高中数学论文集：与抛物线焦点弦有关的几个结论

抛物线过焦点的弦的八个结论关于抛物线过焦点的弦，基本上我们可以得出八个结论。

首先，任何抛物线都可以用焦点和直线来描述，而这些直线就是抛物线的弦。

这些弦是由焦点和抛物线的两个端点组成的，它们可以帮助我们确定抛物线的方向和形状。

其次，这些弦经常穿过抛物线上的焦点。

它们是从抛物线的端点到焦点的一条直线，这条直线是抛物线的一部分。

这通常被称为“焦点弦”，它可以帮助我们更好地理解抛物线的形状，特别是当它穿过焦点时。

第三，这些弦有时也会穿过抛物线上的端点。

这可以帮助我们更好地理解抛物线的形状，特别是当抛物线的两个端点在同一条直线上时。

第四，这些弦可以帮助我们确定抛物线的方向和形状。

例如，如果抛物线的弦是从左到右的，那么它的焦点就会位于右侧，这意味着抛物线会向右延伸。

第五，抛物线的弦可以用来求出抛物线的长度。

这是因为弦的长度就是两个端点之间的距离，而抛物线的长度就是两个端点之间的距离。

第六，抛物线的弦可以帮助我们求出抛物线的面积。

这是因为抛物线的面积是由两个端点之间的弦组成的，而弦的面积就是这些端点之间的距离。

第七，抛物线的弦可以用来求出抛物线的切线。

这是因为弦的切线也是由两个端点之间的距离组成的，而抛物线的切线也是由两个端点之间的距离组成的。

最后，抛物线的弦还可以用来计算抛物线的曲率。

这是因为抛物线的曲率是由两个端点之间的弦组成的，而弦的曲率也是由两个端点之间的距离组成的。

总的来说，焦点弦对于理解抛物线的形状和方向至关重要，它们还可以帮助我们求出抛物线的长度、面积、切线和曲率。

因此，了解抛物线的弦可以帮助我们更好地理解抛物线的特性，从而帮助我们更好地求解抛物线的问题。

抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

证明：因为焦点坐标为F(2p,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2p y k x =-，由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-，2242121222244y y p p x x p p p =⋅==。

当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2p x =，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =-，同上也有：2124p x x =。

例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =。

则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2p y k x =- 由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k+=，212y y p =-，∴12AB y -==222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα++===。

1 / 3抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ， 求证：11AF BF+为定值。

结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin PAB α=（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。

AB 倾斜角为3π或。

结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN与直线AB 相切。

2 /3 3802613113.doc结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。

反之也成立。

结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩，，设抛物线22x py =上动点P 坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，显然222OPpt k t pt==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率．例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB长为P 的值．解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，，，， 则112A OA t k ==，12B OA OBt k k ==-=-． A B ，的坐标分别为2p p ⎛ ⎝，=2p =． 1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点， 若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11pq+= 故114a pq+=】2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线 于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴． 证明直线AC 经过原点O ．【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+， 代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，， 则212y y p =-．BC x ∵∥轴，且点C在准线12CO p k y =；又由2112y px =，得1112AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】3/33.已知抛物线的焦点是(11)F，，准线方程是20x y++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设()P x y，是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得．整理，得222880x y xy x y+---=，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F，且与准线20x y++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x=．设对称轴与准线的交点为M，可求得(11)M--，，于是线段MF的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】1.抛物线的顶点坐标是(10)A，，准线l的方程是220x y--=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y+-=设对称轴和准线的交点是M，可以求得6255M⎛⎫-⎪⎝⎭，．设焦点为F，则FM的中点是A，故得焦点坐标为4255F⎛⎫⎪⎝⎭，．再设()P x y，是抛物线上的任一点，根据22444120x y xy x y++--=，即为所求抛物线的方程．例2已知A B，为抛物线24x y=上两点，且OA OB⊥，求线段AB中点的轨迹方程．。

