曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分

一、 知识要点

1、定义、定理

(1)定理1(格林公式)：设分段光滑的有向闭曲线L为有界闭区域D的正向边界，函数P(x,y)，Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有：

LDQdyPdxdxdyyPxQ)(

(2) 定理2(曲线积分与路径无关的充要条件) ：设G为平面单连通开区域，函数),(yxP，),(yxQ在G内具有连续的一阶偏导数，那么曲线积分LQdyPdx与路径无关xQyP在G内成立。

(3) 定理3 ：设函数),(),,(yxQyxP在开区域G内具有一阶连续偏导，则曲线积分dyyxQdxyxP,, 在G内为某一函数yxu,的全微分的充要条件是等式xyxQyyxP,,在G内恒成立。

（4）定理4（高斯公式）：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数zyxP,,、zyxQ,,、zyxR,,在上具有一阶连续偏导数，则有RdxdyQdxdzPdydzdvzRyPxQ)(

或 dSRQPdvzRyPxQcoscoscos)(,其中，cos,cos,cos为外法向量的方向余弦。

（5）定理4（斯托克斯公式）：设L为分段光滑的空间有向闭曲线，是以L为边界的分片光滑的有向曲面，L的正向与的侧符合右手规则，函数zyxRzyxQzyxP,,,,,,、、在包含在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有

LRdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz，或LRdzQdyPdxdSRQPzyxcoscoscos

2、 公式

(1)对弧长的曲线积分的计算公式：(,在相应区间上具有一阶连续导数)

①若)( )()(:ttytxL，则dtttttfdsyxfL)()()](),([),(22 )(

②若)( )(:bxaxyL，则baLdxxxxfdsyxf)(1)](,[),(2 )(ba

③若)( )(:dycyxL，则dcLdyxyyfdsyxf1)()]),([),(2 )(dc

(2)对坐标的曲线积分的计算公式：(,在相应区间上具有一阶连续导数)

①若):( )()(:ttytxAB，则dttttQtttPdyyxQdxyxPAB)}()](),([)()](),([{),(),(

②若):( )(:baxxyAB，则ABdyyxQdxyxP),(),(badxxxxQxxP)}()](,[)](,[{

③若):( )(:dcyyxAB，则ABdyyxQdxyxP),(),(dcdyyyQyyyP]},[)(],[{

(3)两类曲线积分的转换公式： ①LLdsQPdyyxQdxyxPcoscos),(),(，其中，yxyx,,、为有向曲线弧L上点yx,处的切线向量的方向角。

②LLdsRQPdzzyxRdyzyxQdxzyxPcoscoscos,,),,(),,(，其中，zyxzyxzyx,,,,,,、、为空间有向曲线弧L上点zyx,,处的切线向量的方向角。

(4)对面积的曲面积分的计算公式：

①若XYDyxyxzz,,,:，则XYDyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf,,1,,,,,22

②若XzDzxzxyy,,,:，则XZDzxdxdzzxyzxyzzxyxfdSzyxf,,1,,,,,22

③若yzDzyzyxx,,,:，则yZDzydydzzyxzyxzyzyxfdSzyxf,,1,,,,,22

(5)对坐标的曲面积分的计算公式：

①若XYDyxyxzz,,,:，则

i)XYDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,,,,,，有向曲面为上侧。

ii) XYDdxdyyxzyxfdSzyxf,,,,,，有向曲面为下侧。

②若XzDzxzxyy,,,:，则

i)XzDdxdzzzxyxQdxdzzyxQ,,,,,，有向曲面为右侧。

ii) XzDdxdzzzxyxQdxdzzyxQ,,,,,，有向曲面为左侧。

③若yzDzyzyxx,,,:，则

i)yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,,,,,，有向曲面为前侧。

ii) yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,,,,,，有向曲面为后侧。

(6)两类曲面积分的转换公式：

dSRQPRdxdyQdxdzPdydzcoscoscos，其中，zyxzyxzyx,,,,,,、、为有向曲曲面上点zyx,,处的法向量的方向角。

1、计算Lyxdse22，L为0,0yx，222ayx所围区域在第一象限内的整个边界。

2、计算Lxds，其中L是星形线tytx33sin2,cos2经过点)0,2(),2,0(),0,2(BCA的ACB弧段。

3、计算dyyxdxyxL）653()42(,其中L是从)0,4()2,3()0,0(BAO再到到的折线段。

4、计算Ldyxdxy33，其中L是从)0,(RA到)0,(RB的上半圆周22xRy。

5、计算Ldyxdxyx)2()(22，其中L是以)1,0(),0,1(),0,0(BAO为顶点的三角形区域的正向边界。 6、计算Ldyxxdxyyx)3()2(32，其中L为以1x,xy,xy2为边的三角形正向边界。

