形的中心位置，
的陡峭程度.
决定了图形中峰
正态分布的分布函数
f (x) 1 2
(x ) 2
2 2
e

y
1
1 2
F ( x)
x
1 2

( x ) 2
2
2

e
dx
F(x)

x
计算概率？
P a X b F b F a
由 x 的单调性可得
k 18 2.5 0.91

k 20.275
正态分布的实际应用
某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526 人报名，假设报名者的考试成绩 X ~ N ( , 2 ) 已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高 分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被 录取？ 分析

什么是正态分布

什么是正态分布

什么是正态分布正态分布（Normal Distribution），又称为高斯分布（Gaussian Distribution），是概率论和统计学中十分重要的一种连续概率分布。

它是由数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出的。

基本概念及性质正态分布的概率密度函数可以用如下的数学公式表示：其中，是均值，是标准差。

正态分布的特点如下：曲线呈钟形状，并且以均值为对称轴。

分布的均值、中位数和众数都相等，且位于曲线的中心。

标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。

正态分布的总面积等于1。

正态分布可以通过均值和标准差来完全描述。

重要应用领域正态分布在各个领域都有广泛的应用，以下列举了一些典型的应用：统计学在统计学中，正态分布是基础假设之一。

许多统计模型和方法都是基于假设数据服从正态分布进行推导和处理的。

例如，最小二乘回归、方差分析、z检验、t检验等都假定数据符合正态分布。

金融学正态分布在金融学中有广泛应用。

根据随机漫步理论，股票价格变动通常被认为是正态分布的。

基于此假设，投资者可以使用正态分布模型来进行风险评估和收益预测。

自然科学许多自然科学现象可以用正态分布来描述。

例如，身高、体重、IQ 分数等人类特征常常呈现出正态分布；地震、海啸等自然灾害的发生频率也具有一定程度上的正态性。

工程学在质量控制和可靠性工程中，正态分布也具有重要意义。

通过对工程过程数据进行正态性检验，可以评估产品是否在可接受范围内，并进行相应的调整和改进。

正态检验与参数估计为了判断给定数据是否服从正态分布，我们可以使用一些统计方法进行检验。

常见的方法包括：Kolmogorov-Smirnov检验：比较经验累积分布函数与理论累积分布函数之间的差异。

Shapiro-Wilk检验：基于样本数据与其期望值之间的相关系数来判断样本是否符合正态性。

QQ图：通过比较样本数据与理论上由正态分布生成的随机变量之间的关系来检查数据是否近似为正态分布。

正态分布

正态分布

三． 特征
1． 是单峰曲线，x=μ 2． 以均数μ为中心左右对称 3． 有2个参数，μ：位置参数， σ：变异度参数 σ越大，数据越分散，曲线越平坦。 特别地 N（0，1）称为标准正态分布 （z分布、u分布）
四．正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1，标准正态分布下1.96~1.96部分的面积为0.95 （可以通过积分 求得）。也就是说|u|>1.96的面积为0.05，对 任意的x，-x~x区间面积为多少呢？统计学家 已将此编制成了正态分布界值表，不过表中 的面积是指p(u<x), 也记作φ（x）。
3． 正态分布是许多统计方法的理论 基础，如后面要讲的t检验、方差分析、 相关回归等，t分布、二项分布、 Poisson分布的极限分布也是正态分布。
4．估计频数分布
例 出生体重低于2500克为低体重儿。若 由某项研究得某地婴儿出生体重均数为 3200克，标准差为350克，估计该地当 年低体重儿所占的比例。2． 源自计医学正常值范围x u s
例 120名健康成年男性农民舒张压的均数 为10.1kPa，标准差为0.93kPa，求舒张 压的95%双侧正常值范围。 ±1.96s =10.1±1.96×0.93 即 8.28~11.92 kPa 95%参考范围（reference range）或正常 范围（normal range）仅仅告知95%健 康者的测定值在此范围之内，并非告知 凡在此范围之内皆健康，也非告知凡在 此范围之外皆不健康，所以不可将之作 为诊断标准。
以上讨论的是标准正态分布，对一般的正 态分布，某指标x~N(μ,σ2),则 u=(x-μ)/σ~N(0,1) 即-1.96<u<1.96的面积为0.95 μ-1.96σ<x<μ+1.96σ的面积为0.95

什么是正态分布

什么是正态分布正态分布，又称高斯分布，是在统计学和概率论中非常重要的一种连续概率分布。

它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯提出的，常用于描述自然界中的许多现象，如身高、智商、测量误差等。

