2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.2.3 圆与圆的位置关系讲义 苏教版必修2

2.2.3 圆与圆的位置关系

学

习

目 标 核 心 素 养

1.能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系．(重点)

2.当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．(易错点)

3.了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线．(难点) 通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.

圆与圆的位置关系

1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

图示

d与r1，

r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<

d

2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程Δ>0⇒相交，Δ＝0⇒内切或外切，Δ<0⇒外离或内含Ｗ.

1.思考辨析

(1)两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交． ( )

(2)若两个圆没有公共点，则两圆一定外离． ( )

(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立． ( )

(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2. ( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√

2．两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的公共弦所在的直线方程为______________．

x＋y＋2＝0 [联立x2＋y2＋6x＋4y＝0， ①x2＋y2＋4x＋2y－4＝0， ②

①－②得：x＋y＋2＝0.]

3．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为________．

(－1，0)和(0，－1) [由x2＋y2＝1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，

解得x＝0，y＝－1或x＝－1，y＝0.]

4．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有________条．

3 [圆C1的圆心坐标为C1(－2，2)，半径r1＝1.

∵圆C2的圆心坐标为C2(2，5)，半径r2＝4.

∴|C1C2|＝（－2－2）2＋（2－5）2＝5，r1＋r2＝5，

∴两圆外切．

故公切线有3条．]

两圆位置关系的判定

【例1】 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，与圆C2：x2＋y2＋2x＝0.

(1)m＝1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？

(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？

思路探究：(1)参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r1＋r2和|r1－r2|的大小关系．(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则圆心距d<|r1－r2|.

[解] (1)∵m＝1，∴两圆的方程分别可化为：

C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋y2＝1.

两圆的圆心距d＝（1＋1）2＋（－2）2＝22，

又∵r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，

∴r1－r2

(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，

则（m＋1）2＋（－2）2<3－1，

即(m＋1)2<0，显然不等式无解．

故不存在m使得圆C1与圆C2内含．

判断圆与圆的位置关系时，通常用几何法，即转化为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关系．

1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，

C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．

试求a为何值时两圆C1，C2(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．

[解] 对圆C1，C2的方程，经配方后可得：

C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，

C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，

∴圆心C1(a，1)，r1＝4，C2(2a，1)，r2＝1，

∴|C1C2|＝（a－2a）2＋（1－1）2＝a，

(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，

当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．

(2)当3<|C1C2|<5，即3

(3)当|C1C2|>5，即a>5时， 两圆外离．

(4)当|C1C2|<3，即0

两圆相交的问题

【例2】 已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.

(1)求公共弦所在直线的方程；

(2)求公共弦的长．

思路探究：两圆方程相减→直线方程→

半径、弦心距、弦长一半构成直角三角形→列式求解

[解] (1)设两圆的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．将点A的坐标代入两圆方程，

得x21＋y21－2x1＋10y1－24＝0， ①x21＋y21＋2x1＋2y1－8＝0， ②

①－②，得x1－2y1＋4＝0，故点A在直线x－2y＋4＝0上．

同理，点B也在直线x－2y＋4＝0上，即点A，B均在直线x－2y＋4＝0上．因为经过两点有且只有一条直线，所以直线AB的方程为x－2y＋4＝0，即公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.

(2)圆C1的方程可化为(x－1)2＋(y＋5)2＝50，所以C1(1，－5)，半径r1＝52.

C1(1，－5)到公共弦的距离d＝|1－2×（－5）＋4|12＋（－2）2＝35.

设公共弦的长为l，

则l＝2r21－d2＝2（52）2－（35）2＝25.

1.利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．

2.求两圆的公共弦长有两种方法：一是先求出两圆公共弦所在直线的方程；再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；二是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求弦长．

2．求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．

[解] 由x2＋y2－4x－6＝0，x2＋y2－4y－6＝0，

得x＝－1，y＝－1，或x＝3，y＝3.

即两圆的交点坐标为A(－1，－1)，B(3，3)．

设所求圆的圆心坐标C为(a，a－4)，由题意可知CA＝CB，

即（a＋1）2＋（a－3）2＝（a－3）2＋（a－7）2，

解得a＝3，∴C(3，－1)．

∴CA＝（3＋1）2＋（－1＋1）2＝4，

所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.

两圆相切的问题

[探究问题]

1．若已知圆C1：x2＋y2＝a2(a>0)和C2：(x－2)2＋y2＝1，那么a取何值时C1与C2相外切？

[提示] 由|C1C2|＝a＋1，得a＋1＝2，∴a＝1.

2．若将探究1中，C2的方程改为(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，那么a与r满足什么条件时两圆相切？

[提示] 若两圆外切，则a＋r＝|C1C2|＝2，即a＋r＝2时外切．若两圆内切，则|r－a|＝|C1C2|＝2.

∴r－a＝2或a－r＝2.

【例3】 已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.

(1)证明：圆C1与圆C2相切，并求过切点的公切线的方程；

(2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．

思路探究：(1)证明|C1C2|＝r1＋r2，两圆方程相减得公切线方程．

(2)由圆系方程设圆的方程，将已知点代入．

[解] (1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，

得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13；

圆心与半径长分别为

C1(－2，2)，r1＝13；C2(4，－2)，r2＝13，

因为|C1C2|＝（4＋2）2＋（－2－2）2＝213＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2相切．

由x2＋y2＋4x－4y－5＝0，x2＋y2－8x＋4y＋7＝0，

得12x－8y－12＝0，

即3x－2y－3＝0，这就是过切点的两圆公切线的方程．

(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为

x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.

点(2，3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.

所以所求圆的方程为

x2＋y2＋4x－4y－5＋43(3x－2y－3)＝0，

即x2＋y2＋8x－203y－9＝0.

两圆相切有如下性质

(1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则两圆相切内切⇔O1O2＝|r1－r2|，外切⇔O1O2＝r1＋r2.

(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)．

在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．

3．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．

[解] 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，

圆心C(1，0)，半径为1.

设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

由题意可知（a－1）2＋b2＝r＋1，b＋3a－3×－33＝－1，|a＋3b|2＝r，

解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6.

所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4

或x2＋(y＋43)2＝36.

1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)判断两圆位置关系的方法及应用．

(2)求两圆公共弦长的方法．

3．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解．

1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )

A．相离 B．相切

C．相交 D．内含

C [两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2

2．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝1与圆C2：x2＋y2＋2y＝8外离，则实数m的取值范围是________．

(－∞，－15)∪(15，＋∞) [圆C1可化为(x－m)2＋y2＝1，圆C2可化为x2＋(y＋1)2＝9，所以圆心C1(m，0)，C2(0，－1)，半径r1＝1，r2＝3，因为两圆外离，所以应有C1C2>r1＋r2＝1＋3＝4，即（m－0）2＋（0＋1）2>4，解得m>15或m<－15.]

3．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为________．

(x±4)2＋(y－6)2＝36 [设圆心坐标为(a，b)，由题意知b＝6，a2＋32＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.]

4．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值