第2章 能量原理和变分法2

1 M e 2
Ml M Me , EI z
土木工程与力学学院 · 罗文波
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弹塑性力学
组合变形情况下杆件的变形能： 在所截取的微段内，可 以认为内力为常量。轴 力、剪力、弯矩、扭矩 对微段来说是处于外力 位置。所以
d U dW
整个杆的变形能
1 1 1 1 FN d( l ) M d T d kFQ d 2 2 2 2 2 2 FN d x M 2 d x T 2 d x kFQ d x 2 EA 2 EI z 2GI p 2GA
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弹塑性力学
变形能的计算：
F1、F2 Fn 如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶）， 1、 2 n ，那么 产生相应的广义位移（包括角位移）
非线性弹性体的变形能：
U W 0 Fi d i
i 1 n i
线性弹性体的变形能：
1 1 1 U W F1 1 F2 2 Fn n 2 2 2
弹塑性力学
能量原理与变分法
土木工程与力学学院 · 罗文波
弹塑性力学
§12-1 外力功 变形能
外力功：弹性体在外力作用下发生变形，于是外力的作用 点将沿外力的作用方向产生位移（相应位移）。外力在相 应位移上所作的功称为外力功。 变形能：在外力作功的同时，弹性体因变形而具有了作功 的能力，即弹性体因变形而储存了能量。这种能量称为变 形能。 外力功和变形能的关系：若外力从零平缓地增加到最终值， 则变形中的弹性体每一瞬时都处于平衡状态，故其动能和 其它能量损失不计，于是认为全部外力共都转变成变形能。 即： W U 能量法：利用外力功和变形能的概念，建立分析变形、位 移、内力的原理和方法，称为能量法。

n
Z
wd
d(l )
1 M d
2
1T d
2
1 2
kFQ
d
FN2 d x M 2 d x T 2 d x kFQ2 d x
整个杆的变形能 2EA 2EIz 2GI p 2GA
U
l
FN2 d x 2EA
l
M2 d x 2 EI z
T2d
l 2GI
x
p
l
kFQ2 d 2GA
x
注意：对以抗弯为主的杆件及杆系，因轴力和剪力远小于
e
T
Me
,
Tl GI p
W
1 2
Me
M
Me
,
Ml EI z
变形能
U FN2 l 2EA
U FQ2l 2GA
U T 2l 2GI p
U M 2l 2 EI z
组合变形情况下杆件的变形能：
在所截取的微段内，可
以认为内力为常量。轴
力、剪力、弯矩、扭矩
对微段来说是处于外力
位置。所以
dU
dW
1 2 FN
弯矩对变形的影响，所以在计算这类杆件的变形时
通常不计轴力和剪力的影响。
思考：变形能的计算能不能用叠加原理
M M1 M2
U ? U1 U2
M1
U1
M
2 1
dx
2EI
M2
U2
M 22dx 2EI
能量原理与变分法
静力平衡
材料质点（微单元体） 变形几何 物理关系
偏微分方程
整个变形体的能量
求：各杆的变形能。
(c)
(a)
(b)
Ua Ub Uc ?

U Xu Yv Zw ds Xu Yv Zw dV ]
S V


于是
进一步证明可知， 2P 2U 2W 0
对于稳定平衡状态，总势能为极小值。
P 0
第四章 能量原理及其变分法
于是得出最小势能原理：
第四章 能量原理及其变分法
在整个变形体内，各微元体满足
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
y dy __ Y
xy
xy dy y 2
x
在变形体边界处，各微元体满足
xl xy m X 0 xy l y m Y 0
o
x dx y dy ds __ x 2 dx X y y 2 xy dx xy x 2 yx y dy dy yx y dy y y x x dx x Y x xy X
xy yx
xy
dx
§ 4-3 最小势能原理
按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变
能的变分δ U，应等于外力的总虚功δ W，即 U W 其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移 上所做的功，即 W X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV
X u Y v ds X u Y v dV
x
x
y y xy xy dV
S
V
V
第四章 能量原理及其变分法
所以
x xy xy y X u Y v dV x y y x V

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对非线性问题处理困难 对于非线性问题，变分法往往难以找到合适的变分形式来 逼近真实解，这使得变分法在处理非线性问题时具有一定 的局限性。
变分法的未来发展
结合其他方法
为了克服变分法的局限性，未来研究可以将变分法与其他方法（如有限元方法、有限差分 方法等）相结合，形成一种混合方法，以提高算法的稳定性和精度。
变分法求基态能量的 步骤课 件
目录
CONTENTS
• 变分法的基本概念
01
引言
变分法的定义
定义
变分法是数学的一个分支，主要研究泛函的极值问题，即寻找函数集合中使特 定泛函取得极值的函数。在量子力学中，变分法用于求解粒子在给定势能下的 基态能量。
公式表示
假设粒子在势能函数V(x)下运动，基态能量E0可以通过变分法求解的公式为： E0 = ∫ (dV/dx²) dx。
氢原子的基态能量求解
氢原子是原子物理中的基本模型，其基态能量的求解可以 通过变分法实现。
首先，我们需要确定氢原子的运动方程，即薛定谔方程。 然后，我们构造一个变分函数来近似描述氢原子的波函数。 接下来，将变分函数代入薛定谔方程，并求解得到基态能 量。最后，我们需要验证求解结果的正确性。
谐振子的基态能量求解
泛函的极值与变分法
泛函的极 值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的
应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
基态能量的物理意义
描述系统的基本性质和行为，是研究系统稳定性和相变等问题的关 键参数。