2016-2017年重庆市沙坪坝区南开中学高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

一、选择题1．(0分)[ID ：12998]用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A ．127B ．23C ．827D ．492．(0分)[ID ：12989]抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =（ ）A ．12B ．13C ．23D ．563．(0分)[ID ：12983]AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1004．(0分)[ID ：12978]从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥5．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T<≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（）A．35B．1180C．119D．566．(0分)[ID：12967]将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A．192181020C CCB．1921810202C CCC．1921910202C CCD．192191020C CC7．(0分)[ID：12962]如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.8．(0分)[ID：12960]我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为（）A．20B．25C．30D．359．(0分)[ID：12941]某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A．15B．24125C．48125D．9612510．(0分)[ID：12936]《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A ．7B ．4C ．5D ．1111．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥12．(0分)[ID ：12929]若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．51813．(0分)[ID ：13016]同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．1814．(0分)[ID ：13026]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x15．(0分)[ID ：13006]右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A．0B．2C．4D．14二、填空题16．(0分)[ID：13125]已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．17．(0分)[ID：13124]某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是______.18．(0分)[ID：13114]已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．19．(0分)[ID：13096]如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则点M恰好取自阴影部分的概率是．20．(0分)[ID：13087]甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.21．(0分)[ID：13063]执行如图所示的程序框图，若输入的A，S分别为0,1，则输出的S=____________．22．(0分)[ID ：13056]为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是____________. INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1) ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y END23．(0分)[ID ：13039]甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．24．(0分)[ID ：13038]某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为________．（结果用分数表示） 25．(0分)[ID ：13123]在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______. 三、解答题26．(0分)[ID ：13224]某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据： 单价x （元）66.2 6.4 6.6 6.8 7 销量y （万件） 807473706558数据显示单价x 与对应的销量y 满足线性相关关系．（1）求销量y （件）关于单价x （元）的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）根据销量y 关于单价x 的线性回归方程，要使加工后收益P 最大，应将单价定为多少元？（产品收益=销售收入-成本）．参考公式：ˆb=()121()()ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑=1221ni i i n i i x y nxy x nx==--∑∑，ˆˆay bx =- 27．(0分)[ID ：13190]树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.28．(0分)[ID ：13184]袋子中放有大小和形状相同而颜色互不相同的小球若干个, 其中标号为0的小球1个, 标号为1的小球1个, 标号为2的小球2个, 从袋子中不放回地随机抽取2个小球, 记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b . (1) 记事件A 表示“2a b +=”, 求事件A 的概率；(2) 在区间[]0,2内任取2个实数,x y , 记()2a b -的最大值为M ,求事件“22x y M +<”的概率.29．(0分)[ID ：13143]某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.（1）求直方图中a 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿； （3）求该校学生上学路上所需的平均时间.30．(0分)[ID ：13138]某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量()1,2,,10i y i =的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y a bx =+和dy c x =⋅（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中2.71828e =），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnniii i i i nniii i u u u nu u u unuυυυυβ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆu αυβ=-【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．C4．B5．A6．A7．D8．B9．C10．C11．A12．C13．A14．D15．B二、填空题16．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数据的方差为：s2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）217．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从18．【解析】19．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考20．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种21．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要22．-6或6【解析】当x＜0时25=（x+1）2解得：x=﹣6或x=4（舍去）当x≥0时25=（x﹣1）2解得：x=6或x=﹣4（舍去）即输入的x值为±6故答案为：﹣6或6点睛：根据流程图（或伪代码）写23．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传24．【解析】由题意知这是一个几何概型因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发所以基本事件总数包括的时间长度为15由于出发前要停靠3分钟所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为则乘客到站候车时间25．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】由题意可得：每个实数都大于13的概率为12133p=-=，则3个实数都大于13的概率为328327⎛⎫=⎪⎝⎭.本题选择C选项.2．D解析：D【解析】【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，得到答案.【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，故5 ()6 P A B=.故选：D.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3．