正态分布具有对称的钟形曲线，其特性使得它在统计推断、假设检验等领域起着至关重要的作用。

正态分布的定义正态分布是一个由均值μ（mu）和标准差σ（sigma）两个参数所决定的概率密度函数。

其数学表达式为：在这个公式中，( f(x) ) 是随机变量 ( X ) 的概率密度函数( ) 是均值，代表分布的中心位置( ) 是标准差，用于描述数据的离散程度( e ) 是自然对数的底数，约等于2.71828通过上述公式可以看出，当 ( x = ) 时，( f(x) )达到最大值；而随着 ( x ) 离开均值，概率密度逐渐减小。

正态分布的特性正态分布有几个重要特性，使其在研究中无处不在。

1. 对称性正态分布是关于均值 ( ) 对称的。

这意味着如果你将正态分布函数沿其均值向两侧折叠，左侧和右侧的形状完全一致。

这一特性使得很多统计方法可以简化计算，并提高了分析的效率。

2. 68-95-99.7法则这一法则描述了数据集中不同标准差范围内的数据比例：约68%的数据点落在均值±1个标准差内约95%的数据点落在均值±2个标准差内约99.7%的数据点落在均值±3个标准差内这一规律为理解异常值、识别数据分布特点提供了直观的依据。

3. 中心极限定理中心极限定理表明，在一定条件下，不同的独立随机变量之和趋向于正态分布，无论这些变量本身的分布是什么。

这意味着当你对大量独立同分布的随机变量取样时，其总和或平均值会呈现出近似正态分布，这一特性是统计推断的重要基础。

4. 单峰性正态分布是单峰的，即它只有一个峰值，这个峰值就是均值( μ )。

在这个峰值附近，概率密度最大的地方，随着离均值越远，数据点稀疏程度迅速增加。

正态分布完整ppt课件

正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。

正态分布

正态分布normal distribution正态分布一种概率分布。

正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。

服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。

它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。

多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。

例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。

一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。

从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。

正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。

附：这种分布的概率密度函数为：（如右图）正态分布公式正态分布1.正态分布：若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号～。

