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诚西郊市崇武区沿街学校高一数学必修1函数的定义域和值域
教学目的
知识与技能
（1）继续理解函数的概念和记号以及域函数概念相关的定义域、函数值、值域的概念。
（2）掌握两个函数是同一函数的条件。
（3）会求简单函数的定义域和值域。
过程与方法
（1）通过对函数的概念的学习，初步探究客观世界中各种运动域数量间的互相依赖关系。
（2）使学生掌握求函数是=式的值得方法。
（3）培养批判思维才能、自我调控才能、交流与才能。
情感、态度与价值观
（1）懂得变化、联络、制约的辩证唯物主意观点。
（2）学会全面的观察、分析、研究问题。
重点难点
重点：符号“y=f(x)〞的含义。
难点：符号“y=f(x)〞的含义。
教法学法：讨论研究
教学用具：多媒体教学过程
板书设计
教学反思。
全方位教学辅导教案姓名性别年级高一教学内容函数与映射的概念及其函数的表示法重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法3.了解映射的概念及表示方法4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念教学过程课前检查与交流作业完成情况：交流与沟通针对性授课一、函数的概念一、复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等问题1：（）是函数吗？问题2：与是同一函数吗？观察对应：304560902122239411-12-23-33-32-21-1149123123456(1)(2)(3)(4)开平方求正弦求平方乘以2AAAAB BBB1二、讲解新课：（一）函数的有关概念设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的函数，记作，x A其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合（B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号表示“y是x的函数”，有时简记作函数.(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应这里A, B 为非空的数集.（2）A：定义域，原象的集合；：值域，象的集合,其中B ；：对应法则， A ， B（3）函数符号：是的函数，简记（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数:定义域R,值域R;2．反比例函:定义域,值域;3．二次函数:定义域R值域：当时，；当时，（三）函数的值：关于函数值例：=+3x+1 则f(2)=+3×2+1=11注意：1在中表示对应法则，不同的函数其含义不一样2不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3与是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素：对应法则、定义域A、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数三、例题讲解例1求下列函数的定义域：①；②；③.例2 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).例3下列函数中哪个与函数是同一个函数？⑴；⑵；⑶例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？①②③二、函数－区间的概念及求定义域的方法教学过程：一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定前面我们已经学习了函数的概念，，现在我们来学习区间的概念和记号二、讲解新课：1．区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a x b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；③满足不等式a x<b 或a<x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].这里的实数a和b叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：数轴表示定义名称符号{x|a x b} 闭区间[a，b]{x|a<x<b} 开区间(a，b){x|a x<b} 左闭右开区间[a，b]{x|a<x b} 左开右闭区间(a，b)这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足x a，x>a，x b，x<b 的实数x的集合分别表示为[a，+，（a，+）,(- ,b,(- ,b).注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；②有两个区间端点，且左端点小于右端点；③两个端点之间用“，”隔开.2．求函数定义域的基本方法我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合.有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.4．复合函数：设f(x)=2x3，g(x)=x2+2，则称f[g(x)] =2(x2+2)3=2x2+1（或g[f(x)] =(2x3)2+2=4x212x+11）为复合函数三、讲解范例：下面举例说明函数定义域的求法.例1已知例2已知f(x)=x2 1 g(x)=求f[g(x)]例3 求下列函数的定义域：①②③④⑤例4 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围例5 若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.求解函数解析式例6 已知f(x)满足，求；例7设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.四、练习：1．设的定义域是[3，]，求函数的定义域2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x1, 求f(x)的解析式3．若,求f(x)检测：补充：1已知：=x x+3 求：f(x+1), f()2已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].3 若求f(x)三、函数－映射内容分析：本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识因此，要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映射是是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念映射中涉及的“原象的集合A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映射的例子映射是现代数学的一个基本概念教学过程：一、复习引入：在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应函数的概念本节我们将学习一种特殊的对应—映射.二、讲解新课：看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集0 300 450 600 902122 239 4 11 -12 -23 -33-32-21-1149123123456(1)(2)(3)(4)开平方求正弦求平方乘以2A AAAB BBB1说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射记作：象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且，如果元素和元素对应，则元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？回答：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集合B的映射思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；三、例题讲解例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？a e a e a eb f b f b fc g c g c gd d(是) （不是）（是）是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的例2下列各组映射是否同一映射？a e a e d eb f b f b fc g c g c g例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则（2）设，对应法则（3），，（4）设（5），四、练习：1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）2．