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三角函数图像

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- 1 - 三角函数图像

同学们，你们知道什么叫三角函数吗？三角函数是几何中非常重要的一个工具，能够帮助我们解决许多问题。比如，它可以解决在分角器上分不出30°角的时候；又或者当我们要求两点之间的距离时，都要用到三角函数。

三角函数的概念是这样定义的，如果我们想要知道a， b， c之间的关系，只需把他们的值代入相应的公式即可。

我们常见的三角函数图像就有两种。正弦函数的图像是对边和斜边的延长线，斜边的长度等于这两个角的大小之积。余弦函数的图像是对边和斜边的内切圆。正切函数的图像是直角三角形的两个直角边和斜边的延长线。而余切函数的图像则是直角三角形的斜边和另外两条直角边的延长线。所以同学们千万不要觉得这个好像很简单，其实在图像背后还有着各种各样的知识，请大家在以后的学习中，多思考。

，先来讲一讲与三角函数有关的初等几何问题。三角函数的图像的特点是，每一个锐角（直角三角形的三个角）的角度都是固定的，这种性质在几何中经常被使用。比如：将三角函数的图像画在纸上，通过这个图像，你可以确定这个锐角所在的直角三角形的形状。除此之外，三角函数图像中对应点的位置也有特殊的性质。这个性质是从立体几何中“空间直角坐标系”发展过来的，而且是至今仍在使用的性质。

- 2 - ，三角函数的函数值都是用弧度来表示的，但是每个三角函数都有无数多个函数值，那么它们的大小究竟有没有规律呢？有人做了这样一个实验：把不同的函数值的三角函数值随意取出来，按照大小顺序排列起来，就像下面的图片一样，不过这些函数值的大小并不一样。当我们把第一组的函数值随意加起来，就会得到第一组的结果。当把第二组的函数值随意加起来，就会得到第二组的结果。如果把第三组的函数值随意加起来，就会得到第三组的结果。然而，由于三角函数在计算中很常用，因此经常会遇到三角函数值的改变，导致函数图像也会随之改变，再把这些三角函数值叠加起来，就会得到最终的答案。

，现在就跟大家说一说两种图像，这两种图像都是正弦函数的图像，而且函数值都是由下往上的，所以也就叫做“上坡”和“下坡”。关于正弦函数的计算，我们已经完全掌握了。接下来，我们将会更深入地探讨其他三角函数的图像。

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三角函数公式及图像

三角函数公式及图像

锐角三角函数公式

sin α=∠α的对边 / 斜边

cos α=∠α的邻边 / 斜边

tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边

cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

最全三角函数概念公式、图像大全完整版.doc

最全三角函数概念公式、图像大全完整版.doc

初等函数的图形

幂函数的图形

指数函数的图形

对数函数的图形

三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号

sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα

三角函数的性质

函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx

定义域 R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+2,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝

值域 ［-1，1］x=2kπ+2 时ymax=1

x=2kπ-2 时ymin=-1

［-1,1］

x=2kπ时ymax=1

x=2kπ+π时ymin=-1

R

无最大值

无最小值 R

无最大值

无最小值

周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数

单调性 在［2kπ-2,2kπ+2 ］上都是增函数；在［2kπ+2 ,2kπ+32π］上都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z) 在(kπ-2，kπ+2)内都是增函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)

反三角函数的图形

反三角函数的性质

名称 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数

定义 y=sinx(x∈〔-2,2 〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy y=tanx(x∈(-2 ,

2 )的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctany y=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty

理解 arcsinx表示属于［-2,2］

且正弦值等于x的角 arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角 arctanx表示属于(-2,2)，且正切值等于x的角 arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角

高一数学三角函数的图像和性质

高一数学三角函数的图像和性质

高一数学三角函数的图像性质

1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

2、正弦函数sin()yxxR、余弦函数cos()yxxR的性质：

（1）定义域：都是R。

（2）值域：都是1,1；①对sinyx，当22xkkZ时，y取最大值1；当322xkkZ时，y取最小值－1；②对cosyx，当2xkkZ时，y取最大值1，当2xkkZ时，y取最小值－1。

3、周期性：①sinyx，cosyx的最小正周期都是2；②()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是2||T。

4、奇偶性、对称性与单调性：

奇偶性与单调性：

①正弦函数sin()yxxR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；②余弦函数cos()yxxR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。

单调性：

①sin2,222yxkkkZ在上单调递增，在32,222kkkZ单调递减；

②cosyx在2,2kkkZ上单调递减，在2,22kkkZ上单调递增。

常见三角函数图像及其性质

常见三角函数图像及其性质

常见三角函数图像及其性质

三角函数介绍

正弦函数

主词条：正弦函数

格式：sin（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数

函数图像：波形曲线

值域：1,1-

余弦函数

主词条：余弦函数

格式：cos（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数 函数图像：波形曲线

值域：1,1-

正切函数

主词条：正切函数

格式：tan（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映

值域：，-

余切函数

主词条：余切函数

格式：cot（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数 函数图像：上图平面直角坐标系反映

值域：，-

正割函数

主词条：正割函数

格式：sec（θ）

作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数

函数图像：上图平面直角坐标系反映

值域：，，11--

余割函数

主词条：余割函数

格式：csc（θ）

作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数 函数图像：右图平面直角坐标系反映

值域：，，11--