证明抛物线焦点弦的18个结论

证明抛物线焦点弦的18个结论重庆市开县临江中学张帮军2011.08/复习备考【内容摘要】关于抛物线的焦点弦到底有哪些结论呢？总结一下有四大类共18个结论，第一类是常见的基本结论；第二类是与圆有关的结论；第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

【关键词】证明抛物线焦点弦现在通过下面的例题来证明这些结论。

例：过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的一条直线AB 和此抛物线相交于A ，B 两点（α是直线AB 的倾斜角），准线l 的方程：x =-p 2，设点A （x 1,y 1），B（x 2,y 2），则有关抛物线的焦点弦有以下八个基本结论：（1）x 1x 2=p 24；（2）y 1y 2=-p 2；（3）|AF |=x 1+p 2；|BF |=x 2+p2（4）|AB |=x 1+x 2+p ；（5）|AB |=2p sin α；（6）|AF||BF|=p 2sin 2α；（7）;1|AF |+1|BF |=2p（8）S △AOB =p22sin α证明：如图若α≠π2，则k =tan α因为点F(p 2,0)，所以设直线AB 的方程为y =k (x -p 2)由y =k (x -p 2)y 2=2p px得k 2x 2-p (k 2+2)x +k 2p 24=0由根与系数的关系得：x 1x 2=p 24;x 1+x 2=p (k 2+2)k2∴（1）式得证∵A ，B 两点都在直线y 2=2px 上∴y 12=2px 1；y 22=2px 2∴(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2=p 4∵y 1y 2<0，∴y 1y 2=-p 2即(2)式得证过点A ，B 分别作AA 1，BB 1与直线l 垂直，垂足为A 1，B 1即A 1(-p 2,y 1)，B 1(-p 2,y 2)由抛物线定义知|AF |=|AA 1|=x 1+p 2;|BF |=|BB 1|=x 2+p 2即(3)式得证∵|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+p ∴(4)式得证∵x 1+x 2=p (k 2+2)k2，k =tan α∴|AB |=x 1+x 2+p =2p (k 2+1)k 2=2p (tan 2α+1)tan 2α=2p sin 2α即(5)式得证∵|AF ||BF |=(x 1+p 2)·(x 2+p 2)=x 1·x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=p 2(x 1+x 2+p )=p 2·2p sin 2α=p 2sin 2α∴(6)式得证∵1|AF |+1|BF |=|AF |+|BF ||AF |·|BF |=|AB ||AF |·|BF |=2psin 2α·sin 2αp 2=2p∴(7)式得证∵点O 到直线AB 的距离d 就是△AOB 的高∴h =d =p|k|21+k2姨=p sin α2∴S △AOB =12|AB|·h =12·2psin 2αp sin α2=p 22sin α∴(8)式得证下面来探究焦点弦与圆有关的四条结论：（1）以AB 为直径的圆M 与准线相切；（2）以AF 为直径的圆C 与y 轴准线相切；（3）以BF 为直径的圆D 与y 轴准线相切；（4）分别以AB ，AF ，BF 为直径的圆关系有：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切又圆M 相内切。

很全抛杨线焦A孩的有关结E沦附答案［很 全］抛物线焦点 弦的有 关结论知识点1：若A3是过抛物线y 2 = IpX(P > 0)的焦点F 的弦。

设A(X^y I ∖ B(x 2,y 2),2则(1) X l Xy = — ； (2) y 1y-> =-p 2"4 …λλ,x2 =T- 综上:ArV2 =T-但儿儿<0,・・・儿儿=_1「 (2)另证：设 AB ∙.x = ιny+ 与)，=2/x 联立，得J 2 一 2Pmy- P I = 0.Λy l >,2 = -P 2知识点2：若A3是过抛物线y 2 = 2∕ΛV (∕? > 0)的焦点F 的弦。

设A(X^y I ∖ β(x 2,y 2), 则(!)吩+5；⑵设直线細的倾斜角为S 则I 件鵲 证明：(1)山抛物线的定义知(2)若α = 90°,M ∣Jx 1 =x 2=-,由(1)矢Π∣AB ∣=2p = 2若 QH 90°,设AB : y = k(x-f),与y' =2px 联立，得.∙.召 + * /忙+2),.网=H- ⅛±1), k k知识点3：若A3是过抛物线y 2 = 2/9x(/? > 0)的焦点F 的弦，则以A3为直径的圆与 抛物线的准线相切。

证明：如图，(1)若AB 的斜率不存在时,依题意 X 1=X 2=-. ：. X 1X 2 2若A3的斜率存在时，设为人则AB:(2) ∙.∙ X I = 2J ：2 = P A 亠儿儿=±/『，得2〃而k = tanσ ,证明：过点A 、B 分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A P 坊,过中点M 向准线引垂线，垂足为N,设以A3为直径的圆的半径为几・••以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