C解析：C【解析】这12天的AQI指数值的中位数是959293.52+=，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的AQI指数值的平均值为110，故D不正确.故选 C．4．B解析：B【解析】【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【详解】A为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B为三件产品全是次品，C为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A与B是互斥事件；A与C是包含关系，不是互斥事件；B与C是互斥事件，故选B．【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用．5．A解析：A【解析】【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是1 10，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111 632 +=，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P=+=，故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.6．A解析：A【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果.【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C种结果，而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C 中结果， 根据古典概型的概率公式得192181020=C C P C . 故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.7．D解析：D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选D ．【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．8．B解析：B【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值.【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠；22,78,100n m s ==≠；23,77,100n m s ==≠；24,76,100n m s ==≠；25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．C解析：C【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.10．C解析：C【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-；3i =，()282131645m a a =--=-；4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束；令329367a -=，解得5a =.故选C.11．A解析：A【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步. 12．C解析：C【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．13．A解析：A【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.14．D解析：D【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即em＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97 于是得0m <e m <x .考点：统计初步.15．B解析：B【解析】【分析】【详解】由a=14，b=18，a ＜b ，则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10，由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6，由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2，由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B ．二、填空题16．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数据的方差为：s 2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）2解析：0.1【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15x =×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， ∴该组数据的方差为： s 2=15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为0.1． 17．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从解析：7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法，求得样本间隔，进行抽取，即可求解，得到答案．【详解】由题意，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生，其样本间隔为8001650=， 因为在33～48这16个数中取的数是39，所以从33～48这16个数中取的数是第3个数，所以第1组1～16中随机抽到的数是392167-⨯=．【点睛】 本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的概念和抽取的方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．【解析】解析：45【解析】28910108149[10111]555x s ++++==∴=++++= 19．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考 解析：【解析】试题分析：根据题意，正方形的面积为而阴影部分由函数与围成，其面积为， 则正方形中任取一点,点取自阴影部分的概率为.则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用 几何概型点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.20．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种解析：16【解析】【分析】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．【详解】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 3355446661 6A A A A ⋅⋅=⋅， 故答案为16． 【点睛】 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．21．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要 解析：36【解析】执行程序，可得0A =，1S =； 1k =，011A =+=，111S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，3k =，134A =+=，144S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，5k =，459A =+=，4936S =⨯=，满足条件4k >，推出循环，输出36S =,故答案为36．【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.22．-6或6【解析】当x ＜0时25=（x+1）2解得：x=﹣6或x=4（舍去）当x≥0时25=（x ﹣1）2解得：x=6或x=﹣4（舍去）即输入的x 值为±6故答案为：﹣6或6点睛：根据流程图（或伪代码）写解析：-6或6【解析】当x ＜0时，25=（x+1）2，解得：x=﹣6，或x=4（舍去）当x ≥0时，25=（x ﹣1）2，解得：x=6，或x=﹣4（舍去）即输入的x 值为±6 故答案为：﹣6或6．点睛：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．23．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传解析：1 4【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传球方法．记求第3次球恰好传回给甲的事件为A，可知共有两种情况，，而总的事件数是8，∴P(A)=28=14.故答案为1 4点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.24．【解析】由题意知这是一个几何概型因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发所以基本事件总数包括的时间长度为15由于出发前要停靠3分钟所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为则乘客到站候车时间解析：2 15【解析】由题意知，这是一个几何概型，因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发，所以基本事件总数包括的时间长度为15，由于出发前要停靠3分钟，所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为15132-=，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为215P=。

