带电粒子在组合场中的运动

带电粒子在组合场中的运动[学习目标] 1.进一步掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点及分析方法.2.掌握带电粒子在组合场中运动问题的分析方法.3.会根据电场知识和磁场知识分析带电粒子在组合场中的运动规律．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现．1．解决带电粒子在组合场中的运动所需知识2．“电偏转”与“磁偏转”的比较电偏转磁偏转偏转条件只受恒定的静电力F＝qEv⊥E进入匀强电场只受大小恒定的洛伦兹力F＝q v Bv⊥B进入匀强磁场运动轨迹抛物线圆弧求解方法利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝12at2，a＝qEm，tan θ＝atv0利用牛顿第二定律、向心力公式有r＝m vqB，T＝2πmqB，t＝θT2π一、由电场进入磁场例1 (多选)一带负电粒子的质量为m 、电荷量为q ，空间中一平行板电容器两极板S 1、S 2间的电压为U .将此粒子在靠近极板S 1的A 处无初速度释放，经电场加速后，经O 点进入磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场(右边界平行于S 2)，图中虚线Ox 垂直于极板S 2，当粒子从P 点离开磁场时，其速度方向与Ox 方向的夹角θ＝60°，如图所示，整个装置处于真空中，不计粒子所受重力，则( )A ．极板S 1带正电B ．粒子到达O 点的速度大小为2qUmC ．此粒子在磁场中运动的时间t ＝πm3qBD ．若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O 点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，则该有界磁场区域的宽度d ＝Um qB 2答案 BC解析 带负电粒子向右加速运动，所受静电力向右，场强向左，说明极板S 1带负电，故A 错误；设粒子到达O 点的速度大小为v ，由动能定理可得Uq ＝12m v 2，解得v ＝2qUm，故B 正确；由几何关系可知粒子运动的圆心角为θ＝60°＝π3，此粒子在磁场中运动的时间t ＝16T ＝16×2πm Bq ＝πm3qB，故C 正确；若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O 点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，画出临界轨迹如图所示，洛伦兹力提供向心力，有Bq v ＝m v 2R把B 选项中求得的速度大小代入可得R ＝2UmqB 2， 则该有界磁场区域的宽度d ＝R ＝2UmqB 2，故D 错误． 例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L 的圆形匀强磁场，磁场圆心在M (L ，0)点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q (－2L ，－L )点以速度v 0沿x 轴正方向射入电场，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P (2L ，0)点射出磁场，不计粒子重力，求：(1)电场强度与磁感应强度大小的比值； (2)粒子在磁场与电场中运动时间的比值． 答案 (1)v 02 (2)π4解析 (1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子的质量和所带电荷量分别为m 和q ，粒子在匀强电场中运动，由类平抛运动规律及牛顿运动定律得，2L ＝v 0t 1，L ＝12at 12，qE ＝ma联立解得E ＝m v 022qL粒子到达O 点时沿＋y 方向的分速度为v y ＝at 1＝v 0，tan α＝v yv 0＝1，故α＝45°.粒子在磁场中的速度为v ＝2v 0.粒子所受洛伦兹力提供向心力， 则Bq v ＝m v 2r ，由几何关系得r ＝2L联立解得B ＝m v 0qL ，则E B ＝v 02；(2)粒子在磁场中运动的周期为T ＝2πr v ，粒子在磁场中运动的时间为t 2＝14T ＝πL2v 0，粒子在电场中运动的时间为t 1＝2Lv 0，解得t 2t 1＝π4.从电场射出的末速度是进入磁场的初速度，要特别注意求解进入磁场时速度的大小和方向，这是正确求解的关键． 二、从磁场进入电场例3 如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内有竖直向上的匀强电场，圆心O 1在x 轴上，半径为R 且过坐标原点O ，圆内有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)．一质量为m ，带电荷量为q 的正粒子从圆上P 点正对圆心O 1以速度v 0射入磁场，从坐标原点O 离开磁场，接着又恰好经过第一象限的Q (a ，b )点，已知PO 1与x 轴负方向成θ角，不计粒子重力，求：(1)匀强电场的电场强度E 及匀强磁场的磁感应强度B 的大小； (2)粒子从P 运动到Q 的时间．