曲线与曲面积分练习题含答案
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1 第十一章 曲线曲面积分练习题
一、填空题
1、设L是从点(1,1)到点(2,3)的一条光滑曲线，则()()Lxydxxydy
2、设简单闭曲线C所围成的面积为A，则22()(sin)xCeydxxydy
3、设2222:xyza，则曲面积分________zdS
4、设曲线为22220xyzaxyz，则22()____Ixyzds
5、设2222:xyza，则曲面积分222()________xyzdS
6、设是球面2222xyza的外侧，则，222xzdxdyyxdydzzydzdx
7、设是曲面22zxy介于平面0z和2z之间部分的下侧，则2()zxdydzzdxdy=
（二）选择题
1、 设L是从点1(1,)2A沿曲线22yx到点(2,2)B的弧段，则曲线积分222Lxxdxdyyy之值等于 [ ]
(A) 3 (B) 0 (C) 32 (D) 3
2、 设AEB是由(1,0)A沿上半圆21yx，经过(0,1)E到(1,0)B.则曲线积分22AEBIxydy [ ] 2 (A) 0 (B) 222AExydy (C) 222EBxydy (D) 222BExydy
3、设2222:1xyLab，则曲线积分22Lydxxdyxy [ ]
(A) 与L取向无关，与a，b大小有关 (B) 与L取向无关，与a，b大小无关
(C) 与L取向有关，与a，b大小有关 (D) 与L取向有关，与a，b大小无关
4、 设曲线L是区域D的正向边界，那么D的面积为 [ ]
(A)Lxdyydx (B)Lxdyydx (C)12Lxdyydx (D)12Lxdyydx
5、设曲线积分[()]sin()cosxLfxeydxfxydy与路径无关，其中()fx具有一阶连续导数，且(0)0f，则()fx= [ ]
(A) 1()2xxee (B) 1()2xxee (C) 1()2xxee (D) 11()2xxee
6、 已知2()()xaydxydyxy为某函数的全微分，则a等于 [ ]
(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
7、设是部分锥面：222,01xyzz，则曲22()xydS= [ ]
(A)1200drrdr (B)21200drrdr (C)12002drrdr (D)212002drrdr
（三）曲线积分的计算
1、 求yLxeds，其中L是由cos(0)sinxatayat所表示的曲线上相应于233t的一段弧.
2、求()Lxyds，其中L是以(0,0),(1,0),(0,1)OAB为顶点的三角形边界.
3、求2()Lxyds，其中L为圆周222xya.
4、求ABCdxdyxy，其中ABC如图10.2所示
B(0,1) B(0,1)
A(1,0) C(-1,0) x y
图10.2 3
5、适当选取,ab,使2222222(2)(2)()yxyaxdxxxybydyxy是某个函数(,)uxy的全微分,并求出(,)uxy。
6、求3222(2cos)(12sin3)Lxyyxdxyxxydy,其中L为22xy从点(0,0)O到点(,1)2B的一段弧
7、试确定可导函数()fx,使积分()()[()]()BxAefxydxfxdy与路径无关,且求,AB为(0,0),(1,1)时的积分值.此处1(0)2f
8、计算224Lxdyydxxy，其中L为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线.
（四）.曲面积分的计算
1、 求2222zxydS，其中为锥面22zxy介于0z及1z之间的部分.
2、求xyzdS，为曲面22zxy被平面1z割下的部分
3、 求22zedxdyxy，为锥面22zxy及平面1z和2z所围成的立体表面的外侧
4、计算[(,,)][2(,,)][(,,)]fxyzxdydzfxyzydzdxfxyzzdxdy,其中(,,)fxyz为连续函数，为平面1xyz在第四卦限部分的上侧.
5、设是椭球面2222221xyzabc的外侧(0,0,0)abc,求
111Idydzdzdxdxdyxyz. 4
（五）Green公式、 Gauss 公式与Stokes公式
1、 求2(22)(4)Lxyydxxxdy，其中L为取正向的圆周229xy
2、 求2222Lxydyxydxxy，其中L为圆周222xya的逆时针方向.