2016年重庆一中高二理科上学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.直线的倾斜角为A. B. C. D.2.个班分别从个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是A. B. C. D.3.对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是A.相切C.相交且直线不过圆心B.相交且直线过圆心D.相离4.已知椭圆方程为的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为A. B. C. D.5.若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为A. 6.设椭圆A. 7.在B. C. D.的左右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则B. C. D.的二项展开式中，若只有第项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为A. B. C. D.8.已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是A. B. C. D.9.是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为A. B. C. D.10.个男生个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有A.种11.已知点在椭圆B.种 C.种 D.种上运动，设，则的最小值为A. B. C. D.12.已知直线与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆，若直线和圆相切，且满足条件的直线恰好有三条，则圆的半径的取值集合为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13.抛物线的焦点到准线的距离为．14.已知则的最小值是．15.将编号，，，，的小球放入编号，，，，的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种．16.已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线交于不同两点，，且，两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线有且仅有两条，则双曲线的离心率的取值范围为．三、解答题（共6小题；共78分）17.中，点，，．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线的长度．18.已知．（1）求；（2）求．19.已知过点的直线和圆交于，两点．（1）若点恰好为线段的中点，求直线的方程；（2）若，求直线的方程．20.设是圆上的动点，点是在轴上投影，为线段上一点，且．（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）过点且斜率为的直线交轨迹于，两点，若点，求的面积．21.已知直线和直线，若抛物线上的点到直线和直线的距离之和的最小值为．（1）求抛物线的方程；（2）在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．22.已知椭圆的左、右焦点分别为，，动点在椭圆上运动，的最大值为，且点到的距离的最小值为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有且仅有一个交点，且切圆（其中）于点，求，两点间的距离的最大值；（3）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，，在线段上取一点，满足，求证：点在定直线上．答案第一部分1.D【解析】将已知直线化为，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为．2.A【解析】因为共个班，每班从个风景点中选择一处游览，所以每班都有种选择，所以不同的选法共有．3.C【解析】对任意的实数，直线恒过点，且斜率存在，因为在圆内，圆心坐标不满足，所以直线不经过圆的圆心，所以对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是相交但直线不过圆心．4.A【解析】椭圆方程为，焦点在轴上，，，，由椭圆的定义可知：，，则的周长为，所以的周长为．5.B【解析】因为曲线表示焦点在轴上的双曲线，所以将曲线化成标准方程，得，由此可得且，解得．6.C【解析】椭圆中，，，可得，焦距．设，，根据椭圆的定义，可得，平方得中，根据余弦定理得：，即因为，所以，代入并整理，可得用减去，可得，解得，即．7.B【解析】在的二项展开式中，若只有第项的二项式系数最大，则，则的二项展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为．8.C【解析】水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而，故C不可能．9.D【解析】双曲线，如图：因为，，，所以，，因为，，所以和，因为，所以，，所以，所以，．10.B【解析】个男生个女生站成一排，把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，剩余个男生与个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法，有种不同的站法；现在有个位置把男生甲与女生乙放入，符合条件的是：．11.B【解析】椭圆焦点在轴上，由点在椭圆上，设，则设当，时，的最小值为，的最小值．12.D【解析】由题意，时，直线过原点，方程，与轴垂直，另外一条与圆相切；斜率为，与圆相切，有两条，符合题意，排除B，时，直线过原点，方程，与轴垂直，另外一条与圆相切；斜率为，与圆相切，有两条，符合题意，排除A，C．第二部分13.【解析】抛物线的焦点到准线的距离为，由标准方程可得．14.【解析】由画出可行域（如图），得交点，，而表示点到原点距离的平方，所以当点为点时，最小，且最小值是．15.【解析】个球全排列为种情况，个球的编号与盒子的相同，先选出个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，另外个球，有种不同的放法，故种情况，个球的编号与盒子的相同，有种不同的放法，故至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种不同的放法．16.【解析】当，均在右支上，可得即有，即，即为，，解得，当，在左右两支上，可得，即有．第三部分17.（1）由斜率公式易知，所以边上的高所在的直线的斜率，又边上的高所在的直线过点，代入点斜式方程易得，整理，得：．（2）由，得到边的中点坐标是，故中线长．18.（1）分析项的构成，知：．（2）原式，令，得，令，得，令，得从而原式．19.（1）易知圆心为原点，由已知，所以，而，解出，由点斜式可得直线的方程为：．（2）当直线的斜率不存在时，刚好满足，此时直线方程为，若直线斜率存在，设为，整理为，由垂径定理，可得圆心到直线的距离，所以，解出，此时直线的方程为，综上可知满足条件的直线方程为：或者．20.（1）设的坐标为，的坐标为，由，解得：因为在圆上，所以，即，整理得．（2）直线，代入的方程，整理得：，所以由韦达定理可知：，，所以线段的长度为点到的距离为，故，．21.（1）抛物线焦点在轴上，焦点，由抛物线的定义知：到直线的距离等于到焦点的距离，所以到两直线的距离之和的最小值为点到直线的距离，由点到直线的距离公式可知：，解得：，所以抛物线的方程为．（2）设，，的中点为，关于直线对称，故可设直线．整理得：．由韦达定理可知：，则，所以．因为点在上，则．即．又与抛物线有两个不同的交点，故．将代入上式得：，即，恒成立，所以解得：，故的取值范围为．22.（1）由于，所以的最大值为，当时取等号，由已知可得，即，又，，所以，故椭圆的方程为．（2）设，分别为直线与椭圆和圆的切点，设直线的方程为，因为既在椭圆上，又在直线上，从而有消得，由于直线与椭圆相切，故，从而可得且由消得，由于直线与圆相切，得且由得，故即，当且仅当时取等号，所以的最大值为．（3）设，，的坐标分别为，，，由题设知，，，均不为零，记，则，且，又，，，四点共线，则，，于是且从而又，在椭圆上，则消去，，，得，即点在定直线上．。

2016-2017学年重庆市南开中学高三（上）7月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）2．命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0 C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0 3．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣1 D．y=14．已知正数x，y满足：x+2y=1，则+的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．95．已知f（1+）=x+1，则f（2）=（）A．1 B．2 C．3 D．46．以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+g（x）=B．f（x）=g（x）=（）3C．f（x）=•g（x）=D．f（x）=g（x）=x07．已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]8．在区间[0，2]内任取两个实数a，b，则方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2的概率为（）A．B．C．D．9．已知正实数x，y满足xy=x+2y+6，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]11．对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）12．已知函数f（x）=x3﹣3x2+（3﹣3a2）x+b（a≥1，b∈R）．当x∈[0，2]时，记|f（x）|的最大值为|f（x）|max，对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|max≥k恒成立．则实数k的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．14．已知函数f（x）=2x+1，若f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n（x）]，n∈N*．