银川一中2012届高三年级第二次月考数学试题(理) 推荐

第5题图银川一中2012届高三年级第二次月考数 学 试 题（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数z 满足2i z i ⋅=-，则=z （ ） A ．2i B ．2- C ．12i + D ．12i - 2．设M {}2|0x x x =-≤，函数()ln(1)f x x =-的定义域为N ，则M N I = （ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．[]0,1D ．(]1,0- 3．设命题p 和q ，在下列结论中，正确的是（ ） ①""p q ∧为真是""p q ∨为真的充分不必要条件； ②""p q ∧为假是""p q ∨为真的充分不必要条件； ③""p q ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件；④""p ⌝为真是""p q ∧为假的必要不充分条件． A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④4．如右图所示的程序框图的输出值(1,2]y ∈， 则输入值x ∈ （ ）A ．2(log 3,1][1,3)--⋃B ．3(1,log 2][1,2)--⋃C ．3[1,log 2)(1,2]--⋃D ．2[log 3,1)(1,3]--⋃5．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,)(x f 表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形（阴影部分）面积的２倍，则函数)(x f y =的图象是 （ ）输出y是开始 结束)1(log 2+=x y12-=-x y?0≥x输入x否6．若△ABC 的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += （ ）A ．3-B ．3 C ．53-D ．537．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象在y 轴右侧的第一个最高点为(2,2),M 与x 轴在原点右侧的第一个交点为(5,0),N 则函数()f x 的解析式为（ ）A ．2sin()66x ππ+ B ．2sin()36x ππ-C ．2sin()66x ππ- D ．2sin()36x ππ+ 8．下列命题错误的是（ ）A ．若sin 2()(),24x xf x x =+∈R 则0'()1f x ≤≤；B ．点3π(,0)8为函数π()2sin(2)4f x x =+的图象的一个对称中心；C ．已知向量a r 与向量b r 的夹角为120°，若||1,||2a b ==r r，则b r 在a r 上的投影为1；D ．“sin sin αβ=”的充要条件是“(21)k αβπ+=+，或2k αβπ-=（k Z ∈）”．9．已知x 1是方程2010lg =x x 的根，x 2是方程201010=⋅x x 的根，则x 1·x 2= （ ）A ．2008B ．2009C ．2010D ．201110．定义在R 上的函数)(x f y =，在(,)a -∞上是增函数，且函数)(a x f y +=是偶函数，当a x a x ><21,，且a x a x -<-21时，有（ ）A ．12()()f x f x >B ．12()()f x f x ≥C ．12()()f x f x <D ．12()()f x f x ≤11．设π()sin cos tan ,(0,)2f x x x x x =+-∈，若()0f α=，则 （ ）A ．π(0,)6α∈B ．ππ(,)64α∈C ．ππ(,)43α∈D ．ππ(,)42α∈12．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =．在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为1[0,]2；②函数()y f x =的图像关于直线()2kx k =∈Z 对称； ③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1； ④函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．其中正确的命题的序号是（ ） A ．① B ．②③ C ．①④ D ．①②③第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第 22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．由曲线21y x =-，直线2x =和x 轴所围成的图形的面积是 ．14．设向量(sin (1,cos )a x b x ==-r r ，若a b ⊥r r ，(0,)2x π∈，则x = ．15．有以下四个命题： ①ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ②若命题:,sin 1p x x ∀∈≤R ，则:,sin 1p x x ⌝∃∈<R ； ③不等式210xx >在()0,+∞上恒成立；④设有四个函数11232,,,y x y x y x y x -====其中在()0,+∞上是增函数的函数有3个．其中真命题的序号 ．16．设函数()xxf x e e-=+，若曲线()y f x =上在点00(,())P x f x 处的切线斜率为32，则0x = ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （1）求()f x 的定义域；（2）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值． 18．（本小题满分12分）已知函数21()2cos ,()2f x x x x =--∈R（1）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值和最大值；（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c，且()0c f C ==，若向量(1,sin )m A =u r与向量(2,sin )n B =r共线，求,a b 的值．19．（本小题满分12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格 品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂 方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？20．（本小题满分12分） 已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12． （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在整数,m 使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分） 设3x =是函数23()()()xf x x ax b ex R -=++∈的一个极值点．（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（2）设0a >，225()()4xg x a e =+．若存在12,[0,4]x x ∈使得12|()()|1f x g x -<成立，求a 的取值范围．四、选考题（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑） 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于D ，DE AC ⊥交AC 延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若35AC AB =，求AFDF的值．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=)0(>a ，已知过点(2,4)P --的直线L的参数方程为：2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，直线L 与曲线C 分别交于,M N ． （1）写出曲线C 和直线L 的普通方程；（2）若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式6)(≤x f 的解集；（2）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：B A二、填空题： 13．83； 14．π3； 15．①③④； 16．ln 2． 三、解答题： 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，有cos x ≠0，解得x ≠k π＋π2， 即()f x 的定义域为｛x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ｝---------4分 （Ⅱ）π1)4()cos x f xx-=＝－2sin x ＋2cos x----------7分 ∴()f α＝－2sin α＋2cosα 由α是第四象限的角，且4tan 3α=-可得sin α＝－45，cos α＝35-----------10分∴()f α＝－2sin α＋2cos α＝145-------------12分 18．