2019年春高中数学 第3章 不等式 3 基本不等式 第2课时 基本不等式与最大(小)值同步练习 北师大版必修5

2019年春高中数学 第3章 不等式 3 基本不等式 第2课时 基本不等式与最大(小)值同步练习 北师大版必修5一、选择题1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤2[答案] C[解析] 由a ＋b ＝2，得ab ≤(a ＋b2)2＝1，排除A 、B ；又a 2＋b 22≥(a ＋b2)2，∴a 2＋b 2≥2.故选C.2．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数[答案] A[解析] 令2x ＝1x ，由x <0得x ＝－22，∴在x ＝－22两侧，函数f (x )的单调性不同，排除C 、D. f (x )＝2x ＋1x －1＝－⎝⎛⎭⎪⎫－2x －1x －1≤－2－2x⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x －1＝－22－1，等号在x ＝－22时成立，排除B. 3．已知a 、b 是正数，则a ＋b2、ab 和a 2＋b 22的大小顺序是( )A.a ＋b2≥ab ≥a 2＋b 22 B.a ＋b2≥a 2＋b 22≥ab C.a 2＋b 22≥ab ≥a ＋b 2D.a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab[答案] D[解析] a 、b 是正数，显然有a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时，取等号)；再比较a 2＋b 22与a ＋b2，∵(a ＋b2)－a 2＋b 22＝－a 2＋b 2－2ab4＝－(a －b2)2≤0，∴a ＋b2≤a 2＋b 22，故选D.4．(2016·云南师大附中高三月考)已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t 等于( )A ．2B ．4C ．2 2D ．2 5[答案] C[解析] 当a >0，b >0时，ab ≤a ＋b24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t2时取等号．因为ab 的最大值为2，所以t 24＝2，t 2＝8，所以t ＝8＝2 2.故选C.5．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3米B ．4米C ．6米D ．12米[答案] A[解析] 解法一：设隔墙的长度为x m ，则矩形的宽为x m ，长为24－4x2＝(12－2x )m ，矩形的面积为S ＝(12－2x )x ＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S 取最大值，故选A.解法二：(接解法一)S ＝(12－2x )·x ＝2(6－x )·x ≤2·⎝⎛⎭⎪⎫6－x ＋x 22＝18当且仅当6－x ＝x 即x ＝3时取“＝”．故选A.6．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D[解析] 因为x ，a ，b ，y 成等差数列，所以a ＋b ＝x ＋y .因为x ，c ，d ，y 成等比数列，所以cd ＝xy ，所以a ＋b2cd＝x ＋y 2xy＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy ＋2.因为x >0，y >0，所以x 2＋y 2xy＋2≥2xyxy＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立．二、填空题7．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________． [答案] 18[解析] 本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值．∵log 2a ＋log 2b ≥1 ∴log 2ab ≥1，ab ≥2.∴a ·2b ≥4，∴a ＋2b ≥2a ·2b ≥4(当且仅当a ＝2b ＝2时取“＝”) 3a＋9b＝3a＋32b≥23a ·32b ＝23a ＋2b≥234＝18.(当且仅当a ＝2b ＝2时取“＝”) 8．若x <3，则实数f (x )＝4x －3＋x 的最大值为________． [答案] －1[解析] ∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－[43－x ＋(3－x )]＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取“＝”号．∴f (x )的最大值为－1. 三、解答题9．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.[证明] ∵a ＋b ＋c ＝1，代入不等式的左端， ∴(1a －1)(1b －1)(1c－1)＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋cc－1)＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋b c) ＝a c ＋b c ＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋2 ＝(b a ＋a b)＋(c b ＋b c)＋(c a ＋a c)＋2. ∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)，∴a b ＋b a≥2，c b ＋b c ≥2，c a ＋ac≥2， ∴(a b ＋b a )＋(c b ＋b c )＋(c a ＋a c)≥6， ∴(1a－1)(1b －1)(1c－1)≥8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．10．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值．[解析] ∵a 2＋b 22＝1，∴a 2＋1＋b 22＝32，a 1＋b 2＝2·a ·1＋b22≤2·a 2＋1＋b 222＝2·322＝324.∴当a 2＋b 22＝1且a ＝1＋b22， 即a ＝22，b ＝63时，a 1＋b 2的最大值为324.一、选择题1．已知函数f (x )＝|lg x |，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] 由条件得|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＝lg b 或lg a ＝－lg b ，∵a ≠b ，∴lg a ＝lg b 不成立． ∴只有lg a ＝－lg b .即lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，b ＝1a.又a >0，∴a ＋b ＝a ＋1a>2，故选C.2．若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2][答案] D[解析] 因为2x >0,2y >0，所以1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y，故2x ＋y≤12，即2x ＋y≤14＝2－2.所以x ＋y ≤－2，故选D. 3．下列命题中正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x >0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x >0)的最大值为2－4 3 [答案] D[解析] 对于A ，当x <0时，不成立；对于B ，若设x 2＋3x 2＋2＝2，则无实数解；对于C 、D ，y ＝2－3x －4x ≤2－43(x >0)，当且仅当3x ＝4x时，等号成立，故选D.4．若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4[答案] D[解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋1＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4 (等号在a ＝b ＝12时成立)． 故所求最小值为4，选D. 二、填空题5．(2016·北京市东城区高三期末)某种饮料分两次提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________．[答案] 乙[解析] 设原价为1，则提价后的价格，方案甲：(1＋p %)(1＋q %)，乙：(1＋p ＋q2%)2，因为＋p ＋q ≤1＋p %＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，因为p >q >0，所以＋p＋q<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙．6．(2015·山东文，14)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．[答案]2[解析] 由新定义运算知，x ⊗y ＝x 2－y 2xy，所以(2y )⊗x ＝y2－x2y x ＝4y 2－x 22xy，因为，x ＞0，y ＞0， 所以，x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy＝2，当且仅当x ＝2y 时，x ⊗y＋(2y )⊗x 的最小值是 2.三、解答题7．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0. 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最大值．[解析] (1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立， ∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )(2y ＋8x)＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋8＝18，当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝12，y ＝6时等号成立， 故x ＋y 的最小值为18.8．某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ [解析] (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n n －2×4]＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为y n＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋49n－20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12当且仅当n ＝49n，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．。