则f5（x）+1的表达式为32x+31．15．变量x，y满足，若目标函数z=ax﹣y仅在（4，1）点处取得最大值，则实数a的取值范围是（1，+∞）．16．已知函数f（x）=x2+k．任取实数a，b，c∈[﹣1，1]，以f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，则实数k的取值范围为（4﹣2，2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）解关于x的不等式：f（x）＞1；（2）若x∈（1，3），求函数f（x）的值域．18．已知函数f（x）=lg（e x+﹣a）（1）若函数f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）值域为R，求实数a的取值范围．19．如图，四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．（1）求证：DE⊥MB；（2）若DC=2，求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．21．已知函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，求实数k的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x0=，求证：f'（x0）＜0．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．如图，圆C与圆D半径分别为r1，r2，相交于A，B两点，直线l1过点A，分别交圆C、圆D于点M、N（M、N在A的异侧），直线l2过点B，分别交圆C、圆D于点P，Q（P、Q在B的异侧），且l1平行于l2，点C，D在l1与l2之间．（1）求证：四边形MNQP为平行四边形；（2）若四边形MABP面积与四边形NABQ面积相等，求证：线段AB与线段IJ互相平分．23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1．直线l与曲线C相交于点A，B．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴交于点P，求|PB|•|PA|．24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|．（1）若a=2，解不等式：f（x）＜5；（2）若f（x）≥4﹣|a﹣1|对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年重庆市南开中学高三（上）7月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算，即可得到结论．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}=（﹣∞，0），B={x|y=}=[﹣2，+∞）∴A∩B=[﹣2，0），故选：A．2．命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0 C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0 【考点】四种命题．【分析】命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案．【解答】解：命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是：若x≤0，则x2≤0，故选：C．3．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣1 D．y=1【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的基本性质，能求出抛物线y2=4x的准线方程．【解答】解：∵y2=4x，2p=4，p=2，∴抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1．故选A．4．已知正数x，y满足：x+2y=1，则+的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵2x+y=1，x＞0，y＞0，∴+=（+）×（2x+y）=当且仅当x=y=时取等号．∴+的最小值是9故选：D ．5．已知f （1+）=x +1，则f （2）=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】函数的值．【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．【解答】解：f （1+）=x +1，则f （2）=f （1+）=1+1=2． 故选：B ．6．以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（ ）A ．f （x ）=+ g （x ）=B ．f （x ）=g （x ）=（）3C ．f （x ）=•g （x ）=D ．f （x ）= g （x ）=x 0【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【分析】判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数．【解答】解：A 中f （x ）的定义域是{x |x=1}，g （x ）的定义域是{x |x=1}，且对应关系相同，∴是同一函数； B 中f （x ），h （x ）的定义域是R ，且对应关系相同，∴是同一函数；C 中f （x ）的定义域是{x |x ≥1}，g （x ）的定义域是{x |x ≥1，或x ≤﹣3}，∴不是同一函数；D 中f （x ）与g （x ）的定义域都是{x |x ≠0}，值域都是{1}，对应关系相同，∴是同一函数； 故选：C ．7．已知变量x ，y 满足，则的取值范围为（ ）A ．[0，]B ．[0，+∞）C ．（﹣∞，]D ．[﹣，0]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可．【解答】解：不等式表示的平面区域为如图所示△ABC ，设Q （3，0）平面区域内动点P （x ，y ），则=kPQ ，当P 为点A 时斜率最大，A （0，0），C （0，2）．当P 为点C 时斜率最小，所以∈[﹣，0]．故选：D ．8．在区间[0，2]内任取两个实数a，b，则方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（a，b）对应图形的面积，及满足条件“方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：设f（x）=x2﹣ax+b，∵方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2，∴f（1）=1﹣a+b＜0，∵在区间[0，2]内任取两个实数a，b，∴0≤a≤2，0≤b≤2，作出区域，如图所示．正方形的面积为4，阴影部分的面积为=，∴所求的概率为=，故选：C．9．已知正实数x，y满足xy=x+2y+6，则+的最小值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式．【分析】首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式，转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值，再根据基本不等式即可求出+的最小值．【解答】解：由条件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2+6，令xy=t2，即t=＞0，可得t2﹣2t﹣6≥0．即得到（t﹣3）（t+）≥0，可解得t≤﹣或t≥3．又注意到t＞0，故解为t≥3，∴≥3，∴+≥2=2•=，故选：C．10．已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】讨论方程类型和方程在（0，3]上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出．【解答】解：当a=0时，方程x+1=0的零点为﹣1，不符合题意，∴a≠0．（1）若方程在（0，3]有一个根，①若3为方程的根，则12a+4=0，解得a=﹣，②若3不是方程的根，则或．解得a=﹣或无解．（2）若方程在（0，3]上有两个根，则，解得：﹣＜x≤﹣，综上，a的范围是[﹣，﹣]．故选B．11．对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【考点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据定义求出f（x）解析式，画出图象，判断即可．【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．12．已知函数f（x）=x3﹣3x2+（3﹣3a2）x+b（a≥1，b∈R）．当x∈[0，2]时，记|f（x）|的最大值为|f（x）|max，对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|max≥k恒成立．则实数k的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数恒成立问题．【分析】求出f（x）的导数，分解因式，可得区间[0，2]为减区间，可得f（x）的最值，由绝对值不等式的性质，结合二次函数的最值求法，可得k的范围，进而得到k的最大值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x2+（3﹣3a2）x+b的导数为f′（x）=3x2﹣6x+3﹣3a2=3（x﹣1+a）（x﹣1﹣a），由a≥1，可得1+a≥2，1﹣a≤0，则区间[0，2]为减区间，可得f（x）的最小值为f（0）=b，最大值为f（2）=b+2﹣6a2，对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|max≥k恒成立，可得k≤|b|，k≤|b+2﹣6a2|，即为2k≤|b|+|b+2﹣6a2|，由|b|+|b+2﹣6a2|≥|b﹣b﹣2+6a2|=|6a2﹣2|≥4，可得2k≤4，即k≤2，则k的最大值为2．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】题目给出了函数y=f（x）的定义域，只要让2x在函数f（x）的定义域内，且x≠3，求解x的范围即可．