2021341抛物线中两条垂直的焦点弦的几个优美结论南京市栖霞中学(210046)刘建国摘要关于圆锥曲线焦点弦问题,很多文献做了深入的研究,本文主要研究抛物线中两条垂直的焦点弦相关问题,主要涉及有关定值、定点、最值的研究,得出一系列结论,并对结论进行证明.关键词抛物线;焦点弦;定值;定点;最值近期,笔者整理有关圆锥曲线焦点弦的问题时,拜读文[1]后通过类比联想,将椭圆的有关两条垂直焦点弦的问题推广到抛物线中,得出了一系列结论,并对其进行整理.结论1已知AB 、CD 是抛物线E :y 2=2px (p >0)中经过焦点F 的两条相互垂直的弦,抛物线在A,B 两点处的切线交于点Q ,则直线CD 必过Q 点.图1证明如图1所示:设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)(其中y 1<0,y 2>0),则A,B 两点的坐标满足x 1=y 212p1⃝x 2=y 222p ,设直线AB 的方程为:y =k (x −p 2),则直线CD 的方程为:y =−1k (x −p2);在x 轴上方所对应的抛物线方程为:y =√2px ,则y ′=√2p 2√x =√p 2x =p y ;在x 轴下方所对应的抛物线方程为:y =−√2px ,则y ′=−√2p 2√x=−√p 2x =p y ,则在A 点的切线方程为:l A :y −y 1=py 1(x −x 1),将1⃝代入化简可得:l A :y =p y 1x +y 12,同理可得:B 处的切线方程为:l B :y =p y 2x +y 22,将l A 、l B 联立的:y =p y 1x +y 12,y =p y 2x +y 22,解得:x =y 1y 22p ,y =y 1+y 22,即Q (y 1y 22p ,y 1+y 22).将直线AB 与抛物线E 联立得:y =k (x −p 2),y 2=2px,整理得:k 2x 2−(pk 2+2p )x +p 2k 24=0,根据韦达定理可知:x 1+x 2=p +2p k 2,x 1x 2=p 242⃝y 1y 2=k 2(x 1−p 2)(x 2−p 2)=−p 2,y 1+y 2=2pk3⃝将3⃝代入Q 点坐标得Q (−p 2,pk),则点Q 满足直线CD 的方程,所以直线CD 必过Q 点.结论2已知AB 、CD 是抛物线E :y 2=2px (p >0)中经过焦点F 的两条相互垂直的弦,抛物线在A,B 两点处的切线交于点Q ,令s =1|QC |,t =1|QD |,u =1|QF |,则s +t =2u .图2证明如图2所示,设直线CD 的方程为:y =−1k (x −p 2),C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2),由结论1可知:Q (−p 2,p k ),且C,D,Q 三点共线,所以:|QF |−|QC |=|CF |,|QD |−|QF |=|DF |,则:s −u =1|QC |−1|QF |=|QF |−|QC ||QC |·|QF |=|CF ||QC |·|QF |=x 1+p 2|QF |·√(x 1+p 2)2+(y 1−p k)24⃝H ′(x )>0.所以,H (x )与h (x )均在(0,2−√2)单调递减,在(2−√2,1)单调递增.从而,当x =2−√2时,h (x )取得最小值2√4−2√2,h (x )<h (0)=h (1)=√2+1.又由探究四可知,i (x )=2f (x ).所以,当x ∈(0,2−√2)时,i ′(x )<0;当x ∈(2−√2,1)时,i ′(x )>0.故,i (x )在(0,2−√2)单调递减,在(2−√2,1)单调递增.从而,当x =2−√2时,i (x )取得最小值2√2−2.i (x )<i (0)=i (1)=1.所以,∆CP Q 的周长的取值范围是[2√4−2√2+2√2−2,√2+2).一点感悟这一试题本是高中数学内容“三角恒等变换”下的一道复习参考题.在探究中却发现,它与平面向量、解三角形、平面几何、解析几何、函数与导数等内容都有联系.内涵之丰富实属预料之外.