7、计算Ldyyxdxyx)()(，其中L为椭圆曲线12222byax的正向。

8、计算Lxxdymyedxmyye)cos()sin(，其中L为由点)0,(aA到点)0,0(O的上半圆周)0(22aaxyx。

9、计算Lyydyyxedxxe）2()(，L为曲线22xy由)0,0(A到)2,1(B的一段弧。

10、设Ldyyxydxykx42233。问k取何值时，该积分与路径无关，其中L与x轴不相交；该积分与路径无关时，计算此积分，此时L为xy1从)21,2(到)1,1(的一段弧。

11、计算Lyxxdyydx)(222，其中L为圆周2)1(22yx的正向。

12、计算dsecyx22，c是由4,0,和ar所围成的平面域的边界，这里,r是极坐标。

13、计算dyxyydxxc22106，c是由02222zyxRzyx和所表示的圆的一周。

14、计算dsxc2，c是由02222zyxRzyx和所表示的圆的一周。

15、计算dyyxedxxeycy2，c为沿着一个圆从由到0,0A经过点（0，1）到点2,1的一段。

16、计算dzzxdyydxc232，c是圆周0,9222zzyx，若从x轴正向看去，取逆时针方向。

17、计算dyyxydxyyxOA222cos22cos，其中OA为沿着一个圆从由0,sin0,0Axyo到沿的一段。

18、计算，方向逆时针。为半径的圆周为心，，为以点001,422RRcyxydxxdyc

19、轴正向看去，，若从，为椭圆xbabzaxayxcdzyxdyxzdxzyc0,1,222

取逆时针方向。

20、计算,3Lxydzxzdyyzdx

的直线段；，，到是从点3211,1,01BAL

正向看呈逆时针。的交线，从与平面是圆柱面OZzyyyxL0134222

21、Ltdyyxfxydxxoyyxf恒有与路径无关，并对任意，面上有一阶连续偏导数在,2,.,,,2,21,00,100yxfdyyxfxydxdyyxfxydxtt求，，

22、设在yxM,处对质点的作用力F的方向恒指向原点O，且F的大小与点yxM,到原点的距离成正比，求力F沿路径22xabay将质点从点0,aA移到bB,0所作的功W。

23、计算曲线积分CdzyxdyxzdxzyI222222，其中c是球面1222zyx在第一挂限部分的边界曲线，c的方向与球面的外发向量符合右手法则。

24、 设有平面力场jxfixyxfxFln，其中具有连续二阶导数，若曲线积分。试求与路径无关，且xfeffFdlL,2,01

25、计算之间的部分与介于为圆柱面hzzayxSdSxS0,2222。

26、计算所围成立体的表面。和平面为曲面10,22222zzyxSdSyxS

27、计算所截得的部分。被为平面164,22yxzySdSzyxS

28、计算的外侧。为球面0,2222333RRzyxSdxdyzdzdxydydzxS

29、的下侧。为半球面，计算03322zyxzSzdxdyS

30、轴绕上的曲线为坐标面，计算xyexxoySzxdxdyxydzdxdydzxSy2048122

。轴正向的夹角大于曲面，它的法线矢量与旋转一周所围成的旋转2x

31、所截部分的外侧。被平面为半球面，计算1,02222zzyxzSdxdyzzydzdxxdydzS

32、所截部分的上侧。被为，计算1,0122222zzyxzSzdxdydzdxzxydydzyzxS

33、之间部分的上侧。介于为，计算1,0222222zzyxzSdxdyzxdzdxyzS

34、,,,,0coscoscoszyxXXdSyXxYxZzXzYyZ其中证明：

数，内具有二阶连续偏导函围成的立体上及由在闭曲面zyxZZzyxYY,,,,,

轴正向的夹角。的外法线与为，，zyx,,