3、 求(12)(cos)yyAOBIxyedxyxedy，
式中AOB为由点(1,1)A沿曲线2yx到
点(0,0)O，再沿直线0y到点(2,0)B的路径(图10.3)
4、求zdxdyydzdxxdydz，其中是球面2222xyza外侧.
5、求222xdydzydxdzzdxdy,为球面22()()xayb22()zcR的外侧.
6、求2232(1)(9)xzdydzyzdzdxzdxdy，其中是曲面
221(12)zxyz的下侧.
7、试求ydxzdyxdz，其中为平面1xyz被三个坐标面所截成三角形的整个边界，从z轴正向看沿顺时针方向.
8、求23ydxxzdyyzdz，其中是圆周222,2xyzz.若从z轴正向看去，取逆时针方向.
9、求44422221(),:(0)IxyzdSxyzaaa.
A(-1,1)
O(0,0) B(2,0) C(2,1)
x y 5 （一）1、52 2、2A 3、0 4、343a
5、244a 6、545a 7、8
（二）1、B 2、A 3、D 4、C 5、B 6、D 7、D
（三）1、解 （法一）2222sincosdsatatdtadt,
故 原式=22sinsin3333cos|0atatateadtae.
（法二）容易看出积分弧段关于y轴对称，而被积函数是关于变量x的奇函数，故
0yLxeds
2、解 ()()()()LOAABBOxydsxydsxydsxyds
111000212xdxdxydy
3、解 由对称性得0Lxyds，故
22222()(2)()2LLLLxydsxxyydsxydsxyds
2223022LLadsadsaaa
4、解（法一）:1,:10,,:1,:01,AByxxdydxBCyxxdydx
原式=0110()2(1)1ABBCdxdydxdydxdxdxdxxyxyxxxx
（法二） 因为 1xy,又 ()dxdydxy,故 原式=(1,0)(1,0)()2xy
5、解 因为
322332232222223(21)(12)32,2()()QxxybxyyPxaxyxyyxxyyxy 6 令 QPxy,比较系数得 1,1ab
2222(,)222(1,1)222222222211(2)(2)(,)()122(1)()xyxyyxyxdxxxyydyuxyxyxxxxyxydxdyxxyxy
6、解 3222(,)2cos,(,)12sin3PxyxyyxQxyyxxy
262cosQPxyyxxy,
故积分与路径无关,选取折线路径 (0,0)(,0)(,1)22OCB
原式=2211222003[12sin3()](12)2244yydyyydy
7、解 [()],(),(),()xxQPPefxyQfxfxefxxy
令 QPxy,则有 ()()xfxfxe,解一阶线性非齐次微分方程得
2()()2xxefxeC,
代入 1(0)2f得,1C,即 1()2xxfxee.
当,AB为(0,0),(1,1)时,积分为
(1,1)11(0,0)01111()()()2222xxxxeeeydxeedyeedye
8解 设2222,,44yxPQxyxy 7 则222224(4)QyxPxxyy，除去原点(0,0)O以外一切点上式都成立.
①当曲线L的内部不含原点时
22()004LDDxdyydxQPdxdydxdyxyxy.
②当曲线L的内部含原点时,可在L的内部做一个充分小的椭圆:2cos,sincxatyat，从0t到2t.利用复连通域上的格林公式，有
222221444Lccxdyydxxdyydxxdyydxxyxya
221122244Ddxdyaaaa
（四）1、解 曲面在xoy坐标平面上的投影为22:1xyDxy.
22xxzxy,22yyzxy，故
2222zxydS22222222()1()()xyxyDxyxyzzdxdy
2222xyDdxdydxdy
2、解 设1表示在第一卦限内部分，则
3、解
设 123，其中 221:2,4zxy，