答案 (1)2mb v 02a 2q m v 0Rq tan θ2 (2)θR v 0tanθ2＋av 0解析 (1)设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r ， 由几何关系得r tan θ2＝R又q v 0B ＝m v 02r故B ＝m v 0Rq tan θ2粒子从O 到Q 做类平抛运动，设运动时间为t 2， a ＝v 0t 2则t 2＝a v 0，b ＝12·qE m ·t 22故E ＝2mb v 02a 2q(2)粒子在磁场中运动的时间t 1＝θ2π·2πr v 0＝θr v 0＝θRv 0tanθ2则粒子从P 运动到Q 的时间为t ＝t 1＋t 2＝θR v 0tanθ2＋av 0.三、多次进出电场和磁场例4 如图所示的xOy 坐标系，在第二象限内有水平向右的匀强电场，在第一、第四象限内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向如图所示．现有一个质量为m 、电荷量为＋q 的带电粒子在该平面内从x 轴上的P 点，以垂直于x 轴的初速度v 0进入匀强电场，恰好经过y 轴上的Q 点且与y 轴成45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于x 轴进入第四象限的磁场．已知O 、P 之间的距离为d ，不计粒子的重力．求：(1)O 点到Q 点的距离； (2)磁感应强度B 的大小；(3)带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x 轴所用的时间． 答案 (1)2d (2)m v 02qd (3)(7π＋4)d 2v 0解析 (1)设Q 点的纵坐标为h ，粒子到达Q 点的水平分速度为v x ，从P 到Q 受到的恒定的静电力与初速度方向垂直，则粒子在电场中做类平抛运动，则由类平抛运动的规律可知，h ＝v 0t 1水平方向匀加速直线运动的平均速度v ＝0＋v x2，则d ＝v x t 12根据速度的矢量合成知tan 45°＝v xv 0解得h ＝2d .(2)粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可得，粒子在磁场中的运动半径R ＝22d由牛顿第二定律得q v B ＝m v 2R ，由(1)可知v ＝v 0cos 45°＝2v 0联立解得B ＝m v 02qd.(3)粒子在电场中的运动时间为t 1＝2dv 0粒子在磁场中的运动周期为T ＝2πR v ＝4πdv 0粒子在第一象限中的运动时间为t 2＝135°360°·T ＝38T粒子在第四象限内的运动时间为t 3＝T2故带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x 轴所用的时间为t ＝t 1＋t 2＋t 3＝(7π＋4)d2v 0.1．(2020·全国卷Ⅱ)CT 扫描是计算机X 射线断层扫描技术的简称，CT 扫描机可用于对多种病情的探测．图(a)是某种CT 机主要部分的剖面图，其中X 射线产生部分的示意图如图(b)所示．图(b)中M 、N 之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X 射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P 点，则( )A ．M 处的电势高于N 处的电势B ．增大M 、N 之间的加速电压可使P 点左移C ．偏转磁场的方向垂直于纸面向外D ．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P 点左移 答案 D解析 电子在M 、N 间受向右的静电力，电场方向向左，故M 处的电势低于N 处的电势，故A 错误；加速电压增大，可使电子获得更大的速度，根据r ＝m vqB 可知，电子在磁场中做圆周运动的半径变大，P 点右移，故B 错误；电子受到的洛伦兹力方向向下，根据左手定则，可判断磁场的方向垂直于纸面向里，故C 错误；根据r ＝m vqB，B 增大，可使电子在磁场中做圆周运动的半径变小，P 点左移，故D 正确．2.(多选)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P ＋和P 3＋，经电压为U 的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子P ＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，则离子P ＋和P 3＋( )A ．在电场中的加速度之比为1∶1B ．在磁场中运动的轨迹半径之比为3∶1C ．在磁场中转过的角度之比为1∶2D ．离开电场区域时的动能之比为1∶3 答案 BCD解析 离子P ＋和P 3＋质量之比为1∶1，电荷量之比为1∶3，故在电场中的加速度(a ＝qEm )之比为1∶3，A 项错误；离子在离开电场区域时，有qU ＝12m v 2，在磁场中做匀速圆周运动时，有q v B ＝m v 2r ，得半径r ＝m v qB ＝1B2mU q ，则半径之比为1∶13＝3∶1，B 项正确；设磁场宽度为d ，由几何关系，有d ＝r sin θ，可知离子在磁场中转过的角度正弦值之比等于半径倒数之比，即1∶3，因为θ＝30°，则θ′＝60°，故转过的角度之比为1∶2，C 项正确；由qU ＝12m v 2可知，离子离开电场时的动能之比等于电荷量之比，即1∶3，D 项正确．3.质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具．图中的铅盒A 中的放射源放出大量的带正电粒子(可认为初速度为零)，从狭缝S 1进入电压为U 的加速电场区域加速后，再通过狭缝S 2从小孔G 垂直于MN 射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN 为切线、磁感应强度为B 、方向垂直于纸面向外、半径为R 的圆形匀强磁场．