接Ao 并延长交该抛物线的准线于点C,则BCHOF.证明：设 A(X H y l ), B(X 29y 2)9 则2 由知识点 1 知 y l y∖ = -P I:. y c = J >,2逆定理：若A3是过抛物线y 2 = 2∕zv(p > 0)的焦点F 的弦，过点B 作BC 〃OF 交抛 物线准线于点C 则A 、C 、O 三点共线。

抛物线焦点弦的八大结论推导过程抛物线焦点弦是一个重要研究课题，它可以帮助我们理解抛物线的切线、焦点、双曲线、点到弦距离等微积分概念。

抛物线焦点弦推导过程通常被认为是一个好方向，它具有很多有益的特点，例如微积分知识的运用。

该过程包括以下步骤：一、首先，要确定抛物线的方程，它可以是一元二次方程，也可以是一般的双曲线方程。

二、然后，求解出抛物线的焦点和弦长，可以利用不同的函数求解方法来求解，或者可以利用几何的推导原理。

三、然后，可以运用微积分来求解抛物线的切线，可以利用极限的方法来求解抛物线的切线，同时也可以利用微分形式来求解抛物线的切线。

四、然后，可以利用数学分析的方法，用一元二次型或者双曲线型去绘制抛物线的切线，来求解抛物线焦点弦。

五、接着可以利用微积分中的定义来计算抛物线焦点弦的弧长，可以利用定积分的方法来计算抛物线弦的长度。

六、然后，利用向量的知识来求解抛物线焦点弦的方向，即利用向量的几何性质，推导出抛物线焦点弦的方向。

七、最后，可以利用抛物线焦点弦的方向和弦长，来进一步检验焦点弦是否符合抛物线的法则。

八、完成全部推导后，可以得到抛物线焦点弦的八个结论：1）抛物线的焦点和弦长可以用一元二次方程或者双曲线函数来求解。

2）抛物线的切线可以通过极限的方法和微分来求解。

3）焦点弦的长度可以通过定积分的方法来求解。

4）焦点弦的方向可以通过向量的几何性质来求解。

5）焦点弦的长度与抛物线的焦点和切线总是垂直。

6）距离抛物线在不同点上的距离是固定的，与抛物线的焦点和弦长相关。

7）抛物线在每个焦点点处均有弦，其长度总是相等的。

8）抛物线的弦长和焦点会满足正弦和余弦函数方程的要求。

证明抛物线焦点弦的18个结论
抛物线是一种椭圆形的函数图形，它是由抛物线焦点弦决定的。

抛物线焦点弦是指抛物线的两个焦点和连接它们的弦段。

围绕抛物线焦点弦可以建立18个结论。

1. 两个焦点之间的距离与抛物线弦段长度相同，即它们之间的距离等于抛物线弦段的1倍。

2. 弦段连接抛物线的两个焦点，因此，任何一点的垂直距离都等于其焦点的距离。

3. 对抛物线的焦点取中对称，则其两点之间的距离一定是直线的1倍．
5. 相对于一个焦点而言，另一个焦点总是处于弦段的同一边，而且位于弦段上面。

6. 抛物线是对称的，即抛物线的对称轴是连接两个焦点的直线段。

8. 抛物线准线与切线交于抛物线的焦点。

12. 对任意点A而言，从A点向任意点B连线便构成一条直线，此直线连接A点和B 点的距离有正有负，正值表示线段到抛物线焦点的距离是它的弦段长度所乘以2倍的直线段距离，负值则表示抛物线焦点到线段的距离也是它的弦段长度乘以2倍的直线段距离。

17. 抛物线的对称轴与它的弦段垂直，因此它的弦段将对称轴分为2个相等的距离。

以上就是抛物线焦点弦的十八个结论，也是其对称性规律、准确性和完整性的总结。

抛物线焦点弦的这些结论，既给抛物线函数提供了数学化的更直观的解释，又为描述抛物线的属性提供了一定的参考依据。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。

设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）4221p x x =；（2）221p y y -=证明：如图，（1）若AB 的斜率不存在时，依题意,221px x ==4221p x x =∴若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎭ ⎝⎛=2:k y AB()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k.4221p x x =∴ 综上：.4221p x x =（2）p y x p y x 2,2222211== ，,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2:pmy x AB +=与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。

设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α联立，得()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ，()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

抛物线焦点弦的八大结论分别是？
第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2)则
|AB|=x1+x2+p
证明：设抛物线的准线为L，从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D。

由于L 的方程是x＝-p/2，所以
|AC|=x1+p/2，|BD|=x2+p/2
根据抛物线的定义有：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
所以：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p
扩展资料：
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。