【解答】解：f（x）定义域为[0，8]，∴0≤2x≤8，即0≤x≤4，∴f（2x）的定义域为[0，4]，∴g（x）=，∴3﹣x≠0，解得x≠3，故函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4]，故答案为：[0，3）∪（3，4]14．已知函数f（x）=2x+1，若f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n（x）]，n∈N*．则f5（x）+1的表达式为32x+31．【考点】数列与函数的综合．【分析】由条件利用用代入法求得函数的解析式．【解答】解：由题意可得f1（x）=f（x）=2x+1，f2（x）=f[f1（x）]=2（2x+1）+1=4x+3，f3（x）=f[f2（x）]=2（4x+3）+1=8x+7，f4（x）=f[f3（x）]=2（8x+7）+1=16x+15，f5（x）=f[f4（x）]=2（16x+15）+1=32x+31，故答案为：32x+31．15．变量x，y满足，若目标函数z=ax﹣y仅在（4，1）点处取得最大值，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，平移关于目标函数的直线，结合图象求出a的范围即可．【解答】解：画出满足线性约束条件的平面区域，如图示：，由目标函数z=ax﹣y得：y=ax﹣z，而直线x﹣y﹣3=0的斜率是1，2x+y﹣9=0的斜率是﹣2，若直线仅在（4，1）处取得最大值，只需a＞1，则实数a的取值范围是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）16．已知函数f（x）=x2+k．任取实数a，b，c∈[﹣1，1]，以f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，则实数k的取值范围为（4﹣2，2）．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【分析】利用换元法求出f（x）的最值，令2f min（x）＞f max（x）解出a的范围．【解答】解：设f（x）的最小值为m，f（x）的最大值为M，∵取实数a，b，c∈[﹣1，1]，以f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，∴2m＞M．令=t，则0≤t≤1，x2=1﹣t2．∴x2+k=﹣t2+kt+1，令g（t）=﹣t2+kt+1=﹣（t﹣）2++1，（1）若≤0即k≤0，则g（t）在[0，1]上单调递减，∴m=g（1）=k，M=g（0）=1，∴2k＞1，解得k，舍去．（2）若即k≥2，则g（t）在[0，1]上单调递增，∴m=g（0）=1，M=g（1）=k，∴2＞k，即k＜2，舍去．（3）若0＜，即0＜k≤1，则g（t）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，∴m=g（1）=k，M=g（）=，∴2k＞，解得4﹣2＜k＜4+2．∴4﹣2＜k≤1．（4）若＜1即1＜k＜2，则g（t）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，∴m=g（0）=1，M=g（）=．∴2＞，解得﹣2＜k＜2，∴1＜k＜2．综上，k的取值范围是（4﹣2，2）．故答案为（4﹣2，2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）解关于x的不等式：f（x）＞1；（2）若x∈（1，3），求函数f（x）的值域．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）问题转化为（x2﹣3x+2）（x+1）＞0，解出即可；（2）设x+1=t∈（2，4），换元得到=t+﹣4，求出其范围即可．【解答】解：（1）∵＞1，∴＞0，即（x2﹣3x+2）（x+1）＞0，解得：﹣1＜x＜1或x＞2；（2）∵x∈（1，3），∴设x+1=t∈（2，4），则x=t﹣1，===t+﹣4∈[2﹣4，）．18．已知函数f（x）=lg（e x+﹣a）（1）若函数f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）值域为R，求实数a的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）由e x+﹣a＞0，可得a＜e x+，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围；（2）函数f（x）值域为R，则e x+﹣a能取遍一切正实数，可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由e x+﹣a＞0，可得a＜e x+，∵x∈R，∴e x+≥2，∴a＜2；（2）函数f（x）值域为R，则e x+﹣a能取遍一切正实数，∴2﹣a≤0，∴a≥2．19．如图，四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．（1）求证：DE⊥MB；（2）若DC=2，求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以D为原点距离坐标系，求出，的坐标，可通过计算=0得出DE ⊥BM；（2）分别求出两平面的法向量，计算法向量夹角，即可得出二面角的大小．【解答】证明：（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DM为坐标轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz，如图所示：设DC=a，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，a，0），M（0，0，1），E（，0，），∴=（，0，），=（﹣1，﹣a，1）．∴=+0×（﹣a）+=0，∴DE⊥BM．（2）当DC=2时，=（﹣，﹣2，），=（，0，），=（0，2，0），设平面BDE的法向量为=（x1，y1，z1），平面CDE的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即，．令x1=1得=（1，﹣，﹣1），令x2=1得=（1，0，﹣1）．∴cos＜＞===．∴二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由2a=4，离心率e==，b=即可求得a和b，即可求得椭圆C的方程；（2）l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得AF和BF的斜率k AF及k BF，即可求得k AF•k BF=﹣1，即可求得∠AFB为定值．【解答】解：（1）2a=4，即a=2，e==，∴c=，b==1，∴椭圆方程为：，（2）证明：当l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，为，当斜率不为0时，设切点为P（x0，y0），则l：，∴A（2，），B（﹣2，），∴k AF•k BF=•==﹣1，∴∠AFB为定值．21．已知函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，求实数k的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x0=，求证：f'（x0）＜0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，利用函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；（2）确定函数f（x）的最大值为f（1）=，x→+∞，f（x）→0，x→﹣∞，x＜0，利用关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，即可求实数k的取值范围；（3）不妨设0＜x1＜1＜x2，先证明f（1+t）＞f（1﹣t），对t∈（0，1）恒成立，再利用x ＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，即可证明结论．【解答】（1）解：由题意，f′（x）=，∵函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x，∴f（0）=b=0，f′（0）=a=1，∴f（x）=；（2）解：由（1）f′（x）=，x＜1，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴函数f（x）的最大值为f（1）=，∵x→+∞，f（x）→0，x→﹣∞，x＜0，关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，∴0＜k＜；（3）证明：不妨设0＜x1＜1＜x2，先证明f（1+t）＞f（1﹣t），对t∈（0，1）恒成立，只要证明（1+t）e﹣（1+t）＞（1﹣t）e﹣（1﹣t），只要证明ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣2t＞0．令g（t）=ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣2t，t∈（0，1）则g′（t）=＞0，∴g（t）在（0，1）上单调递增，∴g（t）＞g（0）=0．∵0＜x1＜1＜x2，∴2﹣x1＞1，∴f（x2）=f（x1）＜f（2﹣x1），∵x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴x2＞2﹣x1，∴x1+x2＞2，∴x0=＞1，∴f'（x0）＜0．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．如图，圆C与圆D半径分别为r1，r2，相交于A，B两点，直线l1过点A，分别交圆C、圆D于点M、N（M、N在A的异侧），直线l2过点B，分别交圆C、圆D于点P，Q（P、Q在B的异侧），且l1平行于l2，点C，D在l1与l2之间．（1）求证：四边形MNQP为平行四边形；（2）若四边形MABP面积与四边形NABQ面积相等，求证：线段AB与线段IJ互相平分．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明两组对边分别平行，即可证明四边形MNQP为平行四边形；（2）证明MB∥AQ，PA∥BN，可得四边形AIBJ为平行四边形，即可证明：线段AB与线段IJ互相平分．