现在MN 上的点F (图中未画出)接收到该粒子，且GF ＝3R ，则该粒子的比荷为(粒子的重力忽略不计)( )A.8U R 2B 2B.4U R 2B 2C.6U R 2B 2D.2U R 2B 2 答案 C解析 设粒子在加速电场被加速后获得的速度大小为v ，由动能定理有qU ＝12m v 2，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何知识知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r ＝3R3.又Bq v ＝m v 2r ，则q m ＝6UR 2B2，故C 正确．4.如图所示的区域中，OM 左边为垂直纸面向里的匀强磁场，右边是一个电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于OM ，且垂直于磁场方向．一个质量为m 、电荷量为－q (q >0)的带电粒子从小孔P 以初速度v 0沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与边界线的夹角θ＝60°，粒子恰好从小孔C 垂直于OM 射入匀强电场，最后打在Q 点，已知OC ＝L ，OQ ＝2L ，不计粒子的重力，求：(1)磁感应强度B 的大小； (2)电场强度E 的大小． 答案 (1)3m v 02qL (2)m v 022qL解析 (1)画出粒子运动的轨迹如图所示(O 1为粒子在磁场中做圆周运动的圆心)，∠PO 1C ＝120°设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r ， 由r ＋r cos 60°＝OC ＝L 得r ＝2L3粒子在磁场中做圆周运动，受到的洛伦兹力充当向心力，q v 0B ＝m v 02r ，解得：B ＝m v 0qr ＝3m v 02qL ；(2)粒子在电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律得加速度大小为a ＝qEm ，水平方向有2L ＝v 0t ，竖直方向有L ＝12at 2联立解得E ＝m v 022qL.5.如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，第Ⅰ象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限以ON 为直径的半圆形区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B .一质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子，从y 轴正半轴上y ＝h 处的M 点，以速度v 0垂直于y 轴射入电场，经x 轴上x ＝2h 处的P 点进入磁场，最后以垂直于y 轴的方向射出磁场．不计粒子重力．求：(1)电场强度E 的大小；(2)粒子在磁场中运动的轨迹半径r ；(3)粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t . 答案 见解析解析 (1)粒子的运动轨迹如图所示设粒子在电场中运动的时间为t 1， 则有2h ＝v 0t 1，h ＝12at 12根据牛顿第二定律得Eq ＝ma 解得E ＝m v 022qh(2)设粒子进入磁场时速度为v ，在电场中， 由动能定理得Eqh ＝12m v 2－12m v 02，又因Bq v ＝m v 2r ，解得r ＝2m v 0Bq. (3)粒子在电场中运动的时间t 1＝2hv 0粒子在磁场中运动的周期T ＝2πr v ＝2πmBq设粒子在磁场中运动的时间为t 2，则 t 2＝38T得t ＝t 1＋t 2＝2h v 0＋3πm4Bq.6．(2022·河北泊头一中高二月考)如图所示，以两虚线P 、Q 为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的电场，电场强度为E ，方向水平向右，两侧为相同的磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为m 、带电荷量为－q 、重力不计的带电粒子以水平向右的初速度v 0从电场边界P 、Q 之间的O 点出发．(1)若粒子能到达边界Q ，求O 点到边界Q 的最大距离l 1；(2)若使粒子到达边界Q 并进入磁场的偏转半径为R ，求O 点到边界Q 的距离l 2；(3)在题(2)的前提下，能使粒子从O 点出发到再次回到O 点的过程中，在磁场运动的时间最短，求电场宽度d 和全过程的运动时间t .答案 见解析解析 (1)由动能定理得－Eql 1＝0－12m v 02， 则l 1＝m v 022Eq. (2)由动能定理得－Eql 2＝12m v 12－12m v 02， 由洛伦兹力提供向心力，q v 1B ＝m v 12R解得l 2＝m 2v 02－q 2B 2R 22Eqm. (3)要使粒子在磁场中运动时间最短，则轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力q v 1B ＝m v 12Rq v 2B ＝m v 222R由动能定理得Eqd ＝12m v 22－12m v 12 解得d ＝3q 2B 2R 22Eqm粒子在电场中运动的加速度a ＝Eq m在磁场中运动的周期T ＝2πm qB全过程的运动时间t ＝32×2πm qB ＋2(v 0－v 1)a ＋2(v 2－v 1)a ＝3πm qB ＋2m v 0Eq .。