焦点并不在准线上。

抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。

抛物线的另一个描述是
作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。

第三个描述是代数。

抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。

相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。

声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。

这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。

证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。

证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。

2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。

证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。

因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。

3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。

证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。

而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。

4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。

证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。

5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。

证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。

6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。

证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。

7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。

证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。

8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。

证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以抛物线焦点弦经过焦点。

另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。

9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。

证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。

另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。

10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。

抛物线焦点弦性质总结30条
抛物线焦点弦性质总结
本文总结了抛物线焦点弦的30条性质，其中包括基础回顾和性质深究两部分。

基础回顾：
1.以AB为直径的圆与准线L相切；
2.x1/x2 = 4p/(p2 + (y1-y2)2)；
3.y1/y2 = -(p/(p2 + (x1-x2)2))；
4.∠AC'B = 90；
5.∠A'FB' = 90；
6.AB = x1+x2+p = 2(x3+p/2)；
7.p2 = 2sin2α/1+2sinα；
8.A、O、B三点共线；
9.B、O、A三点共线；
10.S△AOB = p；
11.AB2 = 4p(AA'+BB')/22；
性质深究：
一)焦点弦与切线
1.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上；
2.切线交点与弦中点连线平行于对称轴；
3.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点；
4.过准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦最短时，即为通径；
5.当弦AB是抛物线y=2px（p＞0）的焦点弦，且Q为AB的中点，l是抛物线的准线，AA'⊥l，BB'⊥l，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M，则有PA⊥PB，
PF⊥AB，M平分PQ，PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA，FA·FB=PF2.
二)非焦点弦与切线
当弦AB不过焦点，切线交于P点时，有以下类似的结论：
= y2/(y1+y2)；
2.y1/y2 = (x1-x2)/(2p-x1+x2)；。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

1. 以AB 90(AC 2. 3. '90A FB ∠('A F 4.C F '⊥5.BC '垂直平分B F ' 6.AC '垂直平分A F ' 7.抛物线的准线与x 轴相交于点P ，则.BPF APF ∠=∠ 8.B 、O 、A '三点共线 9. A 、O 、B '三点共线10. 2124p x x = 11. 212y y p =-12. 123222()22sin p p AB x x p x d α=++=+==弦中点到准线 11'('')22CC AB AA BB ==+ 13. 123222()22cos p p AB y y p y d α=++=+==弦中点到准线14. 焦点弦弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，叫通径，焦点弦弦长最短为2p. 有2AB p ≥15. 112AF BF P +=； 1cos P AF α=-； 1cos P BF α=+16. 243p OB OA -=⋅17. 22sin AOB P S α=18. ⇔⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆AF BF BF AF p S AOB 42弦AB 过焦点 19. 23()2AOB S P AB = 20. ||||||2FB FA F C ⋅='; 2A'B'4AF BF =⋅; 1C'F A'B'2=21. AB 3P K =y ； 2p 22y tan =x -α 22. 切点在抛物线上的切线方程 ()x x p y y +=0023. 点)0,(p D 处的结论：点)0,(p 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点： )0,(a A 在点)0,(p 左边时顶点O 到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为a ;)0,(a A 在点)0,(p 右边时横坐标为p a -的两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为22p ap -.24. 设过点()0,p D 的直线交抛物线px y 22=于A 、B ,则=+2211DB DA 21p 25. 点)0,2(p E 处的结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p .（2）2214p x x =，2214p y y -=. 26. 准线上的有关结论：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A 、B 两点px y 22=),(11y x ),(22y x结论1：px x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2(结论2：若直线L 的倾斜角为，则弦长θθ2sin 2pAB =证: (1)若 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,2πθ=结论得证∴=∴p AB 2(2)若时,设直线L 的方程为：即 代入抛物线方程得2πθ≠θtan )2(p x y -=2cot py x +⋅=θ由韦达定理0cot 222=-⋅-p py y θθcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小的最小值为,即过焦点的弦长中通径长最短.p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB p 2结论4：)(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) (2) x 1x 2=221p y y -=42p 证 44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知故结论得证222111AB BFAF BB AA MM =+=+=结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F B 1F⊥FAA FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴= 同理A 1FB 1 F︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴⊥结论8：（1）AM 1BM 1 （2）M 1F AB （3）⊥⊥BFAF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214MM B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上 AM 1BM 1∴⊥为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点11FB A ∆ 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA M 1F AB∴⊥ AM 1BM 1 BF AF FM ⋅=∴21 ⊥FB F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，︒=∠∴90FB A 1122121ABB M AM =+()()()2121211242MM MM BB AA BF AF ==+=+=结论9： （1）O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线、A （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为，而p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====221p y y -=所以所以三点共线。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ 结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点两点结论1：px x AB ++=21p x x px px BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证:(1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(px y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθΘ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p pp AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p yx ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111ABBF AF BBAA MM =+=+=故结论得证故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1Θ11FB A ∆为直角三角形，为直角三角形，M 1 是斜边A 1 B 1 的中点的中点 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 ΘAM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM︒=∠∴90FB A 11所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AA BFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线 （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oAk p y y p p k =-=-=所以三点共线。

与抛物线有结论抛物线中有一些常见、常2()22py k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

证明：因为焦点坐标为F(2p ,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2py k x =-， 由得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-，2242121222244y y p p x x p p p =⋅==。

当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2px =，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =-，同上也有：2124p x x =。

例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =。

则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p AFBFAF BFx x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin PAB α=（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2py k x =-由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k +=，212y y p =-，∴12AB y -=222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα++===。