（本小题满分12分）解:（I ）π()sin(2)16f x x =-- …………3分π5π1212x -≤≤Q ππ2π2363x ∴-≤-≤ ∴πsin(2)126x -≤-≤⇒ π1sin(2)1026x --≤--≤ 则()f x 的最小值是12--,最大值是0． ……………………6分 （II ）π()sin(2)102f c C =--=,则πsin(2)16C -=,0,022C C ππ<<∴<<Q ,ππ11π2666C ∴-<-<,26C π∴-=2π,3C π=, …………………………………………8分 Q 向量(1,sin )m A =u r 与向量(2,sin )n B =r共线∴1sin 2sin A B =， ………………………………………………10分由正弦定理得，12a b = ① 由余弦定理得，222π2cos3c a b ab =+-，即223a b ab +-= ② 由①②解得1,2a b ==． ……………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当x c >时，23P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅=------------------------2分当1x c ≤≤时，16P x=-， 21192(1)2()1666x x T x x x x x-∴=-⋅⋅-⋅⋅=---综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩-------------------------------------6分 （Ⅱ）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0 当1x c ≤≤时，2926x x T x -=-9152[(6)]6x x=--+-15123≤-=当且仅当3x =时取等号------------------8分 所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x =()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，2max 926c c T c-∴=-，此时x c =--------------------10分综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润--------------------------12分20．（本小题满分12分）解：（I ）Q ()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),∴可设()(5)(0).f x ax x a =->--------------------------------2分()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知，得612,a =22,()2(5)210().a f x x x x x x R ∴=∴=-=-∈-----------------------------4分（II ）方程37()0f x x+=等价于方程32210370.x x -+= 设32()21037,h x x x =-+则2'()6202(310).h x x x x x =-=-当10(0,)3x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当10(,)3x ∈+∞时，'()0,()h x h x >是增函数．------------------------8分101(3)10,()0,(4)50,327h h h =>=-<=>Q∴方程()0h x =在区间1010(3,),(,4)33内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)+∞内没有实数根．---------------------------------------------------------------10分 所以存在惟一的自然数3,m =使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根．-------------------------------------------------------12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f `（x ）＝－[x 2＋（a －2）x ＋b －a ]e 3－x ,由f `（3）=0，得 －[32＋（a －2）3＋b －a ]e 3－3＝0，即得b ＝－3－2a ，---------------2分 则 f `（x ）＝[x 2＋（a －2）x －3－2a －a ]e 3－x＝－[x 2＋（a －2）x －3－3a ]e 3－x ＝－（x －3）（x ＋a+1）e 3－x ． 令f `（x ）＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以21x x ≠，那么a ≠－4． 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则在区间（－∞，3）上，f `（x ）<0， f （x ）为减函数； 在区间（3，―a ―1）上，f `（x ）>0，f （x ）为增函数；在区间（―a ―1，＋∞）上，f `（x ）<0，f （x ）为减函数．-----------------------4分 当a >－4时，x 2<3＝x 1，则在区间（－∞，―a ―1）上，f `（x ）<0，f （x ）为减函数； 在区间（―a ―1，3）上，f `（x ）>0，f （x ）为增函数；在区间（3，＋∞）上，f `（x ）<0，f （x ）为减函数．-------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f （x ）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f （x ）在区间[0，4]上的值域是[min{f （0），f （4） }，f （3）]， 而f （0）＝－（2a ＋3）e 3<0，f （4）＝（2a ＋13）e －1>0，f （3）＝a ＋6， 那么f （x ）在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]．--------------------8分 又225()()4xg x a e =+在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋425，（a 2＋425）e 4]，-----------------10分 由于（a 2＋425）－（a ＋6）＝a 2－a ＋41＝（21-a ）2≥0，所以只须仅须（a 2＋425）－（a ＋6）<1且a >0，解得0<a <23．故a 的取值范围是（0，23）．-----------------------------------------------12分 \四、选考题： 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲证明：（Ⅰ）连接OD ，可得ODA OAD DAC ∠=∠=∠OD ∥AE ----------------------------------------3分又AE DE OD DE ⊥⇒⊥∴DE 是⊙O 的切线．----------------- ------------5分 （Ⅱ）过D 作DH AB ⊥于H ，则有DOH CAB ∠=∠3cos cos 5AC DOH CAB AB ∴∠=∠==．------------------6分 设5OD x =，则10,3,4AB x OH x DH x ===228,80AH x AD x ∴==--------------------------8分由ADE ∆∽ADB ∆可得210AD AE AB AE x =⋅=⋅8AE x ∴=又AEF ∆∽ODF ∆，58AF AE DF DO ==--------------10分 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：⑴2,22-==x y ax y -----------------------------------5分B A（2）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222（t 为参数）,代入ax y 22=得到0)4(8)4(222=+++-a t a t ,则有)4(8),4(222121a t t a t t +=⋅+=+----------------8分因为2||||,||MN PM PN =,所以21212212214)()(t t t t t t t t ⋅=⋅-+=- 解得 1=a ---------------------------------------------------10分 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩----------3分 解，得3131212222x x x <≤-≤≤-≤<-或或 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x -------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）|21||23||(21)(23)|4x x x x ++-≥+--=Q -------------------------------8分 |1|4a ∴-> 3,5a or a ∴<-> -----------------------------------------------10分。