设A=N*，B={0，1}，集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A中没有象））3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（是）4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元素x按照对应法则“f ：a b=(a1)2”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？（是）5．在从集合A到集合B的映射中，下列说法哪一个是正确的？（A）B中的某一个元素b的原象可能不止一个（B）A中的某一个元素a的象可能不止一个（C）A中的两个不同元素所对应的象必不相同（D）B中的两个不同元素的原象可能相同6．下面哪一个说法正确？（A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射（B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射（C）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B 只能建立一个映射（D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个映射7．集合A=N，B={m|m=,n∈N},f:x→y=，x∈A，y∈B.请计算在f作用下，象，的原象分别是多少.( 5，6.)分析：求象的原象只需解方程=求出x即可.同理可求的原象.课堂检测课后作业1判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸， A⑴、⑵ B⑵、⑶ C⑷ D⑶、⑸2函数的图象与直线的公共点数目是（）A B C或 D或3已知，若，则的值是（）A B或 C，或 D4设函数则实数的取值范围是5函数的定义域6若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是7函数的定义域是__________________8函数的最小值是_________________9求函数的定义域10.是关于的一元二次方程的两个实根，又，求的解析式及此函数的定义域11已知函数在有最大值和最小值，求、的。
第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。
[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。
[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。
[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。
[2]分段函数的概念。
2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。
3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。
4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。
这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。
【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。
【板演/PPT】PPT演示三个实例。
【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。
相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。
重点：理解函数的三要素：定义域、对应法则及值域，会求函数的定义域与函数值，在此过程中培养学生的逻辑推理、数据分析、数学运算的素养。
难点：进一步理解函数的对应关系f，体会函数相等的概念。
学生在第一课时已经学习过函数的概念，并对函数的概念有了深刻的理解。
在此基础上让学生理解函数的三要素、判断两个函数相等，求函数的定义域及值域相对好理解，但是抽象函数的定义域对学生是一个考验。
注意：1、区间是集合的另一种表示形
式，注意与不等式的区别。
如：x ≥－1与[－1，＋∞)是完全不同的 2、写区间的端点时，一定注意书写准确
根据具体实例结合数形结合让学
生加深对区间的
理解，使实例成
为理解概念的一
种思维载体。
【练一练】 (1)用区间表示{x |x ≥0且x ≠2}注意区间左端点
【例1】 把下列数集用区间表示： (1){x |x ≥－1}； (2){x |x <0}；
(3){x |－1<x <1}； (4){x |0<x <1或2≤x ≤4}.
；
量的值求对应的
函数值，提高学
生数学运算的核
心素养，为求函
数的值域打好基．
础。
通过函数的定义，学生自主归纳出两个函数是同一个函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养。
通过具体的例子，使学生掌握同一函数的判断方法.
通过课堂练习，巩固本节学习的内容。
高一数学教案《函数概念》高一数学教案《函数概念》作为一名专为他人授业解惑的人民教师，可能需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
教案应该怎么写才好呢？下面是店铺为大家收集的高一数学教案《函数概念》，仅供参考，欢迎大家阅读。
高一数学教案《函数概念》1教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法;使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入[师]在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的?(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述).设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.[师]我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：问题一：y=1(xR)是函数吗?问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?(学生思考，很难回答)[师]显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).Ⅱ.讲授新课[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.在(1)中，对应关系是乘2，即对于集合A中的每一个数n，集合B 中都有一个数2n和它对应.在(2)中，对应关系是求平方，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.在(3)中，对应关系是求倒数，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 1x 和它对应.请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢?[生]一对一、二对一、一对一.[师]这3个对应的共同特点是什么呢?[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.[师]生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，xA}叫函数的值域.一次函数f(x)=ax+b(a0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a0)和它对应.反比例函数f(x)=kx (k0)的定义域是A={x|x0}，值域是B={f(x)|f(x)0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx (k0)和它对应.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域是R，值域是当a0时B={f(x)|f(x)4ac-b24a };当a0时，B={f(x)|f(x)4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y=1(xR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系函数值是1，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x0}. 所以y=x与y=x2x 不是同一个函数.[师]理解函数的定义，我们应该注意些什么呢?(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结)注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号f:AB表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示Ⅲ.例题分析[例1]求下列函数的定义域.(1)f(x)=1x-2 (2)f(x)=3x+2 (3)f(x)=x+1 +12-x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.