【解答】证明：（1）由题意可知四边形MABP，NABQ均为等腰梯形，∴∠PMA=∠ABQ=∠BQN，∴∠PMA+∠ANQ=∠BQN+∠ANQ=180°，∴PM∥QN，又∵MN∥PQ，∴四边形MNQP是平行四边形；（2）∵S MABP=S NABQ，∴PB+MA=BQ+AN，又∵MN=PQ，∴MA=BQ，MA∥BQ，∴四边形MAQB为平行四边形，∴MB∥AQ，同理可得PA∥BN，∴四边形AIBJ为平行四边形，∴线段AB与线段IJ互相平分．23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1．直线l与曲线C相交于点A，B．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴交于点P，求|PB|•|PA|．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1，展开为：ρ（sinθ+cosθ）=1，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程．把直线l的参数方程，代入椭圆方程可得：2t2+6t+3=0，利用|PB|•|PA|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1，展开为：ρ（sinθ+cosθ）=1，可得直角坐标方程：x+y﹣=0．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为： +y2=1．直线l的参数方程为：，（t为参数）代入椭圆方程可得：2t2+6t+3=0，∴t1t2=．∴|PB|•|PA|=|t1t2|=．24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|．（1）若a=2，解不等式：f（x）＜5；（2）若f（x）≥4﹣|a﹣1|对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）若a=2，f（x）=|x﹣2|+|x+1|＜5，分类讨论求得它的解集．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为|a+1|，可得|a+1|≥4﹣|a﹣1|，由此求得a的范围．【解答】解：（1）若a=2，f（x）=|x﹣2|+|x+1|＜5．∴或或，解得x∈（﹣2，3）；（2）∵f（x）≥4﹣|a﹣1|对任意的实数x恒成立，∴f（x）=|x﹣a|+|x+1|≥|x﹣a﹣x﹣1|=|a+1|≥4﹣|a﹣1|∴或或∴a≤﹣2或a≥2∴a∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．2016年10月10日。

2016-2017学年重庆市南开中学高三（上）7月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）2．（5分）（2015•益阳一模）命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0 C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤03．（5分）（2012•福州一模）抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣1 D．y=14．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知正数x，y满足：x+2y=1，则+的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知f（1+）=x+1，则f（2）=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）（2016秋•重庆校级月考）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+g（x）=B．f（x）=g（x）=（）3C．f（x）=•g（x）=D．f（x）=g（x）=x07．（5分）（2016秋•成都校级月考）已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]8．（5分）（2016秋•重庆校级月考）在区间[0，2]内任取两个实数a，b，则方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知正实数x，y满足xy=x+2y+6，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]11．（5分）（2016秋•重庆校级月考）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）12．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=x3﹣3x2+（3﹣3a2）x+b（a≥1，b∈R）．当x∈[0，2]时，记|f（x）|的最大值为|f（x）|max，对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|max≥k恒成立．则实数k的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．14．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=2x+1，若f1（x）=f（x），f n+1（x）=f[f n（x）]，n∈N*．则f5（x）的表达式为32x+31．15．（5分）（2016秋•重庆校级月考）变量x，y满足，若目标函数z=ax﹣y仅在（4，1）点处取得最大值，则实数a的取值范围是（1，+∞）．16．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=x2+k．任取实数a，b，c∈[﹣1，1]，以f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，则实数k的取值范围为（4﹣2，2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=．（1）解关于x的不等式：f（x）＞1；（2）若x∈（1，3），求函数f（x）的值域．18．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=lg（e x+﹣a）（1）若函数f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）值域为R，求实数a的取值范围．19．（12分）（2016秋•重庆校级月考）如图，四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．（1）求证：DE⊥MB；（2）若DC=2，求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．20．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．21．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，求实数k的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x0=，求证：f'（x0）＜0．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）（2016秋•重庆校级月考）如图，圆C与圆D半径分别为r1，r2，相交于A，B两点，直线l1过点A，分别交圆C、圆D于点M、N（M、N在A的异侧），直线l2过点B，分别交圆C、圆D于点P，Q（P、Q在B的异侧），且l1平行于l2，点C，D在l1与l2之间．（1）求证：四边形MNQP为平行四边形；（2）若四边形MABP面积与四边形NABQ面积相等，求证：线段AB与线段IJ互相平分．23．（2016秋•重庆校级月考）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1．直线l与曲线C相交于点A，B．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴交于点P，求|PB|•|PA|．24．（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|．（1）若a=2，解不等式：f（x）＜5；（2）若f（x）≥4﹣|a﹣1|对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年重庆市南开中学高三（上）7月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算，即可得到结论．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}=（﹣∞，0），B={x|y=}=[﹣2，+∞）∴A∩B=[﹣2，0），故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2015•益阳一模）命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0 C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0【分析】命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案．【解答】解：命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是：若x≤0，则x2≤0，故选：C．【点评】本题考查了命题的否命题，要和命题的否定区别开，本题属于基础题．3．（5分）（2012•福州一模）抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣1 D．y=1【分析】利用抛物线的基本性质，能求出抛物线y2=4x的准线方程．【解答】解：∵y2=4x，2p=4，p=2，∴抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1．故选A．【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知正数x，y满足：x+2y=1，则+的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵2x+y=1，x＞0，y＞0，∴+=（+）×（2x+y）=当且仅当x=y=时取等号．∴+的最小值是9故选：D．