第二章数学建模数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的路径。数学建模的全过程
现实对象的信息数学模型
现实对象的解答数学模型的解答表述
求解
解释验证(归纳)(演绎)
一个农民投入大约500元养肥了一头100公斤的猪，在上一周猪每天增重约2公斤。五天前猪价为7.5元/公斤，但现在猪价下降为7.2元/公斤，每天饲养费用为7.1元。求出售猪的最佳时间。
求什么?
关键是什么？
要考虑哪些因素？例1. 最佳销售时间假设：
1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少。3. 猪饲养的花费每天不变。4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。参量：
猪的当前重量w0 =100kg猪的日增重量g =2kg猪的当前市场价格p0=7.5元/kg出售价格的日减少量r=(7.5-7.2)/5=0.06元每天饲养猪的花费k =7.1元
变量
猪再饲养时间t天出售时重量w(t)= w0+gt =100+gt 出售时单价p(t)= p0–rt=7.2-rt总收益R(t) = p(t)w(t)总投入C(t)=500+kt净收益=总收益-总投入P(t) = R(t) –C(t) 模型：P(t)=(7.2-rt)(100+gt)-(500+kt)P(t) = 220 + 1.3t –0.12t2.实际问题：求出售时间使净收益最高。数学问题：求函数P(t)的极大值点。令P‘(t)=0则有1.3 -2×0.12t = 0得t = 5.4P(5)=220+1.3×5－0.12×52=223.5>223.48=P(6)结论：再饲养5天后出售，最高净收益223.5元。
通过假设，将不确定因素确定化，简单代替复杂，连续代替间断。
数学建模成功与否，关键在假设，在切合实际与数学简化之间选择恰当的平衡点, 体现了建模工作的想象力和创造力。
第2章基础建模
本章学习目标：
掌握二维样条线建模的基本方法
掌握二维图形转三维模型的基本方法
掌握基本几何体建模
了解如何对基本几何体进行适当地修改
掌握布尔运算、放样等几种复合建模方法
基础建模包括基本几何体建模、扩展几何体建模、二维图形建模及复合几何体建模。这些建模方法以最基本的二维、三维几何体为基础，迅速地搭建出模型轮廓或者框架，在此基础上，做一些适当地修改，从而达到预期的三维效果。
2.1 二维图形建模
二维图形是最基础的模型，包括线、矩形、圆、多边形等。创建二维模型后，用户可以通过修改器命令对其进行修改，从而创建出所需要的二维模型；同时也可以添加适当的修改器，例如挤出、车削、放样等，将其转换成三维模型。
2.1.1二维图形建模基础
二维图形（Shapes）是指一条或者多条样条线组成的对象。而样条线又是由顶点和线段组成，只要调整样条线的点及线段的参数就可以勾勒出复杂的二维图形，再利用一些修改器可以使这些二维图形生成三维图形。Max里的二维图形包括Line（线）,Rectangle（矩形）, Circle（圆）, Ellipse（椭圆）,Arc（弧）,Donut（环形）,NGon（多边形）, Star（星形）, Text（文字）, Helix（螺旋形） Egg（卵形）,Section（截面）等，如图2-1所示。在三维建模中，二维图形基本上有三种用途：一是直接绘制二维图图2-1二维图形面板 形并应用于三维场景中；二是绘制出模型的轮廓，再添加二维转三维的修改器将其转换成三维模型；三是作为三维模型的脚手架或者路径，待三维模型建好或动画完成后，就可以删除二维模型。
除了基本的二维样条线，MAX还提供了较为丰富的扩展样条线，包括WRectangle（墙矩形）、Channel（通道）、Angle（角度）、Tee（T形）、Wide Flange（宽法兰），如图2-2所示。扩展样条线的创建方法与参数设置与样条线的使用方法基本相同。
1第二章数学建模初步数学建模（Mathematical modeling)是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的路径。现实对象的信息数学模型
现实对象的解答数学模型的解答表述
求解
解释验证(归纳)(演绎)
一个农民投入大约500元养肥了一头100公斤的猪，在上一周猪每天增重约2公斤。五天前猪价为7.5元/公斤，但现在猪价下降为7.2元/公斤，每天饲例1. 最佳销售时间
养费用为7.1元。求出售猪的最佳时间。问题的目标是什么?关键是什么？要考虑哪些因素？假设：1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少。3. 猪饲养的花费每天不变。4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。参量：猪的当前重量w0 =100kg猪的日增重量g =2kg猪的当前市场价格p0=7.5元/kg出售价格的日减少量r=(7.5-7.2)/5=0.06元每天饲养猪的花费k =7.1元
变量猪再饲养时间t天出售时重量w(t)= w0+gt =100+gt 出售时单价p(t)= p0–rt=7.2-rt总收益R(t) = p(t)w(t)总投入C(t)=500+kt净收益=总收益-总投入P(t) = R(t) –C(t) 模型：P(t)=(7.2-rt)(100+gt)-(500+kt)P(t) = 220 + 1.3t –0.12t2.实际问题：求出售时间使净收益最高。数学问题：求函数P(t)的极大值点。令P‘(t)=0则有1.3 -2×0.12t = 0t=5.4得t = 5.4P(5)=220+1.3×5－0.12×52=223.5>223.48=P(6)结论：再饲养5天后出售，最高净收益223.5元。
2通过假设，将不确定因素确定化，简单代替复杂，连续代替间断。数学建模成功与否，关键在假设，在切合实际与数学简化之间选择恰当的平衡点,体际与数学简化之间选择恰当的平衡点, 体现了建模工作的想象力和创造力。结论可靠吗？灵敏度分析----结论对参数的敏感程度。结论（最佳售猪时间，净收益）所依赖的参数：猪的初始重量w0，猪的现实价格p，0猪的饲养花费k，猪重的增加速率g，价格降低的速率r。
第二章初等模型
2.1 公平的席位分配
2.2 录像机计数器的用途
2.3 双层玻璃窗的功效
2.4 汽车刹车距离
2.5 划艇比赛的成绩
2.6 实物交换
2.7 核军备竞赛
2.8 启帆远航
2.9 量纲分析与无量纲化2.1公平的席位分配
103 51.5
63 31.5
34 17.0
结果
10.815问
题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表
会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
比
例
加
惯
例对
丙
系
公
平
吗系别学生比例20席的分配
人数（%）比例结果
甲103 51.5 10.3 10
乙63 31.5 6.3 6
丙34 17.0 3.4 4
总和200 100.0 20.0 2021席的分配
比例
10.815 11
6.615 7
3.570 3
21.000 21―公平”分配方法衡量公平分配的数量指标
人数席位
A方p1n1
B方p2 n2当p
1/n
1= p
2/n
2时，分配公平
p
1/n
1–p
2/n
2~ 对A的绝对不公平度
p
1=150, n
1=10, p
1/n
1=15
p
2=100, n
2=10, p
2/n
2=10p
1=1050, n
1=10, p
1/n
1=105
p
2=1000, n
2=10, p
2/n
2=100
p
1/n
1–p
2/n
2=5
但后者对A的不公平
程度已大大降低!虽二者的绝对
不公平度相同若p
1/n
1> p
2/n
2，对不公平A
p
1/n
1–p
2/n
2=5公平分配方案应
使r
A, r
B尽量小
设A, B已分别有n
1, n
2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B
不妨设分配开始时p
1/n
1> p
2/n
2，即对A
不公平),(
///
21
222211nnr
npnpnp
A
~ 对A
的相对不公平度将绝对度量改为相对度量
类似地定义r
B(n
1,n
2)
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,
即―公平”分配方
法
若p
1/n
1> p