这给我们的高考复习提供了一种借鉴,即应当对教材习题做深入研究,探索其隐藏的问题、与其他内容之间的联系及蕴含的解题思想方法,让复习更为高效.4220213同理可得:u−t=1|QF|−1|QD|=|QD|−|QF||QD|·|QF|=|DF||QD|·|QF|=x2+p2|QF|·√(x2+p2)2+(y2−pk)25⃝因为C,D满足直线CD的方程,所以:y1=−1k(x1−p2),且y2=−1k(x2−p2),将y1、y2代入4⃝5⃝可得:s−u=x1+p 2|QF|·√(1+1k2)(x1+p2)2=1|QF|√1+1k2,u−t= x2+p2|QF|·√(1+1k2)(x2+p2)2=1|QF|√1+1k2,所以s−u=u−t,即s+t=2u.结论3已知AB、CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中经过焦点F的两条相互垂直的弦,则1|AB|+1|CD|=12p(即1|AB|+1|CD|为定值).证明如图3,设A(x1,y1)、B(x2,y2)(其中y1<0,y2> 0),直线AB的方程为:y=k(x−p2),因为AB⊥CD,则直线CD的方程为:y=−1 k (x−p2),所以|AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2=图3√1+k2√(x1+x1)2−4x1x2,将2⃝代入得:|AB|=2p(1+k 2)k2,同理,|CD|=2p(1+k2)6⃝由6⃝可知:1|AB|+1|CD|=1+k22p(1+k2)=12p,即1|AB|+1|CD|为定值.结论4已知AB、CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦,M、N分别是AB、CD的中点,则直线MN恒过定点(32p,0).证明如图4,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直线AB的方程为:y=k(x−p2),则直线CD的方程为:y=−1k(x−p2),由中点坐标公式得:M (x1+x22,y1+y22)、N(x3+x42,y3+y42),由结论1的证明中2⃝式和3⃝式可知:M (p2+pk2,pk),将直线CD与抛物线E联立得:y=−1k(x−p2),y2=2px,整理得:x2−(p+2pk2)x+p24=0.根据韦达定理可得:x3+x4=p+2pk2,所以y3+y4=−1k(x3+x4−p)=−2pk,所以N(p2+pk2,−pk),当直线MN的斜率不存在时,满足:p2+pk2=p2+pk2,所以k=±1,直此时直线MN的图4方程为:x=32p,直线MN过定点(32p,0);当直线MN的斜率存在时,即:k=±1,由M,N两点的坐标可知直线MN的方程为:y+pk=pk+kppk2−pk2(x−p2−pk2),化简得:(1k−k)y=x−32p,即直线MN过定点(32p,0).综上所述:直线MN恒过定点(32p,0).结论5已知AB、CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦,|AB|+|CD|存在最小值,且最小值为8p.证明由结论3的证明中6⃝式可知:|AB|+|CD|=2p(1+k2)k2+2p(1+k2)=4p+2p(k2+1k2) 4p+2p×2√k2×1k2=8p(当且仅当k=±1时等式成立),所以|AB|+|CD|的最小值为8p.结论6已知AB、CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦,则四边形ACBD的面积的最小值为8p2.图5证明如图5,因为AB⊥CD,由结论3的证明中6⃝式可知四边形ACBD的面积为:S四边形ABCD=12|AB|×|CD|=2p(1+k2)k2×2p(1+k2)=2p(1+k2)k2×2p(1+k2)=2p(1+k2)k2×2p(1+k2)=2p2(1+k2+1+1k2) 2p2(2+2√k2×1k2)=8p2,(当且仅当k=±1时等式成立),所以四边形ACBD的面积的最小值为8p2.参考文献[1]邹玲平,陈静.椭圆中过焦点的两条垂直弦的几个优美性质[J].中学数学研究(江西),2018(11):31-33.。