正态分布


[µ − 3σ , µ + 3σ ] 区间内. 区间内.
这在统计学上称作“ σ 准则” 这在统计学上称作“3 准则” .
看一个应用正态分布的例子: 看一个应用正态分布的例子
例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头 以下来设计的.设男子身高X～ 碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高 ～ N(170,62),问车门高度应如何确定? 问车门高度应如何确定? ( , ),问车门高度应如何确定 解 设车门高度为h cm,按设计要求 设车门高度为 ,
例
设 X ~ N(0, 1), P(X ≤ b) = 0.9515, P(X ≤ a) = 0.04947, 求 a, b.
解: Φ(b) = 0.9515 >1/2, 所以 b > 0, 反查表得: Φ(1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66
而 Φ(a) = 0.0495 < 1/2, 所以 a < 0, Φ(−a) = 0.9505, 反查表得: Φ(1.65) = 0.9505, 故 a = − 1.65
例 设 X ~ N(0, 1), P(X>−1.96) ,
求 P(|X|<1.96)
解: P(X>−1.96) = 1− Φ(−1.96) = 1−(1− Φ(1.96)) = Φ(1.96) = 0.975 (查表得) P(|X|<1.96) = 2 Φ(1.96)−1 = 2 ×0.975−1 = 0.95
标准正态分布的上 α分位点 设 X ~ N ( 0,1) ,若数 zα满足条件
P{ X > zα} = α , 0 < α < 1 ⇒ P{ X < − zα } = α
则称点 zα 为标准正态分布的上 α分位点 标准正态分布的上 分位点.
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第十讲
第三章
误差和分析数据和原理
图3-4 正态分布曲线 （µ相同，σ2>σ1） 相同，
第十讲
第三章
误差和分析数据和原理
综上所述，一旦µ和 确定后 确定后， 综上所述，一旦 和σ确定后，正态分布曲线的 位置和形状也就确定，因此µ和 是正态分布的两个 位置和形状也就确定，因此 和σ是正态分布的两个 基本参数，这种正态分布用N（ ， 表示。 基本参数，这种正态分布用 （µ，σ2）表示。 正态分布曲线关于直线x=µ呈钟形对称 ， 且具 呈钟形对称， 正态分布曲线关于直线 呈钟形对称 有以下特点： 有以下特点： 1.对称性 绝对值大小相等的正负误差出现的概 对称性 率相等，因此它们常可能部分或完全相互低消。 率相等，因此它们常可能部分或完全相互低消。 2.单峰性 峰形曲线最高点对应的横坐标 值 单峰性 峰形曲线最高点对应的横坐标x-µ值 等于0，表明随机误差为0的测定值出现的概率密度 等于 ，表明随机误差为 的测定值出现的概率密度 最大。 最大。 3.有界性 一般认为，误差大于 有界性 一般认为， 的测定值 ± 3， 并非是由随机误差所引起的。也就是说， 并非是由随机误差所引起的。也就是说σ 随机误差 的分布具有有限的范围，其值大小是界的。 的分布具有有限的范围，其值大小是界的。
第十讲
第三章
误差和分析数据和原理
分组（ ） 分组（%） 1.485-1.515 1.515-1.545 1.545-1.575 1.575-1.605 1.605-1.635 1.635-1.665 1.665-1.695 1.695-1.725 1.725-1.755 ∑
频数 2 6 6 17 22 20 10 6 1 90
1 y = Φ(u) = e 2π
u2 − 2
（3-15） ）
经过上述变换，总体平均值为µ的任一正态分 经过上述变换 ， 总体平均值为 的任一正态分 的标准正态分布， 布均可化为µ=0，σ2=1的标准正态分布，以N（0，1） 的标准正态分布 （ ， ） 布均可化为 ， 表示。 标准正态分布曲线如图3-5所示 所示， 表示 。 标准正态分布曲线如图 所示 ， 曲线的形 状与µ和 的大小无关 的大小无关。 状与 和σ的大小无关。
第十讲
第三章
误差和分析数据和原理
P(−1 ≤ u ≤ 1) =
∫ 2π
1
u2 +1 − 2 −1
e
du = 0.683
按此法求出不同u值时的积分面积 ， 按此法求出不同 值时的积分面积， 制成相应 值时的积分面积 的概率积分表可供直接查用。 的概率积分表可供直接查用。 中列出的面积对应于图中的阴影部分。 表 3-1中列出的面积对应于图中的阴影部分 。 中列出的面积对应于图中的阴影部分 若区间为± 值 则应将所查得的值乘以 则应将所查得的值乘以2。例如： 若区间为±|u|值,则应将所查得的值乘以 。例如：
二、正态分布
正态分布，又称高斯分布， 正态分布，又称高斯分布，它的数学表达式即 正态分布函数式为： 正态分布函数式为： ( x−µ)2
y = f (x) =
1
σ 2π
e
−
2σ 2
（3-13） ）
第十讲
第三章
误差和分析数据和原理
式中y表明测定次数趋于无限时，测定值x 式中 表明测定次数趋于无限时，测定值 i出现 表明测定次数趋于无限时 的概率密度。若以x值表示横坐标 值表示横坐标， 值表示纵坐标 值表示纵坐标， 的概率密度。若以 值表示横坐标，y值表示纵坐标， 就得到测定值的正态分布曲线。曲线的最高点， 就得到测定值的正态分布曲线。曲线的最高点，它 对应的横坐标值µ即为总体平均值 即为总体平均值， 对应的横坐标值 即为总体平均值 ， 这就说明了在 等精密度的许多测定值中， 等精密度的许多测定值中，平均值是出现概率最大 的值。 的值。 为总体标准偏差， 式 （ 3-13） 中的 为总体标准偏差 ， 是曲线两 ） 中的σ为总体标准偏差 侧的拐点之一到直线x=µ的距离 ， 它表征了测定值 的距离， 侧的拐点之一到直线 的距离 的分散程度。标准偏差较小的曲线陡峭， 的分散程度。标准偏差较小的曲线陡峭，表明测定 值位于µ附近的概率较大 即测定的精密度高。 附近的概率较大， 值位于 附近的概率较大 ， 即测定的精密度高 。 与 此相反，具有较大标准偏差较大的曲线平坦， 此相反，具有较大标准偏差较大的曲线平坦，表明 测定值位于µ附近的概率较小 即测定的精密度低。 附近的概率较小， 测定值位于 附近的概率较小 ， 即测定的精密度低 。
