曲线积分与曲面积分复习

目录

1对弧长的曲线积分

（扩展）对弧长曲线积分的应用

2对坐标的曲线积分

3格林公式及其应用

4对面积的曲面积分

课后典型题

1对弧长的曲线积分

之前已经学过计算曲线长度的积分

（1）对于y=y(x)，有21'()dsyxdx

（2）对于参数方程()()xxtyyt 有22'()'()dsxtytdt

（3）对于极坐标方程是()rr，转成直角坐标()cos()sinxryr ，则'()'cossin'()'sincosxrryrr。代入

2222'()'()=()'()dsxtytdtrrd

上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。

对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。

扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L的密度，求得的结果就是空间的线质量。

定义：01(,)lim(,)niiiiLfxydsfs

计算步骤

1画出图形

2写出L的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限）

3由L类型写出对应ds的表达式

4因被积函数f(x,y)的点x，y在L上变动，因此x，y必须满足L的方程。即把L中的x，y代入被积函数f(x,y)中。

5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。

注，二重积分中xy在投影域D内动，而被积函数的xy在L上动，故(x，y)必须满足L。如，L的方程y=k,则()LLfxdskdsks （保留。还不太懂）

参数方程

设曲线有参数方程()()xxtLyyt ，则有：

显式方程

设曲线为L：y=y(x) ，则有： 设曲线为L：x=x(y) ，则有：

第十章 曲线积分与曲面积分

一、 基本内容要求

1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、面积分表达一些几何量和物理量；

2． 掌握线、面积分的计算法；

3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系；

4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重积分；

5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少；

6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭区间Ω上的三重积分。

二、 选择

1．设OM是从O（0，0）到点M（1，1）的直线段，则与曲线积分I=dseomyx22不相等的积分是：（ ）

A)dxex2102 B) dyey2102

C)dtet20 D) drer210

2．设L是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I=Lxdyydx等于（ ）

A)0 B)-1 C)2 D)-2

3．设L为下半圆周)0(222yRyx，将曲线积分I= dsyxL)2(化为定

积分的正确结果是：（ ）

A) dtttR)sin2(cos02 B) dtttR)sin2(cos02

C) dtttR)cos2sin(02

D) dtttR)cos2sin(2322

第十章 曲线积分与曲面积分

一、 一、 重点

两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用

二、 二、 难点

对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。

三、 三、 内容提要

1． 1． 曲线（面）积分的定义：

（1） （1） 第一类曲线积分

niiiiLSfdsyxf00),(lim),(（存在时）

iS表示第i个小弧段的长度，（ii,）是iS上的任一点小弧段的最大长度。

实际意义：

当f(x,y)表示L的线密度时，Ldsyxf),(表示L的质量；当f(x,y) 1时，Lds表示L的弧长，当f(x,y)表示位于L上的柱面在点（x,y）处的高时，Ldsyxf),(表示此柱面的面积。

（2） （2） 第二类曲线积分

]),(),([lim10iiiniiiiLyQxPQdyPdx (存在时)

实际意义：

设变力F=P(x,y) i+Q(x,y) j将质点从点A沿曲线L移动到B点，则F作的功为：

LLQdyPdxSdFW，其中Sd=（dx,dy）事实上，LPdx，LQdy分别是F在沿X轴方向及Y轴方向所作的功。

（3） （3） 第一类曲面积分

niiiiiSfdszyxf10),,(lim),,( (存在时)

iS表示第i个小块曲面的面积，（iii,,）为iS上的任一点，是n块小曲面的最大直径。

实际意义：

当f(x,y，z)表示曲面上点（x,y,z）处的面密度时，dszyxf),,(表示曲面的质量，当f(x,y,z) 1时，ds表示曲面的面积。

1 曲线积分与曲面积分

考试要求：

1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2. 掌握计算两类曲线积分的方法。

3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。

6． 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

复习重点:

1、两类曲线积分的计算方法；

2、格林公式及其应用；

3、两类曲面积分的计算方法；

4、高斯公式、斯托克斯公式；

5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

复习题：

1．计算dsyL 其中L是抛物线yx2上点O(0 0)与点B(1 1)之间的一段弧

2.计算曲线积分dszyx)(222 其中为螺旋线xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧

3计算Lxydx 其中L为抛物线y2x上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧

4 计算Ldxy2

(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 

(2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a 0)的直线段

5.计算Ldyxxydx22 (1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到R (1 1)的有向折线OAB 

6 计算ydzxdyzydxx2233 其中是从点A(3 2 1)到点B(0 0 0)的直线段AB

7.设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明

Ldyxxydx022