利用零点分段法解含多绝对值不等式.

利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法——零点分段讨论法．一、步骤通常分三步：⑴找到使多个绝对值等于零的点．⑵分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．⑶将分段求得解集，再求它们的并集．二、例题选讲例1求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值．从而转化为不含绝对值的不等式．解：∵|x＋2|＝2 (2)2 (2)x xx x+≥-⎧⎨--<-⎩，|x－1|＝1 (1)1 (1)x xx x-≥⎧⎨-<⎩．故可把全体实数x分为三个部分：①x＜－2，②－2≤x＜1，③x≥1．所以原不等式等价于下面三个不等式组：(Ⅰ)2213xx x<-⎧⎨--+->⎩，或(Ⅱ)1213xx x>⎧⎨++->⎩，或(Ⅲ)21213xx x-≤<⎧⎨++->⎩．不等式组(Ⅰ)的解集是{x|x＜－2}，不等式组(Ⅱ)的解集是∅，不等式组(Ⅲ)的解集是{x|x＞1}．综上可知原不等式的解集是{x|x＜－2或x＞1}．例2解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．解：由于实数1，2将数轴分成(－∞，1]，(1，2]，(2，＋∞)三部分，故分三个区间来讨论．⑴当x≤1时，原不等式可化为－(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜0．故不等式的解集是{x|x＜0}．⑵当1＜x≤2时，原不等式可化为(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜－2．故不等式的解集是∅．⑶ 当x ＞2时，原不等式可化为(x －1)＋(x －2)＞x ＋3，即x ＞6．故不等式的解集是{x |x ＞6}．综上可知，原不等式的解集是{x |x ＜0或x ＞6}．例3 已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，求a 的取值范围． 解：∵ x ＝5时，|x －5|＝0；x ＝3时，|x －3|＝0．⑴当x ≤3时，原不等式可化为－x ＋5－x ＋3＜a ，即a ＞8－2x ，由x ≤3，所以－2x ≥－6，故a ＞2．⑵当3＜x ≤5时，原不等式可化为－x ＋5＋x －3＜a ，即a ＞2．⑶当x ＞5时，原不等式可化为x －5＋x －3＜a ，即a ＞2x －8＞10－8＝2，故a ＞2． 综上知a ＞2．无理不等式与绝对值不等式●考试目标 主词填空1.含有绝对值的不等式①|f (x )|<a (a >0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是－a <f (x )<a .②|f (x )|>a (a >0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f (x )>a 或f (x )<－a .③|f (x )|>|g (x )|⇔ f 2(x )>g 2(x ).2.无理不等式对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类: ①[]⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔>0)(0)()()(0)()()(2x f x g x g x f x g x g x f 或 ②[]⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f .3.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号.4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解.5.三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |,此不等式可推广如下：|a 1+a 2+a 3+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |当且仅当a 1,a 2,a 3,…a n 符号相同时取等号.●题型示例 点津归纳【例1】 解无理不等式. (1)1-x >2; (2)1-x >2x －4; (3) 1+x <2x +1.【解前点津】 (1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:⎩⎨⎧>-≥-4101x x . (2)因右边2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.【规范解答】 (1)化原不等式为:5514101>⇒⎩⎨⎧>≥⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x . (2)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-04201)42()1(042012x x x x x x 或817171218171722101717422+≤≤⇒<≤+<≤⇒⎩⎨⎧<≥⎩⎨⎧<+-≥⇒x x x x x x x x 或或. (3)化原不等式为两个不等式组:0034211)12(10120122>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≥-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+≥+x x x x x x x x x . 【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例2】 解下列含有绝对值的不等式：(1)|x 2－4|≤x +2;(2)|x +1|>|2x －1|;(3)|x －1|+|2x +1|<4.【解前点津】 (1)可直接去掉绝对值符号，转化为－(x +2)≤x 2－4≤(x +2);(2)两边平方，去掉绝对值符号;(3)当x =1,－21时,有x －1=0及2x +1=0,故可分段讨论，去掉绝对值符号. 【规范解答】 (1)原不等式可化为:－(x +2)≤x 2－4≤x +2⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+⇒3212060222x x x x x x x 或. 故原不等式的解集为［1,3］∪{－2}.(2)化原不等式为|x +1|2>|2x －1|2 ⇒(2x －1)2－(x +1)2<0.(2x －1+x +1)·(2x －1－x －1)<0⇒3x ·(x －2)<0⇒0<x <2.(3)令x －1=0得x =1,令2x +1=0得x =－21. 当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,时,原不等式可化为:－(x －1)－(2x +1)<421344321-≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≤⇒x x x . 当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21时,原不等式可化为:－(x －1)+(2x +1)<4. 由212121-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤<-x x <x ≤1. 当x ∈(1,+∞)时,原不等式可化为:(x －1)+(2x +1)<4,故由341431<<⇒⎩⎨⎧<>x x x .