随机误差出现的区间 测定值出现的区间 概率
u=±1 ± u=±2 ± u=±3 ±
x=µ±σ ± x=µ±2σ ± x=µ±3σ ±
0.3413×2=0.6826 × 0.4773×2=0.9546 × 0.4987×2=0.9974 ×
第十讲
第三章
误差和分析数据和原理
以上概率值表明， 以上概率值表明 ， 对于测定值总体而 随机误差在± 范围以外的测定值出 言 ， 随机误差在 ±2σ范围以外的测定值出 现的概率小于0.045，即20次测定中只有 次 次测定中只有1次 现的概率小于 ， 次测定中只有 机会。 随机误差超出± 的测定值出现的 机会 。 随机误差超出 ±3σ的测定值出现的 概率更小。平均1000次测定中只有 次机会。 次测定中只有3次机会 概率更小。平均1000次测定中只有3次机会。 通常测定仅有几次， 通常测定仅有几次 ， 不可能出现具有这样 大误差的测定值。 如果一旦发现， 大误差的测定值 。 如果一旦发现 ， 从统计 学的观点就有理由认为它不是由随机误差 所引起， 而应当将其舍去， 所引起 ， 而应当将其舍去 ， 以保证分析结 果准确可靠。 果准确可靠。
第十讲
第三章
误差和分析数据和原理
图3-5 标准正态分布曲线
第十讲
第三章
误差和分析数据和原理
四、随机误差的区间概率
正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积， 正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积，就 等于概率密度函数从-∞至 的积分值 的积分值。 等于概率密度函数从 至+∞的积分值。它表示来自 同一总体的全部测定值或随机误差在上述区间出现 概率的总和为100%，即为 。 概率的总和为 ，即为1。
第十讲
第三章
误差和分析数据和原理
3-3 随机误差的正态分布
一、 频率分布
在相同条件下对某样品中镍的质量分数（%） 在相同条件下对某样品中镍的质量分数（ ） 进行重复测定，得到90个测定值如下 个测定值如下： 进行重复测定，得到 个测定值如下：
1.60 1.59 1.65 1.70 1.53 1.49 1.66 1.60 1.60 1.67 1.64 1.70 1.63 1.56 1.56 1.63 1.63 1.64 1.67 1.74 1.63 1.67 1.58 1.57 1.54 1.62 1.65 1.64 1.65 1.62 1.70 1.60 1.61 1.66 1.61 1.59 1.58 1.64 1.70 1.70 1.58 1.61 1.64 1.65 1.58 1.64 1.61 1.65 1.63 1.59 1.61 1.64 1.61 1.59 1.67 1.65 1.68 1.57 1.61 1.50 1.64 1.64 1.60 1.62 1.69 1.66 1.59 1.62 1.53 1.62 1.63 1.67 1.57 1.64 1.69 1.62 1.55 1.53 1.62 1.54 1.68 1.60 1.63 1.70 1.60 1.52 1.59 1.65 1.61 1.69
第十讲
第三章
误差和分析数据和原理
首先视样本容量的大小将所有数据分成若干组： 首先视样本容量的大小将所有数据分成若干组： 容量大时分为10-20组，容量小时（n<50）分为 容量大时分为 组 容量小时（ ）分为5-7 本例分为9组 组，本例分为 组。 再将全部数据由小至大排列成序， 再将全部数据由小至大排列成序，找出其中最 大值和最小值，算出极差R。 大值和最小值，算出极差 。由极差除以组数算出 组距。本例中的R=1.74%-1.49%=0.25%，组距 组距。本例中的 ，组距= R/9=0.25%/9=0.03%。每组内两个数据相差 。每组内两个数据相差0.03% 等等。 即：1.48-1.51,1.51-1.54等等。为了使每一个数据只 等等 能进入某一组内，将组界值较测定值多取一位。 能进入某一组内，将组界值较测定值多取一位。即： 1.485-1.515,1.515-1.545,1.545-1.575等等。 等等。 等等 统计测定值落在每组内的个数（称为频数）， 统计测定值落在每组内的个数（称为频数）， 再计算出数据出现在各组内的频率（即相对频数）。 再计算出数据出现在各组内的频率（即相对频数）。
1 ∫−∞ Φ(u)du = 2π
+∞
∫
u2 +∞ − 2 −∞
e
du =1（3-16） ）
欲求测定值或随机误差在某区间出现的概率P， 欲求测定值或随机误差在某区间出现的概率 ， 可取不同的u值对式 值对式（ 可取不同的 值对式（3-16）积分求面积而得到。例 ）积分求面积而得到。 如随机误差在± 区间 区间（ ± ），即测定值在µ± ），即测定值在 如随机误差在±σ区间（u=±1），即测定值在 ±σ 区间出现的概率是： 区间出现的概率是：
u=
x−µ
代入（ 代入（3-13）中得： ）中得：
σ
（3-14） ）
u2 − 2
由于
dx =σdu
1 y = f (x) = e 2π
第十讲
第三章
误差和分析数据和原理
u2 − 2
故
1 f (x)dx = e 2π
du = Φ(u)du
u称为标准正态变量 。 此时式 （ 3-13） 就转化 称为标准正态变量。 此时式（ 称为标准正态变量 ） 成只有变量u的函数表达式 的函数表达式： 成只有变量 的函数表达式：