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．5．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知f（1+）=x+1，则f（2）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．【解答】解：f（1+）=x+1，则f（2）=f（1+）=1+1=2．故选：B．【点评】本题考查函数的解析式的应用，正确利用函数的表达式的意义是解题的关键．6．（5分）（2016秋•重庆校级月考）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+g（x）=B．f（x）=g（x）=（）3C．f（x）=•g（x）=D．f（x）=g（x）=x0【分析】判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数．【解答】解：A中f（x）的定义域是{x|x=1}，g（x）的定义域是{x|x=1}，且对应关系相同，∴是同一函数；B中f（x），h（x）的定义域是R，且对应关系相同，∴是同一函数；C中f（x）的定义域是{x|x≥1}，g（x）的定义域是{x|x≥1，或x≤﹣3}，∴不是同一函数；D中f（x）与g（x）的定义域都是{x|x≠0}，值域都是{1}，对应关系相同，∴是同一函数；故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．7．（5分）（2016秋•成都校级月考）已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可．【解答】解：不等式表示的平面区域为如图所示△ABC，设Q（3，0）平面区域内动点P（x，y），则=kPQ，当P为点A时斜率最大，A（0，0），C（0，2）．当P为点C时斜率最小，所以∈[﹣，0]．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，掌握所求表达式的几何意义是解题的关键．8．（5分）（2016秋•重庆校级月考）在区间[0，2]内任取两个实数a，b，则方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（a，b）对应图形的面积，及满足条件“方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：设f（x）=x2﹣ax+b，∵方程x2﹣ax+b=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2，∴f（1）=1﹣a+b＜0，∵在区间[0，2]内任取两个实数a，b，∴0≤a≤2，0≤b≤2，作出区域，如图所示．正方形的面积为4，阴影部分的面积为=，∴所求的概率为=，故选：C．【点评】本题着重考查了用不等式组表示平面区域和几何概率的求法等知识点，属于中档题．9．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知正实数x，y满足xy=x+2y+6，则+的最小值为（）A．B．C．D．【分析】首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式，转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值，再根据基本不等式即可求出+的最小值．【解答】解：由条件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2+6，令xy=t2，即t=＞0，可得t2﹣2t﹣6≥0．即得到（t﹣3）（t+）≥0，可解得t≤﹣或t≥3．又注意到t＞0，故解为t≥3，∴≥3，∴+≥2=2•=，故选：C．【点评】本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中档题．10．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]【分析】讨论方程类型和方程在（0，3]上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出．【解答】解：当a=0时，方程x+1=0的零点为﹣1，不符合题意，∴a≠0．（1）若方程在（0，3]有一个根，①若3为方程的根，则12a+4=0，解得a=﹣，②若3不是方程的根，则或．解得a=﹣或无解．（2）若方程在（0，3]上有两个根，则，解得：﹣＜x≤﹣，综上，a的范围是[﹣，﹣]．故选B．【点评】本题考查了方程根的个数判断，一元二次方程与二次函数的关系，不等式的解法，属于中档题．11．（5分）（2016秋•重庆校级月考）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【分析】根据定义求出f（x）解析式，画出图象，判断即可．【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．【点评】本题考察了函数的图象，在求解零点问题中的应用．属于中档题．12．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=x3﹣3x2+（3﹣3a2）x+b（a≥1，b∈R）．当x∈[0，2]时，记|f（x）|的最大值为|f（x）|max，对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|max≥k恒成立．则实数k的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求出f（x）的导数，分解因式，可得区间[0，2]为减区间，可得f（x）的最值，由绝对值不等式的性质，结合二次函数的最值求法，可得k的范围，进而得到k的最大值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x2+（3﹣3a2）x+b的导数为f′（x）=3x2﹣6x+3﹣3a2=3（x﹣1+a）（x﹣1﹣a），由a≥1，可得1+a≥2，1﹣a≤0，则区间[0，2]为减区间，可得f（x）的最小值为f（0）=b，最大值为f（2）=b+2﹣6a2，对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|max≥k恒成立，可得k≤|b|，k≤|b+2﹣6a2|，即为2k≤|b|+|b+2﹣6a2|，由|b|+|b+2﹣6a2|≥|b﹣b﹣2+6a2|=|6a2﹣2|≥4，可得2k≤4，即k≤2，则k的最大值为2．故选：B．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性，考查绝对值不等式的性质和化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．【分析】题目给出了函数y=f（x）的定义域，只要让2x在函数f（x）的定义域内，且x≠3，求解x的范围即可．【解答】解：f（x）定义域为[0，8]，∴0≤2x≤8，即0≤x≤4，∴f（2x）的定义域为[0，4]，∴g（x）=，∴3﹣x≠0，解得x≠3，故函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4]，故答案为：[0，3）∪（3，4]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，只要用g（x）∈[a，b]，求解x的范围即可，此题是基础题．14．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=2x+1，若f1（x）=f（x），f n+1（x）=f[f n（x）]，n∈N*．则f5（x）的表达式为32x+31．【分析】由条件利用用代入法求得函数的解析式．【解答】解：由题意可得f1（x）=f（x）=2x+1，f2（x）=f[f1（x）]=2（2x+1）+1=4x+3，f3（x）=f[f2（x）]=2（4x+3）+1=8x+7，f4（x）=f[f3（x）]=2（8x+7）+1=16x+15，f5（x）=f[f4（x）]=2（16x+15）+1=32x+31，故答案为：32x+31．【点评】本题主要考查用代入法求函数的解析式，体现了整体代换的数学思想，属于基础题．15．（5分）（2016秋•重庆校级月考）变量x，y满足，若目标函数z=ax﹣y仅在（4，1）点处取得最大值，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【分析】画出满足条件的平面区域，平移关于目标函数的直线，结合图象求出a的范围即可．【解答】解：画出满足线性约束条件的平面区域，如图示：，由目标函数z=ax﹣y得：y=ax﹣z，而直线x﹣y﹣3=0的斜率是1，2x+y﹣9=0的斜率是﹣2，若直线仅在（4，1）处取得最大值，只需a＞1，则实数a的取值范围是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．16．（5分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=x2+k．任取实数a，b，c∈[﹣1，1]，以f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，则实数k的取值范围为（4﹣2，2）．【分析】利用换元法求出f（x）的最值，令2f min（x）＞f max（x）解出a的范围．【解答】解：设f（x）的最小值为m，f（x）的最大值为M，∵取实数a，b，c∈[﹣1，1]，以f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，∴2m＞M．令=t，则0≤t≤1，x2=1﹣t2．∴x2+k=﹣t2+kt+1，令g（t）=﹣t2+kt+1=﹣（t﹣）2++1，（1）若≤0即k≤0，则g（t）在[0，1]上单调递减，∴m=g（1）=k，M=g（0）=1，∴2k＞1，解得k，舍去．（2）若即k≥2，则g（t）在[0，1]上单调递增，∴m=g（0）=1，M=g（1）=k，∴2＞k，即k＜2，舍去．（3）若0＜，即0＜k≤1，则g（t）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，∴m=g（1）=k，M=g（）=，∴2k＞，解得4﹣2＜k＜4+2．∴4﹣2＜k≤1．（4）若＜1即1＜k＜2，则g（t）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，∴m=g（0）=1，M=g（）=．∴2＞，解得﹣2＜k＜2，∴1＜k＜2．综上，k的取值范围是（4﹣2，2）．