三角函数图像1
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1 三角函数的图象与性质
4.1 正弦函数、余弦函数的图象
平静的水面投下一颗石子，荡起阵阵水波；在空间中光波、声波、电磁波无处不在，这些波传播的波动图与我们所学的三角函数的图象有什么联系呢？
X新知导学in zhi dao xue
1．正、余弦函数解析式
函数 解析式 定义域
正弦函数 y＝sinx R
余弦函数 y＝cosx R
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：利用正弦线画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，是把角x的__正弦线__向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象．
(2)五点法：用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象的步骤是：
①列表：
x 0 π2 π 3π2 2π
y＝sinx 0 1 0 －1
0
②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)， (π2，1) ，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．
③用__光滑的曲线__顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图．
y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向__左__、__右__平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．
3．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做__正弦__曲线和__余弦__曲线．
(2)图象：如图所示． 2
[知识点拨]1.函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈R的图象的关系
(1)函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象是函数y＝sinx，x∈R的图象的一部分．
(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致，因此将y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就可得到函数y＝sinx，x∈R的图象．
2．正弦曲线和余弦曲线的关系
y＝sinx，x∈R的图象向左平移π2个单位向右平移π2个单位y＝cosx，x∈R的图象
1．用五点法画y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( A )
A．(π6，12) B．(π2，1)
C．(π，0) D．(2π，0)
2．用五点法作函数y＝2sin2x的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是( B )
A．0、π2、π、3π2、2π B．0、π4、π2、3π4、π
C．0、π、2π、3π、4π D．0、π6、π3、π2、2π3
[解析] 令2x＝0、π2、π、3π2、2π，解得x＝0、π4、π2、3π4、π．
3．已知正弦函数过点(π6，m)，则m的值为( A )
A．12 B．－12
C．32 D．1
4．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于( B
)
A．π2 B．π
C．3π2 D．2π
命题方向1 ⇨用“五点法”作三角函数的图象
典例1 用“五点法”作出下列函数的简图： 3 (1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．
[思路分析] 先在[0,2π]上找出五个关键点，再用光滑曲线连接即可．
[解析] (1)列表
x
0 π2 π 32π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
sinx－1 －1 0 －1 －2 －1
描点，连线，如图
(2)列表：
x 0 π2 π 32π 2π
cosx 1
0 －1 0
1
2＋cosx 3 2 1 2 3
描点连线，如图
『规律总结』 用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
x 0 π2 π 32π 2π
sinx或cosx 0或1 1或0 0或－1 －1或0 0或1
y y1 y2 y3 y4 y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(π2，y2)，(π，y3)，(3π2，y4)，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
〔跟踪练习1〕用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图． 4 (1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1．
[解析] (1)按五个关键点列表：
x
0 π2 π 3π2 2π
sinx 0 1 0 －1 0
2－sinx 2 1 2 3 2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1))．
(2)按五个关键点列表：
x 0 π2 π 3π2 2π
cosx 1 0 －1 0 1
cosx－1 0 －1 －2 －1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(2))．
命题方向2 ⇨利用图象变换作三角函数的图象
典例2 利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
[思路分析] 先作出y＝cosx和y＝sinx，x∈[0,2π]上的图象，再作对称和平移变换．
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图(2)所示． 5
『规律总结』 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称．
〔跟踪练习2〕关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称；
其中正确说法的序号是__②④__．
利用正、余弦函数的图象解三角不等式
典例3 画出正弦函数y＝sinx(x∈R)的简图，并根据图象写出y≥12时x的集合．
[思路分析] (1)作出y＝sinx，与y＝12的图象．(2)确定sinx＝12的x值．(3)确定sinx>12的解集．
[解析] 用“五点法”作出y＝sinx的简图．
过(0，12)点作x轴的平行线，
从图象可看出它在[0,2π]区间与正弦曲线交于(π6，12)，(5π6，12)点，
在[0,2π]区间内，y≥12时x的集合为{x|π6≤x≤5π6}，
当x∈R时，若y≥12，则x的集合为{x|π6＋2kπ≤x≤5π6＋2kπ，k∈Z}．
『规律总结』 1.用三角函数的图象解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)作出直线y＝a，作出y＝sinx(或y＝cosx)的图象．
(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．
(3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集．
2．利用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法 6 (1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
〔跟踪练习3〕不等式cosx>0，x∈[0,2π]的解集是 [0，π2)∪(32π，2π] ．
[解析] 由余弦函数图象知，
x∈[0，π2)∪(32π，2π]．
利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数
典例4 方程sinx＝lgx的实根个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无穷多个
[错解] A，如图所示，y＝sinx与y＝lgx的图象，有且只有1个公共点，故选A．
[错因分析] 作y＝lgx图象时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图．
[思路分析] 画出y＝sinx的图象后要充分利用y＝lgx过(1,0)点和(10,1)点来确定解的个数，准确画图是解答此类题的关键．
[正解] C 在同一直角坐标系中作函数y＝sinx与y＝lgx的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1,2,3)是方程sinx＝lgx的解．
[点评] 有些方程从正面直接求解较难时，可通过对方程变形，转化成两个熟悉的函数，再通过画函数图象，利用数形结合求解．
〔跟踪练习4〕函数y＝sinx与y＝12x的图象在(－π2，π2)上的交点有( D )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
课堂检测1．用“五点法”作出函数y＝3－cosx的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是( A ) 7 A．(π，－1) B．(0,2)
C．(π2，3)
D．(32π，3)
2．函数y＝－sinx，x∈[－π2，3π2]的简图是( D )
[解析] 用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin0＝0，排除选项A、C；又x＝－π2时，y＝－sin(－π2)＝1，排除选项B．
3．函数y＝sinx与函数y＝－sinx的图象关于( A )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
[解析] 在同一坐标系中画出函数y＝sinx与函数y＝－sinx的图象，可知它们关于x轴对称．
4．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－12的交点有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 如图所示，y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝－12的图象有2个交点．
5．用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sinx(0≤x≤2π)；
(2)y＝1＋cosx(0≤x≤2π)．
