1-3 函数的极限

lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b

问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
如何用精确的数学数学语言刻划函数“无 限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得 x 满足不等式 x X 时,所对应 的函数值 f ( x ) 都满足不等式
x x0
证明 lim4 x 1 9
x2
证 0, 由于 4 x 1 9 4 x 2 要使 4 x 1 9 解不等式, 解出 x 2 ( ) 只要 x 2 , 可取 4 4 当0 x 2 时, 有
4 x 1 9 ,
lim 4 x 1 9
x2
3. 左、右极限(单侧极限) 例如,
y 1 x y
y x2 1
1 x, x 0 设 f ( x) 2 x 1, x 0
lim f ( x ) 1.
x0
1
O
x
分x 0和x 0 两种情况分别讨论!
y
y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
x2 x 1 1 求 f ( x) x 1 在 x = 1 处的左、右极限. 2 x 1 x 1
f ( x) A ,
那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或

第一章函数、极限与连续性1.1初等函数回顾1.1.1函数的概念设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数xD，变量y按照确定的法则总有唯一的数值与其对应，则称y是x的函数，记作y=f（x）.f--定义在D上的函数; D--定义域;x--自变量; y--因变量;R={y／y=f（x），x }—值域常见的函数的定义域有如下规则：（1）对于分式函数，分母不能为零；（2）偶次根号下的变量不能小于零；（3）对于对数函数y=x，规定：底数，，真数；（4）对于余切函数y=cotx，规定：，k；（5）对于正切函数y=tanx，规定：x，k；（6）对于反正弦函数y=arcsinx和反余弦函数y=arcosx规定：-1.1.1.2函数的几种特性函数的特性包括有界性、单调性、奇偶性和周期性。

（1）有界性定义：若有正数M存在，使函数f（x）在区间D上恒有|f（x）|，则称f(x)在区间D上是有界函数，否则，是无界函（2）单调性定义:若对于区间D内任意两点及，当<时，有f（）<f(,则称f（x）在I上单调增加，区间D称为单调增区间；若当<时，有f（）>f(,则称f(x)在D上单调减少，区间D 称为单调减区间，单调增区间或单调减区间统称为单调区间。

（3）奇偶性定义：设D是关于原点对称的区间，若对于任意x属于D，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。

（4）周期性若对于不为零的数T，使得对于任意x属于D，有x+T属于D，且f（x+T）=f（x）,则称f(x)为周期函数。

通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。

周期函数在每个定义域内都是相同形状1.1.3初等函数1.基本初等函数（理解和应用）我们把幂函数y=(aR),指函数y=(a>0,a),对数函数y=x(a>0,a),三角函数y=sinx,y=cosx,y=secx,y=cscx和反三角函数y=arcsinx,y=arccosx.y=arctanx,y=arccotx统称为基本初等函数。

x
二、不同过程的函数极限的关系
定理1 lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0 x x0
推论 例4
若 lim f ( x) lim f ( x) 则 lim f ( x) 不存在. x x x x
例：
f ( x ) arctan x 当 x 时，
x
2 lim f ( x) A
f ( x)
-X
o

x

2
0
一个时刻” “ X >0 f ( x) A
恒有 使得 “ 在该时刻以后” 当 x<-X时
3．x

1 f ( x) 1 x2 当 x 时，
x
0
“>0 一个时刻” δ f ( x) A
恒有 使得 “x 在该时刻以后” 当 0-δ<x<x0+δ时
举例
例1 证明 lim x x0
x x0
例2
证明 lim ( 2 x 1) 1
x 1
1 例3 证明 lim 0 x x 注
若 lim f ( x ) c , 则直线 y c 是函数 y f ( x ) 的水平渐近线.
小结
一、函数极限的概念
统一定义、各过程的函数极限定义
二、不同过程的函数极限的关系
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
0 0