故答案为（4﹣2，2）．【点评】本题考查了函数最值的求法，二次函数的性质，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=．（1）解关于x的不等式：f（x）＞1；（2）若x∈（1，3），求函数f（x）的值域．【分析】（1）问题转化为（x2﹣3x+2）（x+1）＞0，解出即可；（2）设x+1=t∈（2，4），换元得到=t+﹣4，求出其范围即可．【解答】解：（1）∵＞1，∴＞0，即（x2﹣3x+2）（x+1）＞0，解得：﹣1＜x＜1或x＞2；（2）∵x∈（1，3），∴设x+1=t∈（2，4），则x=t﹣1，===t+﹣4∈[2﹣4，）．【点评】本题考查了解不等式问题，考查换元思想，是一道中档题．18．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=lg（e x+﹣a）（1）若函数f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）值域为R，求实数a的取值范围．【分析】（1）由e x+﹣a＞0，可得a＜e x+，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围；（2）函数f（x）值域为R，则e x+﹣a能取遍一切正实数，可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由e x+﹣a＞0，可得a＜e x+，∵x∈R，∴e x+≥2，∴a＜2；（2）函数f（x）值域为R，则e x+﹣a能取遍一切正实数，∴2﹣a≤0，∴a≥2．【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，函数的值域的意义和应用，均值定理在求函数最值中的应用，属中档题．19．（12分）（2016秋•重庆校级月考）如图，四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．（1）求证：DE⊥MB；（2）若DC=2，求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【分析】（1）以D为原点距离坐标系，求出，的坐标，可通过计算=0得出DE⊥BM；（2）分别求出两平面的法向量，计算法向量夹角，即可得出二面角的大小．【解答】证明：（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DM为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：设DC=a，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，a，0），M（0，0，1），E（，0，），∴=（，0，），=（﹣1，﹣a，1）．∴=+0×（﹣a）+=0，∴DE⊥BM．（2）当DC=2时，=（﹣，﹣2，），=（，0，），=（0，2，0），设平面BDE的法向量为=（x1，y1，z1），平面CDE的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即，．令x1=1得=（1，﹣，﹣1），令x2=1得=（1，0，﹣1）．∴cos＜＞===．∴二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了二面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．20．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．【分析】（1）由2a=4，离心率e==，b=即可求得a和b，即可求得椭圆C的方程；（2）l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得AF和BF的斜率k AF及k BF，即可求得k AF•k BF=﹣1，即可求得∠AFB为定值．【解答】解：（1）2a=4，即a=2，e==，∴c=，b==1，∴椭圆方程为：，（2）证明：当l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，为，当斜率不为0时，设切点为P（x0，y0），则l：，∴A（2，），B（﹣2，），∴k AF•k BF=•==﹣1，∴∠AFB为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，求实数k的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x0=，求证：f'（x0）＜0．【分析】（1）求导数，利用函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；（2）确定函数f（x）的最大值为f（1）=，x→+∞，f（x）→0，x→﹣∞，x＜0，利用关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，即可求实数k的取值范围；（3）不妨设0＜x1＜1＜x2，先证明f（1+t）＞f（1﹣t），对t∈（0，1）恒成立，再利用x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，即可证明结论．【解答】（1）解：由题意，f′（x）=，∵函数f（x）=+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x，∴f（0）=b=0，f′（0）=a=1，∴f（x）=；（2）解：由（1）f′（x）=，x＜1，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴函数f（x）的最大值为f（1）=，∵x→+∞，f（x）→0，x→﹣∞，x＜0，关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x1，x2，∴0＜k＜；（3）证明：不妨设0＜x1＜1＜x2，先证明f（1+t）＞f（1﹣t），对t∈（0，1）恒成立，只要证明（1+t）e﹣（1+t）＞（1﹣t）e﹣（1﹣t），只要证明ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣2t＞0．令g（t）=ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣2t，t∈（0，1）则g′（t）=＞0，∴g（t）在（0，1）上单调递增，∴g（t）＞g（0）=0．∵0＜x1＜1＜x2，∴2﹣x1＞1，∴f（x2）=f（x1）＜f（2﹣x1），∵x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴x2＞2﹣x1，∴x1+x2＞2，∴x0=＞1，∴f'（x0）＜0．【点评】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）（2016秋•重庆校级月考）如图，圆C与圆D半径分别为r1，r2，相交于A，B两点，直线l1过点A，分别交圆C、圆D于点M、N（M、N在A的异侧），直线l2过点B，分别交圆C、圆D于点P，Q（P、Q在B的异侧），且l1平行于l2，点C，D在l1与l2之间．（1）求证：四边形MNQP为平行四边形；（2）若四边形MABP面积与四边形NABQ面积相等，求证：线段AB与线段IJ互相平分．【分析】（1）证明两组对边分别平行，即可证明四边形MNQP为平行四边形；（2）证明MB∥AQ，PA∥BN，可得四边形AIBJ为平行四边形，即可证明：线段AB与线段IJ互相平分．【解答】证明：（1）由题意可知四边形MABP，NABQ均为等腰梯形，∴∠PMA=∠ABQ=∠BQN，∴∠PMA+∠ANQ=∠BQN+∠ANQ=180°，∴PM∥QN，又∵MN∥PQ，∴四边形MNQP是平行四边形；（2）∵S MABP=S NABQ，∴PB+MA=BQ+AN，又∵MN=PQ，∴MA=BQ，MA∥BQ，∴四边形MAQB为平行四边形，∴MB∥AQ，同理可得PA∥BN，∴四边形AIBJ为平行四边形，∴线段AB与线段IJ互相平分．【点评】本题考查平行四边形的证明，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．23．（2016秋•重庆校级月考）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1．直线l与曲线C相交于点A，B．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴交于点P，求|PB|•|PA|．【分析】（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1，展开为：ρ（sinθ+cosθ）=1，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程．把直线l 的参数方程，代入椭圆方程可得：2t2+6t+3=0，利用|PB|•|PA|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=1，展开为：ρ（sinθ+cosθ）=1，可得直角坐标方程：x+y﹣=0．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为：+y2=1．直线l的参数方程为：，（t为参数）代入椭圆方程可得：2t2+6t+3=0，∴t1t2=．∴|PB|•|PA|=|t1t2|=．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2016秋•重庆校级月考）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|．（1）若a=2，解不等式：f（x）＜5；（2）若f（x）≥4﹣|a﹣1|对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）若a=2，f（x）=|x﹣2|+|x+1|＜5，分类讨论求得它的解集．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为|a+1|，可得|a+1|≥4﹣|a﹣1|，由此求得a的范围．【解答】解：（1）若a=2，f（x）=|x﹣2|+|x+1|＜5．∴或或，解得x∈（﹣2，3）；（2）∵f（x）≥4﹣|a﹣1|对任意的实数x恒成立，∴f（x）=|x﹣a|+|x+1|≥|x﹣a﹣x﹣1|=|a+1|≥4﹣|a﹣1|∴或或∴a≤﹣2或a≥2∴a∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．。