带电粒子在组合场中的运动
带电粒子的运动是物理学中的一种重要现象，其中电磁场产生的组合场是影响
带电粒子运动的重要因素之一。

带电粒子在组合场中的运动受到电磁场和重力场的共同作用。

由于它在电磁场中受到电力的作用，电流质点会产生电场和磁场。

磁场又会产
生电离力，对电流质点的运动产生影响。

进而磁场又可以产生电场，来反作用磁力，这就是带电粒子在组合场中的运动。

此外，受重力场的作用，带电粒子会受到由重力产生的阿博尔力的挤压，就如
苹果被外部重力拉扯一样，这也是带电粒子在组合场中运动的另外一种影响因素。

另外，当带电粒子运行速度很大时，也会受到电场和磁场、重力场及动能守恒
定律的引力作用，这意味着它受到四种类型的力的共同作用，来影响它的运动。

而这种运动受到环境的影响的程度要远低于电子在金属物质中的运动。

带电粒子在组合场中的运动是一个比较复杂的问题，要了解它的运动规律，必
须要考虑它受到电磁场，重力场及动能守恒定律的多重作用，并且要有较高的数学处理技能，才能理解它们之间的相互影响。

总之，带电粒子在组合场中的运动受到电磁场，重力场及动能守恒定律的共同
影响，而且运动过程受环境影响的程度较低，因此，需要有较丰富的数学处理能力才能更好地了解它们之间的相互作用。

难点20 带电粒子在组合场中的运动1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．2．分析思路(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．3．常见粒子的运动及解题方法一、磁场与磁场的组合磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．【例1】(2020·江苏卷·16) 空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示．甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点．已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响．求：(1)Q 到O 的距离d ；(2)甲两次经过P 点的时间间隔Δt ；(3)乙的比荷q ′m ′可能的最小值． 【答案】(1)mv 3qB 0 (2)2πm qB 0 (3)2q m【详解】(1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r 1、r 2由qvB ＝m v 2r 可知r ＝mv qB， 故r 1＝mv 2qB 0，r 2＝mv 3qB 0且d ＝2r 1－2r 2解得d ＝mv 3qB 0(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t 1、t 2由T ＝2πr v ＝2πm qB 得t 1＝πm 2qB 0，t 2＝πm 3qB 0且Δt ＝2t 1＋3t 2 解得Δt ＝2πm qB 0(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动若经过两磁场的次数均为n (n ＝1,2,3，…)相遇时，有n m ′v 3q ′B 0＝d ，n 5πm ′6q ′B 0＝t 1＋t 2解得q ′m ′＝n q m根据题意，n ＝1舍去．当n ＝2时，q ′m ′有最小值，(q ′m ′)min ＝2q m若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n ＋1)、n (n ＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相遇．综上分析，乙的比荷的最小值为2q m. 二、电场与磁场的组合（一）先电场后磁场1．带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲．2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图乙．【例2】（2022·湖北·武汉市长虹中学高三阶段练习）如图所示，在0y >的空间中存在匀强电场，场强沿y 轴负方向；在0y <的空间中存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy 平面（纸面）向外。

由几何关系有 = 2cos 30∘
联立解得 =
3

2

（2）匀强电场的电场强度的大小。
[解析] 粒子进入电场时，速度方向与边界的夹角为60∘ ，由几何关系可知，速度方
向和电场方向垂直。粒子在电场中的位移 = = sin 30∘
又sin 30∘ =
1பைடு நூலகம்
2
cos 30∘ = 2
为的带正电粒子以速度从坐标原点沿轴正方向进入磁场，经磁场
偏转后由点进入电场，最后从轴上的点离开电场，已知、两点间距离为
，连线平行于轴。不计粒子重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小；
[解析] 粒子在磁场中运动时（如图所示），设轨迹半径为，根据
洛伦兹力提供向心力可得 =
动的规律
较复杂的曲线 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为 动能定理、能量守恒定
运动
零，也不与洛伦兹力等大反向
律
【视角1】 叠加场中做直线运动
域内有竖直向上的匀强电场，在 > 0 区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场
强度（值有多种可能），可让粒子从射入磁场后偏转打到接收器上，则
(
AD
)
A.粒子从中点射入磁场，电场强度满足 =
B.粒子从中点射入磁场时速度为0
0 02
02
02 +02
02
C.粒子在磁场中做圆周运动的圆心到的距离为
=
联立解得 =
8 3 2

考点二 带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
匀速直线运动 粒子所受合力为0