数学建模案例分析
数学建模 第一章 初等方法建模
如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。通过下面介绍的若干例子能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴味的实际问题。需要强调的是，如果对于某个实际问题可以用初等的方法解决，就不要用更高等的方法。
§1 双层玻璃窗的功效
背景 将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层窗的热传导进行对比，对双层窗能减少多少热量损失给出定量分析结果。
模型假设
1、热量的传播只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃间的空气是不流动的。
2、室内温度1T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
模型构成与求解
记 aT—内层玻璃的外侧温度
bT—外层玻璃的内侧温度
1K—玻璃的热传导系数
2K—空气的热传导系数 墙 墙
墙 墙 空气
热传导方向 2T 1T aT bT
d2 数学建模案例分析
数学建模 Q—单位时间通过双层窗单位面积的热量
'Q—单位时间通过单层窗单位面积的热量
由热传导过程的物理定律：dTKQ，得到
dTTKlTTKdTTKQbbaa21211 （1）
dTTKQ2211' （2）
从（1）中消去baTT,，可得
dlhKKhSSdTTKQ,,)2()(21211 （3）
22SQQ （4）
显然QQ，且S越大，比例越悬殊，331108~104K（焦耳/CM·秒·度），42105.2K（焦耳/CM·秒·度），于是31~1621KK,做最保守的估计，即取1621KK，由(3)、(4)即有
数学建模到底是学什么？
数学学建模是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际生活中存在问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
该学科通过具体实例引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型。学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态。通过数学模型有关的概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生双向翻译能力，数学推导计算和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力；培养学生应用数学解决实际问题的能力。
学习数学建模需要具备的基础知识：
高等数学、线性代数、概率论与数理统计。
学习内容简述：
数学建模的概述、初等模型、简单优化模型、微分方程模型、离散模型、线性规划模型、概率模型等模型的基本建模方法及求解方法。
学习内容详述：
以建立不同的数学模型作为教学项目载体，每个项目分解为若干个学习任务：下面是整合两个版本的内容，供参考。
教学项目一：建立数学模型
学习内容：
（1）数学建模的历史和现状；
（2）高职院校开设数学建模课的现实意义；
（3）数学模型的基本概念；
（4）数学模型的特点和分类；
（5）数学建模的方法及基本步骤。
教学项目二：初等数学建模
学习内容：
（1）初等函数建模法：基本初等函数数学模型；常用的经济函数模型；
（2）集合建模法：鸽笼原理；“奇偶效验”法；相识问题；
（3）比例与函数建模法：动物体型模型；双重玻璃的功效模型；席位分配模型。
教学项目三：微分方程建模
学习内容：
（1）微分方程建模方法；
（2）熟悉微分方程建模案例：Malthus模型；Logistic模型；具有收获的单种群模型；
（3）经济增长模型；资金与劳动力的最佳分配；劳动生产率增长；
（4）人口的预测和控制；
（5）微分方程稳定性理论简介。
教学项目四：数学规划建模
学习内容：
第1页 共4页 《数学建模》课程教学大纲
课程编号： 90907011
学时：32
学分：2
适用专业：本科各专业
开课部门：各学院
一、课程的性质与任务
数学建模是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本课程主要介绍初等模型、简单优化模型、微分方程模型、概率统计模型、数学规划模型等模型的基本建模方法及求解方法。
通过数学模型有关概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力,综合分析能力；培养学生应用数学方法解决实际问题的能力。
二、课程学时分配
教学章节 理论
第一章 数学模型概述 2
第二章 初等模型 2
第三章 简单的优化模型 4
第四章 数学规划模型 4
第五章 微分方程模型 4
第六章 离散模型 4
第七章 概率模型 4
第八章 统计回归模型 4
第九章 插值与拟合 4
合计 32
三、实践教学的基本要求
（无）
四、课程的基本教学内容及要求
第一章 数学模型概述
1.教学内容
数学模型与数学建模、数学建模的基本方法和步骤、数学模型的特点和分类。
2.重点与难点
重点：数学模型与数学建模。
难点：数学建模的基本方法和步骤。 第2页 共4页 3.课程教学要求
了解数学模型与数学建模过程；了解数学建模竞赛规程；掌握几个简单的智力问题模型。
第二章 初等模型
1.教学内容
双层玻璃窗的功效、动物的身长与体重。
2.重点与难点
重点：初等方法建模的思想与方法。
难点：初等方法建模的思想与方法。
3.课程教学要求
了解比例模型及其应用。
第三章 简单的优化模型
1.教学内容
存贮模型、最优价格。
2.重点与难点
重点：存贮模型。
难点：存贮模型。
3.课程教学要求
掌握利用导数、微分方法建模的思想方法；能解决简单的经济批量问题和连续问题模型。
“数学建模”课程简介及教学大纲
课程代码：112010131
课程名称：数学建模
课程类别：专业基础课
总学时/学分：72/4
开课学期：第五学期
适用对象：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业
先修课程：数学分析、高等代数、概率统计
内容简介：本课程主要通过各个领域中的实例介绍各种数学方法建模，主要包括：初等数学方法与实验；Matlab、Lingo的使用；微分法建模与实验；微分方程建模与实验；差分法建模与实验；优化方法建模与实验；离散方法建模与实验；随机方法建模与实验。
一、课程性质、目的和任务
1．性质：数学与应用数学、信息与计算科学专业必修课。数学建模是将实际问题依其自身的特点和规律，经过去粗取精、去伪存真、抓住主要矛盾，进行抽象简化和合理假设，用数学的语言和方法转化为数学问题，然后选择适当的数学方法和工具，给予数学的分析与解答，再将所给出的结果返回到所论的实际问题中去进行检验，符合实际则数学建模成功，否则再从头开始，如此反复多次，直至通过实践检验为止。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁,•数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本课程通过大量实例介绍数学建模的全过程。
2．目的：通过向学生展示各种不同实际领域中的数学问题和数学建模方法，通过对一系列来自不同领域的实际问题的提出、分析、建模和求解的学习与训练，激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，开拓知识面，培养创新精神，提高学生分析问题、解决问题和计算机应用的能力。
3. 任务：本课程旨在通过建模训练培养：（1）学生用数学工具分析解决实际问题的意识并逐步提高其洞察能力。（2）学生用数学思想和方法综合分析实际问题的能力。（3）学生的联想能力。（4）学生熟练地使用计算机和数学软件包的能力。即培养学生的建模能力和解决实际问题的能力。
二、课程教学内容及要求
第一章 绪论：
1、数学建模的意义；