综上所述知:⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--34,3434,11,2121,34为原不等式解集. 【解后归纳】 解含有两个或两个以上绝对值的不等式，一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段?分几段?这只须算出“分点”即可，即“绝对值”为0时的变量取值，n 个不同的分点，将数轴分割成了(n +1)段.【例3】 若不等式23+>ax x 的解集是(4,m ),求a ,m 的值. 【解前点津】 在同一坐标系中作出两个函数y =x (x ≥0)及y =ax +23(x ≥0)的图像.若y =x 的图像位于y =ax +23图像的上方，则与之对应的x 的取值范围就是不等式的解. 【规范解答】 设y 1=x ,它的图像是半条抛物线;y 2=ax +23(x ≥0),它的图像是经过点(0, 23),斜率为a 的一条射线.不等式23+>ax x 的解即当y 1=x 的图像在y 2=ax +23(x ≥0)的图像上方时相应的x 的取值范围，因为不等式解集为(4,m ),故方程23+=ax x 有一个解为4,将x =4代入23+=ax x 得:812344=⇒+=a a . 再求方程2381+=x x 的另一个解，得:x =36,即m =36. 【解后归纳】 用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像，且图像必须在“公共定义域内”，要确定那一部分的图像对应于不等式的解集.【例4】 解不等式|lo g 2x |+|lo g 2(2－x )|≥1. 【解前点津】 从x 的可取值范围入手，易知0<x <2,当x 分别在(]1,0及(1,2)上取值时，可同时去掉两个绝对值符号.【规范解答】 ∵x >0且2－x >0故0<x <2时不等式才有意义.当x ∈(]1,0时,因lo g 2x ≤0,lo g 2(2－x )≥0,故此时原不等式为:－lo g 2x +lo g 2(2－x )≥1⇒lo g 2xx -2≥lo g 22 32010221022≤<⇒⎩⎨⎧≤<≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥-⇒x x x x x x x . 当x ∈(1,2)时,因为lo g 2x >0,lo g 2(2－x )<0,故此时原不等式为:lo g 2x －lo g 2(2－x )≥1⇒lo g 2xx -2≥lo g 22 23421)2(22122<≤⇒⎩⎨⎧<<-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-⇒x x x x x x x . 故原不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛2,3432,0. 【解后归纳】 本题利用对数函数的性质，去掉了绝对值符号，从而转化为分式不等式组.5.2.3无理不等式的解法一、引入：1、无理不等式的类型：①、⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型②、⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型 ③、⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 二、典型例题：例1、解不等式0343>---x x例2、解不等式x x x 34232->-+-例3、解不等式24622+<+-x x x例4、解不等式1112-+>+x x例5、 解不等式)0(112>≤-+a ax x例6、解不等式1123>-+-x x三、小结：四、反馈练习：解下列不等式1．655332->-+-x x x2．33333++<++-x x x x3．x x ->--2144．02)1(2≥---x x x5．112>+--x x第6课 无理不等式与绝对值不等式习题解答1.C 对a =3进行检验，考虑不等式的几何意义.2.C 利用x >0,化简另一个不等式.3.D 由0<3-x <1⇒0<x －3<1⇒3<x <4.4.B 由4－x 2≥0且x +1>0且4－x 2<(x +1)2271+-⇒<x ≤2. 5.B 分别画出:y =22x a -,与y =2x +a 的图像，看图作答.6.B |x －a |<ε,|y －a |<ε⇒|x －y |=|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |+|y －a |<ε+ε=2ε,当|x －y |<2ε时,不能推出|x －a |<ε且|y －a |<ε.7.A 若0<a <b <c ,且lg a <lg b <lg c ,又因为|lg a |>|lg c |>|lg b |>0,ac －1－(a +c )=ac +1－a －c =(c －1)·(a －1)<0,∴ac +1<a +c .8.B 因x >0,当log 2x <0时,不等式成立,此时0<x <1;当log 2x ≥0时,|2x +log 2x |=2x +|log 2x |.9.B xx x ||42-≥-,当0<x ≤2时,不等式成立,另由 0314020140222<≤-⇒⎩⎨⎧≥-<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤-x x x x x . 10.由(|x |－1)·(|x |－3)<0⇔1<|x |<3⇔x ∈(－3,－1)∪(1,3).11.由x ≥0知,x －x －2≤0,( x －2)·(x +1)≤0⇔0≤x ≤2⇔0≤x ≤4.12.考察y =21x -,y =x +a 的图像,即直线y =x +a 在半圆x 2+y 2=1(y ≥0)上方⇒a ∈(2,+∞).13.(1)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥+⎩⎨⎧->+≥-0303)3(303x x x x x 或⇒1<x ≤3或x >3⇒x >1. (2)化原不等式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤≤--≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≥-≥+023*******)1(021012222x x x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋃⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⇒22,032,22:原不等式解集为. 14.原不等式等价于:⎪⎩⎪⎨⎧<---≤<-⎪⎩⎪⎨⎧<++--≤1325523132523x x x x x x 或或⎩⎨⎧<--->13255x x x , 解之:x <－7或31<x ≤5或x >5,故原不等式解集为:(－∞,－7)∪(31,+∞). 15.由a (a －x )≥0⇒x ≤a .(1)当x >2a 时,a －2x <0,不等式成立,故2a <x ≤a ; (2)当x ≤2a 时,a －2x ≥0,平方得a (a －x )>(a －2x )2,0<x <43a ,故0<x ≤2a . 综上所述得:(]a ,0.16.化原不等式为:|2log a x +1|－21|log a x +2|<21,令t =log a x , 则|2t +1|－21|t +2|<21,解之得:－1<t<31即－1<log a x <31, 当a >1时,解集为(3,1a a), 当0<a <1时,解集为)1,(3aa .。