解：(1)x-20，即x2时，1x-2 有意义这个函数的定义域是{x|x2}(2)3x+20，即x-23 时3x+2 有意义函数y=3x+2 的定义域是[-23 ，+)(3) x+10 x2这个函数的定义域是{x|x{x|x2}=[-1，2)(2，+).注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+32+1=11注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢?[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行计算即可.[师]回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.[师]生乙的回答完整吗?[生]完整!(课本上就是如生乙所述那样写的).[师]大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么?[生]函数的定义.[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)(无人回答)[师]同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!(生恍然大悟，我们怎么就没想到呢?)[例2]求下列函数的值域(1)y=1-2x (xR) (2)y=|x|-1 x{-2，-1，0，1，2}(3)y=x2+4x+3 (-31)分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用直接法根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即图象法.解：(1)yR(2)y{1，0，-1}(3)画出y=x2+4x+3(-31)的图象，如图所示，当x[-3，1]时，得y[-1，8]Ⅳ.课堂练习课本P24练习17.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳) Ⅵ.课后作业课本P28，习题1、2. 文章来高一数学教案《函数概念》2教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国xxxx年4月份非典疫情统计：日期222324252627282930新增确诊病例数10610589103113126981521013.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的'有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
课 题：2.1.2函数－区间的概念及求定义域的方法教学目的：1．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法；2．培养抽象概括能力和分析解决问题的能力； 教学重点：“区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法 教学难点：正确求分式函数、根式函数定义域 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x 和y 之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定前面我们已经学习了函数的概念，，今天我们来学习区间的概念和记号二、讲解新课：1．区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号. 设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）； ③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b].这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：定 义 名 称 符 号 数 轴 表 示{x|a ≤x ≤b}闭区间[a ，b]{x|a<x<b}开区间(a ，b){x|a ≤x<b} 左闭右开区间 [a ，b]{x|a<x ≤b} 左开右闭区间(a ，b)这样实数集R 也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b). 注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）； ②有两个区间端点，且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“，”隔开. 2．求函数定义域的基本方法我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.4．复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数 三、讲解范例：下面举例说明函数定义域的求法.例1已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ⇒1)]}1([{)0(;0)1(;2)1(+=-==-=ππf f f f f f例2已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]解：f [g (x )]=（1+x ）2-1=x +2x例3 求下列函数的定义域： ①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤-≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或4133≥-≤<-->⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<-->x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例4 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例5 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.例6 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f ；∵已知x x f x f 3)1()(2=+ ①，将①中x 换成x 1得xx f x f 3)()1(2=+ ②， ①×2-②得x x x f 36)(3-= ∴xx x f 12)(-=.例7 设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式.解：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ,∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；又∵f(x)满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，∴得对称轴x=2且2122122212)(x x x x x x -+=+=10，即22=-ab且10622=-a a b ，∴a=1，b=-4，∴34)(2+-=x x x f四、练习：1．设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x∵x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式解：设f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x -1则⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f 3．若x x x f 21(+=+）,求f(x) 解法一（换元法）：令t=1+x 则x=t 2-1, t ≥1代入原式有1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f∴1)(2-=x x f （x ≥1）解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x∴1)1()1(2-+=+x x f 1+x ≥1∴1)(2-=x x f (x ≥1)五、小结 本节课学习了以下内容：区间的概念和记号，求函数定义域的基本方法，求解析式的方法，分段函数；复合函数六、课后作业：课本第52页习题2.1：6补充：1 已知：)(x f =x 2-x+3 求： f(x+1), f(x1) 解：f(x 1)=(x 1)2-x1+3； f(x+1)=(x+1)2-(x+1)+3=x 2+x+32 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]. 解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15；f[g(x)]=4g(x)+3=4x 2+3；g[f(x)]=[f(x)]2=(4x+3)2=16x 2+24x+9； g[g(x)]=[g(x)]2=(x 2)2=x 4. 3 若xxx f -=1)1( 求f(x) 解： 令x t 1= 则tx 1= (t ≠0) 则11111)(-=-=t tt t f∴f(x)=11-x (x ≠0且x ≠1)七、板书设计（略） 八、课后记：。
