曲线积分与曲面积分期末复习题

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题

1．曲线积分()sin()cosxLfxeydxfxydy与路径无关,其中()fx有一阶连续偏导数,且(0)0f,则()fx B

A.1()2xxee B. 1()2xxee C. 1()2xxee

2．闭曲线C为1xy的正向,则Cydxxdyxy C

.2 C

3．闭曲线C为2241xy的正向,则224Cydxxdyxy D

A.2 B. 2 D. 

4．为YOZ平面上221yz,则222()xyzds D

B.  C. 14 D. 12

5．设222:Cxya,则22()Cxyds C

A.22a B. 2a C. 32a D. 34a

6. 设为球面2221xyz,则曲面积分222dS1xyz的值为 B

A.4 B.2 C. D.12

7. 设L是从O0,0到B1,1的直线段,则曲线积分Lyds C

A. 21 B. 21 C. 22 D. 22

8. 设I=Ldsy 其中L是抛物线2xy上点0, 0与点1, 1之间的一段弧,

则I=D

A. 655 B.1255 C.6155 D. 12155

9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 ,那么  是 D

A. lydyxdx21； B. lxdxydy21； C. lxdyydx21； D. lydxxdy21;

10．设2222:(0)SxyzRz,1S为S在第一卦限中部分,则有 C

A.14SSxdsxds B.14SSydsyds

C.14SSzdszds D.14SSxyzdsxyzds

二、填空题

1. 设L是以0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1为顶点的正方形边界正向一周,则曲线积分Lydyxeydx)(2 -2

为球面2222azyx的外侧,则sdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(0

3. 12222yxyxxdyydx =2

4．曲线积分22()Cxyds,其中C是圆心在原点,半径为a的圆周,则积分值为32a

5．设∑为上半球面2240zzyx,则曲面积分222dsyxz= 32π

6. 设曲线C为圆周221xy,则曲线积分223dCxyxs 2 .

7. 设C是以O0,0,A1,0,B0,1为顶点的三角形边界,则曲线积分Cds)yx(1+2

8. 设为上半球面224zxy,则曲面积分222d1sxyz的值为 83;

9. 光滑曲面z=fx,y在xoy平面上的投影区域为D,则曲面z=fx,y的面积是

DdyzxzS22)()(1

10．设L是抛物线3yx上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧,则曲线积分(24)Lxydx 12

11、cos,sin,30xtytztt设为螺旋线上相应于从到的一段弧，

222()Ixyzds则曲线积分 221

;

12、设L为222xya的正向,则22Lxdyydxxy

2 ; 三、计算题

1．22xyLeds,其中L为圆周221xy,直线yx及x轴在第一象限所围图形的边界;

解：记线段OA方程2,02yxx,圆弧AB方程cos,0sin4xy

线段OB方程0,01yx;

则原式＝22xyOAeds＋22xyABeds＋22xyOBeds＝22202xedx＋40ed＋10xedx

＝2(1)4ee

2．2222[ln()]Lxydxyxyxxydy,其中L为曲线sin,0yxx与直线段0,0yx所围闭区域D的正向边界;

解：利用格林公式,22Pxy,22[ln()]Qyxyxxy,则

22Pyyxy,222Qyyxxy

故原式＝ ()DQPdxdyxy2Dydxdysin200xdxydy＝3014sin39xdx

3．22Lydxxdy,其中L为圆周222xyR的上半部分,L的方向为逆时针;

解：L的参数方程为cossinxRtyRt,t从0变化到;

故原式＝22220[sin(sin)cos(cos)]RtRtRtRtdt

＝3220[(1cos)(sin)(1sin)cos]Rttttdt＝343R

4．求抛物面22zxy被平面1z所割下的有界部分的面积;

解：曲面的方程为22,(,)zxyxyD,这里D为在XOY平面的投影区域22{(,)1}xyxy;

故所求面积＝221xyDzzdxdy2214()Dxydxdy 21200551146drrdr

5、计算(sin)(cos)xxLeymydxeymdy,其中L为圆222()(0)xayaa的上半圆周,方向为从点(2,0)Aa沿L到原点O;

解：添加从原点到点A的直线段后,闭曲线所围区域记为D,利用格林公式

(sin)xPeymy,cosxQeym,cosxPeymy,cosxQeyx

于是(sin)(cos)xxLeymydxeymdy＋(sin)(cos)xxOAeymydxeymdy

＝22Dmamdxdy

而(sin)(cos)xxOAeymydxeymdy＝20000adx,于是便有

(sin)(cos)xxLeymydxeymdy＝22ma

6．222222()()()Lyzdxzxdyxydz,其中L为球面2221xyz在第一

卦限部分的边界,当从球面外看时为顺时针;

解：曲线由三段圆弧组成,设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程

0cossinxytzt,t从2变化到0;

于是

222222()()()AByzdxzxdyxydz＝0222[sin(sin)cos(cos)]ttttdt＝43

由对称性即得

222222222222()()()3()()()4LAByzdxzxdyxydzyzdxzxdyxydz

7．(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy,其中为平面1,0,xyzx0,y

0z所围立体的表面的外侧;

解：记1为该表面在XOY平面内的部分,2为该表面在YOZ平面内的部分, 3为该表面在XOZ平面内的部分,4为该表面在平面1xyz内的部分;

1的方程为0,01,01zyxx,根据定向,我们有

1(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy＝1(1)zdxdy＝010112xyxdxdy

同理,21(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy

31(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy

4的方程为1,01,01zxyyxx,故

4(1)zdxdy01012(2)3xyxxydxdy,

由对称性可得

4(1)xdydz42(1)3ydzdx,

故

4(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy

于是所求积分为112322

8．计算曲面积分：()[2sin()](3)xySxyzdydzyzxdzdxzedxdy,其中

S为曲面1xyz的外侧;

解：利用高斯公式,所求积分等于1(123)uvwdxdydz=116832=8

9. 计算I=sxzdxdyyzdzdxxydydz,其中S为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立

体的表面外侧

解：设V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体

由Gass公式得:

I=Vdxdydzzyx)(

=yxxdzzyxdydx101010)(

=81 10．计算I=ydzxdyzydxx2233,其中是从点A3, 2, 1到点B0, 0, 0

的直线段AB

解：直线段AB的方程是123zyx；化为参数方程得：

x=3t, y=2t, z=t, t从1变到0,

所以：

I=ydzxdyzydxx2233

＝03221[(3)33(2)2(3)2]tttttdt＝48787013dtt

11. 计算曲线积分I=AMOxxdyyedxyye,)2cos()2sin( 其中AMO是由点Aa,0至点O0, 0 的上半圆周axyx22

解：在x轴上连接点O0, 0, Aa, 0

将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA

在线段OA上, OAxxdyyedxyye0)2cos()2sin(

从而AMOOAAMOAAMO

又由Green公式得:

AMOAaxyxxxadxdydyyedxyye2242)2cos()2sin(2

12. 计算曲线积分dzydyxdxzL333其中L是z=2)(22yx与z=322yx 的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向